Madalas na lumilitaw ang mga quadratic equation kapag nilulutas ang iba't ibang problema sa physics at matematika. Sa artikulong ito, titingnan natin kung paano lutasin ang mga pagkakapantay-pantay na ito sa isang unibersal na paraan"sa pamamagitan ng discriminant". Ang mga halimbawa ng paggamit ng kaalamang natamo ay ibinigay din sa artikulo.

Anong mga equation ang pinag-uusapan natin?

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang formula kung saan ang x ay isang hindi kilalang variable, at ang mga Latin na simbolo na a, b, c ay kumakatawan sa ilang kilalang numero.

Ang bawat isa sa mga simbolong ito ay tinatawag na koepisyent. Tulad ng nakikita mo, ang numerong "a" ay nasa harap ng squared variable x. Ito ang pinakamataas na kapangyarihan ng ekspresyong ipinakita, kaya naman tinawag itong quadratic equation. Ang ibang pangalan nito ay kadalasang ginagamit: second-order equation. Ang value a mismo ay ang square coefficient (na nakatayo para sa variable na squared), b ang linear coefficient (ito ay nasa tabi ng variable na itinaas sa unang kapangyarihan), at sa wakas, ang numero c ay ang libreng termino.

Tandaan na ang anyo ng equation na ipinapakita sa figure sa itaas ay isang karaniwang classical square expression. Bilang karagdagan dito, mayroong iba pang mga equation ng pangalawang order kung saan ang mga coefficient b, c ay maaaring maging zero.

Kapag ang problema ay iniharap upang malutas ang itinuturing na pagkakapantay-pantay, nangangahulugan ito na ang mga naturang halaga ng variable na x ay kailangang mahanap na makakatugon dito. Dito, ang unang dapat tandaan ay ang sumusunod na bagay: dahil ang pinakamataas na antas ng x ay 2, ang ganitong uri ng expression ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa 2 solusyon. Nangangahulugan ito na kung, kapag nilulutas ang equation, natagpuan ang 2 mga halaga ng x na nakakatugon dito, maaari mong tiyakin na walang pangatlong numero, na pinapalitan kung saan sa halip na x, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo din. Ang mga solusyon sa isang equation sa matematika ay tinatawag na mga ugat.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng pangalawang order

Ang paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay nangangailangan ng kaalaman sa ilang teorya tungkol sa kanila. Sinusuri ng kursong algebra ng paaralan ang 4 iba't ibang pamamaraan mga solusyon. Ilista natin sila:

• gamit ang factorization;
• gamit ang formula para sa isang buong parisukat;
• sa pamamagitan ng paglalapat ng graph ng kaukulang quadratic function;
• gamit ang discriminant equation.

Ang bentahe ng unang pamamaraan ay nakasalalay sa pagiging simple nito, gayunpaman, hindi ito mailalapat sa lahat ng mga equation. Ang pangalawang paraan ay pangkalahatan, ngunit medyo mahirap. Ang ikatlong paraan ay kapansin-pansin para sa kalinawan nito, ngunit hindi ito palaging maginhawa at naaangkop. At, sa wakas, ang paggamit ng discriminant equation ay isang unibersal at medyo simpleng paraan upang mahanap ang mga ugat ng ganap na anumang second-order equation. Samakatuwid, sa artikulo ay isasaalang-alang lamang natin ito.

Formula para sa pagkuha ng mga ugat ng equation

Lumiko tayo sa pangkalahatang pananaw quadratic equation... Isulat natin ito: a * x² + b * x + c = 0. Bago gamitin ang paraan ng paglutas nito "sa pamamagitan ng discriminant", ang pagkakapantay-pantay ay dapat palaging bawasan sa nakasulat na anyo. Ibig sabihin, dapat itong binubuo ng tatlong termino (o mas kaunti kung ang b o c ay 0).

Halimbawa, kung mayroong isang expression: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², dapat mo munang ilipat ang lahat ng termino nito sa isang gilid ng pagkakapantay-pantay at idagdag ang mga terminong naglalaman ng variable na x sa parehong kapangyarihan.

V sa kasong ito ang operasyong ito ay magreresulta sa sumusunod na expression: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, na katumbas ng equation na 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (dito pinarami namin ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ng -1).

Sa halimbawa sa itaas, a = 6, b = 4, c = -8. Tandaan na ang lahat ng mga tuntunin ng itinuturing na pagkakapantay-pantay ay palaging pinagsama-sama sa kanilang mga sarili, kaya kung ang "-" na palatandaan ay lilitaw, nangangahulugan ito na ang kaukulang koepisyent ay negatibo, tulad ng numero c sa kasong ito.

Matapos suriin ang puntong ito, bumaling tayo ngayon sa mismong formula, na ginagawang posible upang makuha ang mga ugat ng isang quadratic equation. Mayroon itong form na ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Tulad ng nakikita mo mula sa expression na ito, pinapayagan ka nitong makakuha ng dalawang ugat (dapat mong bigyang pansin ang "±" sign). Upang gawin ito, sapat na upang palitan ang mga coefficient b, c, at a dito.

Diskriminasyong konsepto

Sa nakaraang talata, ibinigay ang isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na malutas ang anumang pangalawang-order na equation. Sa loob nito, ang radikal na expression ay tinatawag na discriminant, iyon ay, D = b²-4 * a * c.

Bakit naka-highlight ang bahaging ito ng formula, at mayroon pa itong sariling pangalan? Ang katotohanan ay ang discriminant ay nag-uugnay sa lahat ng tatlong coefficient ng equation sa isang solong expression. Ang huling katotohanan ay nangangahulugan na ito ay ganap na nagdadala ng impormasyon tungkol sa mga ugat, na maaaring ipahayag ng sumusunod na listahan:

1. D> 0: ang pagkakapantay-pantay ay may 2 magkaibang mga solusyon, na parehong mga tunay na numero.
2. D = 0: Ang equation ay may isang ugat lamang at isang tunay na numero.

Ang gawain ng pagtukoy ng discriminant

Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa kung paano hanapin ang discriminant. Hayaang ibigay ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Dinadala namin ito sa karaniwang anyo, nakukuha namin: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, mula sa kung saan kami nanggagaling sa pagkakapantay-pantay: -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Dito a = -2, b = 2, c = -11.

Ngayon ay maaari mong gamitin ang pinangalanang formula para sa discriminant: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Ang resultang numero ay ang sagot sa gawain. Dahil ang discriminant sa halimbawa ay mas mababa sa zero, maaari nating sabihin na ang quadratic equation na ito ay walang tunay na ugat. Mga kumplikadong numero lamang ang magiging solusyon niya.

Isang halimbawa ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng discriminant

Lutasin natin ang mga problema ng isang bahagyang naiibang uri: ibinigay ang pagkakapantay-pantay -3 * x²-6 * x + c = 0. Kinakailangang hanapin ang mga naturang halaga ng c kung saan ang D> 0.

Sa kasong ito, 2 lamang sa 3 coefficient ang nalalaman, kaya hindi posibleng kalkulahin ang eksaktong halaga ng discriminant, ngunit alam na ito ay positibo. Ginagamit namin ang huling katotohanan kapag bumubuo ng hindi pagkakapantay-pantay: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Ang solusyon ng nakuhang hindi pagkakapantay-pantay ay humahantong sa resulta: c> -3.

Tingnan natin ang natanggap na numero. Upang gawin ito, kalkulahin ang D para sa 2 kaso: c = -2 at c = -4. Ang numero -2 ay nakakatugon sa nakuhang resulta (-2> -3), ang katumbas na discriminant ay magkakaroon ng halaga: D = 12> 0. Sa turn, ang numero -4 ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay (-4 Kaya, anumang mga numero c na mas malaki kaysa sa -3 ay makakatugon sa kundisyon.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Ipakita natin ang isang problema, na binubuo hindi lamang sa paghahanap ng discriminant, kundi pati na rin sa paglutas ng equation. Kailangan mong hanapin ang mga ugat para sa pagkakapantay-pantay -2 * x² + 7-9 * x = 0.

Sa halimbawang ito, ang discriminant ay katumbas ng sumusunod na halaga: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Pagkatapos ang mga ugat ng equation ay tinukoy bilang mga sumusunod: x = (9 ± √137) / (- 4). ito eksaktong mga halaga mga ugat, kung kinakalkula mo ang tinatayang ugat, makukuha mo ang mga numero: x = -5.176 at x = 0.676.

Problema sa geometriko

Lutasin natin ang isang problema na mangangailangan hindi lamang ng kakayahang kalkulahin ang discriminant, kundi pati na rin ang paggamit ng abstract na mga kasanayan sa pag-iisip at kaalaman kung paano gumawa ng mga quadratic equation.

Si Bob ay may 5 x 4 na metrong duvet. Nais ng batang lalaki na manahi ng tuluy-tuloy na strip ng magandang tela sa paligid ng perimeter. Gaano kakapal ang strip na ito kung si Bob ay kilala na may 10 m² ng tela.

Hayaang ang strip ay may kapal na xm, kung gayon ang lugar ng tela sa mahabang gilid ng kumot ay magiging (5 + 2 * x) * x, at dahil mayroong 2 mahabang gilid, mayroon kaming: 2 * x * (5 + 2 * x). Sa maikling bahagi, ang lugar ng tinahi na tela ay magiging 4 * x, dahil mayroong 2 sa mga panig na ito, nakukuha namin ang halaga na 8 * x. Tandaan na ang 2 * x ay naidagdag sa mahabang bahagi dahil ang haba ng kumot ay tumaas ng bilang na iyon. Ang kabuuang lugar ng tela na natahi sa kumot ay 10 m². Samakatuwid, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

Para sa halimbawang ito, ang discriminant ay: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Ang ugat nito ay 22. Gamit ang formula, hinahanap natin ang mga kinakailangang ugat: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0.5). Malinaw, sa dalawang ugat, ang numerong 0.5 lamang ang angkop sa pahayag ng problema.

Kaya, ang strip ng tela na itatahi ni Bob sa kanyang kumot ay magiging 50 cm ang lapad.

Quadratic equation. diskriminasyon. Solusyon, mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong ..."
At para sa mga "very even ...")

Mga uri ng quadratic equation

Ano ang isang Quadratic Equation? Anong itsura? Sa termino quadratic equation ang pangunahing salita ay "parisukat". Ibig sabihin sa equation kinakailangan dapat mayroong x square. Bilang karagdagan sa kanya, ang equation ay maaaring (o maaaring hindi!) x lang (sa unang kapangyarihan) at isang numero lamang (libreng miyembro). At hindi dapat magkaroon ng x sa isang antas na higit sa dalawa.

Sa matematika, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:

Dito a, b at c- ilang mga numero. b at c- ganap na anuman, ngunit a- anumang bagay maliban sa zero. Halimbawa:

Dito a =1; b = 3; c = -4

Dito a =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito a =-3; b = 6; c = -18

Well, nakuha mo ang ideya ...

Sa mga quadratic equation na ito sa kaliwa ay mayroong buong set mga miyembro. X squared na may coefficient a, x sa unang kapangyarihan na may koepisyent b at libreng termino na may.

Ang ganitong mga quadratic equation ay tinatawag puno na.

Paano kung b= 0, ano ang makukuha natin? Meron kami Mawawala ang X sa unang antas. Nangyayari ito mula sa multiplikasyon sa zero.) Lumalabas, halimbawa:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

atbp. At kung parehong coefficient, b at c ay katumbas ng zero, kung gayon ang lahat ay mas simple:

2x 2 = 0,

-0.3x 2 = 0

Ang ganitong mga equation, kung saan may nawawala, ay tinatawag hindi kumpletong quadratic equation. Na medyo lohikal.) Pakitandaan na ang x squared ay naroroon sa lahat ng equation.

By the way, bakit a hindi pwedeng zero? At ikaw ang pumalit a zero.) Mawawala sa amin ang X sa parisukat! Ang equation ay nagiging linear. At ito ay napagpasyahan sa isang ganap na naiibang paraan ...

Ito ang lahat ng mga pangunahing uri ng quadratic equation. Kumpleto at hindi kumpleto.

Paglutas ng mga quadratic equation.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation.

Ang mga quadratic equation ay madaling lutasin. Ayon sa mga formula at malinaw, simpleng mga panuntunan. Sa unang yugto, kinakailangan upang dalhin ang ibinigay na equation sa isang karaniwang form, i.e. tumingin:

Kung ang equation ay naibigay na sa iyo sa form na ito, hindi mo kailangang gawin ang unang yugto.) Ang pangunahing bagay ay upang matukoy nang tama ang lahat ng mga coefficient, a, b at c.

Ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito:

Ang isang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag may diskriminasyon... Ngunit tungkol sa kanya - sa ibaba. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang x, ginagamit namin lamang a, b at c. Yung. coefficients mula sa quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c sa formula na ito at bilangin. Kapalit kasama ang iyong mga palatandaan! Halimbawa, sa equation:

a =1; b = 3; c= -4. Kaya isulat namin:

Ang halimbawa ay praktikal na nalutas:

Ito ang sagot.

Napakasimple ng lahat. At ano, sa palagay mo, ang imposibleng magkamali? Well, oo, paano...

Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga palatandaan ng kahulugan. a, b at c... Sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), Ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito, nakakatipid ang isang detalyadong notasyon ng formula na may mga partikular na numero. Kung may mga problema sa pagkalkula, gawin mo!

Ipagpalagay na kailangan mong lutasin ang halimbawang ito:

Dito a = -6; b = -5; c = -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng 30 segundo upang magsulat ng dagdag na linya. At ang bilang ng mga error mababawasan nang husto... Kaya't sumulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwalang mahirap magpinta nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan mo. Well, o pumili. Alin ang mas mabuti, mabilis, o tama? Tsaka papasayahin kita. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang ipinta ang lahat nang maingat. Gagana ito nang mag-isa. Lalo na kung gagamitin mo ang mga praktikal na pamamaraan na inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawang ito na may maraming mga disbentaha ay madaling malutas at walang mga pagkakamali!

Ngunit, madalas, ang mga parisukat na equation ay bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

Nalaman mo ba?) Oo! ito hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation.

Maaari din silang malutas gamit ang isang pangkalahatang formula. Kailangan mo lang malaman nang tama kung ano ang katumbas nila a, b at c.

Naisip mo na ba ito? Sa unang halimbawa a = 1; b = -4; a c? Wala siya doon! Well, oo, tama iyan. Sa matematika, ito ay nangangahulugan na c = 0 ! Iyon lang. Palitan ang zero sa formula sa halip na c, at magtatagumpay tayo. Ang parehong ay sa pangalawang halimbawa. Wala lang kami dito kasama, a b !

Ngunit ang hindi kumpletong quadratic equation ay mas madaling malutas. Nang walang anumang mga formula. Isaalang-alang ang unang hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin doon sa kaliwang bahagi? Maaari mong ilagay ang x sa mga panaklong! Ilabas na natin.

At ano ang tungkol dito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag maniwala sa akin? Kaya, mag-isip ng dalawang hindi zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
Hindi gumagana? Ayan yun ...
Samakatuwid, maaari tayong magsulat nang may kumpiyansa: x 1 = 0, x 2 = 4.

Lahat. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong magkasya. Kapag pinapalitan ang alinman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha natin ang tamang pagkakakilanlan 0 = 0. Tulad ng makikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa paggamit ng pangkalahatang formula. Sa pamamagitan ng paraan, papansinin ko kung aling X ang magiging una, at alin ang magiging pangalawa - ito ay ganap na walang malasakit. Ito ay maginhawa upang isulat sa pagkakasunud-sunod, x 1- ano ang mas kaunti, at x 2- ano pa.

Ang pangalawang equation ay maaari ding malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi... Nakukuha namin:

Ito ay nananatiling kunin ang ugat mula sa 9, at iyon na. Ito ay lalabas:

Dalawang ugat din . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ito ay kung paano nalulutas ang lahat ng hindi kumpletong quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng x sa mga panaklong, o sa pamamagitan lamang ng paglipat ng numero sa kanan at pagkatapos ay i-extract ang ugat.
Napakahirap lituhin ang mga diskarteng ito. Dahil lamang sa unang kaso kailangan mong kunin ang ugat mula sa x, na sa paanuman ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang dapat alisin sa mga bracket ...

diskriminasyon. Discriminant formula.

Magic word may diskriminasyon ! Isang bihirang estudyante sa high school ang hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "pagpapasya sa pamamagitan ng discriminant" ay nagbibigay-katiyakan at nagbibigay-katiyakan. Dahil hindi na kailangang maghintay para sa maruming mga panlilinlang mula sa discriminant! Ito ay simple at maaasahan sa paghawak.) Pinapaalala ko sa iyo pangkalahatang pormula para sa mga solusyon anuman quadratic equation:

Ang expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag na discriminant. Karaniwan ang discriminant ay tinutukoy ng titik D... Discriminant formula:

D = b 2 - 4ac

At ano ang kapansin-pansin sa ekspresyong ito? Bakit karapat-dapat ito ng isang espesyal na pangalan? Ano ang kahulugan ng discriminant? Kung tutuusin -b, o 2a sa formula na ito ay hindi nila partikular na pinangalanan ... Mga titik at titik.

Narito ang bagay. Kapag nilulutas ang isang quadratic equation gamit ang formula na ito, posible tatlong kaso lang.

1. Positibo ang discriminant. Nangangahulugan ito na maaari mong kunin ang ugat mula dito. Ang mabuting ugat ay nakuha, o masama - isa pang tanong. Mahalaga kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang ugat. Dalawang magkaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay mayroon kang isang solusyon. Dahil ang karagdagan-pagbabawas ng zero sa numerator ay hindi nagbabago ng anuman. Sa mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkapareho... Ngunit, sa isang pinasimple na bersyon, kaugalian na pag-usapan isang solusyon.

3. Ang discriminant ay negatibo. Mula sa negatibong numero hindi na-extract ang square root. Well, okay. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sa totoo lang, sa isang simpleng solusyon ng mga quadratic equation, ang konsepto ng discriminant ay hindi partikular na kinakailangan. Pinapalitan namin ang mga halaga ng mga coefficient sa formula, ngunit binibilang namin. Ang lahat ay lumalabas sa kanyang sarili, at mayroong dalawang ugat, at isa, at hindi isa. Gayunpaman, kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga gawain, nang walang kaalaman kahulugan at diskriminasyong mga pormula hindi sapat. Lalo na - sa mga equation na may mga parameter. Ang mga naturang equation ay aerobatics sa State Exam at sa Unified State Exam!)

Kaya, kung paano lutasin ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant na iyong naalala. O may natutunan, na maganda rin.) Alam mo kung paano matukoy nang tama a, b at c... Alam mo kung paano matulungin palitan ang mga ito sa root formula at matulungin basahin ang resulta. Nakuha mo ang ideya na ang pangunahing salita dito ay matulungin?

Sa ngayon, tandaan ang pinakamahuhusay na kagawian na lubhang magbabawas ng mga error. Ang mismong mga dahil sa kawalan ng pansin.... Kung saan masakit at nakakainsulto ...

Unang pagtanggap ... Huwag maging tamad na dalhin ito sa karaniwang anyo bago lutasin ang quadratic equation. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating, pagkatapos ng ilang pagbabago, nakuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadaling isulat ang root formula! Halos tiyak na paghaluin mo ang mga posibilidad. a, b at c. Buuin nang tama ang halimbawa. Una, ang X ay parisukat, pagkatapos ay walang parisukat, pagkatapos ay ang libreng termino. Ganito:

At muli, huwag magmadali! Ang minus sa harap ng x sa parisukat ay maaaring talagang malungkot. Madaling kalimutan ito ... Tanggalin ang minus. paano? Oo, gaya ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan mong i-multiply ang buong equation sa -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang discriminant at kumpletuhin ang halimbawa. Gawin mo mag-isa. Dapat ay mayroon kang mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ang reception. Suriin ang mga ugat! Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta. Huwag kang mag-alala, ipapaliwanag ko ang lahat! Sinusuri huling bagay ang equation. Yung. ang isa kung saan isinulat namin ang formula para sa mga ugat. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang coefficient a = 1, ang pagsuri sa mga ugat ay madali. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Dapat kang makakuha ng libreng miyembro, i.e. sa aming kaso, -2. Bigyang-pansin, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro kasama ang aking tanda ... Kung hindi ito gumana, kung gayon nasira na ito sa isang lugar. Hanapin ang error.

Kung ito ay gumagana, kailangan mong tiklop ang mga ugat. Ang huli at huling tseke. Dapat kang makakuha ng isang koepisyent b kasama kabaligtaran pamilyar. Sa aming kaso, -1 + 2 = +1. At ang koepisyent b na bago ang x ay -1. Kaya, lahat ay tama!
Nakakalungkot na ito ay napakasimple lamang para sa mga halimbawa kung saan ang x squared ay purong, na may isang koepisyent. a = 1. Ngunit hindi bababa sa gayong mga equation, suriin! Magkakaroon ng mas kaunting mga pagkakamali.

Pangatlo ang reception ... Kung mayroon kang fractional coefficients sa iyong equation, alisin ang mga fraction! I-multiply ang equation sa common denominator gaya ng inilarawan sa How to Solve Equation? Identical Transformations lesson. Kapag nagtatrabaho sa mga fraction, sa ilang kadahilanan, ang mga error ay may posibilidad na mag-pop sa ...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na pasimplehin ang masamang halimbawa na may isang grupo ng mga kahinaan. Pakiusap! Heto na.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa -1. Nakukuha namin:

Iyon lang! Ito ay isang kasiyahan upang magpasya!

Kaya, upang ibuod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang anyo, itayo ito tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, inaalis namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa -1.

3. Kung fractional ang mga coefficient, inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation sa naaangkop na salik.

4. Kung ang x squared ay dalisay, ang koepisyent dito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling mapatunayan ng Vieta's theorem. Gawin mo!

Ngayon ay maaari kang magpasya.)

Lutasin ang mga equation:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Mga sagot (magulo):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0.5

x - anumang numero

x 1 = -3
x 2 = 3

walang solusyon

x 1 = 0.25
x 2 = 0.5

Nagkakasya ba ang lahat? ayos! Ang mga quadratic equation ay hindi sa iyo sakit ng ulo... Ang unang tatlo ay nagtrabaho, ngunit ang iba ay hindi? Kung gayon ang problema ay hindi sa mga quadratic equation. Ang problema ay nasa magkaparehong pagbabago ng mga equation. Maglakad sa link, ito ay kapaki-pakinabang.

Hindi masyadong nagwo-work out? O hindi ito gumagana sa lahat? Pagkatapos ay tutulungan ka ng Seksyon 555. Doon ang lahat ng mga halimbawang ito ay pinagbukod-bukod. Ipinakita pangunahing mga pagkakamali sa solusyon. Siyempre, sinasabi rin nito ang tungkol sa paggamit ng magkatulad na pagbabago sa solusyon ng iba't ibang mga equation. Malaking tulong!

Kung gusto mo ang site na ito ...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Instant na pagsubok sa pagpapatunay. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ang mga quadratic equation ay pinag-aaralan sa grade 8, kaya walang mahirap dito. Ang kakayahang malutas ang mga ito ay ganap na mahalaga.

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyong ax 2 + bx + c = 0, kung saan ang mga coefficient a, b at c ay mga arbitrary na numero, at a ≠ 0.

Bago pag-aralan ang mga tiyak na pamamaraan para sa paglutas, tandaan namin na ang lahat ng mga quadratic equation ay maaaring kondisyon na nahahati sa tatlong klase:

1. Walang mga ugat;
2. Magkaroon ng eksaktong isang ugat;
3. Mayroon silang dalawang magkaibang ugat.

Ito ay isang mahalagang pagkakaiba sa pagitan ng mga quadratic at linear na equation, kung saan ang ugat ay palaging umiiral at natatangi. Paano mo matutukoy kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang equation? Mayroong isang kahanga-hangang bagay para dito - may diskriminasyon.

diskriminasyon

Hayaang magbigay ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0. Kung gayon ang discriminant ay ang numerong D = b 2 - 4ac.

Kailangan mong malaman ang formula na ito sa puso. Saan ito nanggaling - hindi na mahalaga ngayon. Ang isa pang bagay ay mahalaga: sa pamamagitan ng pag-sign ng discriminant, matutukoy mo kung gaano karaming mga ugat mayroon ang isang quadratic equation. Namely:

1. Kung si D< 0, корней нет;
2. Kung D = 0, mayroong eksaktong isang ugat;
3. Kung D> 0, magkakaroon ng dalawang ugat.

Mangyaring tandaan: ang discriminant ay nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat, at hindi sa lahat ng kanilang mga palatandaan, dahil sa ilang kadahilanan ay marami ang naniniwala. Tingnan ang mga halimbawa - at mauunawaan mo mismo ang lahat:

Gawain. Gaano karaming mga ugat mayroon ang mga quadratic equation:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Isulat natin ang mga coefficient para sa unang equation at hanapin ang discriminant:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Kaya ang discriminant ay positibo, kaya ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Sinusuri namin ang pangalawang equation sa katulad na paraan:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Ang discriminant ay negatibo, walang mga ugat. Ang huling equation ay nananatili:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Ang discriminant ay zero - magkakaroon ng isang ugat.

Tandaan na ang mga coefficient ay naisulat para sa bawat equation. Oo, ito ay mahaba, oo, ito ay mayamot - ngunit hindi mo paghaluin ang mga coefficient at hindi gagawa ng mga hangal na pagkakamali. Pumili para sa iyong sarili: bilis o kalidad.

Sa pamamagitan ng paraan, kung "punan mo ang iyong kamay", pagkatapos ng ilang sandali ay hindi mo na kailangang isulat ang lahat ng mga coefficient. Gagawin mo ang gayong mga operasyon sa iyong ulo. Karamihan sa mga tao ay nagsisimulang gawin ito sa isang lugar pagkatapos malutas ang 50-70 equation - sa pangkalahatan, hindi gaanong.

Quadratic Roots

Ngayon ay lumipat tayo sa solusyon. Kung ang discriminant D> 0, ang mga ugat ay makikita ng mga formula:

Pangunahing formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Kapag D = 0, maaari mong gamitin ang alinman sa mga formula na ito - makukuha mo ang parehong numero, na siyang magiging sagot. Sa wakas, kung si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Unang equation:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat. Hanapin natin sila:

Pangalawang equation:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ ang equation ay may dalawang ugat muli. Hanapin sila

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ kaliwa (-1 \ kanan)) = 3. \\ \ dulo (align) \]

Panghuli, ang ikatlong equation:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ ang equation ay may isang ugat. Maaaring gamitin ang anumang formula. Halimbawa, ang una:

Tulad ng nakikita mo mula sa mga halimbawa, ang lahat ay napaka-simple. Kung alam mo ang mga formula at marunong kang magbilang, walang magiging problema. Kadalasan, ang mga error ay nangyayari kapag pinapalitan ang mga negatibong coefficient sa formula. Dito, muli, ang pamamaraan na inilarawan sa itaas ay makakatulong: tingnan ang formula nang literal, ilarawan ang bawat hakbang - at sa lalong madaling panahon ay mapupuksa mo ang mga pagkakamali.

Hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay nangyayari na ang quadratic equation ay medyo naiiba sa kung ano ang ibinigay sa kahulugan. Halimbawa:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Madaling makita na ang isa sa mga termino ay nawawala sa mga equation na ito. Ang ganitong mga quadratic equation ay mas madaling lutasin kaysa sa karaniwang mga equation: hindi na nila kailangan pang kalkulahin ang discriminant. Kaya, ipakilala natin ang isang bagong konsepto:

Ang equation na ax 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na incomplete quadratic equation kung b = 0 o c = 0, i.e. Ang koepisyent sa variable x o libreng elemento ay katumbas ng zero.

Siyempre, ang isang napakahirap na kaso ay posible kapag ang parehong mga coefficient na ito ay katumbas ng zero: b = c = 0. Sa kasong ito, ang equation ay nasa anyo na ax 2 = 0. Malinaw, ang naturang equation ay may isang solong ugat: x = 0.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga kaso. Hayaan ang b = 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0. Baguhin natin ito ng kaunti:

Dahil ang arithmetic square root ay umiiral lamang mula sa isang di-negatibong numero, ang huling pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang para sa (−c / a) ≥ 0. Konklusyon:

1. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay (−c / a) ≥ 0 ay nasa isang hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax 2 + c = 0, magkakaroon ng dalawang ugat. Ang formula ay ibinigay sa itaas;
2. Kung (−c / a)< 0, корней нет.

Tulad ng nakikita mo, hindi kinakailangan ang discriminant - sa mga hindi kumpletong quadratic equation ay walang mga kumplikadong kalkulasyon. Sa katunayan, hindi na kailangang tandaan ang hindi pagkakapantay-pantay (−c / a) ≥ 0. Ito ay sapat na upang ipahayag ang halaga x 2 at makita kung ano ang nakatayo sa kabilang panig ng pantay na tanda. Kung mayroong positibong numero, magkakaroon ng dalawang ugat. Kung negatibo, walang magiging ugat.

Ngayon ay haharapin natin ang mga equation ng form na ax 2 + bx = 0, kung saan ang libreng elemento ay katumbas ng zero. Ang lahat ay simple dito: palaging may dalawang ugat. Ito ay sapat na upang i-factor ang polynomial:

Ang bracketing ay isang karaniwang kadahilanan

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Mula rito ang mga ugat. Sa konklusyon, susuriin natin ang ilang mga equation:

Gawain. Lutasin ang mga quadratic equation:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Walang mga ugat, tk. ang isang parisukat ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

Halimbawa, para sa trinomial \ (3x ^ 2 + 2x-7 \), ang discriminant ay magiging \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). At para sa trinomial \ (x ^ 2-5x + 11 \), ito ay magiging \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Ang discriminant ay tinutukoy ng letrang \ (D \) at kadalasang ginagamit sa paglutas. Gayundin, sa pamamagitan ng halaga ng discriminant, mauunawaan mo kung paano humigit-kumulang ang hitsura ng graph (tingnan sa ibaba).

Discriminant at ugat ng equation

Ipinapakita ng discriminant value ang halaga ng quadratic equation:
- kung ang \ (D \) ay positibo - ang equation ay magkakaroon ng dalawang ugat;
- kung ang \ (D \) ay katumbas ng zero - isang ugat lamang;
- kung ang \ (D \) ay negatibo, walang mga ugat.

Hindi ito kailangang matutunan, madaling makarating sa konklusyon na ito, alam lamang kung ano mula sa discriminant (iyon ay, \ (\ sqrt (D) \) ang pumapasok sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat ng equation: \ (x_) (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) at \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) ( 2a) \) Tingnan natin ang bawat kaso ...

Kung positibo ang discriminant

Sa kasong ito, ang ugat nito ay ilang positibong numero, na nangangahulugang ang \ (x_ (1) \) at \ (x_ (2) \) ay magkakaiba sa kahulugan, dahil sa unang formula \ (\ sqrt (D) \) ay idinagdag , at sa pangalawa, ito ay ibinabawas. At mayroon tayong dalawang magkaibang pinagmulan.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Solusyon :

Sagot : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Kung zero ang discriminant

At gaano karaming mga ugat ang magkakaroon kung ang discriminant ay zero? Mangatwiran tayo.

Ang mga root formula ay ganito: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) at \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). At kung zero ang discriminant, zero din ang ugat nito. Pagkatapos ito ay lumabas:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Iyon ay, ang mga halaga ng mga ugat ng equation ay magiging pareho, dahil ang pagdaragdag o pagbabawas ng zero ay hindi nagbabago ng anuman.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Solusyon :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Isinulat namin ang mga coefficient:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Kalkulahin ang discriminant sa pamamagitan ng formula \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Hanapin ang mga ugat ng equation
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		Mayroon kaming dalawang magkatulad na ugat, kaya walang saysay na isulat ang mga ito nang hiwalay - isinulat namin ang mga ito bilang isa.

Sagot : \ (x = 2 \)

Ang discriminant, tulad ng mga quadratic equation, ay nagsisimulang pag-aralan sa kurso ng algebra sa ika-8 baitang. Maaari mong lutasin ang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant at gamit ang Vieta's theorem. Ang paraan ng pag-aaral ng mga quadratic equation, tulad ng mga discriminant formula, ay sa halip ay hindi matagumpay na naitanim sa mga mag-aaral, tulad ng marami sa totoong edukasyon. Samakatuwid pumasa mga taon ng paaralan, pinapalitan ng edukasyon sa grade 9-11 ang " mataas na edukasyon"at ang lahat ay nakatingin muli- "Paano lutasin ang isang quadratic equation?", "Paano hanapin ang mga ugat ng isang equation?", "Paano hanapin ang discriminant?" at...

Discriminant formula

Ang discriminant D ng quadratic equation a * x ^ 2 + bx + c = 0 ay D = b ^ 2–4 * a * c.
Ang mga ugat (mga solusyon) ng quadratic equation ay nakasalalay sa tanda ng discriminant (D):
D> 0 - ang equation ay may 2 magkaibang tunay na ugat;
D = 0 - ang equation ay may 1 ugat (2 coinciding roots):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Ang formula para sa pagkalkula ng discriminant ay medyo simple, kaya maraming mga site ang nag-aalok ng online na discriminant calculator. Hindi pa namin naiisip ang ganitong uri ng mga script, kaya sino ang nakakaalam kung paano ipatupad ito, mangyaring sumulat sa koreo Ang email address na ito ay pinoprotektahan mula sa mga spambots. Kailangan mong paganahin ang JavaScript upang matingnan ito. .

Pangkalahatang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation:

Nahanap namin ang mga ugat ng equation sa pamamagitan ng formula
Kung ang koepisyent ng variable squared ay ipinares, pagkatapos ay ipinapayong kalkulahin hindi ang discriminant, ngunit ang ikaapat na bahagi nito
Sa ganitong mga kaso, ang mga ugat ng equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Ang pangalawang paraan upang mahanap ang mga ugat ay ang Vieta's Theorem.

Ang isang teorama ay binuo hindi lamang para sa mga parisukat na equation, kundi pati na rin para sa mga polynomial. Mababasa mo ito sa Wikipedia o iba pang elektronikong mapagkukunan. Gayunpaman, para sa pagiging simple, isasaalang-alang namin ang bahagi nito na may kinalaman sa pinababang mga quadratic equation, iyon ay, mga equation ng form (a = 1)
Ang kakanyahan ng mga pormula ni Vieta ay ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng koepisyent ng variable, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda. Ang produkto ng mga ugat ng equation ay katumbas ng libreng termino. Ang teorama ni Vieta ay nakasulat sa mga pormula.
Ang derivation ng formula ng Vieta ay medyo simple. Isulat natin ang quadratic equation sa mga tuntunin ng prime factor
Tulad ng nakikita mo, ang lahat ng mapanlikha ay simple sa parehong oras. Mabisang gamitin ang formula ng Vieta kapag ang pagkakaiba sa mga ugat o pagkakaiba sa mga ganap na halaga ng mga ugat ay 1, 2. Halimbawa, ang mga sumusunod na equation ng theorem ng Vieta ay may mga ugat




Hanggang sa 4 na equation, ang pagsusuri ay dapat magmukhang ganito. Ang produkto ng mga ugat ng equation ay 6, samakatuwid ang mga ugat ay maaaring ang mga halaga (1, 6) at (2, 3) o mga pares na may kabaligtaran na tanda. Ang kabuuan ng mga ugat ay 7 (coefficient ng isang variable na may kabaligtaran na tanda). Kaya't napagpasyahan namin na ang mga solusyon ng quadratic equation ay katumbas ng x = 2; x = 3.
Mas madaling piliin ang mga ugat ng equation sa mga divisors ng libreng termino, iwasto ang kanilang pag-sign upang matupad ang mga formula ng Vieta. Sa simula ay tila mahirap gawin, ngunit sa pagsasanay sa isang bilang ng mga quadratic equation, ang ganitong pamamaraan ay magiging mas epektibo kaysa sa pagkalkula ng discriminant at paghahanap ng mga ugat ng quadratic equation sa klasikal na paraan.
Tulad ng nakikita mo, ang teorya ng paaralan ng pag-aaral ng discriminant at mga paraan ng paghahanap ng mga solusyon sa equation ay walang praktikal na kahulugan - "Bakit kailangan ng mga mag-aaral ang isang quadratic equation?", "Ano ang pisikal na kahulugan ng discriminant?"

Subukan nating malaman ito ano ang inilalarawan ng discriminant?

Ang kursong algebra ay nagtuturo ng mga function, function study chart, at function graphing. Sa lahat ng mga pag-andar, ang isang mahalagang lugar ay inookupahan ng isang parabola, ang equation na maaaring isulat sa anyo
Kaya ang pisikal na kahulugan ng quadratic equation ay ang mga zero ng parabola, iyon ay, ang mga punto ng intersection ng graph ng function na may abscissa axis Ox
Hinihiling ko sa iyo na tandaan ang mga katangian ng mga parabola na inilarawan sa ibaba. Darating ang oras upang makapasa sa mga pagsusulit, pagsusulit, o mga pagsusulit sa pasukan at ikaw ay magpapasalamat para sa sangguniang materyal. Ang tanda sa variable sa parisukat ay tumutugma sa kung ang mga sanga ng parabola sa graph ay tataas (a> 0),

o isang parabola na may mga sanga pababa (a<0) .

Ang vertex ng parabola ay nasa gitna sa pagitan ng mga ugat

Ang pisikal na kahulugan ng discriminant:

Kung ang discriminant ay mas malaki sa zero (D> 0), ang parabola ay may dalawang punto ng intersection sa Ox axis.
Kung ang discriminant ay katumbas ng zero (D = 0) kung gayon ang parabola sa vertex ay dumadampi sa abscissa axis.
At ang huling kaso, kapag ang discriminant ay mas mababa sa zero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Hindi kumpletong quadratic equation