mga function. Napakahalaga ng pagbabagong ito, dahil magagamit ito sa paglutas ng maraming praktikal na problema. Ang serye ng Fourier ay ginagamit hindi lamang ng mga mathematician, kundi pati na rin ng mga espesyalista sa iba pang mga agham.

Ang pagpapalawak ng mga function sa isang seryeng Fourier ay isang mathematical technique na maaaring maobserbahan sa kalikasan kung gagamit ka ng instrumento na nakakaramdam ng sinusoidal function.

Ang prosesong ito ay nangyayari kapag ang isang tao ay nakarinig ng isang tunog. Ang tainga ng tao ay idinisenyo sa paraang madarama nito ang mga indibidwal na sinusoidal fluctuations sa air pressure ng iba't ibang frequency, na kung saan, ay nagpapahintulot sa isang tao na makilala ang pagsasalita at makinig sa musika.

Ang tainga ng tao ay hindi nakikita ang tunog sa kabuuan, ngunit sa pamamagitan ng mga bahagi ng seryeng Fourier nito. Ang mga string ng isang instrumentong pangmusika ay gumagawa ng mga tunog na sinusoidal vibrations. iba't ibang frequency. Ang katotohanan ng pagkabulok ng liwanag sa isang seryeng Fourier ay kinakatawan ng isang bahaghari. Nakikita ng paningin ng tao ang liwanag sa pamamagitan ng ilan sa mga bahagi nito ng iba't ibang frequency ng mga electromagnetic oscillations.

Ang Fourier transform ay isang function na naglalarawan sa phase at amplitude ng sinusoids ng isang tiyak na frequency. Ang pagbabagong ito ay ginagamit upang malutas ang mga equation na naglalarawan ng mga dinamikong proseso na nagaganap sa ilalim ng pagkilos ng enerhiya. Ang serye ng Fourier ay malulutas ang problema ng pagkuha ng mga pare-parehong bahagi sa kumplikadong mga oscillatory signal, na naging posible upang wastong bigyang-kahulugan ang data na nakuha mula sa mga eksperimento, mga obserbasyon sa medisina, kimika at astronomiya.

Ang pagtuklas ng pagbabagong ito ay pag-aari ng Pranses na matematiko na si Jean Baptiste Joseph Fourier. Bilang karangalan kung kanino ito pinangalanang malapit sa Fourier. Sa una, natagpuan ng siyentipiko ang aplikasyon ng kanyang pamamaraan sa pag-aaral at pagpapaliwanag ng mga mekanismo ng pagpapadaloy ng init. Ipinapalagay na ang paunang hindi regular na pamamahagi ng init ay maaaring kinakatawan sa anyo ng pinakasimpleng sinusoid. Para sa bawat isa kung saan matutukoy ang minimum, maximum at phase ng temperatura. Ang function na naglalarawan sa upper at lower peak ng curve, ang phase ng bawat harmonic ay tinatawag na Fourier transform ng expression ng pamamahagi ng temperatura. Ang may-akda ng pagbabago ay iminungkahi ng isang paraan para sa pagpapalawak ng isang kumplikadong pag-andar bilang isang kabuuan ng mga pana-panahong pag-andar ng cosine, sine.

pakay term paper ay ang pag-aaral ng seryeng Fourier at ang kaugnayan ng praktikal na aplikasyon ng pagbabagong ito.

Upang makamit ang layuning ito, ang mga sumusunod na gawain ay binuo:

1) ibigay ang konsepto ng isang trigonometric Fourier series;

2) tukuyin ang mga kondisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Fourier;

3) isaalang-alang ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ng pantay at kakaibang mga function;

4) isaalang-alang ang pagpapalawak sa isang serye ng Fourier ng isang hindi pana-panahong pag-andar;

5) ihayag ang praktikal na aplikasyon ng seryeng Fourier.

Layunin ng pag-aaral: pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng Fourier.

Paksa ng pag-aaral: Fourier series.

Mga pamamaraan ng pananaliksik: pagsusuri, synthesis, paghahambing, pamamaraan ng axiomatic.

1.5. Fourier series para sa even at odd na function

Isaalang-alang ang simetriko integral

kung saan ay tuloy-tuloy o piecewise tuloy-tuloy sa. Gumagawa kami ng pagbabago sa unang integral. Naniniwala kami. Pagkatapos

Samakatuwid, kung ang isang even function, kung gayon (i.e., ang graph ng isang even function ay simetriko tungkol sa axis at

Kung ay isang kakaibang function, kung gayon (ibig sabihin, ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan) at

Yung. ang simetriko integral ng kahit na function ay katumbas ng dalawang beses ang integral sa kalahati ng pagitan ng integration, at ang simetriko integral ng isang kakaibang function ay zero.

Pansinin ang sumusunod na dalawang katangian ng even at odd na function:

1) ang produkto ng isang even function ng isang kakaiba ay isang kakaibang function;

2) ang produkto ng dalawang even (odd) function ay isang even function.

Hayaan ang isang pantay na function na ibinigay sa at pagpapalawak sa segment na ito sa isang trigonometric Fourier series. Gamit ang mga resulta na nakuha sa itaas, nakuha namin na ang mga coefficient ng seryeng ito ay magiging ganito:

Kung ang isang kakaibang function na ibinigay sa isang segment at pagpapalawak sa segment na ito sa isang trigonometric Fourier series, ang mga coefficient ng seryeng ito ay magiging ganito:

Samakatuwid, ang trigonometric Fourier series sa segment ay magkakaroon ng form

para sa pantay na function:

(16)

para sa isang kakaibang function:

Ang serye (16) ay hindi naglalaman ng mga sine ng maraming anggulo, iyon ay, ang Fourier series ng isang even function ay kinabibilangan lamang ng even functions at isang free term. Ang serye (17) ay hindi naglalaman ng mga cosine ng maraming anggulo, iyon ay, ang Fourier series ng isang kakaibang function ay kinabibilangan lamang ng mga kakaibang function.

Kahulugan. mga ranggo
ay mga bahagi ng kumpletong serye ng Fourier at tinatawag na hindi kumpletotrigonometric Fourier series.

Kung ang isang function ay pinalawak sa isang hindi kumpletong serye ng trigonometriko (16) (o (17)), kung gayon sinasabing itolumalawak sa isang trigonometric Fourier series sa mga cosine (o sines).

1.6. Fourier na pagpapalawak ng isang non-periodic function

1.6.1. Fourier serye pagpapalawak ng mga function sa

Hayaang maibigay ang isang function sa isang pagitan at matugunan ang mga kondisyon ng Dirichlet's theorem sa pagitan na ito. Baguhin natin ang variable. Hayaan kung saan namin pipiliin upang ang resultang argument function ay tinukoy sa. Samakatuwid, isinasaalang-alang namin iyon

Ang resultang function ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier:

saan

Gumawa tayo ng reverse substitution⇒ Kunin

saan

(19)

Serye (18) - Fourier series sa pangunahing trigonometric system ng mga function

Kaya, nakuha namin na kung ang isang function ay ibinigay sa isang segment at natutugunan ang mga kondisyon ng Dirichlet theorem sa segment na ito, pagkatapos ay maaari itong palawakin sa isang trigonometric Fourier series (18) ayon sa trigonometric system of functions (20) .

Ang trigonometric Fourier series para sa pantay na function na ibinigay sa ay magkakaroon ng form

saan

para sa isang kakaibang function

saan

Magkomento! Sa ilang mga problema, kinakailangan na palawakin ang isang function sa isang trigonometric Fourier series sa mga tuntunin ng sistema ng mga function (20) hindi sa isang segment, ngunit sa isang segment. Sa kasong ito, kailangan mo lamang baguhin ang mga limitasyon ng pagsasama sa mga formula (19) ((15), kung, iyon ay, sa kasong ito

(23)

o kaya

(24)

Ang kabuuan ng isang trigonometric Fourier series ay isang periodic function na may period, na isang periodic na pagpapatuloy ng isang naibigay na function. At para sa isang periodic function, ang pagkakapantay-pantay (4) ay wasto.

1.6.2. Fourier serye pagpapalawak ng mga function sa

Hayaang maibigay ang isang function at matugunan ang mga kondisyon ng Dirichlet's theorem sa pagitan na ito. Ang ganitong function ay maaari ding palawakin sa isang seryeng Fourier. Upang gawin ito, ang function ay dapat na pahabain sa pagitan at ang resultang function ay pinalawak sa isang seryeng Fourier sa segment. Sa kasong ito, ang resultang serye ay dapat isaalang-alang lamang sa segment kung saan ibinigay ang function. Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, pinalawak namin ang kahulugan ng function sa isang pantay at kakaibang paraan.

1) Ipinagpapatuloy namin ang function sa pagitan sa pantay na paraan, iyon ay, bumuo kami ng bagong even function na tumutugma sa function sa segment. Samakatuwid, ang graph ng function na ito ay simetriko tungkol sa axis at tumutugma sa graph sa segment. Gamit ang mga formula (21), hahanapin natin ang mga coefficient ng seryeng Fourier para sa function at isulat ang seryeng Fourier mismo. Ang kabuuan ng seryeng Fourier para sa ay isang periodic function, na may isang period. Ito ay magkakasabay sa paggana sa lahat ng punto ng pagpapatuloy.

2) Pinapalawak namin ang function sa pagitan sa isang kakaibang paraan, iyon ay, bumuo kami ng isang bagong kakaibang function na tumutugma sa function. Ang graph ng naturang function ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan ng mga coordinate at tumutugma sa graph sa segment. Gamit ang mga formula (22), hahanapin natin ang mga coefficient ng seryeng Fourier para sa function at isulat ang seryeng Fourier mismo. Ang kabuuan ng seryeng Fourier para sa ay isang periodic function na may period. Ito ay magkakasabay sa paggana sa lahat ng punto ng pagpapatuloy.

Remarks!

1) Katulad nito, maaari nating palawakin sa isang serye ng Fourier ang isang function na tinukoy sa segment

2) Dahil ang pagpapalawak ng isang function sa isang segment ay nagpapahiwatig ng extension nito sa segment sa isang arbitrary na paraan, kung gayon ang Fourier series para sa function ay hindi magiging kakaiba.

1.6.3. Fourier serye pagpapalawak ng mga function sa

Hayaang ibigay ang function sa isang arbitrary na bahagi ng haba at matugunan ang mga kondisyon ng Dirichlet's theorem dito.

Pagkatapos ang function na ito ay maaaring mapalawak sa isang serye ng Fourier. Upang gawin ito, ang function ay dapat na pana-panahon (na may tuldok) na pinalawak sa buong linya ng numero at ang resultang function ay pinalawak sa isang seryeng Fourier, na dapat isaalang-alang lamang sa isang segment. Dahil sa ari-arian (3) ng mga pana-panahong pag-andar, mayroon tayo

Samakatuwid, ang Fourier coefficients para sa nakuhang pagpapatuloy ng function ay matatagpuan ng mga formula

(25)

2. Praktikal na aplikasyon ng serye ng Fourier

2.1. Mga problema para sa pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng Fourier at ang kanilang solusyon

Sa isang trigonometric Fourier series, kinakailangan na palawakin ang isang function na isang pana-panahong pagpapatuloy ng isang function na ibinigay sa isang segment. Para dito, kinakailangan na gumamit ng isang algorithm para sa pagpapalawak ng isang periodic function sa isang serye ng Fourier.

Algorithm para sa pagpapalawak ng periodic function sa isang Fourier series:

1) Bumuo ng isang graph ng isang ibinigay na function at ang pana-panahong pagpapatuloy nito;

2) Itakda ang panahon ng ibinigay na function;

3) Tukuyin ang isang function ng kahit, kakaiba o pangkalahatang anyo;

4) Suriin ang pagiging posible ng mga kondisyon ng Dirichlet theorem;

5) Gumawa ng isang pormal na talaan ng seryeng Fourier na nabuo ng function na ito;

6) Kalkulahin ang Fourier coefficients;

7) Isulat ang Fourier series para sa ibinigay na function gamit ang coefficients ng Fourier series (item 4).

Halimbawa 1 Palawakin ang function sa isang Fourier series sa pagitan.

Solusyon:

1) Bumuo tayo ng isang graph ng isang ibinigay na function at ang pana-panahong pagpapatuloy nito.

2) Ang panahon ng pagpapalawak ng function.

3) Ang pag-andar ay kakaiba.

4) Ang function ay tuloy-tuloy at monotoniko, i.e. natutugunan ng function ang mga kondisyon ng Dirichlet.

5) Kalkulahin ang mga coefficient ng seryeng Fourier.

6) Sinusulat namin ang seryeng Fourier sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga Fourier coefficient sa formula

Sagot:

Halimbawa 2 Pinapalawak namin ang isang function na may arbitrary na panahon sa isang serye ng Fourier.

Solusyon: ang function ay tinukoy sa kalahating pagitan (-3; 3]. Ang panahon ng pagpapalawak ng function, kalahating panahon. Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier

Sa pinanggalingan, ang function ay hindi nagpapatuloy, kaya ang bawat Fourier coefficient ay kakatawanin bilang kabuuan ng dalawang integral.

Isinulat namin ang seryeng Fourier sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga natagpuang coefficient ng seryeng Fourier sa formula.

Halimbawa 3 Palawakin ang functionsa gitnasa isang seryeng Fourier sa mga cosine. I-plot ang kabuuan ng serye.

Solusyon: ipinagpatuloy namin ang function sa interval sa pantay na paraan, iyon ay, gumagawa kami ng bagong even function na tumutugma sa function sa segment. Hanapin ang mga coefficient ng Fourier series para sa function at isulat ang Fourier series. Ang kabuuan ng seryeng Fourier para sa ay isang periodic function, na may isang period. Ito ay magkakasabay sa paggana sa lahat ng punto ng pagpapatuloy.

Ang trigonometric Fourier series para sa function ay magiging hitsura

Hanapin ang mga coefficient ng seryeng Fourier

Kaya, kapag natagpuan ang mga koepisyent, maaaring isulat ng isa ang seryeng Fourier

I-plot natin ang kabuuan ng serye

Halimbawa 4 Ibinigay ang isang function na tinukoy sa segment . Alamin kung ang function ay maaaring palawakin sa isang seryeng Fourier. Isulat ang pagpapalawak ng function sa isang Fourier series.

Solusyon:

1) mag-plot ng function graph sa .

2) ang function ay tuloy-tuloy at monotoniko sa , iyon ay, ayon sa Dirichlet theorem, ito ay lumalawak sa isang trigonometric Fourier series.

3) kalkulahin ang Fourier coefficients gamit ang mga formula (1.19).

4) isulat ang seryeng Fourier gamit ang mga nakitang coefficient.

2.2. Mga halimbawa ng aplikasyon ng serye ng Fourier sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao

Ang matematika ay isa sa mga agham na mayroon malawak na aplikasyon sa pagsasanay. Ang anumang proseso ng produksyon at teknolohikal ay batay sa mga batas sa matematika. Ang paggamit ng iba't ibang mga tool ng mathematical apparatus ay nagpapahintulot sa iyo na magdisenyo ng mga device at mga automated na unit na may kakayahang magsagawa ng mga operasyon kumplikadong mga kalkulasyon at mga kalkulasyon sa disenyo ng mga gusali, istruktura.

Fourier series ay ginagamit ng mga mathematician sa geometry para sapaglutas ng mga problema sa spherical geometry; sa mmatematikal na pisika sapaglutas ng mga problema ng maliliit na oscillations ng elastic media. Ngunit bukod sa matematika, natagpuan ng serye ng Fourier ang kanilang aplikasyon sa ibang mga lugar ng agham.

Gumagamit ang mga tao ng iba't ibang device araw-araw. At kadalasan ang mga device na ito ay hindi gumagana ng maayos. Halimbawa, ang tunog ay mahirap makilala dahil sa malaking ingay, o ang naka-fax na imahe ay hindi malinaw. Maaaring matukoy ng isang tao ang sanhi ng malfunction sa pamamagitan ng tunog. Ang computer ay maaari ding mag-diagnose ng pinsala sa device. Maaaring alisin ang sobrang ingay gamit ang computer signal processing. Ang signal ay kinakatawan bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga digital na halaga, na pagkatapos ay ipinasok sa isang computer. Pagkatapos magsagawa ng ilang mga kalkulasyon, ang mga coefficient ng serye ng Fourier ay nakuha.

Ang pagpapalit ng spectrum ng signal ay nagpapahintulot sa iyo na i-clear ang pag-record ng ingay, mabayaran ang pagbaluktot ng signal ng iba't ibang mga sound recording device, baguhin ang mga timbre ng mga instrumento, at ituon ang atensyon ng mga nakikinig sa mga indibidwal na bahagi.

Sa digital image processing, ang paggamit ng Fourier series ay nagbibigay-daan para sa mga sumusunod na effect: blurring, edge enhancement, image restoration, artistic effects (embossing)

Ang pagpapalawak ng serye ng Fourier ay ginagamit sa arkitektura sa pag-aaral ng mga proseso ng oscillatory. Halimbawa, kapag gumagawa ng isang proyekto iba't ibang uri kinakalkula ng mga istruktura ang lakas, higpit at katatagan ng mga elemento ng istruktura.

Sa gamot para sa medikal na pagsusuri sa tulong ng mga cardiograms, ginagamit ng mga ultrasound machine ang mathematical apparatus, na batay sa teorya ng serye ng Fourier.

Ang mga problema sa volumetric computational ng pagtantya ng mga istatistikal na katangian ng mga signal at pag-filter ng ingay ay lumitaw sa panahon ng pagpaparehistro at pagproseso ng tuluy-tuloy na data sa ilalim ng dagat. Kapag gumagawa ng mga sukat at nirerehistro ang mga ito, ang mga holographic na pamamaraan gamit ang Fourier series ay nangangako. Iyon ay, ang serye ng Fourier ay ginagamit din sa isang agham gaya ng oceanology.

Ang mga elemento ng matematika ay matatagpuan sa produksyon sa halos bawat hakbang, kaya mahalaga para sa mga espesyalista na malaman at mahusay na mag-navigate sa larangan ng aplikasyon ng ilang mga tool sa pagsusuri at pagkalkula..

Konklusyon

Ang tema ng kursong gawain ay nakatuon sa pag-aaral ng seryeng Fourier. Ang isang arbitrary na function ay maaaring mabulok sa mas simple, iyon ay, maaari itong mabulok sa isang seryeng Fourier. Ang dami ng gawaing kurso ay hindi nagpapahintulot na ibunyag nang detalyado ang lahat ng aspeto ng pagpapalawak ng function sa isang serye. Gayunpaman, mula sa mga gawaing itinakda, posible na ipakita ang pangunahing teorya ng serye ng Fourier.

Inihayag ng term paper ang konsepto ng isang trigonometric Fourier series. Natutukoy ang mga kundisyon para sa pagpapalawak ng isang function sa isang seryeng Fourier. Isinasaalang-alang ang mga pagpapalawak ng fourier series ng even at odd na function; mga di-pana-panahong pag-andar.

Sa ikalawang kabanata, ang ilang mga halimbawa lamang ng pagpapalawak ng mga function na ibinigay sa iba't ibang mga pagitan sa isang serye ng Fourier ay ibinigay. Inilalarawan ang mga larangan ng agham kung saan ginagamit ang pagbabagong ito.

Mayroon ding isang kumplikadong anyo ng representasyon ng serye ng Fourier, na hindi maaaring isaalang-alang, dahil ang dami ng gawaing kurso ay hindi pinapayagan. Ang kumplikadong anyo ng isang serye ay algebraically simple. Samakatuwid, madalas itong ginagamit sa pisika at inilapat na mga kalkulasyon.

Ang kahalagahan ng paksa ng gawaing kurso ay dahil sa ang katunayan na ito ay malawakang ginagamit hindi lamang sa matematika, ngunit sa iba pang mga agham: pisika, mekanika, medisina, kimika at marami pang iba.

Bibliograpiya

1. Bari, N.K. serye ng trigonometriko. [teksto] / N.K. Bari. - Moscow, 1961. - 936 s.

2. Bermant, A.F. Maikling kurso Pagsusuri sa Matematika: Teksbuk para sa mga Unibersidad[text]/ A.F. Bermant, I.G. Aramanovich. - ika-11 ed., Sr. - St. Petersburg: Publishing house "Lan", 2005. - 736 p.

3. Bugrov, Ya. S. Higher Mathematics: A Textbook for Universities: In 3 vols.[text]/ Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. - Ika-6 na ed., stereotype. - M.: Bustard, 2004. -512 p.

4. Vinogradova, I. A. Mga gawain at pagsasanay para sa pagsusuri sa matematika: isang manwal para sa mga unibersidad, ped. Unibersidad: Sa 2 o'clock[text]/ I. A. Vinogradova, S. N. Olehnik, V.A. Sadovnichy; ed. V.A. Sadovnichy. - 3rd ed., Rev. – M.: Bustard, 2001. – 712 p.

5. Gusak, A.A. Mas Mataas na Matematika. Sa 2 tomo T. 2. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral sa unibersidad.[text]/ A. A. Gusak.– ika-5 ed. – Minsk: TetraSystems, 2004.

6. Danko, P.E. Mas mataas na matematika sa mga pagsasanay at gawain: aklat-aralin para sa mga unibersidad: 2 oras.[text]/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov. Moscow: ONIKS: Mundo at edukasyon, 2003. - 306 p.

7. Lukin, A. Panimula sa digital signal processing (mathematical foundations) [text] / A. Lukin. - M., 2007. - 54 p.

8. Piskunov, N. S. Differential at integral calculus para sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon, v.2: Textbook para sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon.[text]/ N. S. Piskunov. - Ika-13 na ed. - M.: Nauka, 1985. - 432 p.

9. Rudin, U. Fundamentals of Mathematical Analysis.[text]/ W. Rudin. - 2nd ed., Per. mula sa Ingles. .- M.: Mir, 1976 .- 206 p.

10. Fikhtengol'ts, G. M. Mga Batayan ng Pagsusuri sa Matematika. Bahagi 2.[text]/ G. M. Fikhtengolts. -Ika-6 na ed., ster. - St. Petersburg: Publishing house "Lan", 2005. - 464 p.

Orenburg, 2015

transcript

1 Moscow Institute of Physics and Technology (State University) O.V. Besov TRIGONOMETRIC FOURIER SERIES Tulong sa pagtuturo Moscow, 004

2 Compiled by O.V.Besov UDC 517. Trigonometric Fourier series. Tulong sa pagtuturo para sa mga mag-aaral ng ika-taon). MIPT. MS. Alinsunod sa programa ng Department of Higher Mathematics ng Moscow Institute of Physics and Technology, ang paunang impormasyon sa teorya ng trigonometric Fourier series, theorems sa convergence at uniform convergence ng Fourier series, Weierstrass' theorems sa approximation ng tuluy-tuloy mga function ay ipinakita. Ang pokus ay sa pare-parehong tagpo ng seryeng Fourier. Hindi tulad ng maraming mga kurso sa mathematical analysis, ang pare-parehong convergence ng Fourier series ng tuluy-tuloy at piecewise smooth function ay napatunayan na may hindi mapapabuti na pagtatantya para sa rate ng convergence ng Fourier series. Ang dependence ng rate ng convergence ng Fourier series ng isang function sa kinis nito ay itinatag din kasama ng mga eksaktong pagtatantya. c Moscow Institute of Physics and Technology, 004 c O.V. Besov, 004

3 Mga Nilalaman 3 1. Kahulugan ng seryeng Fourier at ang prinsipyo ng lokalisasyon Convergence ng seryeng Fourier Uniform convergence ng seryeng Fourier Approximation ng tuluy-tuloy na function sa pamamagitan ng polynomials Termwise differentiation ng trigonometric series. Ang rate kung saan ang mga koepisyent at ang natitira sa serye ng Fourier ay may posibilidad na maging zero Pangwakas na pangungusap

4 TRIGONOMETRIC FOURIER SERIES 1. Depinisyon ng Fourier series at ang prinsipyo ng localization Definition 1.1. Ang isang serye ng anyong a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) ay tinatawag na trigonometric series. Ang set ng mga function 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x,... ay tinatawag na trigonometric system. Ang function ng trigonometric system ay isang orthogonal system sa kahulugan na Gayundin, cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, k m, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, k m, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Lemma 1.1. Hayaan ang sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.1)

5 1. Kahulugan ng seryeng Fourier at ang prinsipyo ng lokalisasyon. 5 at ang seryeng ito ay pare-parehong nagtatagpo sa R. Pagkatapos ay a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Patunay a t e l s t v o. Ang function na f ay tuloy-tuloy sa [, π] bilang kabuuan ng isang pare-parehong convergent na serye ng mga tuluy-tuloy na function. Pinaparami namin ang pagkakapantay-pantay 1.1) termino sa pamamagitan ng termino sa cos nx o sin nx n N). Ang resultang serye ay magkakaugnay din, at ang kanilang termino-by-term na pagsasama gamit ang orthogonality property ng mga function ng system ay nagbibigay ng mga formula mula sa 1.). Ang una sa mga formula 1.) ay nakuha sa pamamagitan ng termino-by-term na pagsasama ng serye 1.1). Tandaan na ang mga tuntunin ng trigonometric series ay π-periodic function na tinukoy sa totoong axis. Samakatuwid, ang kabuuan ng isang trigonometric na serye kung ang seryeng ito ay nagtatagpo) ay isa ring π-periodic function. Depinisyon 1. Hayaang ang f ay isang π-periodic function na ganap na maisasama sa pagitan ng [, π]. Ang isang trigonometric series na may mga coefficients a k, b k na tinukoy ng mga formula 1.) ay tinatawag na trigonometric) Fourier series ng function f, at ang coefficients a k, b k ay ang mga coefficients ng Fourier series ng function na f.

6 6 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series Sa kasong ito, isinusulat namin ang fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) ibig sabihin sa pamamagitan ng naturang notation na ang function f ay nauugnay sa Fourier series nito. Ang Lemma 1.1 ay maaaring reformulated tulad ng sumusunod: isang pare-parehong convergent trigonometriko serye ay isang Fourier serye ng kabuuan nito. Pagsasanay 1.1. Ipakita na ang trigonometric series sin kx k 1+ε, ε > 0, ay isang Fourier series. Tandaan na kung ang isang π-periodic function na f ay ganap na maisasama sa anumang bahagi ng haba π, kung gayon ito ay ganap na maisasama sa anumang shifted segment, at, bukod dito, b + π a + π fx) dx = fx) dx. b Ang pag-aari na ito, na kitang-kita mula sa isang geometric na punto ng view, ay madali ding mapatunayan sa analytical. Sa partikular, ang Fourier coefficients ng isang π-periodic function f ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagpapalit ng integral sa pagitan ng [, π] sa mga formula 1.) ng integral sa anumang pagitan . Sa kabilang banda, ang bawat ibinigay na ganap na pinagsama-samang function ay maaaring palawigin, kung kinakailangan, sa pamamagitan ng pagbabago ng halaga nito sa punto a π o sa punto a + π, o sa parehong mga punto) sa isang π-periodic function na tinukoy sa buong axis . Kasabay nito, ang pagbabago ng halaga nito sa isa o dalawang punto ay hindi magbabago sa Fourier coefficients ng π-periodic extension nito 1.), at samakatuwid ay ang Fourier series 1.3). Samakatuwid, ang convergence at iba pang mga katangian ng seryeng Fourier ay maaaring pag-aralan sa pamamagitan ng pag-aakalang ang function na f ay tinukoy lamang sa isang segment ng haba π, halimbawa, sa [, π]. a

7 1. Kahulugan ng seryeng Fourier at ang prinsipyo ng lokalisasyon. 7 Pag-aaralan muna natin ang lahat ng mga isyu ng convergence ng Fourier series sa isang partikular na punto, sa isang segment, unipormeng convergence sa buong real axis, atbp. Ang pinakamalaking interes ay ang kaso kapag ang Fourier series ng function na f ay nagtatagpo sa isang kahulugan o isa pa sa function na f. Sa kasong ito, ang function na f ay sinasabing pinalawak sa isang seryeng Fourier. Ang Oscillation Theorem ni Riemann 1.1). Hayaang ang function na f ay ganap na maisasama sa isang may hangganan o walang katapusan na pagitan a, b). Pagkatapos lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. Patunay. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipinapalagay namin na a, b) =, +) kung hindi ito ang kaso, kung gayon ang function na f ay maaaring pahabain ng zero sa, +) \ a, b)). Ito ay kilala na ang anumang ganap na pinagsama-samang function f ay mean-transform na tuloy-tuloy, ibig sabihin, + fx + h) fx) dx 0 para sa h) Ang pag-aari na ito ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng pagtatantya ng f sa karaniwan sa pamamagitan ng tuluy-tuloy na may hangganang function. Ang pagpapalit ng variable na x ng x + π λ, makuha natin ang ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ). Para sa integral + fx) sin λx dx ang patunay ay magkatulad.

8 8 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series Corollary 1. Ang Fourier coefficients 1.) ng isang ganap na integrable function sa interval [, π] ay may posibilidad na zero bilang k. Hayaang ganap na maisama ang isang π-periodic function na sa [, π]. Bahagyang kabuuan ng seryeng Fourier S n x; f) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx ay tinatawag na kabuuan ng Fourier series ng order n N 0 ng function f. Bawasan natin ito sa isang compact form na maginhawa para sa karagdagang pananaliksik. Tinatawag namin ang Dirichlet kernel na function na D n x) 1 n sin n + 1) + x cos kx = sin x. 1.5) Huling pagkakapantay-pantay kanang bahagi ay nauunawaan para sa x = mπ, m Z bilang ang limitasyon ng quotient para sa x mπ) ay itinatag bilang mga sumusunod. Para sa x mπ D n x) = 1 sin x = 1 sin x) sin x n + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1) x sin k 1 x = sin n + 1) x = sin x Dirichlet kernel 1.5 ) ay malinaw na isang π-periodic, kahit, tuluy-tuloy na function, max D n x) = D n 0) = n + 1, π D n x) dx = 1 D n x) dx =) π 0 π.

9 1. Kahulugan ng seryeng Fourier at ang prinsipyo ng lokalisasyon. 9 Ibahin natin ang Fourier sum S n x; f) sa pamamagitan ng pagpapalit dito ng kanilang mga expression na 1.) sa halip na ang Fourier coefficients. Nakukuha namin ang S n x; f) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft)cos kt cos kx + sinkt sin kx) dt = 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x)ft) dt. 1.7) Sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable t ng t + x sa huling integral (tinatawag na Dirichlet integral) at paglilipat ng integration segment, nakukuha natin ang S n x; f) = 1 π D n t)fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0) Dt)fx + t) dt = D n t) dt. 1.8) Para sa di-makatwirang δ, 0< δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1)) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ >0, kaya ang fraction mismo ay ganap na maisasama bilang isang function ng t. Samakatuwid, ang pangalawang integral ay may posibilidad na zero sa n sa pamamagitan ng oscillation theorem ni Riemann. Kaya dumating tayo sa sumusunod na pahayag.

10 10 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series Theorem 1. localization principle). Hayaang ganap na maisama ang isang π-periodic function na sa pagitan [, π], x 0 R, 0< δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1)) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0), f x 0). Если при этом fx 0) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

labing-isa. Convergence ng seryeng Fourier. 11 point f sa partikular, kung f ay tuloy-tuloy sa punto x 0), pagkatapos ay ang Fourier series sa punto x 0 converges sa fx 0). Patunay. Hayaang ang x 0 ay isang halos regular na punto ng function na f. Mula sa formula 1.8) sa tulong ng 1.6) nakukuha natin ang S n x; f) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D n t) dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D n t) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0) sin t sin n + 1 = 1 [ fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t ] ​​​​t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin)) t dt = n + 1)) t dt. Ang fraction na t sin t, pinalawak ng pagkakaisa sa t = 0, ay tuloy-tuloy sa function. Ang fraction na fx 0 + t) fx 0 + 0) t ay ganap na maisasama sa isang function, dahil ang numerator nito ay ganoon, at para sa t 0+0 ito ay may hangganan. Ang parehong naaangkop sa pangalawang fraction sa square bracket. Dahil dito, ang factor sa sin n + 1)) t sa integrand ng huling integral ay isang ganap na integrable function. Ayon sa oscillation theorem ni Riemann, ang huling integral ay may posibilidad na zero bilang n, i.e. S n x 0 ; f) fx 0 0) fx 0 + 0) para sa n. Pangungusap.1. Ang kinakailangan para sa pagkakaroon ng f + +x 0), f x 0) sa kondisyon ng theorem ay maaaring, tulad ng makikita mula sa karagdagang

12 1 O. V. Besov. Ang trigonometric Fourier series ay pinapalitan ng mas mahinang pangangailangan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ),. 1) para sa ilang α 0, 1], δ > 0, M > 0. Mga kondisyon.1) ay tinatawag na one-sided) Hölder na kondisyon ng degree α, at para sa α = 1 din one-sided) Lipschitz kondisyon. Corollary 1. Hayaang ang isang π-periodic function na f ay ganap na maisasama sa pagitan ng [, π] at mayroong f x 0). Pagkatapos ang seryeng Fourier ng function na f ay nagtatagpo sa puntong x 0 hanggang fx 0). Ang pagpapatuloy sa R ​​ng isang π-periodic function ay hindi isang sapat na kundisyon para sa convergence ng Fourier series nito sa isang naibigay na punto x 0. May mga halimbawa ng π-periodic na tuluy-tuloy na function sa R ​​na ang Fourier series ay diverge sa bawat rational point . Ang Theorem.1, Remark.1, at Corollary ay nagbibigay ng sapat na mga kondisyon para sa convergence ng Fourier series sa isang naibigay na punto. Mayroon ding mas pangkalahatang sapat na mga kondisyon para sa naturang tagpo. Puna.3. Hayaang ibigay ang function na at ganap na maisasama sa isang segment na may haba na π, halimbawa, sa [, π]. Upang malaman ang convergence ng Fourier series nito sa mga dulo ng interval, maaari nating ilapat ang Theorem 1 sa pamamagitan ng pagpapahaba ng function f, pagbabago ng mga value nito sa isa o magkabilang dulo, kung kinakailangan) sa isang π-periodic function. Pagkatapos ng naturang pagpapatuloy, ang puntong x = ay magiging halos regular kung at kung f +), f π). Sa kasong ito, ang Fourier series ng function f f + 0) + fπ 0) ay nagtatagpo sa puntong x 0 = k. Halimbawa 1. Hanapin natin ang seryeng Fourier ng function na fx) = π x, x .

13 3. Uniform convergence ng Fourier series. 13 Hayaang ang f: R R ay isang π-periodic function, fx) = fx) para sa 0< x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке , если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i);. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series Theorem 3.1. Hayaan ang f na isang π-periodic na tuluy-tuloy at piecewise-continuously differentiable function. Pagkatapos ang Fourier serye ng f ay nagtatagpo sa f pantay-pantay sa R ​​at sup S n x; f) fx) C ln n para sa n, x R n kung saan ang C ay independiyente sa n. Patunay. Hayaang M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. Sa tulong ng theorem ni Lagrange sa mga may hangganang pagdaragdag, nakuha namin iyon para sa 0< t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ) + g x t) sin n + 1)) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1) π g t π xt) n d cos n + 1) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 Kaya 3. Uniform convergence ng Fourier series. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1) = Setting δ = δ n = n 1, makuha natin iyon para sa n 1 + π) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x; f) fx) I n + J n C ln n, x R n kung saan ang C ay independiyente sa n. Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng assertion ng theorem. Binibigyang-diin namin na ang Theorem 3.1 ay hindi lamang nagtatatag ng pare-parehong convergence ng seryeng Fourier, ngunit nagbibigay din ng isang pagtatantya para sa rate kung saan ang natitira sa seryeng ito ay may posibilidad na maging zero. Ang pare-parehong convergence ng Fourier series ng isang periodic function ay maaari ding itatag sa ilalim ng mga kondisyong mas pangkalahatan kaysa sa Theorem 3.1, halimbawa, para sa mga function na nagbibigay-kasiyahan sa Hölder condition. Kahulugan. Ang isang function na f: R ay sinasabing nakakatugon sa kondisyon ng Hölder na degree α, 0< α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α >0: fx) fy) M α x y α x, y . Tandaan na ang mga function na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng Hölder ay tuloy-tuloy at na ang klase ng mga function na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon ng Hölder na degree α ay lumiliit habang tumataas ang α. Kung ang isang function f ay tuloy-tuloy at piecewise na tuloy-tuloy na differentiable sa , kung gayon natutugunan nito ang kondisyon ng Lipschitz. Ang sumusunod na teorama ay naglalahat ng Teorama 3.1. Theorem 3. Hayaan ang isang π-periodic function na f matugunan ang kondisyon ng Hölder ng degree α, 0< α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series kung saan ang C α ay hindi nakadepende sa n. Patunay. Gamitin natin ang formula.1) sa anyong S n x; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1)) t dt. Hayaang fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n > π λ. Tulad ng sa patunay ng oscillation theorem ni Riemann, nakukuha natin ang S n x; f) fx) 1 h x t + π) h x t) dt = λ = 1 δ... dt + 1 δ) +... dt = I δ,n x) + J δ,n x). 3.1) δ δ Alalahanin na π t< sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t >δ, pagkatapos h x t + π) f h x t) = λ f = x + t + π) λ fx) sin t + π λ x + t + π) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) kasalanan t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17 upang 3. Uniform convergence ng Fourier series. 17) α h x t + π) M πλ α π sin λ π h x t) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ,n x) δ C M α λ α dt t C M α ln λ α δ. C M α t λ α, Setting δ = n 8 at pagkolekta ng mga pagtatantya, dumating tayo sa assertion ng theorem. Ang bahagi ng Theorem 3.1 na may kinalaman lamang sa katotohanan ng pare-parehong convergence ay umamin sa sumusunod na paglalahat. Teorama 3.3. Hayaang ganap na maisama ang isang π-periodic function na sa [, π]. Hayaang ang f ay tuloy-tuloy sa ilang pagitan a, b) at ang f ay putol-putol na tuloy-tuloy. Pagkatapos ang seryeng Fourier ng f ay pantay na nagtatagpo sa f sa anumang pagitan a, b). Patunay. Hayaan n 8 δ< δ, a, b), x . Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π) fu) du+ 4πδ λ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ Пусть задано ε >0. Pagkatapos ay mayroong sapat na maliit na δ = δε) > 0 na ang sup I δ,n< ε. При выбранном δ n δ N: sup J δ,n < ε n n δ.

18 18 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series Pagkatapos ay sumusunod mula sa 3.1) at ang nakuhang mga pagtatantya na sup S n x; f) fx) 0 para sa n x at ang teorama ay itinatag. Tandaan na pinalawak ng Theorem 3.3 ang prinsipyo ng localization na binalangkas kanina sa pamamagitan ng pagpapakita na upang igiit ang pare-parehong convergence ng seryeng Fourier sa isang pagitan, sapat na upang malaman ang pag-uugali ng function na ito sa isang kapitbahayan a ε, b + ε) ng segment na ito para sa di-makatwirang maliit na ε > 0. Mula sa theorem 3.3 sumusunod, halimbawa, na ang serye ay nagkasala kx k sa anumang pagitan [ε, π ε], ε > 0, pare-parehong nagtatagpo sa function na fx) = π x. Ang Theorem 3.3 ay maaaring gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit ng kondisyon ng piecewise continuous differentiability ng Hölder na kondisyon ng degree α > 0 by . 4. Approximation ng tuluy-tuloy na function sa pamamagitan ng polynomials Definition 4.1. Ang isang function ng form A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn > 0) ay tinatawag na trigonometric polynomial polynomial) ng degree n. Theorem 4.1 ng Weierstrass). Hayaang ang f ay isang π-periodic na tuluy-tuloy na function. Pagkatapos para sa bawat ε >< ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε >0. Hayaan ang τ = (x j ) J j=0, x j = + j π J, isang partition ng segment [, π]. Bumubuo kami ng putol na linya na nakasulat sa graph ng function f), na kumukonekta sa pamamagitan ng mga segment

19 4. Approximation ng tuluy-tuloy na function sa pamamagitan ng polynomials. 19 na magkakasunod na puntos x j, fx j)) ng graph f. Tukuyin sa pamamagitan ng Λ J: R R isang π-periodic na tuluy-tuloy na function na ang graph ay tumutugma sa [, π] sa itinayong polyline. Malinaw, ang Λ J ay isang piecewise linear function sa [, π] at, samakatuwid, piecewise na patuloy na naiba, ibig sabihin, Ang Λ J ay piecewise continuous). Ang tuluy-tuloy na function f ay pare-parehong tuloy-tuloy. Samakatuwid fx) fx)< ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε >0 mayroong isang trigonometric polynomial T tulad ng max fx) T x)< ε. x π

20 0 O. V. Besov. Trigonometric Fourier Series Exercise 4.1. Ipakita na ang huling teorama ay titigil sa pagiging totoo kung ang kundisyon f) = fπ) ay ibinaba. Tandaan na sa Theorem 4.1 imposible, sa pangkalahatan, na kunin ang S n x bilang isang trigonometric polynomial; f) isang bahagyang kabuuan ng serye ng Fourier ng function na f), dahil ang serye ng Fourier ng isang tuluy-tuloy na pag-andar ay hindi obligadong magtagpo nang pantay-pantay (hindi man obligado na mag-converge nang pointwise) sa function na f. Gayunpaman, bilang T maaari nating kunin ang σ n x; f) ang Fejér sum ng function f) para sa sapat na malaking n, kung saan σ n x; f) = S 0x; f) + S 1 x; f) + + S n x; f) n + 1 ay ang arithmetic mean ng Fourier sums, gaya ng sumusunod mula sa theorem ni Fejér: Theorem 4. Fejér). Hayaang ang f ay isang π-periodic na tuluy-tuloy na function. Pagkatapos σ n x; f) fx) para sa n. R Hindi kami magbibigay ng mga patunay ng teorama na ito. Ang katotohanan ng convergence ng sequence ng Fejér sums sa Fejér's theorem ay ipinahayag din tulad ng sumusunod: Ang Fourier series ng π-periodic continuous function f ay summable sa fx) sa pamamagitan ng paraan ng arithmetic means. Ang paraan ng pagbubuod ng isang serye sa pamamagitan ng arithmetic na paraan ng isang sequence ng mga partial sums nito) ay ginagawang posible, para sa ilang magkakaibang serye, na tukuyin ang konsepto ng kanilang kabuuan bilang limitasyon ng sequence ng mga arithmetic na paraan na ito. Para sa isang convergent na serye, ang konseptong ito ay tumutugma sa konsepto ng kabuuan ng isang serye. Halimbawa 4.1. Ang divergent na serye ay maaaring isama sa pamamagitan ng paraan ng arithmetic means sa numero 1. Sa tulong ng Weierstrass' theorem 4.1, pinatutunayan din namin ang posibilidad ng pagtatantya sa anumang katumpakan ng isang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan ng isang naaangkop na algebraic polynomial P.

21 4. Approximation ng tuluy-tuloy na function sa pamamagitan ng polynomials. 1 Theorem 4.3 ng Weierstrass). Hayaang ang function f ay tuloy-tuloy sa pagitan . Pagkatapos para sa anumang ε > 0 mayroong isang algebraic polynomial P na ang max fx) P x)< ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок на отрезок : и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f: R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε >0 mayroong isang trigonometric polynomial T na max f t) T t) max f t) T t)< ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series Anumang tuluy-tuloy na function sa isang interval ay ang pare-parehong limitasyon ng ilang sequence ng algebraic polynomials. 5. Kataga sa pamamagitan ng termino pagkita ng kaibhan ng trigonometriko serye. Ang rate ng convergence sa zero ng mga coefficient at ang natitira sa Fourier series Theorem 5.1. Hayaang ang isang π-periodic function na f ay tuloy-tuloy at piecewise na tuloy-tuloy na naiba, at hayaan ang fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx ang Fourier expansion nito. Pagkatapos f x) ka k sin kx + kb k cos kx, i.e. ang Fourier series ng derivative ay nakuha mula sa Fourier series ng function sa pamamagitan ng term-by-term differentiation. Patunay. Hayaang f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. Pagkatapos, pagsasama-sama ng mga bahagi, makuha natin ang = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Kataga ayon sa termino pagkita ng kaibhan ng seryeng Fourier. 3 Lemma 5.1. Hayaang ang isang π-periodic function na f ay may tuloy-tuloy na derivatives hanggang sa order m 1 inclusive at isang piecewise continuous derivative ng order m N. Pagkatapos ang mga pagtatantya para sa Fourier coefficients ng f ay 1 a k + b k = o k m para sa k. 5.1) Patunay. Hayaang m 1 at f m) x) α k cos kx + β k sin kx. Paglalapat ng Theorem 5.1 m beses, nakuha natin na α k + β k = k m a k + b k), k N 0. Dahil α k, β k 0 k) sa pamamagitan ng lemma sa Fourier coefficients na may posibilidad na zero, mula sa huling pagkakapantay-pantay na nakuha natin 5.1). Ang Lemma 5.1 ay nagpapakita na ang Fourier coefficients ng function na f ay may posibilidad na mag-zero mas mabilis mas maganda ang differential properties ng function na f. Ang assertion ng Lemma 5.1 ay maaaring medyo palakasin sa pamamagitan ng paggamit ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng Bessel para sa piecewise na tuloy-tuloy na π-periodic function: a 0 + a k + b k) 1 π f x) dx. 5.) Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay itatatag sa ibaba. Paglalapat ng 5.) sa derivative f m), nakuha natin iyon sa ilalim ng mga kondisyon ng Lemma 5.1 k m a k + b k) 1 f m) x)) dx<. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series na may Fourier series ng π-periodic continuous at piecewise-continuously differentiable function f, i.e. hilera Sx; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) kung saan ang a k, b k ay ang Fourier coefficients ng function na f. Ang conjugate Dirichlet kernel ay D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x) x Ang huling pagkakapantay-pantay ay itinatag sa parehong paraan tulad ng 1.5). katulad ng 1.8) ito ay itinatag na ang bahagyang kabuuan n S n x; f) = a k sin kx b k cos kx ng serye 5.3) ay maaaring katawanin bilang S n x; f) = kung saan 0. Kaya D n t) dt = = 1 h x t) cos n + 1)) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) h x t) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tg t dt. Lemma 5. Hayaang ang isang π-periodic function f ay tuloy-tuloy at piecewise na tuloy-tuloy na differentiable, a k, b k nito Fourier coefficients. Pagkatapos ay para sa ilang C > 0 at n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5.4) xR n+1

25 5. Termin-by-term differentiation ng Fourier series. 5 Patunay. Hayaan ang M 1 max R f. Gamit ang Lagrange finite increments theorem, nakukuha natin ang fx + t) fx t) M 1 t, 0< t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и ограниченной функции). Оценим fx) S n x; f) = 1 h x t) cos n + 1) t dt, π используя оценки h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Так же, как при доказательстве теоремы 1. получаем sup fx) S n x; f) C ln n x R n n откуда следует 5.4). при n, Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и max x R fx) S nx; f) = O ln n n m) = = o 1) n m ε при n и ε > 0.

26 6 O. V. Besov. Trigonometric Fourier Series Proof. Ang kaso m = 1 ay tumutugma sa Theorem 3.1. Hayaan ang ϕ f m 1) at α k, β k ang Fourier coefficients ng function na ϕ. Sa pamamagitan ng Theorem 3.1 sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Hayaan ang a k, b k ang Fourier coefficients ng function na f. Una, hayaang maging pantay ang m 1. Pagkatapos, sa bisa ng Theorem 5.1 inilapat m 1 beses, para sa x R mayroon kaming r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Ilapat natin ang pagbabagong Abel sa huling serye, na isinasaalang-alang ang convergence ng serye α k cos kx + β k sin kx at ang pagtatantya na itinatag sa kaso m = 1 ng theorem na ito) sup α k cos kx + β k kasalanan kx C ln n n. Nakukuha namin ang r n x; f) = x R j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx) C ln n n at 5.5) ay itinatag sa kasong ito. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Kataga ayon sa termino pagkita ng kaibhan ng seryeng Fourier. 7 Ngayon hayaan ang m 1 na maging kakaiba. Pagkatapos r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). Ang seryeng α k sin kx β k cos kx ay nagtatagpo sa pamamagitan ng Lemma 5. Paglalapat ng pagbabagong Abel at tantiyahin ang 5.5), nakuha natin na r n x; f) = α j sin jx β j cos jx j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m, at ang teorama ay napatunayan. Ang Theorem 5. ay nagpapakita na ang mas maraming derivatives ng isang function f, mas mabilis ang Fourier series nito ay nagtatagpo. Ang Lemma 5.1 at Theorem 5. ay maaaring reformulated para sa isang function na f na tinukoy lamang sa segment [, π] sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga kundisyon sa mga endpoint ng segment na ginagarantiyahan na ang π-periodic extension nito ay nakakatugon sa mga kondisyon ng Lemma 5.1 at ng Theorem 5. Ibig sabihin, para sa isang function f: [, π] R, ang mga sumusunod karagdagang mga tuntunin sa one-sided derivatives: f j)) = f j) π) para sa j = 0, 1,..., m 1. Gamit ang naaangkop na reformulation ng Theorem 3.1 at Theorem 5.1, para sa function na f: [, π] R, ang pagkakapantay-pantay f) = fπ). Kasama ng Theorem 5., nagtatag kami ng isa pang Theorem 5., kahit na hindi gaanong malakas, ngunit nagpapahiwatig din ng koneksyon sa pagitan ng differential

28 8 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series sa pamamagitan ng differential properties ng isang π-periodic function at ang rate ng convergence ng Fourier series nito. Ang patunay ng Theorem 5., sa kaibahan sa Theorem 5., ay hindi nakabatay sa pagsusuri ng convergence ng series conjugate sa Fourier series, ngunit sa Bessel inequality 5.), na itatatag muna. Ang mambabasa ay maaaring, sa kanyang sariling paghuhusga, ikulong ang kanyang sarili sa pag-aaral ng isa sa dalawang theorems na ito. Lemma 5.3. Hayaang ang f ay isang π-periodic at piecewise na tuluy-tuloy na function, a k, b k nito Fourier coefficients. Pagkatapos Bessel's inequality 5.) holds. Patunay. Una, hayaan ang f na isang π-periodic na tuluy-tuloy at piecewise-continuously differentiable function. Ayon sa Theorem 5., ito ay lumalawak sa isang pare-parehong convergent na seryeng Fourier: fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) I-multiply namin ang pagkakapantay-pantay 5.6) termino sa pamamagitan ng termino sa pamamagitan ng fx) at isinasama ang nagreresultang serye (din pare-parehong nagtatagpo) termino sa pamamagitan ng termino. Sa bisa ng mga formula 1.) para sa Fourier coefficients, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay a 0 + a k + b k) = 1 π f x) dx, 5.7) na bunga ng.) Parseval's equality 5.7) at Bessel's inequality 5.) will later mapalawak sa mga function f na may higit na pangkalahatang katangian. Hayaang matugunan ng function f ang mga kundisyon ng lemma at Λ J: R R π-periodic continuous function, piecewise linear sa [, π], na binuo sa patunay ng Weierstrass Theorem 4.1, ang graph Λ J ay nakasulat sa

29 5. Kataga ayon sa termino pagkita ng kaibhan ng seryeng Fourier. 9 graph f sirang linya). Ipahiwatig ng a k f), b k f) ang Fourier coefficients ng function na f. Ito ay sumusunod mula sa 5.) na a 0 Λ J) n + a k Λ J) + b k Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Hayaan n N ay maayos at J. Pagkatapos, bilang madaling makita , a k Λ J) a k f), b k Λ J) b k f), Λ Jx) dx f x) dx. Ang pagpasa sa limitasyon sa hindi pagkakapantay-pantay na 5.5), nakuha natin na a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π Ang pagpasa sa limitasyon bilang n sa huling hindi pagkakapantay-pantay, dumating tayo sa assertion ng lemma. Theorem 5. Hayaan, para sa m N, ang isang π-periodic function na f ay may tuloy-tuloy na derivatives hanggang sa order m 1 inclusive at isang piecewise continuous derivative f m). Pagkatapos ang seryeng Fourier ng function na f ay nagtatagpo dito nang pantay sa R ​​at) 1 max fx) S nx; f) = o para sa n. 5.9) x R n m 1 Patunay. Ang pare-parehong convergence sa function f ng Fourier series nito ay itinatag sa Theorem 3.1. Tantyahin natin ang natitira sa seryeng Fourier nito. rnx; f) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k) α k + β k) 1 k m,

30 30 O. V. Besov. Trigonometric Fourier series kung saan ang α k, β k ay ang Fourier coefficients ng function f m), at ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay nakukuha sa pamamagitan ng paglalapat ng Theorem 5.1 m-fold. Dahil sa hindi pagkakapantay-pantay ng Cauchy–Schwarz, N α k + β k) 1 k m N α k + β k) N 1 k m. Ang pagpasa sa limitasyon sa huling hindi pagkakapantay-pantay para sa N ay nagpapakita na ito ay nananatiling totoo kung ang N ay papalitan dito. Gamit ito, makuha namin na r n x; f) αk + β k) 1 k m = ε n 1, 5.10) km kung saan ε n 0 n) dahil sa convergence ng seryeng αk + βk) na sumusunod mula sa Bessel inequality para sa function f m) tingnan ang Lemma 5.3). Tandaan na 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1)n m 1. k 1 Mula dito at 5.10) ay sumusunod sa 5.9). Pangwakas na Puna Ang tutorial na ito ay hindi tumatalakay sa term-by-term na pagsasama ng Fourier series, Fourier series ng l-periodic function, at ang kumplikadong anyo ng Fourier series. Ang karaniwang presentasyon ng mga tanong na ito ay matatagpuan sa maraming aklat-aralin. Hindi rin namin hinawakan ang mga isyu ng convergence ng Fourier series sa kahulugan ng mean square, kung saan

LECTURE N 7 .Kapangyarihan

Paksa ng Module Mga pagkakasunud-sunod at serye ng function Mga katangian ng pare-parehong convergence ng mga pagkakasunod-sunod at serye Power series Lecture Mga Depinisyon ng mga pagkakasunod-sunod ng function at serye Pare-pareho

TEORYA NG SERYE Ang teorya ng serye ay ang pinakamahalagang bahagi ng mathematical analysis at nakakahanap ng parehong teoretikal at maraming praktikal na aplikasyon. Matukoy ang pagkakaiba sa pagitan ng numerical at functional na serye.

MGA METODOLOHIKAL NA MGA INSTRUKSYON PARA SA PAGKUKULANG GAWAIN SA KURSO NG HIGHER MATHEMATICS "ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS SERIES DOUBLE INTEGRALS" BAHAGI III SERYE NG TEMA Mga Nilalaman Serye Numerical na serye Convergence at divergence

MGA HANAY. Mga linya ng numero. Mga pangunahing kahulugan Hayaan ang isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero Ang expression (walang katapusan na kabuuan) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= ay tinatawag na a serye ng numero. Numero

BELARUSIAN STATE UNIVERSITY FACULTY OF APPLIED MATHEMATICS AND INFORMATION SCIENCE Department of Higher Mathematics Tulong sa pagtuturo para sa mga mag-aaral ng Faculty of Applied Mathematics at Informatics

Lektura 4. Harmonic analysis. Fourier series Pana-panahong pag-andar. Harmonic analysis Sa agham at teknolohiya, madalas na kailangang harapin ng isang tao ang mga pana-panahong phenomena, ibig sabihin, ang mga umuulit sa pamamagitan ng

Serye Numerical series Pangkalahatang konsepto Def Kung ang bawat natural na numero ay itinalaga ng isang tiyak na numero ayon sa isang tiyak na batas, kung gayon ang hanay ng mga numerong numero ay tinatawag na numerical sequence,

Functional na serye Functional na serye, ang kabuuan nito at rehiyon ng functional o Hayaan ang isang sequence ng mga function k ay ibigay sa rehiyon Δ ng tunay o kumplikadong mga numero (k 1

Federal Agency for Education Arkhangelsk State Technical University Faculty of Civil Engineering SERIES Mga Alituntunin para sa pagkumpleto ng mga takdang-aralin para sa independiyenteng trabaho Arkhangelsk

Sa mga formula ng pagbubuo at interpolation A V Ustinov UDC 51117 1 Panimula Alam na ang mga numero ng Bernoulli na B n at Bernoulli polynomial B n x) ay lumitaw sa karamihan iba't ibang isyu teorya ng numero at tinatayang pagsusuri

Pagsusuri sa matematika Bahagi 3. Numerical at functional na serye. Maramihang integral. Teorya sa larangan. aklat-aralin N.D.Vysk MATI-RGTU im. K.E. Tsiolkovsky Department of Higher Mathematics MATHEMATICAL ANALYSIS

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 5 Mga functional na pagkakasunud-sunod at serye. Uniform convergence, ang posibilidad ng permutation ng limit transition, integration at differentiation ng series at sequence.

E trabaho. Mga hilera ni Taylor. Summation ng power series Mat. pagsusuri, app. Mathematics, 3rd semester Hanapin ang pagpapalawak ng isang function sa isang power series sa powers, kalkulahin ang radius ng convergence ng power series: A f()

6 Fourier series 6 Orthogonal system of functions Fourier series in terms of an orthogonal system of functions Ang mga function na ϕ () at ψ (), na tinukoy at naisasama sa segment [, ], ay tinatawag na orthogonal sa segment na ito kung

35 7 Trigonometric Fourier series Fourier series para sa periodic functions na may period T. Hayaang ang f(x) ay piecewise continuous periodic function na may period T. Isaalang-alang ang pangunahing trigonometriko system

Ministri ng Edukasyon at Agham Pederasyon ng Russia VA Volkov SERIES FOURIER INTEGRAL Educational electronic text edition Para sa mga mag-aaral ng mga specialty 4865 Electronics at automation ng mga pisikal na installation;

LECTURE N37. Serye ng analytic function. Decomposition ng isang analytic function sa isang power series. serye ni Taylor. Serye ng Laurent..Pagpapalawak ng analytic function sa isang power series.....Taylor series.... 3.Pagpapalawak ng analytic

MOSCOW STATE UNIVERSITY sila. M.V. Lomonosov FACULTY OF PHYSICS DEPARTMENT OF MATHEMATICS V.F. Butuzov NUMERICAL SERIES FUNCTIONAL SEQUENCES AND SERIES Tutorial Moscow 05 Paunang Salita

~ ~ Serye Numerical series at ang kabuuan nito. Kahulugan: Ang isang serye ng numero ay ang kabuuan ng mga miyembro ng isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng numero. Kahulugan: Ang isang karaniwang miyembro ng isang serye ay isang termino para sa kung saan

ika-8 aralin. Uniform convergence ng functional series. Weierstrass test Mat. pagsusuri, app. Mathematics, 3rd semester Siyasatin ang sumusunod na serye para sa pare-parehong convergence gamit ang kahulugan: D 767

Paksa 6. Mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod at pag-andar, ang kanilang mga katangian at aplikasyon Pagsusuri sa matematika Serye Maikling mga tala sa panayam Compiled by V.A. Sciences, Associate Professor ng Department of Higher Mathematics

"Serye" Mga Pagsusuri para sa self-testing Isang kinakailangang criterion para sa convergence ng isang serye Theorem kinakailangang tanda convergence Kung ang serye ay nagtatagpo pagkatapos ay lim + Corollary sapat na kondisyon serye divergence Kung lim pagkatapos ay ang serye divergence

Numerical na pamamaraan Paksa 2 Interpolation V I Velikodny 2011 2012 academic year 1 Ang konsepto ng interpolation Interpolation ay isang paraan ng tinatayang o eksaktong paghahanap ng anumang dami mula sa mga kilalang indibidwal na halaga

Peoples' Friendship University of Russia Marchenko V.V., Sorokina M.V.

LECTURE 3A Mga uri ng convergence. integral ng Lebesgue. Lebesgue spaces 1. Mga uri ng convergence ng functional sequences Sa Lecture 3, nabanggit na mayroong mga sumusunod na uri ng convergence ng functional sequences:

Kasunod. Kahulugan. Kung ang isang numero ( ) ay itinalaga sa bawat natural na numero (N) ayon sa ilang batas, ito ay tumutukoy sa isang numerical sequence,... (o isang sequence lang).

Kabanata 28 MGA PANGKALAHATANG TUNGKOL 28.1. Mga puwang D, D ng mga basic at generalised function Ang konsepto ng isang generalised function ay ginagawang pangkalahatan ang klasikal na konsepto ng isang function at ginagawang posible na ipahayag sa mathematical form tulad

Fourier series Orthogonal system ng mga function Mula sa punto ng view ng algebra, ang pagkakapantay-pantay kung saan ang mga function itong klase a - coefficients mula sa R ​​o C ay nangangahulugan lamang na ang vector ay isang linear na kumbinasyon ng mga vectors B

Mga Batayan ng teorya ng mga espesyal na pag-andar Ang pangangailangang pag-aralan ang mga espesyal na tungkulin ng matematikal na pisika ay nauugnay sa dalawang pangunahing pangyayari. Una, kapag bumubuo ng isang mathematical na modelo ng pisikal

Mga Lektura 89 Kabanata 5 Continuity ng isang function 5 Continuity ng isang function sa isang punto Ang konsepto ng continuity ng isang function ay isa sa mga pangunahing konsepto ng mas mataas na matematika Malinaw, ang graph ng isang tuluy-tuloy na function ay

Laurent Rows Higit pa karaniwang uri Ang serye ng kapangyarihan ay mga serye na naglalaman ng parehong positibo at negatibong kapangyarihan ng z z 0. Tulad ng serye ng Taylor, gumaganap sila ng mahalagang papel sa teorya ng mga analytic na function.

MGA ELEMENTO NG TEORYA NG MGA TUNGKULIN NG ISANG COMPLEX VARIABLE OPERATIONAL CALCULUS Bilang resulta ng pag-aaral ng paksang ito, dapat matutunan ng mag-aaral ang: maghanap ng mga trigonometriko at exponential na anyo kumplikadong numero sa

Continuity ng function Continuity ng function sa isang point One-sided limits Depinisyon Ang numerong A ay tinatawag na left limit ng function f(x) dahil ang x ay may posibilidad na a kung mayroong ganoong numero para sa anumang numero

Kabanata CALCULUS OF VARIATIONS Lecture 9 Panimula

~ ~ FCF Derivative ng function ng complex variable FCF ng Cauchy-Riemann condition Konsepto ng regularity ng FCF Depiction at form ng complex number Form ng FCF: kung saan totoo ang real function ng dalawang variable

Seksyon 2 Teorya ng Mga Limitasyon Paksa Mga Pagkakasunud-sunod ng Numerikal Kahulugan ng isang Numerical na Pagkakasunud-sunod 2 Mga Bounded at Unlimited na Pagkakasunud-sunod 3 Mga Monotone na Pagkakasunud-sunod 4 Walang Hanggan na Maliit at

Kabanata 4. Integral 1. Indefinite integral 1 0. Antiderivative at indefinite integral Definition Ang isang function na F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa isang function na f(x) sa isang interval X kung x X: F"(x) = f(x ) Halimbawa

Ministri ng Edukasyon ng Russian Federation Yaroslavl State University na ipinangalan kay PG Demidov Department of Discrete Analysis Mga Alituntunin sa Pagsusuri sa Matematika Yaroslavl Compiled by: MV Anufrienko

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION institusyong pang-edukasyon mas mataas bokasyonal na edukasyon"SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY" T. I. Korshikov,

Mga Alituntunin sa Limitasyon ng Federal Agency for Education State Educational Institution of Higher Professional Education Ukhta State Technical University (USTU)

FOURIER SERIES M I VISHIK Reresetatio ng ay periodic fuctio bilang kabuuan ng correspodig trigoometric series, kung bilang ang Fourier series expasio nito, ay tinatalakay Parseval equatio ay preset: itegral ng isang squared

Huling na-update: Marso 16, 2008 Listahan ng mga kahulugan: 1.1 Hindi magkakapatong na mga segment .................................. ............. 2 1.2 Sistema ng hindi magkakapatong na mga segment ............................. .............

UNDEFINITE INTEGRAL. Antiderivative at indefinite integral Ang pangunahing gawain ng differential calculus ay hanapin ang derivative (o differential) ng isang ibinigay na function. Integral na calculus

Lecture 5 Integral ng Cauchy type 5.1 Integral ng Cauchy type Hayaang ang C ay isang oriented piecewise smooth curve, f isang tuluy-tuloy na function na tinukoy sa curve. Para sa anumang punto z C \ ang function t f(t) z ay tuloy-tuloy sa variable

hanapbuhay. Degree na may di-makatwirang real exponent, ang mga katangian nito. Power function, mga katangian nito, mga graphics .. Alalahanin ang mga katangian ng isang degree na may isang rational exponent. a a a a para sa natural na panahon

Far Eastern Mathematical Journal. 214. Volume 14. 2. P. 231 241 UDC 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Illarionov, L. V. Illarionova 1 Analytical solutions of extremal problems for the Laplace equation

MGA VARIABLE AT CONSTANTS Bilang resulta ng pagsukat ng mga pisikal na dami (oras, lugar, dami, masa, bilis, atbp.), ang kanilang mga numerical na halaga ay natutukoy. Ang matematika ay tumatalakay sa mga dami, ginulo

LECTURE N38. Gawi ng isang analytic function sa infinity. mga espesyal na puntos. Function residues.. neighborhood of a point at infinity..... Laurent expansion sa isang neighborhood ng point at infinity.... 3. Behavior

LABORATORY WORK 7 GENERALIZED FUNCTIONS I. BATAYANG MGA KONSEPTO AT TEOREM Ipahiwatig sa pamamagitan ng D ang set ng lahat ng walang hanggan na pagkakaiba-iba na may hangganan na mga function ng isang tunay na variable. ito

DERIVATIVE NG ISANG FUNCTION NA MAY TUMAAS NA FUNCTION Prof. Dr. Avyt ASANOV Kyrgyz-Turkish University “Manas”

009 M. S. Semchenok, E. N. Begun, V. A. Vlas’eva, V. G. Galkina Mathematics Lecture notes Ikatlong bahagi Ang mga tala ay isinagawa ng A. Diment SPbGUKiT, FAVT, gr. 7 CHAPTER 0. NUMERICAL SERIES 0.. ANG KONSEPTO NG CONVERGENCE NG NUMERICAL

PONDO NG EVALUATION TOOLS PARA SA INTERIM CERTIFICATION NG MGA MAG-AARAL SA DISIPLINA (MODULE). Pangkalahatang Impormasyon 1. Department of Informatics, Computer Engineering at Information Security 2. Direksyon

Huling na-update: Marso 29, 2008 Listahan ng mga kahulugan: 1.1 Hindi magkakapatong na mga segment .................................. ................ 2 1.2 Sistema ng hindi magkakapatong na mga segment .......................... ................

FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION State Educational Institution of Higher Professional Education "UFA STATE OIL TECHNICAL UNIVERSITY" (UGNTU) Department of Mathematics

Lecture 6 Serye ng analytic functions 6.1 Function sequences Let D C at f n: D C. Ang sequence of functions (f n ) converges pointwise to the function f: D C if for each

Kabanata. ORDER RELATIONS AT ASYMPTOTIC BEHAVIOR NG ELEMENTARY FUNCTIONS. Paghahambing ng pag-uugali ng mga function. O-simbolo Sa panimulang kabanata na ito, tatalakayin natin ang paghahambing na pag-uugali ng mga function, pati na rin ang asymptotic

Kahulugan ng radius ng convergence. Ang power series ay isang functional series ng form na c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () kung saan c 0, c, c 2,.. ., c, ... C ay tinatawag na mga coefficient ng kapangyarihan

Integrability ng isang function (ayon kay Riemann) at isang definite integral Pangunahing konsepto at theorems 1. Integral sums at isang definite integral. Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa pagitan (kung saan ang a< b). Произвольное

Fourier series at ang kanilang aplikasyon sa teknolohiya ng komunikasyon

Pangalan ng parameter	Ibig sabihin
Paksa ng artikulo:	Fourier series at ang kanilang aplikasyon sa teknolohiya ng komunikasyon
Rubric (temang kategorya)	Edukasyon

Pagkabulok ng Tuloy-tuloy na Signal sa Orthogonal Series

Lecture 6. Tuloy-tuloy na channel

Pamantayan sa kalidad ng pagbawi.

Mayroong mga sumusunod na pamantayan:

1) Criterion ng pinakamalaking paglihis

kung saan: pinahihintulutang error sa pagbawi, - max na halaga - kasalukuyang error sa pagtatantya.

Kasabay nito, may kumpiyansa na ang anumang mga pagbabago sa orihinal na signal, kabilang ang mga panandaliang spike, ay ire-record.

2) Pamantayan ng RMS. kung saan: - karagdagang SC approximation error, - SC approximation error.

3) Integral na pamantayan

Ang max ay tinutukoy ng average na halaga para sa panahon ng sampling.

4) Probabilistikong pamantayan

Ang antas na tinatanggap ay nakatakda, ang halaga Р ay ang posibilidad na ang kasalukuyang error sa pagtatantya ay hindi nakasalalay sa ilang partikular na halaga.

Ang layunin ng panayam: pagpapakilala sa tuloy-tuloy na channel

a) agnas ng tuloy-tuloy na signal sa orthogonal series;

b) serye ng Fourier at ang kanilang aplikasyon sa teknolohiya ng komunikasyon;

c) Kotelnikov's theorem (Shannon's Basic Theorem);

d) throughput ng isang tuloy-tuloy na channel;

e) modelo ng NKS.

Sa teorya ng komunikasyon, upang kumatawan sa mga signal, dalawang espesyal na kaso ng pagpapalawak ng mga function sa orthogonal series ay malawakang ginagamit: pagpapalawak sa trigonometric function at pagpapalawak sa mga function ng form kasalanan x/x. Sa unang kaso, nakakakuha kami ng isang parang multo na representasyon ng signal sa anyo ng isang maginoo na serye ng Fourier, at sa pangalawang kaso, isang temporal na representasyon sa anyo ng isang serye ng V.A. Kotelnikov.

Mula sa praktikal na pananaw, ang pinakasimpleng anyo ng pagpapahayag ng signal ay isang linear na kumbinasyon ng ilang elementarya na function

Sa pangkalahatang kaso, ang signal ay isang kumplikadong oscillation, na may kaugnayan dito, napakahalaga na kumatawan sa isang kumplikadong function. s(t), pagtukoy ng signal sa pamamagitan ng mga simpleng function.

Kapag nag-aaral ng mga linear system, ang gayong representasyon ng signal ay napaka-maginhawa. Pinapayagan ka nitong hatiin ang solusyon ng maraming problema sa mga bahagi, gamit ang prinsipyo ng superposisyon. Halimbawa, upang matukoy ang signal sa output ng isang linear system, ang tugon ng system sa bawat elementarya na aksyon ψ k (t) ay kinakalkula, at pagkatapos ay ang mga resulta na pinarami ng kaukulang coefficient at k ay madaling kalkulahin at hindi nakadepende sa bilang ng mga termino sa kabuuan. Ang mga kinakailangang ito ay lubos na natutugunan ng hanay ng mga orthogonal function.

Mga Pag-andar ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6.2)

Ibinigay sa pagitan ay tinatawag na orthogonal,

kung sa. (6.3)

Ang batayan ng spectral analysis ng mga signal ay ang representasyon ng mga function ng oras sa anyo ng isang serye o Fourier integral. Anumang panaka-nakang signal s(t) na nakakatugon sa kondisyon ng Dirichlet ay dapat na kinakatawan bilang isang serye sa mga tuntunin ng trigonometric functions

Ang halaga a 0, na nagpapahayag ng average na halaga ng signal sa paglipas ng panahon, ay karaniwang tinatawag na pare-parehong bahagi. Ito ay kinakalkula ayon sa formula

Tunay na maginhawa ang kumplikadong anyo ng pagsulat ng seryeng Fourier

Halaga Ak ay ang kumplikadong amplitude, ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Ang mga relasyon (6.8) at (6.9) ay bumubuo ng isang pares ng discrete Fourier transforms. Dapat pansinin na ang serye ng Fourier ay maaaring kumatawan hindi lamang sa isang pana-panahong signal, kundi pati na rin sa anumang signal ng may hangganan na tagal. Sa huling kaso, ang signal S(t) ay kinuha na pana-panahong ipagpatuloy sa buong axis ng oras. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay (6.4) o (6.8) ay kumakatawan lamang sa isang senyales sa pagitan ng tagal nito (- T/2,T/2). Random na signal (o interference) na ibinigay sa pagitan (- T/2,T/2), dapat ding kinakatawan ng seryeng Fourier

saan isang k at b k ay mga random na variable (para sa fluctuation na ingay - independiyenteng random na may normal na distribusyon).

Ang serye ng Fourier at ang kanilang aplikasyon sa teknolohiya ng komunikasyon - konsepto at mga uri. Pag-uuri at mga tampok ng kategoryang "Fourier series at ang kanilang aplikasyon sa teknolohiya ng komunikasyon" 2017, 2018.

Na medyo nagsawa na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang pagkain mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, upang ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Tila hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay nagpapahiram sa kanilang sarili
"reunion". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.

Sa araling ito, makikilala natin ang trigonometric Fourier series, hipuin ang isyu ng convergence at sum nito, at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa para sa pagpapalawak ng mga function sa isang Fourier series. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies", ngunit ito ay magiging tuso, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang mga seksyon ng mathematical analysis at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay ng mga astronaut =)

Una, ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina ay dapat na lapitan sa mahusay na hugis. Inaantok, pahinga at matino. Nang walang malakas na emosyon tungkol sa sirang paa ng hamster at mapanghimasok na mga kaisipan tungkol sa hirap ng buhay isda sa aquarium. Ang seryeng Fourier ay hindi mahirap sa mga tuntunin ng pag-unawa, gayunpaman, ang mga praktikal na gawain ay nangangailangan ng simple tumaas na konsentrasyon pansin - sa isip, dapat mong ganap na iwanan ang panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at ang sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. Katotohanan.

Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan, kailangang mag-aral dashboard barko sa kalawakan. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:

Para sa anumang natural na halaga:

isa). At sa katunayan, ang sinusoid ay "nagkislap" ng x-axis sa bawat "pi":
. Sa kaso ng mga negatibong halaga ng argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .

2). Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi en" ay katumbas ng "flashing light":

Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago sa kaso: .

Marahil sapat na.

At pangatlo, mahal na kosmonaut corps, kailangan mong ... pagsamahin.
Sa partikular, sigurado magdala ng function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin ayon sa mga bahagi at makipagkasundo sa iyo Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Lubos kong inirerekumenda na laktawan ito, upang sa ibang pagkakataon ay hindi ka ma-flatten sa zero gravity:

Halimbawa 1

Kalkulahin ang mga tiyak na integral

kung saan tumatagal ng mga natural na halaga.

Solusyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na "x" at sa yugtong ito ang discrete variable na "en" ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral dalhin ang function sa ilalim ng sign ng differential:

Isang maikling bersyon ng solusyon, na magandang kunan, ganito ang hitsura:

Masanay sa:

Ang apat na natitirang puntos ay sa kanilang sarili. Subukang tratuhin ang gawain nang maingat at ayusin ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos ng KALIDAD na ehersisyo, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa pagitan

Isaalang-alang natin ang isang function na determinado hindi bababa sa pagitan (at, marahil, sa isang mas malaking agwat). Kung ang function na ito ay integrable sa segment , maaari itong palawakin sa isang trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.

Sa kasong ito, ang numero ay tinatawag panahon ng agnas, at ang numero ay kalahating buhay na agnas.

Malinaw, sa pangkalahatang kaso, ang seryeng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine:

Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:

Ang zero term ng serye ay karaniwang isinusulat bilang .

Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

Naiintindihan kong lubos na ang mga bagong termino ay malabo pa rin para sa mga nagsisimula upang pag-aralan ang paksa: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients atbp. Huwag mag-panic, hindi ito maihahambing sa excitement bago pumunta kalawakan. Alamin natin ang lahat sa pinakamalapit na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na magtanong ng pagpindot sa mga praktikal na katanungan:

Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan na gumuhit ng isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.

Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?

Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, iyon ay, bumuo at mag-compute ng tatlo mga tiyak na integral.

Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Tuwang-tuwa ako na ang ilan sa mga bisita sa site ay may pangarap noong bata pa na maging isang astronaut na nagkatotoo sa harap ng aking mga mata =)

Halimbawa 2

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye at isang bahagyang kabuuan.

Solusyon: ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.

Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:

Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon .

Pinalawak namin ang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo mga tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:

1) Ang unang integral ay ang pinakasimple, gayunpaman, nangangailangan na ito ng mata at mata:

2) Ginagamit namin ang pangalawang formula:

Ang integral na ito ay kilala at unti-unti niyang kinukuha:

Kapag natagpuang ginamit paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng differential sign.

Sa gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin kaagad formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral :

Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil mayroong isang pare-pareho sa harap ng orihinal na integral. Huwag nating mawala ito! Maaaring mabuksan ang mga panaklong sa anumang karagdagang hakbang, ginawa ko ito sa pinakahuling pagliko. Sa unang "piraso" nagpapakita kami ng matinding katumpakan sa pagpapalit, tulad ng nakikita mo, ang pare-pareho ay wala sa negosyo, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito naka-highlight sa mga square bracket. Well, ang integral ng pangalawang "piraso" ng formula ay kilala sa iyo mula sa gawain sa pagsasanay ;-)

At ang pinakamahalaga - ang sukdulang konsentrasyon ng atensyon!

3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:

Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din isinama ng mga bahagi:

Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang:

(1) Ang buong expression ay nakapaloob sa malalaking bracket.. Hindi ko nais na mukhang isang mainip, nawala nila ang pare-pareho masyadong madalas.

(2) B kasong ito Agad kong binuksan ang malalaking bracket na iyon. Espesyal na atensyon itinatalaga namin ang unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng rekord, ipinapayong muli na i-highlight ang pagkilos na ito sa mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang fraction pagkatapos magbukas ng malalaking bracket, at ang pare-pareho - bilang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral ;-)

(3) Sa mga square bracket, nagsasagawa kami ng mga pagbabago, at sa tamang integral, pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.

(4) Inalis namin ang "flasher" mula sa mga square bracket: , pagkatapos ay binuksan namin ang mga panloob na bracket: .

(5) Kinakansela namin ang 1 at -1 sa mga panaklong, ginagawa namin ang panghuling pagpapasimple.

Sa wakas ay natagpuan ang lahat ng tatlong Fourier coefficient:

Ipalit ang mga ito sa formula :

Huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha mula sa kabuuan.

Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Pag-aralan natin ang tanong ng convergence ng seryeng Fourier. Ipapaliwanag ko sa partikular ang teorya Dirichlet theorem, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na mga formulation, mangyaring sumangguni sa isang aklat-aralin sa calculus (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit mas mahirap dito).

Sa ikalawang bahagi ng gawain, kinakailangan na gumuhit ng isang graph, isang serye ng sum graph at isang bahagyang sum graph.

Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa eroplano, na iginuhit gamit ang isang itim na tuldok na linya:

Nakikitungo kami sa kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang functional na serye ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier para sa anumang halaga ng "x" converges sa function na ipinapakita sa pula. Ang pagpapaandar na ito ay napapailalim sa mga break ng 1st kind sa mga puntos , ngunit tinukoy din sa mga ito (mga pulang tuldok sa pagguhit)

Sa ganitong paraan: . Madaling makita na kapansin-pansing naiiba ito sa orihinal na function , kaya naman sa notasyon isang tilde ang ginagamit sa halip na isang equals sign.

Pag-aralan natin ang isang algorithm kung saan ito ay maginhawa upang bumuo ng kabuuan ng isang serye.

Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong function (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok na linya ng linear na function).

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa likas na katangian ng itinuturing na trigonometriko na pagpapalawak. Fourier serye kasama lang ang mga periodic function (constant, sines at cosine), kaya ang kabuuan ng serye ay isa ring periodic function.

Ano ang ibig sabihin nito sa ating tiyak na halimbawa? At nangangahulugan ito na ang kabuuan ng serye –kinakailangang pana-panahon at ang pulang bahagi ng pagitan ay dapat na walang katapusan na paulit-ulit sa kaliwa at kanan.

Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa wakas ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas". Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.

Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Buweno, at higit pang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang gawing malinaw na ang tsart ay nagpapatuloy.

Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng discontinuity "jump" (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano mahahanap ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": para dito, kinakalkula natin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng central expansion period: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "ibabang palapag", ang pinakamadaling paraan ay kunin ang pinakakaliwang halaga ng parehong panahon: . Ang ordinate ng mean na halaga ay ang arithmetic mean ng kabuuan ng "itaas at ibaba": . Maganda ang katotohanan na kapag nagtatayo ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay tama o hindi tama ang pagkalkula.

Bumuo tayo ng bahagyang kabuuan ng serye at sabay ulitin ang kahulugan ng terminong "convergence". Nalaman ang motibo mula sa aralin tungkol sa ang kabuuan ng serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:

Upang makagawa ng bahagyang kabuuan, kailangan mong isulat ang zero + dalawa pang termino ng serye. Yan ay,

Sa pagguhit, ang graph ng function ay ipinapakita sa berde, at, tulad ng nakikita mo, ito ay bumabalot sa kabuuang kabuuan nang medyo mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya ang mga pulang linya nang mas tumpak, kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment, atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang kabuuan ay tuluy-tuloy na pag-andar, ngunit ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.

Sa pagsasagawa, hindi karaniwan na bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gagawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment , kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (kaysa sa mas maraming puntos isaalang-alang - magiging mas tumpak ang iskedyul). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng graph sa tuldok , at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Pagkatapos ng lahat, ang approximation ay isa ring periodic function ... ... ang graph nito sa paanuman ay nagpapaalala sa akin ng isang pantay na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.

Siyempre, hindi masyadong maginhawa upang isagawa ang konstruksiyon, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, pasayahin ko ang mga mambabasa na salungat sa pagguhit - sa isang "tunay" na gawain, malayo sa palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit, sa isang lugar sa 50% ng mga kaso kinakailangan na palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at iyon ay ito.

Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:

Sagot:

Sa maraming mga gawain, ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind mismo sa panahon ng agnas:

Halimbawa 3

Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na ibinigay sa pagitan . Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.

Ang iminungkahing function ay ibinibigay nang paisa-isa (at, bale, sa segment lang) at magtiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay pinagsama sa kanilang mga pagitan, kaya ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:

Ang pangalawang integral ay naging katumbas ng zero, na nagbawas ng trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.

Dalawang iba pang mga Fourier coefficient ang nakasulat nang magkatulad.

Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan ay gumuhit kami ng isang tuwid na linya ng segment , at sa pagitan - isang tuwid na linya ng segment (i-highlight ang seksyon ng axis sa bold-bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako, maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay nagtatagpo sa isang nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: limitasyon sa kaliwang kamay:, limitasyon sa kanang kamay: at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.

Dahil sa periodicity ng sum , ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga kalapit na panahon, sa partikular, ilarawan ang parehong bagay sa mga pagitan at . Sa kasong ito, sa mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga median na halaga.

Sa totoo lang, wala namang bago dito.

Subukang lutasin ang problemang ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng magandang disenyo at pagguhit sa pagtatapos ng aralin.

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa isang arbitrary na panahon

Para sa isang arbitrary na panahon ng pagpapalawak, kung saan ang "el" ay anumang positibong numero, ang mga formula para sa Fourier series at Fourier coefficient ay naiiba sa isang bahagyang mas kumplikadong argumento ng sine at cosine:

Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula para sa pagitan kung saan kami nagsimula.

Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nagdaragdag:

Halimbawa 4

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan.

Solusyon: sa katunayan, isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Ang function ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan , ngunit hindi nito binabago ang mga bagay - mahalaga na ang parehong bahagi ng function ay mapagsasama.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:

Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang ang kabuuan ng dalawang integral:

1) Isusulat ko ang unang integral bilang detalyado hangga't maaari:

2) Maingat na sumilip sa ibabaw ng buwan:

Pangalawang integral kumuha ng mga bahagi:

Ano ang dapat mong bigyang pansin pagkatapos naming buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?

Una, hindi natin nawawala ang unang integral , kung saan agad naming pinaandar pagdadala sa ilalim ng tanda ng kaugalian. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa pamamagitan ng mga palatandaan kapag ginagamit ang formula . Malaking bracket, pagkatapos ng lahat, ito ay mas maginhawa upang buksan kaagad sa susunod na hakbang.

Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan, tanging ang hindi sapat na karanasan sa paglutas ng mga integral ay maaaring maging sanhi ng mga paghihirap.

Oo, hindi walang kabuluhan na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - paano siya nangahas na i-decompose ang mga function sa trigonometrikong serye ?! =) Siyanga pala, malamang lahat ay interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ang nagtrabaho matematikal na modelo thermal conductivity, at nang maglaon ang seryeng ipinangalan sa kanya ay nagsimulang gamitin upang pag-aralan ang maraming pana-panahong proseso, na tila hindi nakikita sa nakapaligid na mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa isang panaka-nakang ritmo ng puso. Ang mga interesado ay maaaring maging pamilyar sa praktikal na aplikasyon Nag-transform si Fourier mula sa mga mapagkukunan ng third party. ... Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)

3) Dahil sa paulit-ulit na binanggit na mahinang mga link, nakikitungo kami sa ikatlong koepisyent:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

Pinapalitan namin ang natagpuang Fourier coefficients sa formula , hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:

I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: sa pagitan ay nagtatayo tayo ng isang linya, at sa pagitan - isang linya. Sa isang zero na halaga ng "x", inilalagay namin ang isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang tsart para sa mga kalapit na panahon:


Sa "mga junction" ng mga yugto, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.

handa na. Ipinapaalala ko sa iyo na ang function mismo ay may kondisyong tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, nag-tutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan

Sagot:

Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy din sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng sample: . Solusyon (Tingnan ang Bohan Tomo 2) ay katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng pag-andar sa puntong , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.

Sa pagitan ng breakup mga discontinuity point ng 1st kind at / o "junction" na mga punto ng graph ay maaaring higit pa (dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan anuman pangwakas halaga). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan, hindi ko naaalala ang gayong lata. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa isinasaalang-alang lamang, at sa dulo ng artikulo para sa lahat ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado.

Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pag-isipan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:

Halimbawa 5

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.

Sa gawaing ito, ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng agnas, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa #2. Hindi ka makakalayo sa sasakyang pangkalawakan - kailangan mong magpasya =) Sample na disenyo sa pagtatapos ng aralin, ang iskedyul ay nakalakip.

Fourier series na pagpapalawak ng even at odd na function

Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At dahil jan. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng function sa isang seryeng Fourier sa panahon ng "dalawang pi" at arbitrary na panahon "dalawang ale" .

Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng mga kahit na cosine at kakaibang sine. At kung nabubulok natin ang isang EVEN function, bakit kailangan natin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .

Sa ganitong paraan, ang isang even function ay lumalawak sa isang Fourier series lamang sa mga cosine:

Dahil ang integral ng even functions sa isang segment ng integration symmetric na may paggalang sa zero ay maaaring doblehin, pagkatapos ay ang iba pang mga Fourier coefficients ay pinasimple din.

Para sa span:

Para sa arbitrary na pagitan:

Ang mga halimbawa ng Textbook na makikita sa halos anumang calculus textbook ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng even functions . Bilang karagdagan, paulit-ulit silang nagkita sa aking personal na pagsasanay:

Halimbawa 6

Nabigyan ng function. Kailangan:

1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;

2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.

Solusyon: sa unang talata, iminungkahi na lutasin ang problema sa pangkalahatang paraan, at ito ay napaka-maginhawa! Magkakaroon ng pangangailangan - palitan lamang ang iyong halaga.

1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Sa kurso ng mga karagdagang aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho

Ang function ay pantay, na nangangahulugan na ito ay lumalawak sa isang seryeng Fourier sa mga cosine lamang: .

Ang mga fourier coefficient ay hinahanap ng mga formula . Bigyang-pansin ang kanilang ganap na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugang ligtas nating mapupuksa ang module , isinasaalang-alang lamang ang "x" mula sa dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.

Dalawa:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

Sa ganitong paraan:
, habang ang constant , na hindi nakadepende sa "en", ay kinuha sa kabuuan.

Sagot:

2) Isinulat namin ang pagpapalawak sa pagitan, para dito pinapalitan namin ang nais na halaga ng kalahating panahon sa pangkalahatang formula:

Sa maraming mga kaso, ang gawain ng pagkuha (pagkalkula) ng signal spectrum ay ang mga sumusunod. Mayroong ADC, na may dalas ng sampling na Fd ay nagko-convert ng tuluy-tuloy na signal na dumarating sa input nito sa oras ng T, sa mga digital na pagbabasa - N piraso. Susunod, ang hanay ng mga pagbabasa ay pinapakain sa isang tiyak na programa na nagbibigay ng N / 2 ng ilang mga numerical na halaga (ang programmer na nakuha mula sa internet nagsulat ng isang programa, inaangkin na ginagawa nito ang pagbabago ng Fourier).

Upang suriin kung gumagana nang tama ang programa, bubuo kami ng isang hanay ng mga pagbabasa bilang kabuuan ng dalawang sinusoids sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) at ipasok ito sa programa. Iginuhit ng programa ang mga sumusunod:

fig.1 Graph ng function ng oras ng signal

fig.2 Graph ng signal spectrum

Sa spectrum graph mayroong dalawang stick (harmonics) 5 Hz na may amplitude na 0.5 V at 10 Hz - na may amplitude na 1 V, lahat tulad ng sa formula ng orihinal na signal. Maayos ang lahat, mahusay na programmer! Ang programa ay gumagana nang tama.

Nangangahulugan ito na kung mag-aplay tayo ng isang tunay na signal mula sa isang pinaghalong dalawang sinusoid sa input ng ADC, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang katulad na spectrum na binubuo ng dalawang harmonika.

Kabuuan, ang aming totoo sinusukat na signal, tagal ng 5 sec, na-digitize ng ADC, ibig sabihin, kinakatawan discrete binibilang, may discrete non-periodic spectrum.

Mula sa isang mathematical point of view - gaano karaming mga error ang nasa pariralang ito? Ngayon ay nagpasya ang mga awtoridad na napagpasyahan namin na ang 5 segundo ay masyadong mahaba, sukatin natin ang signal sa loob ng 0.5 segundo.
fig.3 Graph ng function na sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) para sa panahon ng pagsukat na 0.5 sec

fig.4 Function spectrum

May hindi tama! Ang 10 Hz harmonic ay iginuhit nang normal, ngunit sa halip na isang 5 Hz stick, maraming hindi maintindihan na harmonic ang lumitaw. Tumingin kami sa Internet, ano at paano ...

Sa, sinasabi nila na ang mga zero ay dapat idagdag sa dulo ng sample at ang spectrum ay iguguhit nang normal.

fig.5 Natapos ang mga zero hanggang 5 segundo

fig.6 Nakuha namin ang spectrum

Hindi pa rin kung ano ito sa 5 segundo. Kailangan mong harapin ang teorya. Pumunta tayo sa Wikipedia- pinagmumulan ng kaalaman.

2. Isang tuluy-tuloy na function at ang representasyon nito sa pamamagitan ng seryeng Fourier

Sa matematika, ang aming signal na may tagal na T segundo ay isang tiyak na function na f(x) na ibinigay sa pagitan (0, T) (X sa kasong ito ay oras). Ang ganitong function ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga harmonic function (sine o cosine) ng form:

(1), kung saan:

k - trigonometric function number (bilang ng harmonic component, harmonic number) T - segment kung saan tinukoy ang function (signal duration) Ak - amplitude ng kth harmonic component, θk - initial phase ng kth harmonic component

Ano ang ibig sabihin ng "kumakatawan sa isang function bilang kabuuan ng isang serye"? Nangangahulugan ito na sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga halaga ng mga harmonic na bahagi ng seryeng Fourier sa bawat punto, makukuha natin ang halaga ng ating function sa puntong ito.

(Higit na mahigpit, ang karaniwang paglihis ng serye mula sa function na f(x) ay magiging zero, ngunit sa kabila ng root-mean-square convergence, ang Fourier series ng function, sa pangkalahatan, ay hindi kinakailangan na mag-converge sa puntong ito. . Tingnan ang https://ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Ang seryeng ito ay maaari ding isulat bilang:

(2), kung saan , k-th complex amplitude.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga coefficient (1) at (3) ay ipinahayag ng mga sumusunod na formula:

Tandaan na ang lahat ng tatlong representasyong ito ng seryeng Fourier ay ganap na katumbas. Minsan, kapag nagtatrabaho sa serye ng Fourier, mas maginhawang gamitin ang mga exponents ng haka-haka na argumento sa halip na mga sine at cosine, iyon ay, gamitin ang Fourier transform sa kumplikadong anyo. Ngunit ito ay maginhawa para sa amin na gumamit ng formula (1), kung saan ang serye ng Fourier ay kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga cosine wave na may kaukulang amplitudes at phase. Sa anumang kaso, hindi tama na sabihin na ang resulta ng Fourier transform ng tunay na signal ay ang mga kumplikadong amplitude ng harmonika. Tulad ng sinabi ng wiki, "Ang Fourier transform (ℱ) ay isang operasyon na nagmamapa ng isang function ng isang tunay na variable sa isa pang function, gayundin ng isang tunay na variable."

Kabuuan: Ang mathematical na batayan ng spectral analysis ng mga signal ay ang Fourier transform.

Ang Fourier transform ay nagbibigay-daan sa amin na kumatawan sa isang tuluy-tuloy na function na f(x) (signal) na tinukoy sa segment (0, T) bilang kabuuan ng isang infinite number (isang infinite series) ng trigonometric functions (sine at/o cosine) na may ilang amplitudes at phase, isinasaalang-alang din sa segment (0, T). Ang nasabing serye ay tinatawag na seryeng Fourier.

May ilan pang mga punto na kailangang maunawaan upang tamang aplikasyon Nag-transform si Fourier sa pagsusuri ng signal. Kung isasaalang-alang natin ang seryeng Fourier (ang kabuuan ng sinusoid) sa buong X-axis, makikita natin na sa labas ng segment (0, T) ang function na kinakatawan ng seryeng Fourier ay pana-panahong uulitin ang ating function.

Halimbawa, sa graph sa Fig. 7, ang orihinal na function ay tinukoy sa segment (-T \ 2, + T \ 2), at ang Fourier series ay kumakatawan sa isang periodic function na tinukoy sa buong x-axis.

Ito ay dahil ang mga sinusoid mismo ay mga periodic function, ayon sa pagkakabanggit, at ang kanilang kabuuan ay magiging isang periodic function.

fig.7 Representasyon ng isang non-periodic na orihinal na function ng isang Fourier series

Sa ganitong paraan:

Ang aming orihinal na function ay tuloy-tuloy, hindi pana-panahon, na tinukoy sa isang tiyak na segment ng haba T. Ang spectrum ng function na ito ay discrete, iyon ay, ito ay ipinakita bilang isang walang katapusang serye ng mga harmonic na bahagi - ang Fourier series. Sa katunayan, ang isang tiyak na periodic function ay tinukoy ng Fourier series, na tumutugma sa atin sa segment (0, T), ngunit ang periodicity na ito ay hindi mahalaga para sa amin.

Ang mga panahon ng mga harmonic na bahagi ay multiple ng segment (0, T) kung saan tinukoy ang orihinal na function na f(x). Sa madaling salita, ang mga harmonic period ay multiple ng tagal ng pagsukat ng signal. Halimbawa, ang panahon ng unang harmonic ng seryeng Fourier ay katumbas ng interval T kung saan tinukoy ang function na f(x). Ang panahon ng ikalawang harmonic ng seryeng Fourier ay katumbas ng pagitan ng T/2. At iba pa (tingnan ang Fig. 8).

fig.8 Mga yugto (mga frequency) ng mga harmonic na bahagi ng seryeng Fourier (dito T=2π)

Alinsunod dito, ang mga frequency ng mga harmonic na bahagi ay multiple ng 1/T. Ibig sabihin, ang mga frequency ng mga harmonic na sangkap na Fk ay katumbas ng Fk= k\T, kung saan ang k ay mula 0 hanggang ∞, halimbawa, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (sa zero frequency - constant component).

Hayaang ang aming orihinal na function ay isang signal na naitala para sa T=1 seg. Pagkatapos ang panahon ng unang harmonic ay magiging katumbas ng tagal ng ating signal T1=T=1 sec at ang dalas ng harmonic ay 1 Hz. Ang panahon ng ikalawang harmonic ay magiging katumbas ng tagal ng signal na hinati ng 2 (T2=T/2=0.5 sec) at ang frequency ay 2 Hz. Para sa ikatlong harmonic T3=T/3 sec at ang frequency ay 3 Hz. At iba pa.

Ang hakbang sa pagitan ng mga harmonika sa kasong ito ay 1 Hz.

Kaya, ang isang signal na may tagal na 1 segundo ay maaaring mabulok sa mga harmonic na bahagi (upang makakuha ng spectrum) na may frequency resolution na 1 Hz. Upang taasan ang resolution ng 2 beses sa 0.5 Hz, kinakailangan upang taasan ang tagal ng pagsukat ng 2 beses - hanggang 2 segundo. Ang isang signal na may tagal na 10 segundo ay maaaring mabulok sa mga harmonic na bahagi (upang makakuha ng spectrum) na may frequency resolution na 0.1 Hz. Walang ibang mga paraan upang mapataas ang resolution ng dalas.

Mayroong isang paraan upang artipisyal na taasan ang tagal ng signal sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga zero sa hanay ng mga sample. Ngunit hindi nito pinapataas ang tunay na resolusyon ng dalas.

3. Mga discrete signal at discrete Fourier transform

Sa pag-unlad ng digital na teknolohiya, ang mga paraan ng pag-iimbak ng data ng pagsukat (mga signal) ay nagbago din. Kung mas maaga ang signal ay maaaring maitala sa isang tape recorder at naka-imbak sa tape sa analog form, ngayon ang mga signal ay digitized at naka-imbak sa mga file sa memorya ng computer bilang isang set ng mga numero (bilang).

Ang karaniwang pamamaraan para sa pagsukat at pag-digitize ng signal ay ang mga sumusunod.

fig.9 Scheme ng channel ng pagsukat

Ang signal mula sa pagsukat ng transducer ay dumarating sa ADC sa isang yugto ng panahon na T. Ang mga sample ng signal (sample) na nakuha sa panahon ng T ay inililipat sa computer at nakaimbak sa memorya.

fig.10 Digitized signal - N pagbabasa na natanggap sa oras T

Ano ang mga kinakailangan para sa mga parameter ng pag-digitize ng signal? Ang isang device na nagko-convert ng input analog signal sa discrete code (digital signal) ay tinatawag na analog-to-digital converter (ADC, English Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Ang isa sa mga pangunahing parameter ng ADC ay ang maximum na sampling rate (o sampling rate, English sample rate) - ang dalas ng pagkuha ng mga sample ng isang signal na tuloy-tuloy sa oras sa panahon ng sampling nito. Sinusukat sa hertz. ((Wiki))

Ayon sa Kotelnikov theorem, kung ang isang tuluy-tuloy na signal ay may spectrum na limitado ng frequency Fmax, maaari itong ganap at natatanging maibalik mula sa mga discrete sample nito na kinuha sa mga agwat ng oras. , ibig sabihin. na may frequency Fd ≥ 2*Fmax, kung saan Fd - sampling frequency; Fmax - maximum na dalas ng signal spectrum. Sa madaling salita, ang signal sampling rate (ADC sampling rate) ay dapat na hindi bababa sa 2 beses ang maximum frequency ng signal na gusto nating sukatin.

At ano ang mangyayari kung kukuha tayo ng mga pagbabasa na may mas mababang dalas kaysa sa kinakailangan ng Kotelnikov theorem?

Sa kasong ito, nangyayari ang epekto ng "aliasing" (aka stroboscopic effect, moire effect), kung saan ang isang high-frequency na signal pagkatapos ng digitization ay nagiging isang low-frequency na signal na hindi talaga umiiral. Sa fig. 11 high frequency red sine wave ang tunay na signal. Ang mas mababang dalas ng asul na sine wave ay isang dummy signal na nagreresulta mula sa katotohanan na sa panahon ng sampling oras higit sa kalahati ng isang panahon ng high-frequency signal ay may oras upang pumasa.

kanin. 11. Ang paglitaw ng isang maling signal ng mababang dalas kapag ang sampling rate ay hindi sapat na mataas

Upang maiwasan ang epekto ng pag-alyas, isang espesyal na anti-aliasing na filter ang inilalagay sa harap ng ADC - LPF (low-pass filter), na pumasa sa mga frequency sa ibaba ng kalahati ng ADC sampling frequency, at pumapatay sa mas matataas na frequency.

Upang makalkula ang spectrum ng isang signal mula sa mga discrete sample nito, ginagamit ang discrete Fourier transform (DFT). Muli naming tandaan na ang spectrum ng isang discrete signal ay "sa pamamagitan ng kahulugan" na nililimitahan ng frequency Fmax, na mas mababa sa kalahati ng sampling frequency Fd. Samakatuwid, ang spectrum ng isang discrete signal ay maaaring katawanin ng kabuuan ng isang may hangganan na bilang ng mga harmonika, kabaligtaran sa walang katapusang kabuuan para sa serye ng Fourier ng tuloy-tuloy na signal, ang spectrum nito ay maaaring walang limitasyon. Ayon sa Kotelnikov theorem, ang maximum harmonic frequency ay dapat na tulad na ito ay account para sa hindi bababa sa dalawang sample, kaya ang bilang ng harmonics ay katumbas ng kalahati ng bilang ng mga sample ng discrete signal. Iyon ay, kung mayroong N sample sa sample, kung gayon ang bilang ng mga harmonika sa spectrum ay magiging katumbas ng N/2.

Isaalang-alang ngayon ang discrete Fourier transform (DFT).

Paghahambing sa seryeng Fourier

nakikita namin na nag-tutugma sila, maliban na ang oras sa DFT ay discrete at ang bilang ng mga harmonika ay limitado sa N/2 - kalahati ng bilang ng mga sample.

Ang mga formula ng DFT ay nakasulat sa mga variable na walang sukat na integer k, s, kung saan ang k ay ang mga bilang ng mga sample ng signal, s ang mga bilang ng mga spectral na bahagi. Ang halaga ng s ay nagpapakita ng bilang ng mga buong oscillations ng harmonic sa panahon T (ang tagal ng pagsukat ng signal). Ang discrete Fourier transform ay ginagamit upang mahanap ang mga amplitude at phase ng harmonics ayon sa numero, i.e. "sa kompyuter"

Pagbabalik sa mga resulta na nakuha sa simula. Gaya ng nabanggit sa itaas, kapag pinalawak ang isang non-periodic function (aming signal) sa isang Fourier series, ang resultang Fourier series ay aktwal na tumutugma sa isang periodic function na may period T. (Fig. 12).

fig.12 Periodic function f(x) na may period Т0, na may measurement period Т>T0

Gaya ng makikita sa Fig. 12, ang function na f(x) ay periodic na may period Т0. Gayunpaman, dahil sa katotohanan na ang tagal ng sample ng pagsukat na T ay hindi nag-tutugma sa panahon ng function na T0, ang function na nakuha bilang isang serye ng Fourier ay may discontinuity sa puntong T. Bilang resulta, ang spectrum ng function na ito ay naglalaman ng malaking bilang ng mataas na dalas ng mga harmonika. Kung ang tagal ng sample ng pagsukat na T ay nag-tutugma sa panahon ng function na T0, kung gayon ang unang harmonic (isang sinusoid na may period na katumbas ng tagal ng sample) ang makikita sa spectrum na nakuha pagkatapos ng Fourier transform, dahil ang function na f (x) ay isang sinusoid.

Sa madaling salita, ang programa ng DFT ay "hindi alam" na ang aming signal ay isang "piraso ng sine wave", ngunit sinusubukang kumatawan sa isang periodic function bilang isang serye, na may puwang dahil sa hindi pagkakapare-pareho ng mga indibidwal na piraso ng ang sine wave.

Bilang resulta, lumilitaw ang mga harmonika sa spectrum, na sa kabuuan ay dapat na kumakatawan sa hugis ng function, kasama ang discontinuity na ito.

Kaya, upang makuha ang "tamang" spectrum ng signal, na siyang kabuuan ng ilang sinusoid na may iba't ibang mga panahon, kinakailangan na ang isang integer na bilang ng mga yugto ng bawat sinusoid ay magkasya sa panahon ng pagsukat ng signal. Sa pagsasagawa, ang kundisyong ito ay maaaring matugunan para sa isang sapat na mahabang tagal ng pagsukat ng signal.

Fig.13 Isang halimbawa ng function at spectrum ng signal ng kinematic error ng gearbox

Sa mas maikling tagal, ang larawan ay magiging "mas masahol pa":

Fig.14 Isang halimbawa ng function at spectrum ng rotor vibration signal

Sa pagsasagawa, maaaring mahirap maunawaan kung nasaan ang "mga tunay na sangkap" at nasaan ang "mga artifact" na dulot ng hindi pagdami ng mga yugto ng mga bahagi at ang tagal ng sample ng signal o ang "paglukso at pagkasira" ng ang waveform. Siyempre, ang mga salitang "tunay na sangkap" at "mga artifact" ay wala sa mga panipi para sa wala. Ang pagkakaroon ng maraming harmonic sa spectrum graph ay hindi nangangahulugan na ang aming signal ay aktwal na "binubuo" ng mga ito. Ito ay tulad ng pag-iisip na ang numero 7 ay "binubuo" ng mga numero 3 at 4. Ang numero 7 ay maaaring katawanin bilang ang kabuuan ng mga numero 3 at 4 - ito ay tama.

Gayon din ang ating signal ... o sa halip, hindi kahit na ang "aming signal", ngunit ang isang pana-panahong pag-andar na pinagsama-sama sa pamamagitan ng pag-uulit ng ating signal (sampling) ay maaaring kinakatawan bilang isang kabuuan ng mga harmonika (sinusoids) na may ilang mga amplitude at phase. Ngunit sa maraming mga kaso na mahalaga para sa pagsasanay (tingnan ang mga figure sa itaas), posible talagang iugnay ang mga harmonika na nakuha sa spectrum sa mga tunay na proseso na paikot sa kalikasan at gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa hugis ng signal.

Ilang resulta

1. Ang tunay na sinusukat na signal, ang tagal ng T sec, na na-digitize ng ADC, iyon ay, kinakatawan ng isang set ng mga discrete sample (N piraso), ay may discrete non-periodic spectrum, na kinakatawan ng isang set ng harmonics (N/2 piraso ).

2. Ang signal ay kinakatawan ng isang hanay ng mga tunay na halaga at ang spectrum nito ay kinakatawan ng isang hanay ng mga tunay na halaga. Ang mga harmonic frequency ay positibo. Ang katotohanan na mas maginhawa para sa mga mathematician na kumatawan sa spectrum sa isang kumplikadong anyo gamit ang mga negatibong frequency ay hindi nangangahulugan na "ito ay tama" at "ito ay dapat palaging gawin sa ganitong paraan".

3. Ang signal na sinusukat sa time interval T ay tinutukoy lamang sa time interval T. Ano ang nangyari bago namin sinimulang sukatin ang signal, at kung ano ang mangyayari pagkatapos nito - ito ay hindi alam ng agham. At sa aming kaso - hindi ito kawili-wili. Ang DFT ng isang signal na limitado sa oras ay nagbibigay ng "tunay" na spectrum nito, sa kahulugan na, sa ilalim ng ilang mga kundisyon, pinapayagan kang kalkulahin ang amplitude at dalas ng mga bahagi nito.

Mga ginamit na materyales at iba pang kapaki-pakinabang na materyales.

Ang FourierScope ay isang programa para sa pagbuo ng mga signal ng radyo at ang kanilang spectral analysis. Ang Graph ay isang open source na programa para sa paglikha ng mga mathematical graph. DISCRETE FOURIER TRANSFORM - PAANO ITO GINAWA Discrete Fourier Transform (DFT)