स्कूल में, इन क्रियाओं का अध्ययन सरल से जटिल तक किया जाता है। इसलिए, इन कार्यों को करने के लिए एल्गोरिथम में अच्छी तरह से महारत हासिल करना नितांत आवश्यक है सरल उदाहरण. ताकि बाद में बंटवारे में दिक्कत न हो दशमलव भागएक कॉलम में। आखिरकार, यह ऐसे कार्यों का सबसे कठिन संस्करण है।
इस विषय को लगातार अध्ययन की आवश्यकता है। ज्ञान में अंतराल यहाँ अस्वीकार्य है। यह सिद्धांत पहली कक्षा में पहले से ही प्रत्येक छात्र द्वारा सीखा जाना चाहिए। इसलिए, यदि आप लगातार कई पाठ छोड़ते हैं, तो आपको सामग्री में स्वयं महारत हासिल करनी होगी। नहीं तो बाद में न केवल गणित बल्कि इससे जुड़े अन्य विषयों में भी दिक्कत होगी।
गणित के सफल अध्ययन के लिए दूसरी शर्त यह है कि जोड़, घटाव और गुणा में महारत हासिल करने के बाद ही कॉलम में विभाजन के उदाहरणों की ओर बढ़ना है।
यदि बच्चे ने गुणन सारणी नहीं सीखी है तो उसे भाग देना कठिन होगा। वैसे, इसे पाइथागोरस तालिका से सीखना बेहतर है। कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं है, और इस मामले में गुणा को पचाना आसान है।
कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है?
यदि विभाजन और गुणा के लिए एक कॉलम में उदाहरणों को हल करने में कठिनाई होती है, तो गुणा के साथ समस्या को हल करना शुरू करना आवश्यक है। क्योंकि विभाजन गुणन का विलोम है:
- दो संख्याओं को गुणा करने से पहले, आपको उन्हें ध्यान से देखना होगा। अधिक अंकों वाला (लंबा) चुनें, इसे पहले लिख लें। इसके नीचे दूसरा रखें। इसके अलावा, संबंधित श्रेणी की संख्या एक ही श्रेणी के अंतर्गत होनी चाहिए। यानी पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरे के सबसे दाहिने अंक से ऊपर होना चाहिए।
- नीचे की संख्या के सबसे दाहिने अंक को शीर्ष संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करें, दाईं ओर से शुरू करें। उत्तर को पंक्ति के नीचे इस प्रकार लिखें कि उसका अंतिम अंक उसी के नीचे हो जिससे उसे गुणा किया गया था।
- नीचे की संख्या के दूसरे अंक के साथ भी यही दोहराएं। लेकिन गुणन के परिणाम को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए। इस मामले में, इसका अंतिम अंक उसके नीचे होगा जिससे इसे गुणा किया गया था।
इस गुणन को एक कॉलम में तब तक जारी रखें जब तक कि दूसरे गुणक की संख्या समाप्त न हो जाए। अब उन्हें मोड़ने की जरूरत है। यह वांछित उत्तर होगा।
दशमलव अंशों के एक कॉलम में गुणा करने के लिए एल्गोरिदम
सबसे पहले, यह कल्पना की जानी चाहिए कि दशमलव अंश नहीं दिए गए हैं, बल्कि प्राकृतिक हैं। अर्थात्, उनमें से अल्पविराम हटा दें और फिर पिछले मामले में बताए अनुसार आगे बढ़ें।
अंतर तब शुरू होता है जब उत्तर लिखा जाता है। इस बिंदु पर, दोनों अंशों में दशमलव बिंदुओं के बाद की सभी संख्याओं को गिनना आवश्यक है। उत्तर के अंत से आपको उनमें से कितने को गिनने और वहां अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है।
इस एल्गोरिथ्म को एक उदाहरण के साथ स्पष्ट करना सुविधाजनक है: 0.25 x 0.33:
विभाजित करना सीखना कैसे शुरू करें?
किसी कॉलम में विभाजन के उदाहरणों को हल करने से पहले, उन संख्याओं के नाम याद रखना चाहिए जो विभाजन के उदाहरण में हैं। उनमें से पहला (जो विभाजित करता है) विभाज्य है। दूसरा (इससे विभाजित) एक भाजक है। उत्तर निजी है।
उसके बाद, एक साधारण दैनिक उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम इस गणितीय संक्रिया का सार समझाएंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप 10 मिठाइयाँ लेते हैं, तो उन्हें माँ और पिताजी के बीच समान रूप से विभाजित करना आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको उन्हें अपने माता-पिता और भाई को बांटना है?
उसके बाद, आप विभाजन के नियमों से परिचित हो सकते हैं और उन पर महारत हासिल कर सकते हैं ठोस उदाहरण. पहले सरल वाले, और फिर अधिक से अधिक जटिल वाले।
संख्याओं को कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम
सबसे पहले, हम एक अंक वाली संख्या से विभाज्य प्राकृत संख्याओं की प्रक्रिया प्रस्तुत करते हैं। वे बहु-अंकीय भाजक या दशमलव अंशों के लिए भी आधार होंगे। तभी इसे छोटे बदलाव करने चाहिए, लेकिन उस पर और बाद में:
- किसी कॉलम में भाग करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि लाभांश और भाजक कहाँ हैं।
- लाभांश लिखिए। इसके दाईं ओर एक विभक्त है।
- बाईं ओर एक कोना बनाएं और आखिरी कोने के पास नीचे।
- अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करें, अर्थात वह संख्या जो विभाजन के लिए न्यूनतम होगी। आमतौर पर इसमें एक अंक होता है, अधिकतम दो।
- वह संख्या चुनें जो उत्तर में सबसे पहले लिखी जाएगी। यह वह संख्या होनी चाहिए जितनी बार भाजक लाभांश में फिट बैठता है।
- इस संख्या को एक भाजक से गुणा करने का परिणाम लिखिए।
- इसे अपूर्ण भाजक के नीचे लिखिए। घटाव करें।
- जो भाग पहले ही विभाजित हो चुका है उसके बाद के पहले अंक को शेषफल पर ले जाएँ।
- उत्तर के लिए फिर से संख्या चुनें।
- गुणा और घटाव दोहराएं। यदि शेषफल शून्य है और लाभांश समाप्त हो गया है, तो उदाहरण किया जाता है। अन्यथा, चरणों को दोहराएं: संख्या को ध्वस्त करें, संख्या उठाएं, गुणा करें, घटाएं।
भाजक में एक से अधिक अंक होने पर लॉन्ग डिवीजन को कैसे हल करें?
एल्गोरिथ्म स्वयं पूरी तरह से ऊपर वर्णित के साथ मेल खाता है। अंतर अपूर्ण लाभांश में अंकों की संख्या का होगा। अब उनमें से कम से कम दो होने चाहिए, लेकिन अगर वे निकले तो कम भाजक, तो इसे पहले तीन अंकों के साथ काम करना चाहिए।
इस विभाजन में एक और बारीकियां है। तथ्य यह है कि शेषफल और उस तक ले जाए गए अंक कभी-कभी भाजक द्वारा विभाज्य नहीं होते हैं। फिर इसे क्रम में एक और आकृति का श्रेय देना चाहिए। लेकिन साथ ही, उत्तर शून्य होना चाहिए। यदि तीन अंकों की संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है, तो दो से अधिक अंकों को ध्वस्त करने की आवश्यकता हो सकती है। फिर नियम पेश किया जाता है: उत्तर में शून्य नीचे दिए गए अंकों की संख्या से एक कम होना चाहिए।
आप इस तरह के विभाजन पर उदाहरण - 12082: 863 का उपयोग करके विचार कर सकते हैं।
- इसमें अपूर्ण विभाज्य संख्या 1208 है। इसमें संख्या 863 को केवल एक बार रखा गया है। इसलिए, प्रत्युत्तर में, इसे 1 लगाना चाहिए और 1208 के अंतर्गत 863 लिखना चाहिए।
- घटाने के बाद, शेष 345 है।
- उसके लिए आपको नंबर 2 को ध्वस्त करने की जरूरत है।
- संख्या 3452 में 863 चार बार फिट बैठता है।
- उत्तर में चार लिखे जाने चाहिए। इसके अलावा, जब 4 से गुणा किया जाता है, तो यह संख्या प्राप्त होती है।
- घटाने के बाद शेषफल शून्य है। यानी विभाजन पूरा हो गया है।
उदाहरण में उत्तर 14 है।
क्या होगा यदि लाभांश शून्य में समाप्त होता है?
या कुछ शून्य? इस मामले में, शून्य शेष प्राप्त होता है, और लाभांश में अभी भी शून्य होते हैं। निराशा न करें, सब कुछ जितना आसान लगता है उससे कहीं अधिक आसान है। यह उत्तर देने के लिए केवल उन सभी शून्यों का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है जो अविभाजित रहे।
उदाहरण के लिए, आपको 400 को 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। अधूरा लाभांश 40 है। इसमें 8 बार पांच रखा जाता है। इसका मतलब है कि उत्तर 8 लिखा जाना चाहिए। घटाते समय, कोई शेष नहीं होता है। यानी विभाजन खत्म हो गया है, लेकिन लाभांश में शून्य रहता है। इसे उत्तर में जोड़ना होगा। इस प्रकार, 400 को 5 से भाग देने पर 80 प्राप्त होता है।
क्या होगा यदि आपको दशमलव को विभाजित करने की आवश्यकता है?
फिर, यह संख्या एक प्राकृतिक संख्या की तरह दिखती है, यदि अल्पविराम के लिए पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग नहीं किया जाता है। इससे पता चलता है कि दशमलव अंशों का एक कॉलम में विभाजन ऊपर वर्णित के समान है।
केवल अर्धविराम का अंतर होगा। इसका उत्तर तुरंत दिया जाना चाहिए, जैसे ही भिन्नात्मक भाग से पहला अंक हटा दिया जाता है। दूसरे तरीके से, इसे इस तरह कहा जा सकता है: पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है - एक अल्पविराम लगाएं और समाधान को आगे जारी रखें।
दशमलव अंशों वाले कॉलम में विभाजित करने के उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या में शून्य निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। कभी-कभी संख्याओं को अंत तक पूरा करने के लिए यह आवश्यक होता है।
दो दशमलवों का विभाजन
यह जटिल लग सकता है। लेकिन केवल शुरुआत में। आखिरकार, एक प्राकृतिक संख्या द्वारा अंशों के एक स्तंभ में विभाजन कैसे किया जाता है, यह पहले से ही स्पष्ट है। इसलिए, हमें इस उदाहरण को पहले से ही परिचित रूप में कम करने की आवश्यकता है।
इसे आसान बनाएं। यदि कार्य की आवश्यकता हो तो आपको दोनों भिन्नों को 10, 100, 1,000, या 10,000, या शायद एक मिलियन से गुणा करना होगा। भाजक के दशमलव भाग में कितने शून्य हैं, इसके आधार पर गुणक का चयन किया जाना चाहिए। यही है, परिणामस्वरूप, यह पता चला है कि आपको एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।
और यह में होगा सबसे खराब मामला. आखिरकार, यह पता चल सकता है कि इस ऑपरेशन से लाभांश एक पूर्णांक बन जाता है। फिर अंशों के एक स्तंभ में विभाजन के साथ उदाहरण का समाधान कम कर दिया जाएगा सरल विकल्प: प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन।
एक उदाहरण के रूप में: 28.4 3.2 से विभाजित:
- सबसे पहले, उन्हें 10 से गुणा किया जाना चाहिए, क्योंकि दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। गुणा करने पर 284 और 32 प्राप्त होंगे।
- उन्हें विभाजित किया जाना चाहिए। और एक बार में पूरी संख्या 284 बटा 32 है.
- उत्तर के लिए पहली सुमेलित संख्या 8 है। इसे गुणा करने पर 256 प्राप्त होता है। शेष 28 है।
- पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है, और उत्तर में अल्पविराम लगाया जाना चाहिए।
- 0 शेष के लिए ध्वस्त करें।
- फिर से 8 लो।
- शेष: 24. इसमें एक और 0 जोड़ें।
- अब आपको 7 लेना है।
- गुणा का परिणाम 224 है, शेष 16 है।
- एक और 0 को ध्वस्त करें। 5 लें और ठीक 160 प्राप्त करें। शेष 0 है।
डिवीजन पूरा किया। 28.4:3.2 उदाहरण का परिणाम 8.875 है।
क्या होगा यदि भाजक 10, 100, 0.1 या 0.01 है?
गुणा के साथ, यहां लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है। एक निश्चित संख्या में अंकों के लिए अल्पविराम को सही दिशा में ले जाने के लिए पर्याप्त है। इसके अलावा, इस सिद्धांत के अनुसार, आप पूर्णांक और दशमलव भिन्न दोनों के उदाहरणों को हल कर सकते हैं।
इसलिए, यदि आपको 10, 100 या 1000 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से ले जाया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं। अर्थात्, जब कोई संख्या 100 से विभाज्य हो, तो अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाना चाहिए। यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह माना जाता है कि अल्पविराम इसके अंत में है।
यह क्रिया उसी परिणाम को उत्पन्न करती है जैसे कि संख्या को 0.1, 0.01, या 0.001 से गुणा किया जाना था। इन उदाहरणों में, अल्पविराम को भी भिन्नात्मक भाग की लंबाई के बराबर अंकों की संख्या से बाईं ओर ले जाया जाता है।
जब 0.1 (आदि) से विभाजित किया जाता है या 10 (आदि) से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को एक अंक (या दो, तीन, शून्य की संख्या या भिन्नात्मक भाग की लंबाई के आधार पर) से दाईं ओर जाना चाहिए।
यह ध्यान देने योग्य है कि लाभांश में दिए गए अंकों की संख्या पर्याप्त नहीं हो सकती है। फिर लापता शून्य को बाईं ओर (पूर्णांक भाग में) या दाईं ओर (दशमलव बिंदु के बाद) सौंपा जा सकता है।
आवधिक अंशों का विभाजन
इस मामले में, आप कॉलम में विभाजित करते समय सटीक उत्तर प्राप्त करने में सक्षम नहीं होंगे। एक उदाहरण को कैसे हल करें यदि एक अवधि के साथ एक अंश का सामना करना पड़ता है? यहां सामान्य अंशों पर जाना आवश्यक है। और फिर पहले से अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार उनका विभाजन करें।
उदाहरण के लिए, आपको 0, (3) को 0.6 से भाग देना होगा। पहला अंश आवधिक है। इसे भिन्न 3/9 में बदल दिया जाता है, जो घटाने के बाद 1/3 देगा। दूसरा अंश अंतिम दशमलव है। एक साधारण को लिखना और भी आसान है: 6/10, जो 3/5 के बराबर है। विभाजन नियम साधारण अंशभाग को गुणन और भाजक से बदलने का प्रावधान करता है - रिवर्स नंबर. यही है, उदाहरण 1/3 को 5/3 से गुणा करने के लिए उबलता है। उत्तर 5/9 है।
यदि उदाहरण में भिन्न भिन्न हैं...
फिर कई संभावित समाधान हैं। सबसे पहले, आप एक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने का प्रयास कर सकते हैं। फिर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार पहले से ही दो दशमलव को विभाजित करें।
दूसरे, प्रत्येक अंतिम दशमलव अंश को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। अक्सर, ऐसे अंश बहुत बड़े हो जाते हैं। हां, और जवाब बोझिल हैं। इसलिए, पहला दृष्टिकोण अधिक बेहतर माना जाता है।
भागफल (भाग का परिणाम) का पहला अंक ज्ञात कीजिए।ऐसा करने के लिए, भाजक द्वारा लाभांश के पहले अंक को विभाजित करें। परिणाम को भाजक के नीचे लिखें।
- हमारे उदाहरण में, लाभांश का पहला अंक 3 है। 3 को 12 से विभाजित करें। चूंकि 3 12 से कम है, तो विभाजन का परिणाम 0 होगा। भाजक के तहत 0 लिखें - यह भागफल का पहला अंक है।
परिणाम को भाजक से गुणा करें।लाभांश के पहले अंक के तहत गुणा का परिणाम लिखें, क्योंकि यह वह संख्या है जिसे आपने अभी-अभी भाजक से विभाजित किया है।
- हमारे उदाहरण में, 0 × 12 = 0, इसलिए 0 को 3 के नीचे लिखें।
लाभांश के पहले अंक से गुणा के परिणाम को घटाएं।अपना उत्तर एक नई लाइन पर लिखें।
- हमारे उदाहरण में: 3 - 0 = 3. 0 के ठीक नीचे 3 लिखें।
लाभांश के दूसरे अंक को नीचे ले जाएं।ऐसा करने के लिए, घटाव के परिणाम के आगे लाभांश का अगला अंक लिखें।
- हमारे उदाहरण में, लाभांश 30 है। लाभांश का दूसरा अंक 0 है। इसे 3 के आगे 0 लिखकर नीचे ले जाएं (घटाव का परिणाम)। आपको 30 नंबर मिलेगा।
परिणाम को भाजक से विभाजित करें।आपको प्राइवेट का दूसरा अंक मिल जाएगा। ऐसा करने के लिए, नीचे की रेखा पर संख्या को भाजक से विभाजित करें।
- हमारे उदाहरण में, 30 को 12 से विभाजित करें। 30 ÷ 12 = 2 प्लस कुछ शेष (क्योंकि 12 x 2 = 24)। भाजक के नीचे 0 के बाद 2 लिखें - यह भागफल का दूसरा अंक है।
- यदि आपको एक उपयुक्त अंक नहीं मिल रहा है, तो अंकों को तब तक दोहराएं जब तक कि किसी भी अंक को भाजक से गुणा करने का परिणाम कॉलम में अंतिम स्थान पर स्थित संख्या से कम और निकटतम न हो। हमारे उदाहरण में, संख्या 3 पर विचार करें। इसे भाजक से गुणा करें: 12 x 3 = 36। चूंकि 36 30 से बड़ा है, संख्या 3 उपयुक्त नहीं है। अब संख्या 2 पर विचार करें। 12 x 2 = 24. 24, 30 से कम है, इसलिए संख्या 2 सही हल है।
अगला अंक खोजने के लिए ऊपर दिए गए चरणों को दोहराएं।वर्णित एल्गोरिथम का उपयोग किसी भी लंबी विभाजन समस्या में किया जाता है।
- दूसरे भागफल को भाजक से गुणा करें: 2 x 12 = 24.
- कॉलम (30) में अंतिम संख्या के नीचे गुणन (24) का परिणाम लिखें।
- छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाएं। हमारे उदाहरण में: 30 - 24 = 6. परिणाम (6) को एक नई लाइन पर लिखें।
यदि लाभांश में ऐसे अंक बचे हैं जिन्हें नीचे ले जाया जा सकता है, तो गणना प्रक्रिया जारी रखें।अन्यथा, अगले चरण पर आगे बढ़ें।
- हमारे उदाहरण में, आप लाभांश के अंतिम अंक (0) को नीचे ले गए। तो अगले चरण पर आगे बढ़ें।
यदि आवश्यक हो, तो लाभांश का विस्तार करने के लिए दशमलव बिंदु का उपयोग करें।यदि भाज्य भाजक द्वारा समान रूप से विभाज्य है, तो अंतिम पंक्तिआपको नंबर 0 मिलेगा। इसका मतलब है कि समस्या हल हो गई है, और उत्तर (एक पूर्णांक के रूप में) भाजक के नीचे लिखा गया है। लेकिन यदि 0 के अलावा कोई अंक कॉलम के बिल्कुल नीचे है, तो आपको दशमलव बिंदु डालकर और 0 निर्दिष्ट करके लाभांश का विस्तार करने की आवश्यकता है। याद रखें कि यह लाभांश के मूल्य को नहीं बदलता है।
- हमारे उदाहरण में, संख्या 6 अंतिम पंक्ति पर है। इसलिए, 30 (लाभांश) के दाईं ओर, एक दशमलव बिंदु लिखें, और फिर 0 लिखें। भागफल अंकों के बाद एक दशमलव बिंदु भी डालें, जिसे आप नीचे लिखते हैं भाजक (इस अल्पविराम के बाद अभी तक कुछ भी न लिखें!)
अगला अंक खोजने के लिए उपरोक्त चरणों को दोहराएं।मुख्य बात यह है कि लाभांश के बाद और निजी के पाए गए अंकों के बाद दशमलव बिंदु डालना न भूलें। बाकी प्रक्रिया ऊपर वर्णित प्रक्रिया के समान है।
- हमारे उदाहरण में, 0 को नीचे ले जाएँ (जो आपने दशमलव बिंदु के बाद लिखा था)। आपको संख्या 60 मिलेगी। अब इस संख्या को भाजक से विभाजित करें: 60 12 = 5। भाजक के नीचे 2 (और दशमलव बिंदु के बाद) के बाद 5 लिखें। यह भागफल का तीसरा अंक है। तो अंतिम उत्तर 2.5 है (2 के सामने शून्य को अनदेखा किया जा सकता है)।
इस लेख में, हम दशमलव अंशों के साथ विभाजन के रूप में ऐसी महत्वपूर्ण क्रिया का विश्लेषण करेंगे। पहले हम तैयार करते हैं सामान्य सिद्धांत, तो हम विश्लेषण करेंगे कि कैसे दशमलव अंशों को एक कॉलम द्वारा अन्य भिन्नों और प्राकृतिक संख्याओं में सही ढंग से विभाजित किया जाए। इसके बाद, हम साधारण भिन्नों के विभाजन का दशमलव और इसके विपरीत विश्लेषण करेंगे, और अंत में हम देखेंगे कि 0, 1, 0, 01, 100, 10, आदि में समाप्त होने वाले भिन्नों को सही ढंग से कैसे विभाजित किया जाए।
यहां हम केवल सकारात्मक अंशों वाले मामलों को लेते हैं। यदि भिन्न से पहले कोई ऋण है, तो इसके साथ कार्य करने के लिए, आपको परिमेय और वास्तविक संख्याओं के विभाजन पर सामग्री का अध्ययन करने की आवश्यकता है।
यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1
सभी दशमलव भिन्न, परिमित और आवर्त दोनों, केवल . हैं विशेष रूपसाधारण अंशों का अंकन। इसलिए, उन पर वही सिद्धांत लागू होते हैं जो उनके संगत साधारण भिन्नों पर लागू होते हैं। इस प्रकार, हम दशमलव अंशों को विभाजित करने की पूरी प्रक्रिया को कम करके उन्हें सामान्य अंशों से बदल देते हैं, इसके बाद हम पहले से ज्ञात विधियों द्वारा गणना करते हैं। आइए एक विशिष्ट उदाहरण लेते हैं।
उदाहरण 1
1.2 को 0.48 से भाग दें।
समाधान
हम दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखते हैं। हम यह कर सकेंगे:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
इस प्रकार, हमें 6 5 को 12 25 से भाग देना होगा। हमें यकीन है:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
परिणामी अनुचित भिन्न से, आप पूरे भाग का चयन कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं मिश्रित संख्या 2 1 2, या आप इसे दशमलव अंश के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं ताकि यह मूल संख्याओं से मेल खाए: 5 2 \u003d 2, 5। यह कैसे करना है, हम पहले ही लिख चुके हैं।
उत्तर: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
उदाहरण 2
गणना करें कि कितने होंगे 0 , (504) 0 , 56 ।
समाधान
सबसे पहले, हमें एक आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश में बदलने की आवश्यकता है।
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
उसके बाद, हम अंतिम दशमलव भिन्न का दूसरे रूप में भी अनुवाद करेंगे: 0, 56 = 56 100। अब हमारे पास दो संख्याएँ हैं जिनके साथ हमारे लिए आवश्यक गणना करना आसान होगा:
0 , (504) : 1, 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
हमारे पास एक परिणाम है कि हम दशमलव में भी बदल सकते हैं। ऐसा करने के लिए, कॉलम विधि का उपयोग करके अंश को हर से विभाजित करें:
उत्तर: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
यदि, भाग के उदाहरण में, हम गैर-आवधिक दशमलव अंशों से मिले हैं, तो हम थोड़ा अलग तरीके से कार्य करेंगे। हम उन्हें सामान्य साधारण भिन्नों में नहीं ला सकते हैं, इसलिए विभाजित करते समय, हमें पहले उन्हें एक निश्चित अंक तक गोल करना होगा। यह क्रिया लाभांश और भाजक दोनों के साथ की जानी चाहिए: हम सटीकता के हितों में मौजूदा परिमित या आवधिक अंश को भी गोल करेंगे।
उदाहरण 3
ज्ञात कीजिए कि 0, 779 .../1, 5602 कितना होगा।
समाधान
सबसे पहले, हम दोनों भिन्नों को सौवां तक पूर्णांकित करते हैं। इस प्रकार हम अनंत अनावर्ती भिन्नों से परिमित दशमलव की ओर बढ़ते हैं:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
हम गणना जारी रख सकते हैं और अनुमानित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं: 0, 779 ...: 1, 5602 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0.5।
परिणाम की सटीकता गोलाई की डिग्री पर निर्भर करेगी।
उत्तर: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
एक प्राकृतिक संख्या को दशमलव से और इसके विपरीत कैसे विभाजित करें
इस मामले में विभाजन का दृष्टिकोण लगभग समान है: हम परिमित और आवधिक अंशों को साधारण अंशों से बदलते हैं, और अनंत गैर-आवधिक अंशों को पूर्णांकित करते हैं। आइए एक प्राकृत संख्या और एक दशमलव भिन्न के साथ विभाजन के उदाहरण से शुरू करें।
उदाहरण 4
2.5 को 45 से भाग दें।
समाधान
आइए 2, 5 को एक साधारण भिन्न के रूप में लाएं: 255 10 \u003d 51 2. इसके बाद, हमें इसे केवल एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
यदि हम परिणाम का दशमलव अंकन में अनुवाद करते हैं, तो हमें 0 , 5 (6) मिलता है।
उत्तर: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
न केवल प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक कॉलम द्वारा विभाजन की विधि अच्छी है। सादृश्य द्वारा, हम इसका उपयोग भिन्नों के लिए भी कर सकते हैं। नीचे हम इसके लिए किए जाने वाले कार्यों के अनुक्रम को इंगित करेंगे।
परिभाषा 1
दशमलव अंशों के कॉलम को प्राकृत संख्याओं से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:
1. दाईं ओर दशमलव भिन्न में कुछ शून्य जोड़ें (विभाजन के लिए, हम उनमें से कोई भी संख्या जोड़ सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है)।
2. एक एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए एक दशमलव अंश को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करें। जब भिन्न के पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो जाता है, तो हम परिणामी भागफल में अल्पविराम लगाते हैं और आगे की गणना करते हैं।
इस तरह के विभाजन का परिणाम या तो एक परिमित या अनंत आवधिक दशमलव अंश हो सकता है। यह शेष पर निर्भर करता है: यदि यह शून्य है, तो परिणाम परिमित होगा, और यदि शेष दोहराना शुरू करते हैं, तो उत्तर एक आवधिक भिन्न होगा।
आइए कुछ कार्यों को एक उदाहरण के रूप में लें और इन चरणों को विशिष्ट संख्याओं के साथ पूरा करने का प्रयास करें।
उदाहरण 5
गणना करें कि 65, 14 4 कितना होगा।
समाधान
हम कॉलम विधि का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, भिन्न में दो शून्य जोड़ें और दशमलव भिन्न 65, 1400 प्राप्त करें, जो मूल के बराबर होगा। अब हम 4 से भाग देने के लिए एक कॉलम लिखते हैं:
परिणामी संख्या हमें आवश्यक पूर्णांक भाग को विभाजित करने का परिणाम होगी। हम अल्पविराम लगाते हैं, इसे अलग करते हैं, और जारी रखते हैं:
हम शून्य शेष पर पहुंच गए हैं, इसलिए विभाजन की प्रक्रिया पूरी हो गई है।
उत्तर: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
उदाहरण 6
164.5 को 27 से भाग दें।
समाधान
हम पहले भिन्नात्मक भाग को विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:
हम परिणामी आकृति को अल्पविराम से अलग करते हैं और विभाजित करना जारी रखते हैं:
हम देखते हैं कि शेषफल समय-समय पर दोहराने लगे और संख्या नौ, दो और पांच भागफल में बारी-बारी से आने लगीं। हम वहीं रुकेंगे और उत्तर को आवर्त भिन्न 6, 0 (925) के रूप में लिखेंगे।
उत्तर: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
इस तरह के विभाजन को एक निजी दशमलव अंश और ऊपर वर्णित एक प्राकृतिक संख्या खोजने की प्रक्रिया में कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हमें लाभांश और भाजक को 10, 100, आदि से गुणा करना होगा ताकि भाजक एक प्राकृतिक संख्या में बदल जाए। फिर हम क्रियाओं के उपरोक्त क्रम को करते हैं। विभाजन और गुणन के गुणों के कारण यह दृष्टिकोण संभव है। शाब्दिक रूप में, हमने उन्हें इस तरह लिखा है:
ए: बी = (ए 10): (बी 10), ए: बी = (ए 100): (बी 100) और इसी तरह।
आइए नियम तैयार करें:
परिभाषा 2
एक अंतिम दशमलव अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको यह करना होगा:
1. भाजक को प्राकृत संख्या में बदलने के लिए आवश्यक वर्णों की संख्या से भाजक और भाजक में अल्पविराम को दाईं ओर ले जाएं। यदि लाभांश में पर्याप्त संकेत नहीं हैं, तो हम इसमें दाईं ओर शून्य जोड़ते हैं।
2. उसके बाद, हम भिन्न को एक कॉलम द्वारा परिणामी प्राकृत संख्या से विभाजित करते हैं।
आइए एक विशिष्ट समस्या पर एक नज़र डालें।
उदाहरण 7
7, 287 को 2, 1 से भाग दें।
हल: भाजक को एक प्राकृत संख्या बनाने के लिए, हमें अल्पविराम एक वर्ण को दाईं ओर ले जाना होगा। इसलिए हम दशमलव भिन्न 72, 87 को 21 से विभाजित करने के लिए आगे बढ़े। आइए प्राप्त संख्याओं को एक कॉलम में लिखें और गणना करें
उत्तर: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
उदाहरण 8
16 , 3 0 , 021 की गणना करें।
समाधान
हमें अल्पविराम को तीन अंकों तक ले जाना होगा। इसके लिए भाजक में पर्याप्त अंक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि आपको अतिरिक्त शून्य का उपयोग करने की आवश्यकता है। हमें लगता है कि अंतिम परिणाम होगा:
हम अवशेष 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 की आवधिक पुनरावृत्ति देखते हैं। भागफल 1 , 9 , 0 , 4 , 7 और 5 दोहराता है। तब हमारा परिणाम आवर्त दशमलव 776 , (190476) है।
उत्तर: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
हमारे द्वारा वर्णित विधि आपको इसके विपरीत करने की अनुमति देती है, अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या को अंतिम दशमलव अंश से विभाजित करती है। आइए देखें कि यह कैसे किया जाता है।
उदाहरण 9
गणना करें कि कितने होंगे 3 5 , 4 ।
समाधान
जाहिर है, हमें एक अक्षर से कॉमा को दाईं ओर ले जाना होगा। उसके बाद हम 30 , 0 को 54 से भाग देना शुरू कर सकते हैं। आइए डेटा को एक कॉलम में लिखें और परिणाम की गणना करें:
शेषफल को दोहराने से हमें संख्या 0 , (5) प्राप्त होती है, जो एक आवर्त दशमलव है।
उत्तर: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
दशमलव को 1000, 100, 10, आदि से कैसे विभाजित करें।
साधारण अंशों को विभाजित करने के लिए पहले से ही अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार, एक अंश को दसियों, सैकड़ों, हजारों में विभाजित करना इसे 1/1000, 1/100, 1/10, आदि से गुणा करने के समान है। यह विभाजन करने के लिए निकलता है, में ये मामलाबस अल्पविराम को अंकों की वांछित संख्या में ले जाएं। यदि स्थानांतरित करने के लिए संख्या में पर्याप्त मान नहीं हैं, तो आपको आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ने की आवश्यकता है।
उदाहरण 10
तो, 56, 21: 10 = 5, 621, और 0, 32: 100,000 = 0, 0000032।
अनंत दशमलव के मामले में, हम ऐसा ही करते हैं।
उदाहरण 11
उदाहरण के लिए, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) और 593 , 374 ...: 100 = 5 , 93374 ...।
दशमलव को 0.001, 0.01, 0.1, आदि से कैसे विभाजित करें।
उसी नियम का उपयोग करके, हम भिन्नों को निर्दिष्ट मानों से विभाजित भी कर सकते हैं। यह क्रिया क्रमशः 1000, 100, 10 से गुणा करने के समान होगी। ऐसा करने के लिए, हम समस्या की स्थितियों के आधार पर अल्पविराम को एक, दो या तीन अंकों में ले जाते हैं, और संख्या में पर्याप्त अंक नहीं होने पर शून्य जोड़ते हैं।
उदाहरण 12
उदाहरण के लिए, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 और 0, 21: 0, 00001 = 21,000।
यह नियम अनंत दशमलव पर भी लागू होता है। हम आपको केवल यही सलाह देते हैं कि उत्तर में प्राप्त भिन्न की अवधि से सावधान रहें।
तो, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , क्योंकि दशमलव संकेतन 7 , 5716716716 ... दो अंकों को दाईं ओर ले जाने के बाद, हमें 757, 167167 ...
यदि उदाहरण में हमारे पास गैर-आवधिक भिन्न हैं, तो सब कुछ सरल है: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... ।
एक मिश्रित संख्या या एक सामान्य अंश को दशमलव से और इसके विपरीत कैसे विभाजित करें
हम इस क्रिया को साधारण भिन्नों के साथ संचालन में भी कम करते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव संख्याओं को संबंधित साधारण भिन्नों से बदलें, और मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में लिखें।
यदि हम एक गैर-आवधिक अंश को एक साधारण या मिश्रित संख्या से विभाजित करते हैं, तो हमें इसके विपरीत करना होगा, साधारण अंश या मिश्रित संख्या को संबंधित दशमलव अंश से बदलना होगा।
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कई हाई स्कूल के छात्र भूल जाते हैं कि लॉन्ग डिवीजन कैसे करना है। कंप्यूटर, कैलकुलेटर, सेल फोनऔर अन्य उपकरण हमारे जीवन में इतनी मजबूती से एकीकृत हो गए हैं कि प्राथमिक गणितीय संक्रियाएं कभी-कभी स्तब्ध कर देती हैं। और कुछ दशक पहले लोगों ने इन सभी लाभों के बिना कैसे किया? सबसे पहले, मुख्य याद रखें गणितीय अवधारणाएंविभाजन के लिए आवश्यक। तो, लाभांश वह संख्या है जिसे विभाजित किया जाएगा। भाजक वह संख्या है जिसे विभाजित किया जाना है। परिणामस्वरूप जो होता है उसे निजी कहा जाता है। एक पंक्ति में विभाजन के लिए, एक कोलन के समान प्रतीक का उपयोग किया जाता है - ":", और एक कॉलम में विभाजित करते समय, "∟" आइकन का उपयोग किया जाता है, इसे दूसरे तरीके से एक कोने भी कहा जाता है।
यह भी याद रखने योग्य है कि किसी भी भाग को गुणन द्वारा जाँचा जा सकता है। विभाजन के परिणाम की जांच करने के लिए, इसे एक भाजक से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, परिणामस्वरूप, आपको एक संख्या प्राप्त करनी चाहिए जो लाभांश से मेल खाती है (ए: बी \u003d सी; इसलिए, सी * बी \u003d ए)। अब दशमलव भिन्न क्या है इसके बारे में। एक इकाई को 0.0, 1000 और इसी तरह से विभाजित करके दशमलव प्राप्त किया जाता है। इन संख्याओं और गणितीय संक्रियाओं को उनके साथ लिखना ठीक उसी तरह है जैसे पूर्णांकों के साथ होता है। दशमलव को विभाजित करते समय, यह याद रखने की आवश्यकता नहीं है कि भाजक कहाँ स्थित है। संख्या लिखते समय सब कुछ इतना स्पष्ट हो जाता है। सबसे पहले, एक पूर्णांक लिखा जाता है, और दशमलव बिंदु के बाद, इसका दसवां, सौवां, हजारवां हिस्सा लिखा जाता है। दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक दहाई से मेल खाता है, दूसरा से सैकड़ों, तीसरा से हजारों, और इसी तरह।
प्रत्येक विद्यार्थी को दशमलव को दशमलव से भाग देना पता होना चाहिए। यदि भाज्य और भाजक दोनों को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, तो उत्तर, यानी भागफल नहीं बदलेगा। यदि दशमलव भिन्न को 0.0, 1000, आदि से गुणा किया जाता है, तो पूर्णांक के बाद का अल्पविराम अपनी स्थिति बदल देगा - यह जितने अंकों से गुणा किया गया था, उतने अंकों से दाईं ओर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब किसी दशमलव को 10 से गुणा किया जाता है, तो दशमलव बिंदु एक संख्या को दाईं ओर ले जाएगा। 2.9: 6.7 - हम भाजक और विभाज्य दोनों को 100 से गुणा करते हैं, हमें 6.9: 3687 मिलता है। गुणा करना सबसे अच्छा है ताकि जब इसे गुणा किया जाए, तो कम से कम एक संख्या (भाजक या लाभांश) में दशमलव बिंदु के बाद अंक न हों , यानी कम से कम एक संख्या को पूर्णांक बनाएं। पूर्णांक के बाद अल्पविराम लपेटने के कुछ और उदाहरण: 9.2: 1.5 = 2492: 2.5; 5.4:4.8 = 5344:74598।
ध्यान दें, दशमलव अंश अपना मान नहीं बदलेगा यदि इसे दाईं ओर शून्य दिया गया है, उदाहरण के लिए 3.8 = 3.0। साथ ही, भिन्न का मान नहीं बदलेगा यदि संख्या के बिल्कुल अंत में शून्य को दाईं ओर से हटा दिया जाता है: 3.0 = 3.3। हालाँकि, संख्या के बीच में शून्य को हटाया नहीं जा सकता - 3.3। एक कॉलम में एक प्राकृतिक संख्या से दशमलव अंश को कैसे विभाजित करें? एक कॉलम में एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या में विभाजित करने के लिए, आपको एक कोने के साथ उपयुक्त प्रविष्टि करने की आवश्यकता है, विभाजित करें। एक निजी अल्पविराम में, एक पूर्णांक का विभाजन समाप्त होने पर आपको इसे लगाने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, 5.4|2 14 7.2 18 18 0 4 4 0 यदि लाभांश का पहला अंक भाजक से कम है, तो बाद के अंकों का उपयोग तब तक किया जाता है जब तक कि पहली क्रिया संभव न हो।
इस मामले में, लाभांश का पहला अंक 1 है, इसे 2 से विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए, दो अंक 1 और 5 एक साथ विभाजन के लिए उपयोग किए जाते हैं: 15 को 2 से विभाजित किया जाता है, शेष के साथ, यह निजी 7 में निकलता है, और शेष में 1 रहता है। फिर हम लाभांश के अगले अंक का उपयोग करते हैं - 8। हम इसे 1 से कम करते हैं और 18 को 2 से विभाजित करते हैं। भागफल में, हम संख्या 9 लिखते हैं। शेष में कुछ भी नहीं बचा है, इसलिए हम 0 लिखते हैं। हम लाभांश की शेष संख्या 4 को कम करते हैं और भाजक द्वारा विभाजित करते हैं, अर्थात 2। भागफल में हम 2 लिखते हैं, और शेष फिर से 0 होता है। इस तरह के विभाजन का परिणाम संख्या 7.2 है। इसे प्राइवेट कहते हैं। यदि आप कुछ तरकीबें जानते हैं, तो एक कॉलम में दशमलव भिन्न को दशमलव भिन्न से कैसे विभाजित किया जाए, इस प्रश्न को हल करना काफी आसान है। अपने सिर में दशमलव को विभाजित करना कभी-कभी काफी कठिन होता है, इसलिए प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए लंबे विभाजन का उपयोग किया जाता है।
इस विभाजन के साथ, सभी समान नियम लागू होते हैं जैसे दशमलव अंश को पूर्णांक से विभाजित करते समय या स्ट्रिंग में विभाजित करते समय। बाईं ओर पंक्ति में, लाभांश लिखें, फिर "कोने" का प्रतीक रखें और फिर भाजक लिखें और विभाजित करना शुरू करें। विभाजन और स्थानांतरण की सुविधा के लिए आरामदायक जगहएक पूर्णांक के बाद एक अल्पविराम को दसियों, सैकड़ों या हजारों से गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 9.2: 1.5 \u003d 24920: 125। ध्यान दें, दोनों अंशों को 0.0, 1000 से गुणा किया जाता है। यदि लाभांश को 10 से गुणा किया जाता है, तो भाजक को भी 10 से गुणा किया जाता है। इस उदाहरण में, लाभांश और भाजक दोनों को 100 से गुणा किया गया था। इसके बाद, गणना उसी तरह की जाती है जैसे कि विभाजित करने के उदाहरण में दिखाया गया है एक प्राकृतिक संख्या द्वारा दशमलव अंश। 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.1; 0.1, आदि, भाजक और लाभांश दोनों को 0.0, 1000 से गुणा करना आवश्यक है।
अक्सर, भागफल में विभाजित करने पर, अर्थात उत्तर में, अनंत भिन्न प्राप्त होते हैं। इस मामले में, संख्या को दसवें, सौवें या हज़ारवें हिस्से में गोल करना आवश्यक है। इस मामले में, नियम लागू होता है, यदि जिस संख्या के बाद आपको उत्तर को गोल करने की आवश्यकता है, वह 5 से कम या उसके बराबर है, तो उत्तर को गोल किया जाता है, यदि 5 से अधिक - ऊपर। उदाहरण के लिए, आप 5.5 से हज़ारवें के परिणाम को पूर्णांक बनाना चाहते हैं। इसका मतलब है कि दशमलव बिंदु के बाद का उत्तर संख्या 6 के साथ समाप्त होना चाहिए। 6 के बाद 9 है, जिसका अर्थ है कि उत्तर को गोल किया जाता है और हमें 5.7 मिलता है। लेकिन अगर उत्तर को 5.5 से हजारवें तक नहीं, बल्कि दसवें तक गोल करना आवश्यक होता, तो उत्तर इस तरह दिखेगा - 5.2। इस स्थिति में, 2 को पूर्णांकित नहीं किया गया क्योंकि इसके बाद 3 है, और यह 5 से कम है।
दशमलव को गुणा और भाग कैसे करें?
- चिंता मत करो और जल्दी मत करो।
-
0,065 1000 = 0065 = 65;
उदाहरण के लिए: 1.1 0.2 = 0.22
उदाहरण के लिए: 22 0.1 = 2.2
22: 10 = 2,2 - यदि दशमलव भिन्न में अल्पविराम है, तो 10, 100, 1000 से गुणा करने पर अल्पविराम दाईं ओर 1 2 या 3 अंक 0.234*10=2.34 0.234*100=23.4 से स्थानांतरित हो जाता है
यदि इसमें अल्पविराम नहीं है, तो 0 00 या 000 को 23*10=230 . के पीछे जोड़ दिया जाता है
विभाजित करते समय, अल्पविराम बाईं ओर 1 2 या 3 अंक 234/100=2/34 . द्वारा ले जाया जाता है - 2
आपको अभी भी संख्याओं को गुणा करना है, लेकिन आपको यह समझने की आवश्यकता है कि अल्पविराम की स्थिति कैसे बदलती है। आप एक निश्चित नियम बना सकते हैं, लेकिन इसे समझने के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि दशमलव अंशों को साधारण अंशों में कैसे बदला जाता है और साधारण अंशों को कैसे गुणा किया जाता है।एक दशमलव अंश को एक साधारण के रूप में प्रस्तुत करने के लिए, आपको इस संख्या को दशमलव बिंदु के बिना अंश में लिखना होगा, और हर में एक के रूप में एक संख्या और दशमलव अंश में दशमलव स्थानों को अलग करने के लिए जितने शून्य होंगे ( यानी, संख्या 10, 100, 1000, और इसी तरह आगे के हर में)।
उदाहरण के लिए, साधारण अंश के रूप में संख्या 1.238 को समान संख्या में अंश में 12381000 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन अल्पविराम के बिना, और हर में 1000 एक और तीन शून्य, क्योंकि 1.238 में तीन वर्णों को अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। .
इस उदाहरण में, भिन्न 5410, 710 और 2810 होंगे।
इसी तरह, में विपरीत पक्ष, यदि हर शून्य के साथ एक इकाई है: अंश में, अल्पविराम उतने ही वर्णों को अलग करता है जितने हर में शून्य थे। उदाहरण के लिए:
537100=5,37
इसके बाद, साधारण भिन्नों के गुणन और भाग के मुद्दे पर विचार करें। साधारण भिन्नों को गुणा करते समय, परिणाम का अंश गुणनखंडों के अंशों का गुणनफल होगा, और परिणाम का हर गुणनखंडों के हर का गुणनफल होगा। उदाहरण के लिए:3752=3572=1514
जब एक दशमलव भिन्न को दूसरे से भाग दिया जाता है, तो जिस भिन्न से इसे विभाजित किया जाता है, उसे उलट दिया जाता है और पहली भिन्न को इससे गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए:3475=3457=1528
अब देखते हैं कि दशमलव भिन्नों को कैसे गुणा किया जाता है। आइए दो भिन्नों को लें, उन्हें साधारण भिन्नों के रूप में निरूपित करें, उन्हें गुणा करें और उन्हें फिर से दशमलव के रूप में लिखें:5,40,7=5410710=547100=378100=3,78
- 4.15 * 10 \u003d 41.5 - एक 0 का अर्थ है कि दशमलव बिंदु के बाद 1 अंक होगा।
साथ ही 3.12 * 1000 = 3120 - हम अल्पविराम हटाते हैं, क्योंकि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं
बस इतना ही। - गुणा करते समय: अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करें
विभाजित करते समय: हम पहले अंश को वही छोड़ते हैं और दूसरे को मोड़ते हैं, और फिर गुणन के नियम के अनुसार - आप अल्पविराम के बिना गुणा और संख्याओं के रूप में और फिर परिणाम में आप कई वर्णों (दाएं से बाएं) को अलग करते हैं क्योंकि दोनों कारकों में एक साथ वर्ण होते हैं
- दशमलव भिन्न को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करते समय, इस भिन्न में अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों से ले जाना आवश्यक है जितने गुणक में शून्य हैं। उदाहरण के लिए:
0,065 1000 = 0065 = 65;
2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900.दो दशमलवों का गुणा इस प्रकार किया जाता है: संख्याओं को दशमलव बिंदुओं के बिना गुणा किया जाता है। उत्पाद में अल्पविराम को इस तरह से रखा गया है कि दाईं ओर जितने वर्ण हों उतने अलग-अलग दोनों कारकों में अलग-अलग हों।
उदाहरण के लिए: 1.1 0.2 = 0.22
किसी भी संख्या को 0.1 से गुणा करने के बजाय; 0.01; 0.001, आप इस संख्या को 10 से विभाजित कर सकते हैं; 100; या 1000 क्रमशः।
उदाहरण के लिए: 22 0.1 = 2.2
22: 10 = 2,2 - आपने मुझे नहीं देखा, मैं सिर्फ अंक अर्जित कर रहा हूं)
- दशमलव अंशों का गुणन उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक संख्याओं का गुणन, समान नियमों के अनुसार, लेकिन उत्पाद में अल्पविराम को भिन्नात्मक भाग में कारकों के अंकों के योग के अनुसार रखा जाता है, जिसकी गणना की जाती है दाएँ से बाएँ (कारकों के अंकों का योग दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या है जो गुणनखंडों को मिलाकर लिया जाता है)।
भिन्नों को विभाजित करते समय, दशमलव भिन्न का भाजक उतने अंकों से बढ़ जाता है, जितने उसके भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं। ताकि भिन्न न बदले, लाभांश में अंकों की संख्या समान होती है (लाभांश और भाजक में, अल्पविराम को समान वर्णों में स्थानांतरित किया जाता है)। भागफल में विभाजन के चरण में एक अल्पविराम लगाया जाता है जब भिन्न के पूरे भाग को विभाजित किया जाता है।