Ang mga katawan ng rebolusyon na pinag-aralan sa paaralan ay isang silindro, isang kono, at isang bola.
Kung sa isang problema sa pagsusulit sa matematika kailangan mong kalkulahin ang dami ng isang kono o ang lugar ng isang globo - isaalang-alang ang iyong sarili na masuwerte.
Ilapat ang mga formula ng volume at surface area para sa isang cylinder, cone, at ball. Nasa table namin silang lahat. Isapuso. Dito nagsisimula ang kaalaman sa stereometry.
Minsan magandang ideya na gumuhit ng tuktok na view. O, tulad ng sa problemang ito, mula sa ibaba.
2. Ilang beses ang volume ng cone na inilarawan tungkol sa isang regular na quadrangular pyramid na mas malaki kaysa sa volume ng cone na nakasulat sa pyramid na ito?
Simple lang - gumuhit ng view sa ibaba. Nakikita natin na ang radius ng mas malaking bilog ay beses na mas malaki kaysa sa radius ng mas maliit. Ang taas ng parehong cones ay pareho. Dahil dito, ang dami ng mas malaking kono ay magiging doble ang laki.
Isa pa mahalagang punto... Tandaan na sa mga gawain ng Bahagi B mga pagpipilian para sa pagsusulit sa matematika, ang sagot ay isinusulat bilang integer o final desimal... Samakatuwid, hindi dapat magkaroon ng anuman o sa iyong sagot sa bahagi B. Hindi mo rin kailangang palitan ang tinatayang halaga ng numero! Dapat itong bawasan sa lahat ng paraan!. Para dito, sa ilang mga problema, ang gawain ay nabuo, halimbawa, tulad ng sumusunod: "Hanapin ang lugar ng lateral surface ng cylinder na hinati ng".
At saan pa ginagamit ang mga pormula para sa dami at lugar sa ibabaw ng mga katawan ng rebolusyon? Siyempre, sa problema C2 (16). Sasabihin din namin sa iyo ang tungkol dito.
Ang ibabaw na lugar ng kono (o simpleng ibabaw ng kono) ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng base at ang lateral surface.
Ang lateral surface area ng cone ay kinakalkula ng formula: S = πR l, kung saan ang R ay ang radius ng base ng kono, at l- generatrix ng kono.
Dahil ang lugar ng base ng kono ay katumbas ng πR 2 (bilang ang lugar ng isang bilog), kung gayon ang lugar buong ibabaw ang kono ay magiging katumbas ng: πR 2 + πR l= πR (R + l).
Ang derivation ng formula para sa lateral surface area ng isang kono ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng sumusunod na pangangatwiran. Hayaang ipakita ng pagguhit ang pag-unlad ng lateral surface ng kono. Hinahati namin ang arc AB sa posible higit pa pantay na mga bahagi at ang lahat ng mga punto ng paghahati ay konektado sa gitna ng arko, at ang mga katabi ay konektado sa bawat isa sa pamamagitan ng mga chord.
Nakakakuha kami ng isang serye ng mga pantay na tatsulok. Ang lugar ng bawat tatsulok ay ah / 2, saan a ay ang haba ng base ng tatsulok, a h- ang kanyang mataas.
Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok ay magiging: ah / 2 n = anh / 2, saan n ay ang bilang ng mga tatsulok.
Sa isang malaking bilang mga dibisyon, ang kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok ay nagiging napakalapit sa lugar ng sweep, iyon ay, ang lugar ng lateral surface ng kono. Ang kabuuan ng mga base ng mga tatsulok, i.e. isang, ay nagiging napakalapit sa haba ng arko AB, ibig sabihin, sa circumference ng base ng kono. Ang taas ng bawat tatsulok ay nagiging napakalapit sa radius ng arko, iyon ay, sa generatrix ng kono.
Ang pagpapabaya sa mga hindi gaanong pagkakaiba sa mga sukat ng mga dami na ito, nakuha namin ang formula para sa lugar ng lateral surface ng kono (S):
S = C l / 2, kung saan ang C ay ang circumference ng base ng kono, l- generatrix ng kono.
Alam na ang С = 2πR, kung saan ang R ay ang radius ng circumference ng base ng kono, nakukuha natin ang: S = πR l.
Tandaan. Sa formula S = C l / 2, ang tanda ng isang eksaktong, at hindi isang tinatayang, pagkakapantay-pantay ay itinakda, bagama't sa batayan ng pangangatwiran sa itaas, maaari nating isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na ito bilang tinatayang. Pero noong high school mataas na paaralan ito ay pinatunayan na ang pagkakapantay-pantay
S = C l / 2 tumpak, hindi tinatayang.
Teorama. Ang lateral surface ng kono ay katumbas ng produkto ng circumference ng base at kalahati ng generatrix.
Isulat natin ang ilang regular na pyramid sa kono (Fig.) At ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik R at l mga numerong nagpapahayag ng mga haba ng perimeter ng base at apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ang lateral surface nito ay ipapakita ng produkto 1/2 R l .
Ipagpalagay ngayon na ang bilang ng mga gilid ng polygon na nakasulat sa base ay tumataas nang walang katiyakan. Pagkatapos ang perimeter R ay may posibilidad sa limitasyon na kinuha bilang ang haba C ng circumference ng base, at ang apothem l ay magkakaroon ng cone generatrix bilang limitasyon (dahil sumusunod ito mula sa ΔSAK na ang SA - SK
1 / 2 R l, ay aabot sa limitasyon na 1/2 C
L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng lateral surface ng kono. Ang pagkakaroon ng itinalagang lateral surface ng kono na may titik S, maaari naming isulat:
S = 1/2 C L = C 1/2 L
Mga kahihinatnan.
1) Dahil C = 2 π
R, kung gayon ang lateral surface ng kono ay ipinahayag ng formula:
S = 1/2 2π R L = π RL
2) Nakukuha natin ang buong ibabaw ng kono kung idaragdag natin ang lateral surface sa base area; samakatuwid, na tumutukoy sa kumpletong ibabaw ng T, magkakaroon tayo ng:
T = π RL + π R 2 = π R (L + R)
Teorama. Ang lateral surface ng truncated cone ay katumbas ng produkto ng kalahating kabuuan ng mga haba ng mga bilog ng mga base at generator.
Isulat natin ang ilang regular na pinutol na pyramid sa pinutol na kono (Fig.) At tukuyin ito ng mga titik p, p 1 at l mga numero na nagpapahayag, sa pantay na mga linear na yunit, ang mga haba ng mga perimeter ng ibaba at itaas na mga base at ang apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ang lateral surface ng inscribed pyramid ay katumbas ng 1/2 ( p + p 1) l
Sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga gilid na mukha ng inscribed na pyramid, ang mga perimeter R at R 1 ay may posibilidad sa mga limitasyon na kinuha bilang ang mga haba C at C 1 ng mga base na bilog, at ang apothem l ay may limit generator L ng isang pinutol na kono. Dahil dito, ang halaga ng lateral surface ng inscribed pyramid ay may kaugaliang limitasyon na katumbas ng (С + С 1) L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng lateral surface ng truncated cone. Ang pagtukoy sa lateral surface ng truncated cone ng titik S, magkakaroon tayo ng:
S = 1/2 (C + C 1) L
Mga kahihinatnan.
1) Kung ang ibig sabihin ng R at R 1 ay ang radii ng mga bilog ng ibaba at itaas na mga base, kung gayon ang lateral surface ng truncated cone ay magiging:
S = 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Kung sa trapezoid OO 1 A 1 A (Fig.), Mula sa pag-ikot kung saan nakuha ang isang pinutol na kono, iginuhit namin ang gitnang linya BC, pagkatapos ay nakukuha namin:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2BC.
Kaya naman,
S = 2 π BC L,
i.e. ang lateral surface ng truncated cone ay katumbas ng produkto ng circumference ng gitnang seksyon ng generatrix.
3) Ang buong ibabaw na T ng pinutol na kono ay ipinahayag tulad ng sumusunod:
T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
Alam natin kung ano ang cone, subukan nating hanapin ang surface area nito. Bakit kailangan mong lutasin ang gayong problema? Halimbawa, kailangan mong maunawaan kung gaano karaming masa ang pupunta upang makagawa ng isang waffle cone? O gaano karaming mga ladrilyo ang kinakailangan upang mailagay ang ladrilyo na bubong ng isang kastilyo?
Hindi madaling sukatin ang lugar ng lateral surface ng kono. Ngunit isipin natin ang parehong sungay na nakabalot sa tela. Upang mahanap ang lugar ng isang piraso ng tela, kailangan mong i-cut at ikalat ito sa mesa. Kukuha tayo ng flat figure, mahahanap natin ang lugar nito.
kanin. 1. Seksyon ng kono sa kahabaan ng generatrix
Gawin din natin ang kono. "I-cut" natin ang lateral surface nito kasama ang anumang generatrix, halimbawa, (tingnan ang Fig. 1).
Ngayon ay "i-unwind" natin ang gilid na ibabaw sa isang eroplano. Nakukuha natin ang sektor. Ang sentro ng sektor na ito ay ang tuktok ng kono, ang radius ng sektor ay katumbas ng generatrix ng kono, at ang haba ng arko nito ay tumutugma sa circumference ng base ng kono. Ang nasabing sektor ay tinatawag na sweep ng lateral surface ng kono (tingnan ang Fig. 2).
kanin. 2. Pag-unlad ng lateral surface
kanin. 3. Pagsusukat ng anggulo sa radians
Subukan nating hanapin ang lugar ng sektor ayon sa magagamit na data. Una, ipakilala natin ang notasyon: hayaan ang anggulo sa tuktok ng sektor sa radians (tingnan ang Fig. 3).
Madalas nating haharapin ang anggulo sa tuktok ng sweep sa mga gawain. Sa ngayon, subukan nating sagutin ang tanong: hindi ba maaaring maging higit sa 360 degrees ang anggulong ito? Ibig sabihin, hindi ba lalabas na ang pag-scan ay magpapatong sa sarili nito? Syempre hindi. Patunayan natin ito sa matematika. Hayaang "magpatong" sa sarili ang pag-scan. Nangangahulugan ito na ang haba ng sweep arc ay mas malaki kaysa sa circumference ng radius. Ngunit, tulad ng nabanggit na, ang haba ng sweep arc ay ang haba ng bilog na may radius. At ang radius ng base ng kono, siyempre, ay mas mababa kaysa sa generatrix, halimbawa, dahil ang binti ng isang right-angled na tatsulok ay mas mababa kaysa sa hypotenuse.
Pagkatapos ay tandaan natin ang dalawang formula mula sa kursong planimetry: haba ng arko. Lugar ng sektor:.
Sa aming kaso, ang papel ay ginampanan ng generator , at ang haba ng arko ay katumbas ng circumference ng base ng kono, iyon ay. Meron kami:
Sa wakas nakuha namin ang:.
Kasama ang lateral surface area, ang kabuuang surface area ay maaari ding matagpuan. Upang gawin ito, idagdag ang base area sa lateral surface area. Ngunit ang base ay isang bilog ng radius, na ang lugar ay katumbas ng.
Sa wakas, mayroon kaming: , kung saan ang radius ng base ng silindro, ay ang generatrix.
Lutasin natin ang ilang problema gamit ang ibinigay na mga formula.
kanin. 4. Ang gustong anggulo
Halimbawa 1... Ang patag na bahagi ng kono ay isang sektor na may tuktok na anggulo. Hanapin ang anggulong ito kung ang taas ng kono ay 4 cm at ang radius ng base ay 3 cm (tingnan ang Fig. 4).
kanin. 5. Right-angled triangle na bumubuo ng cone
Sa pamamagitan ng unang aksyon, ayon sa Pythagorean theorem, nakita natin ang generator: 5 cm (tingnan ang Fig. 5). Dagdag pa, alam natin iyon .
Halimbawa 2... Ang lugar ng seksyon ng axial ng kono ay pantay, ang taas ay katumbas ng. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw (tingnan ang Fig. 6).
Bumalik pasulong
Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga opsyon sa pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito mangyaring i-download ang buong bersyon.
Uri ng aralin: isang aralin sa pag-aaral ng bagong materyal gamit ang mga elemento ng isang paraan ng pagtuturo sa pagbuo ng problema.
Layunin ng aralin:
- nagbibigay-malay:
- pamilyar sa bago konsepto ng matematika;
- pagbuo ng bagong ZUN;
- ang pagbuo ng mga praktikal na kasanayan sa paglutas ng mga problema.
- pagbuo:
- pagbuo ng malayang pag-iisip ng mga mag-aaral;
- Paghahasa ng kakayahan tamang pananalita mga mag-aaral.
- pang-edukasyon:
- pagbuo ng mga kasanayan sa pagtutulungan ng magkakasama.
Mga kagamitan sa aralin: magnetic board, computer, screen, multimedia projector, cone model, lesson presentation, handouts.
Mga layunin ng aralin (para sa mga mag-aaral):
- pamilyar sa isang bagong geometric na konsepto - isang kono;
- makakuha ng isang formula para sa pagkalkula ng ibabaw na lugar ng isang kono;
- matutong gamitin ang kaalamang natamo sa paglutas ng mga praktikal na problema.
Sa panahon ng mga klase
Stage I. Pang-organisasyon.
Pag-aabot ng mga libro sa pagsasanay sa bahay gawain sa pagpapatunay sa paksang tinalakay.
Inaanyayahan ang mga mag-aaral na alamin ang paksa ng paparating na aralin sa pamamagitan ng paglutas ng puzzle (slide 1):
Larawan 1.
Pagpapahayag ng paksa at layunin ng aralin sa mga mag-aaral (slide 2).
Stage II. Paliwanag ng bagong materyal.
1) Lektura ng guro.
May table na may cone sa board. Bagong materyal ay ipinaliwanag na sinamahan ng materyal ng programa na "Stereometry". Lumilitaw sa screen tatlong-dimensional na imahe kono. Tinukoy ng guro ang kono, pinag-uusapan ang mga elemento nito. (slide 3)... Sinasabi na ang isang kono ay isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang right-angled triangle na may kaugnayan sa binti. (mga slide 4, 5). Lumilitaw ang isang imahe ng sweep ng lateral surface ng kono. (slide 6)
2) Praktikal na gawain.
Pangunahing pag-update ng kaalaman: ulitin ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang bilog, lugar ng isang sektor, circumference, haba ng isang arko ng isang bilog. (mga slide 7-10)
Ang klase ay nahahati sa mga pangkat. Ang bawat pangkat ay tumatanggap ng isang sweep ng lateral surface ng cone na ginupit ng papel (ang sektor ng bilog na may nakatalagang numero). Kinukuha ng mga mag-aaral ang mga kinakailangang sukat at kalkulahin ang lugar ng nagreresultang sektor. Mga tagubilin sa trabaho, mga tanong - mga pahayag ng problema - lilitaw sa screen (mga slide 11-14)... Isusulat ng kinatawan ng bawat pangkat ang mga resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan na inihanda sa pisara. Idinidikit ng mga miyembro ng bawat pangkat ang modelo ng kono mula sa kanilang umiiral na sweep. (slide 15)
3) Pahayag at solusyon ng problema.
Paano makalkula ang lugar ng lateral surface ng isang kono kung ang radius lamang ng base at ang haba ng generatrix ng kono ay kilala? (slide 16)
Ang bawat pangkat ay gumagawa ng mga kinakailangang sukat at sumusubok na makakuha ng isang pormula para sa pagkalkula ng nais na lugar gamit ang magagamit na data. Kapag nagsasagawa ng gawaing ito, dapat mapansin ng mga mag-aaral na ang circumference ng base ng kono ay katumbas ng haba ng arko ng sektor - ang sweep ng lateral surface ng kono na ito. (mga slide 17-21) Gamit mga kinakailangang formula, ang kinakailangang formula ay ipinapakita. Ang pangangatwiran ng mga mag-aaral ay dapat magmukhang ganito:
Radius ng sektor - ang sweep ay katumbas ng l, ang sukat ng antas ng arko ay φ. Ang lugar ng sektor ay kinakalkula sa pamamagitan ng formula ang haba ng arko na nagbubuklod sa sektor na ito ay katumbas ng Radius ng base ng kono R. Ang haba ng bilog na nakahiga sa base ng kono ay katumbas ng C = 2πR. Tandaan na Dahil ang lugar ng lateral surface ng kono ay katumbas ng lugar ng sweep ng lateral surface nito, kung gayon
Kaya, ang lugar ng lateral surface ng kono ay kinakalkula ng formula S BOD = πRl.
Matapos kalkulahin ang lugar ng pag-ilid na ibabaw ng modelo ng kono ayon sa independiyenteng nagmula na pormula, isinulat ng kinatawan ng bawat pangkat ang resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan sa pisara alinsunod sa mga numero ng modelo. Ang mga resulta ng pagkalkula sa bawat linya ay dapat na pantay. Sa batayan na ito, tinutukoy ng guro ang kawastuhan ng mga konklusyon ng bawat pangkat. Ang talahanayan ng resulta ay dapat magmukhang ganito:
|
Model no. |
gawain ko |
II gawain |
(125/3) π ~ 41.67 π |
||
(425/9) π ~ 47.22 π |
||
(539/9) π ~ 59.89 π |
Mga parameter ng modelo:
- l = 12 cm, φ = 120°
- l = 10 cm, φ = 150°
- l = 15 cm, φ = 120°
- l = 10 cm, φ = 170°
- l = 14 cm, φ = 110°
Ang pagtatantya ng mga kalkulasyon ay nauugnay sa mga error sa pagsukat.
Pagkatapos suriin ang mga resulta, ang output ng mga formula para sa lateral at buong ibabaw ng kono ay lilitaw sa screen (mga slide 22-26), ang mga mag-aaral ay nagtatago ng mga talaan sa mga kuwaderno.
Stage III. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.
1) Inaalok ang mga mag-aaral mga gawain para sa solusyon sa bibig sa mga yari na guhit.
Hanapin ang mga lugar ng kumpletong ibabaw ng cones na ipinapakita sa mga figure (mga slide 27-32).
2) Tanong: Ang mga lugar ba sa ibabaw ng mga cones na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang right-angled na tatsulok na may kaugnayan sa iba't ibang mga binti ay pantay? Bumubuo ng hypothesis ang mga mag-aaral at subukan ito. Ang pagsusuri ng hypothesis ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema at isinulat ng mag-aaral sa pisara.
Ibinigay:Δ ABC, ∠C = 90 °, AB = c, AC = b, BC = a;
BAA ", ABB" - mga katawan ng rebolusyon.
Hanapin: S PPK 1, S PPK 2.
Larawan 5. (slide 33)
Solusyon:
1) R = BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S pangunahing 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R = AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S pangunahing 2 = π b c + π b 2 = π b (b + c).
Kung S PPK 1 = S PPK 2, kung gayon a 2 + ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b) (a + b + c) = 0. kasi a, b, c - positibong numero (ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok), kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo lamang kung a =b.
Konklusyon: Ang mga lugar ng mga ibabaw ng dalawang cone ay pantay lamang kung ang mga binti ng tatsulok ay pantay. (slide 34)
3) Solusyon ng problema mula sa aklat-aralin: No. 565.
Stage IV. Pagbubuod ng aralin.
Takdang aralin: p. 55, 56; 548, No. 561. (slide 35)
Anunsyo ng mga ibinigay na marka.
Mga konklusyon sa kurso ng aralin, pag-uulit ng pangunahing impormasyon na nakuha sa aralin.
Panitikan (slide 36)
- Geometry 10-11 na grado - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., "Edukasyon", 2008.
- "Mga palaisipan at charades sa matematika" - N.V. Udaltsova, aklatan "Setyembre 1", serye na "MATEMATIKS", isyu 35, M., Chistye Prudy, 2010.