शंकु सूत्र की पार्श्व सतह कैसे ज्ञात करें। शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतह का क्षेत्रफल

स्कूल में पढ़े गए क्रांति के पिंड एक सिलेंडर, एक शंकु और एक गेंद हैं।

यदि गणित में USE कार्य में आपको शंकु के आयतन या गोले के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है, तो अपने आप को भाग्यशाली समझें।

बेलन, शंकु और गोले के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करें। वे सभी हमारी तालिका में हैं। कंठस्थ करना। यहीं से स्टीरियोमेट्री का ज्ञान शुरू होता है।

कभी-कभी शीर्ष दृश्य बनाना अच्छा होता है। या, जैसा कि इस समस्या में है, नीचे से।

2. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के पास घिरे शंकु का आयतन इस पिरामिड में अंकित शंकु के आयतन से कितना गुना अधिक है?

सब कुछ सरल है - हम नीचे से एक दृश्य बनाते हैं। हम देखते हैं कि बड़े वृत्त की त्रिज्या छोटे वृत्त की त्रिज्या से कई गुना बड़ी होती है। दोनों शंकुओं की ऊँचाई समान है। अत: बड़े शंकु का आयतन उससे दुगना होगा।

एक और महत्वपूर्ण बिंदु. याद रखें कि पार्ट बी के कार्यों में उपयोग विकल्पगणित में, उत्तर को पूर्णांक या परिमित के रूप में लिखा जाता है दशमलव अंश. इसलिए, आपके पास भाग बी में कोई या आपके उत्तर में नहीं होना चाहिए। संख्या के अनुमानित मूल्य को प्रतिस्थापित करना भी आवश्यक नहीं है! इसे कम किया जाना चाहिए! यह इसके लिए है कि कुछ कार्यों में कार्य तैयार किया जाता है, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है: "सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र को विभाजित करके खोजें"।

और क्रांति के पिंडों के आयतन और सतह क्षेत्र के सूत्र और कहाँ उपयोग किए जाते हैं? बेशक, समस्या C2 (16) में। हम आपको इसके बारे में भी बताएंगे।

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पाठ प्रकार:समस्या-विकासशील शिक्षण पद्धति के तत्वों का उपयोग करके नई सामग्री का अध्ययन करने का एक पाठ।

पाठ मकसद:

• संज्ञानात्मक:
  • नए के साथ परिचित गणितीय अवधारणा;
  • नए ZUN का गठन;
  • समस्याओं को हल करने के लिए व्यावहारिक कौशल का गठन।
• विकसित होना:
  • छात्रों की स्वतंत्र सोच का विकास;
  • कौशल विकास सही भाषणस्कूली बच्चे
• शैक्षिक:
  • टीम वर्क कौशल का विकास।

सबक उपकरण:चुंबकीय बोर्ड, कंप्यूटर, स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, शंकु मॉडल, पाठ प्रस्तुति, हैंडआउट।

पाठ उद्देश्य (छात्रों के लिए):

• एक नई ज्यामितीय अवधारणा से परिचित हों - एक शंकु;
• एक शंकु के सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें;
• व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में अर्जित ज्ञान को लागू करना सीखें।

कक्षाओं के दौरान

मैं मंच। संगठनात्मक।

घर से नोटबुक सौंपना सत्यापन कार्यकवर किए गए विषय पर।

छात्रों को रिबस को हल करके आगामी पाठ के विषय का पता लगाने के लिए आमंत्रित किया जाता है (स्लाइड 1):

चित्र 1।

पाठ के विषय और उद्देश्यों के छात्रों के लिए घोषणा (स्लाइड 2).

द्वितीय चरण। नई सामग्री की व्याख्या।

1) शिक्षक का व्याख्यान।

बोर्ड पर एक शंकु की छवि वाली एक मेज है। नई सामग्रीसाथ में कार्यक्रम सामग्री "स्टीरियोमेट्री" में समझाया गया है। स्क्रीन पर दिखाई देता है 3डी छविशंकु शिक्षक शंकु की परिभाषा देता है, उसके तत्वों के बारे में बात करता है। (स्लाइड 3). ऐसा कहा जाता है कि शंकु एक पिंड है जो पैर के सापेक्ष एक समकोण त्रिभुज के घूमने से बनता है। (स्लाइड 4, 5)।शंकु की पार्श्व सतह के विकास की एक छवि दिखाई देती है। (स्लाइड 6)

2) व्यावहारिक कार्य।

बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति: एक वृत्त का क्षेत्रफल, एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, एक वृत्त की लंबाई, एक वृत्त के चाप की लंबाई की गणना के लिए सूत्रों को दोहराएं। (स्लाइड्स 7-10)

वर्ग को समूहों में बांटा गया है। प्रत्येक समूह को कागज से काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का एक स्कैन प्राप्त होता है (एक निर्दिष्ट संख्या वाला एक सर्कल सेक्टर)। छात्र आवश्यक माप लेते हैं और परिणामी क्षेत्र के क्षेत्र की गणना करते हैं। कार्य करने के निर्देश, प्रश्न - समस्या विवरण - स्क्रीन पर दिखाई देते हैं (स्लाइड 11-14). प्रत्येक समूह का प्रतिनिधि बोर्ड पर तैयार की गई तालिका में गणना के परिणाम लिखता है। प्रत्येक समूह के प्रतिभागी अपने विकास से शंकु के मॉडल को चिपकाते हैं। (स्लाइड 15)

3) कथन और समस्या का समाधान।

एक शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें यदि केवल आधार की त्रिज्या और शंकु के जेनरेटर की लंबाई ज्ञात हो? (स्लाइड 16)

प्रत्येक समूह आवश्यक माप करता है और उपलब्ध डेटा का उपयोग करके आवश्यक क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करता है। इस काम को करते समय, छात्रों को ध्यान देना चाहिए कि शंकु के आधार की परिधि क्षेत्र के चाप की लंबाई के बराबर है - इस शंकु की पार्श्व सतह का विकास। (स्लाइड 17-21)का उपयोग करते हुए आवश्यक सूत्र, वांछित सूत्र प्रदर्शित होता है। छात्रों का तर्क कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

त्रिज्यखंड की त्रिज्या - झाडू बराबर है मैं,चाप की डिग्री माप φ है। एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: इस त्रिज्यखंड को घेरने वाले चाप की लंबाई शंकु R के आधार की त्रिज्या के बराबर है। शंकु के आधार पर स्थित वृत्त की लंबाई C = 2πR है . ध्यान दें कि चूंकि शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल इसके पार्श्व सतह के विकास के क्षेत्रफल के बराबर है, तो

तो, शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है एस बीओडी = Rl।

स्वतंत्र रूप से प्राप्त सूत्र के अनुसार शंकु मॉडल के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के बाद, प्रत्येक समूह के प्रतिनिधि मॉडल संख्याओं के अनुसार बोर्ड पर एक तालिका में गणना का परिणाम लिखते हैं। प्रत्येक पंक्ति में गणना परिणाम समान होना चाहिए। इस आधार पर शिक्षक प्रत्येक समूह के निष्कर्षों की शुद्धता का निर्धारण करता है। परिणाम तालिका इस तरह दिखनी चाहिए:

मॉडल पैरामीटर:

1. एल=12 सेमी, =120°
2. एल=10 सेमी, =150°
3. एल=15 सेमी, =120°
4. एल=10 सेमी, =170°
5. एल=14 सेमी, φ=110°

गणना का सन्निकटन माप त्रुटियों से जुड़ा है।

परिणामों की जांच के बाद, शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतहों के क्षेत्रों के लिए सूत्रों का आउटपुट स्क्रीन पर दिखाई देता है (स्लाइड्स 22-26)छात्र नोटबुक में नोट्स रखते हैं।

तृतीय चरण। अध्ययन सामग्री का समेकन।

1) छात्रों की पेशकश की जाती है तैयार चित्र पर मौखिक समाधान के लिए कार्य।

आकृति में दिखाए गए शंकुओं की कुल सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (स्लाइड्स 27-32).

2) प्रश्न:क्या एक समकोण त्रिभुज के विभिन्न टांगों के परितः घूमने से बने शंकुओं के पृष्ठ के क्षेत्रफल समान हैं? छात्र एक परिकल्पना बनाते हैं और उसका परीक्षण करते हैं। परिकल्पना परीक्षण समस्याओं को हल करके किया जाता है और छात्र द्वारा ब्लैकबोर्ड पर लिखा जाता है।

दिया गया: ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

बीएए", एबीवी" - क्रांति के निकाय।

पाना:एस पीपीसी 1, एस पीपीसी 2।

चित्र 5 (स्लाइड 33)

समाधान:

1) आर = बीसी = ए; एस पीपीसी 1 = एस बीओडी 1 + एस मुख्य 1 = ए सी + π ए 2 \u003d π ए (ए + सी)।

2) आर = एसी = बी; एस पीपीसी 2 = एस बीओडी 2 + एस मुख्य 2 = π बी सी + π बी 2 \u003d बी (बी + सी)।

यदि एस पीपीसी 1 = एस पीपीसी 2, तो ए 2 + एसी \u003d बी 2 + बीसी, ए 2 - बी 2 + एसी - बीसी \u003d 0, (ए-बी) (ए + बी + सी) \u003d 0।चूंकि ए, बी, सीधनात्मक संख्याएँ (त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई), टूट-समानता तभी सत्य है जब ए =बी।

निष्कर्ष:दो शंकुओं के पृष्ठों का क्षेत्रफल तभी बराबर होता है जब त्रिभुज की टाँगें बराबर हों। (स्लाइड 34)

3) पाठ्यपुस्तक से समस्या का समाधान: संख्या 565।

चतुर्थ चरण। पाठ को सारांशित करना।

होम वर्क: पृष्ठ 55, 56; नंबर 548, नंबर 561। (स्लाइड 35)

ग्रेड की घोषणा।

पाठ के दौरान निष्कर्ष, पाठ में प्राप्त मुख्य जानकारी की पुनरावृत्ति।

साहित्य (स्लाइड 36)

1. ज्यामिति ग्रेड 10-11 - अतानासियन, वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव एट अल।, एम।, ज्ञानोदय, 2008।
2. "गणितीय पहेली और सारथी" - एन.वी. उडाल्ट्सोव, पुस्तकालय "सितंबर का पहला", श्रृंखला "गणित", अंक 35, एम।, चिश्ये प्रूडी, 2010।

एक शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल (या केवल एक शंकु की सतह) आधार के क्षेत्रफल और पार्श्व सतह के योग के बराबर होता है।

शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: S = R मैं, जहां R शंकु के आधार की त्रिज्या है, और मैं- एक शंकु का जनक।

चूँकि शंकु के आधार का क्षेत्रफल R 2 (एक वृत्त के क्षेत्रफल के रूप में) है, तो क्षेत्रफल पूरी सतहशंकु के बराबर होगा: πR 2 + πR मैं= R (आर + मैं).

एक शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करना इस तरह के तर्क से समझाया जा सकता है। चित्र में शंकु की पार्श्व सतह के विकास को दर्शाने दें। चाप AB को संभव में विभाजित करें अधिकबराबर भागों और सभी विभाजन बिंदुओं को चाप के केंद्र से जोड़ते हैं, और आसन्न लोगों को एक दूसरे से जीवाओं से जोड़ते हैं।

हमें समान त्रिभुजों की एक श्रृंखला प्राप्त होती है। प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल है एएच / 2, जहां ए- त्रिभुज के आधार की लंबाई, a एच- उसका उच्च।

सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है: एएच / 2 एन = अन्ह / 2, जहां एनत्रिभुजों की संख्या है।

पर बड़ी संख्याविभाजनों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग विकास के क्षेत्र, यानी शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के बहुत करीब हो जाता है। त्रिभुजों के आधारों का योग, अर्थात्। एक, चाप AB की लंबाई के बहुत करीब हो जाता है, यानी शंकु के आधार की परिधि के लिए। प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई चाप की त्रिज्या के बहुत करीब हो जाती है, अर्थात शंकु के जनक के बहुत करीब हो जाती है।

इन मात्राओं के आकार में मामूली अंतर की उपेक्षा करते हुए, हम शंकु (एस) की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

एस = सी मैं / 2, जहाँ C शंकु के आधार की परिधि है, मैं- एक शंकु का जनक।

यह जानते हुए कि C \u003d 2πR, जहाँ R शंकु के आधार के वृत्त की त्रिज्या है, हम प्राप्त करते हैं: S \u003d R मैं.

ध्यान दें।सूत्र में एस = सी मैं / 2, सटीक, और अनुमानित नहीं, समानता का संकेत दिया गया है, हालांकि उपरोक्त तर्क के आधार पर, हम इस समानता को अनुमानित मान सकते हैं। लेकिन हाई स्कूल में उच्च विद्यालययह साबित होता है कि समानता

एस = सी मैं / 2 सटीक है, अनुमानित नहीं।

प्रमेय। शंकु की पार्श्व सतह आधार की परिधि के उत्पाद के बराबर है और आधा जेनरेटरिक्स है।

हम एक शंकु (चित्र) में कुछ नियमित पिरामिड अंकित करते हैं और अक्षरों द्वारा निरूपित करते हैं आरतथा मैंआधार की परिधि की लंबाई और इस पिरामिड के एपोथेम को व्यक्त करने वाली संख्याएँ।

फिर इसकी पार्श्व सतह को उत्पाद 1/2 द्वारा व्यक्त किया जाएगा आर मैं .

आइए अब मान लें कि आधार में अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाती है। फिर परिधि आरआधार की परिधि और एपोथेम की लंबाई सी के रूप में ली गई सीमा तक पहुंच जाएगी मैंइसकी सीमा के रूप में एक शंकु जनरेटर होगा (चूंकि ΔSAK का तात्पर्य है कि SA - SK
1 / 2 आर मैं, 1/2 C . की सीमा तक जाएगा L. यह सीमा शंकु के पार्श्व पृष्ठ के मान के रूप में ली जाती है। दर्शाने पार्श्व सतह S अक्षर के साथ शंकु, हम लिख सकते हैं:

एस = 1/2 सी एल = सी 1/2 ली

परिणाम।
1) चूंकि सी \u003d 2 π आर, तो शंकु की पार्श्व सतह सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

एस = 1/2 2π आर एल = π आर एल

2) यदि हम आधार क्षेत्र में पार्श्व सतह को जोड़ते हैं तो हमें शंकु की पूरी सतह मिलती है; इसलिए, पूर्ण सतह को T से निरूपित करने पर, हमारे पास होगा:

टी = π आरएल+ π आर 2 = π आर (एल + आर)

प्रमेय। एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह आधारों की परिधि और जेनरेटर के आधे योग के गुणनफल के बराबर होती है।

हम एक काटे गए शंकु (चित्र) में कुछ नियमित रूप से काटे गए पिरामिड को अंकित करते हैं और अक्षरों द्वारा निरूपित करते हैं आर, आर 1 और मैंसमान रैखिक इकाइयों में व्यक्त करने वाली संख्याएँ निचले और ऊपरी आधारों की परिधि की लंबाई और इस पिरामिड के एपोथेम की लंबाई।

तब उत्कीर्ण पिरामिड की पार्श्व सतह 1/2 ( पी + पी 1) मैं

उत्कीर्ण पिरामिड के पार्श्व चेहरों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, परिधि आरतथा आर 1 आधारों के वृत्तों की लंबाई C और C 1 और एपोथेम के रूप में ली गई सीमाओं की ओर रुख करते हैं मैंइसकी सीमा काटे गए शंकु के जेनरेट्रिक्स एल के रूप में है। नतीजतन, उत्कीर्ण पिरामिड की पार्श्व सतह का मान (С + 1) एल के बराबर सीमा तक जाता है। इस सीमा को काटे गए शंकु की पार्श्व सतह के मान के रूप में लिया जाता है। काटे गए शंकु की पार्श्व सतह को S अक्षर से निरूपित करते हुए, हमारे पास होगा:

एस \u003d 1/2 (सी + सी 1) एल

परिणाम।
1) यदि R और R 1 का अर्थ निचले और ऊपरी आधारों के वृत्तों की त्रिज्या है, तो काटे गए शंकु की पार्श्व सतह होगी:

एस = 1/2 (2 .) π आर+2 π आर 1) एल = π (आर+आर1)एल.

2) यदि समलम्ब चतुर्भुज OO 1 A 1 A (चित्र।) में, जिसके घूर्णन से एक छोटा शंकु प्राप्त होता है, हम मध्य रेखा BC खींचते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

बीसी \u003d 1/2 (ओए + ओ 1 ए 1) \u003d 1/2 (आर + आर 1),

आर + आर 1 = 2BC।

इसलिये,

एस = 2 π ईसा पूर्व एल,

अर्थात। एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह औसत खंड और जेनरेटर की परिधि के गुणनफल के बराबर होती है।

3) एक काटे गए शंकु का कुल पृष्ठ T इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

टी = π (आर 2 + आर 1 2 + आरएल + आर 1 एल)

यहाँ शंकु के साथ समस्याएँ हैं, स्थिति इसके सतह क्षेत्र से संबंधित है। विशेष रूप से, कुछ समस्याओं में शंकु की ऊंचाई या उसके आधार की त्रिज्या में वृद्धि (कमी) के साथ क्षेत्र को बदलने का सवाल है। थ्योरी फॉर प्रॉब्लम सॉल्विंग इन. निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें:

27135. शंकु के आधार की परिधि 3 है, जनक 2 है। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

डेटा प्लगिंग:

75697. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कितनी बार बढ़ जाएगा यदि इसके जेनरेट्रिक्स को 36 गुना बढ़ा दिया जाए, और आधार की त्रिज्या समान रहे?

शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल:

जेनरेट्रिक्स 36 गुना बढ़ जाता है। त्रिज्या वही रहती है, जिसका अर्थ है कि आधार की परिधि नहीं बदली है।

तो संशोधित शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार, यह 36 गुना बढ़ जाएगा।

*निर्भरता सीधी है, इसलिए इस समस्या को मौखिक रूप से आसानी से हल किया जा सकता है।

27137. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल कितनी बार घटेगा यदि इसके आधार की त्रिज्या 1.5 गुना कम कर दी जाए?

शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

त्रिज्या 1.5 गुना कम हो जाती है, अर्थात:

यह पाया गया कि पार्श्व सतह क्षेत्र 1.5 गुना कम हो गया।

27159. शंकु की ऊँचाई 6 है, जनक 10 है। पाई द्वारा विभाजित इसकी कुल सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

शंकु की पूरी सतह:

त्रिज्या ज्ञात कीजिए:

ऊंचाई और जेनरेटर ज्ञात हैं, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हम त्रिज्या की गणना करते हैं:

इस तरह:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

76299. शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 108 है। शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा जाता है, जो ऊंचाई को आधा में विभाजित करता है। काटे गए शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

खंड आधार के समानांतर मध्य ऊंचाई से होकर गुजरता है। इसका अर्थ यह है कि आधार की त्रिज्या और काटे गए शंकु के जनक की त्रिज्या मूल शंकु की त्रिज्या और जनक से 2 गुना कम होगी। आइए नीचे लिखें कि कटे हुए शंकु का सतह क्षेत्र किसके बराबर है:

हमने पाया कि यह मूल के सतह क्षेत्र से 4 गुना कम होगा, यानी 108: 4 = 27.

*चूंकि मूल और कटे हुए शंकु हैं समान निकाय, तो आप समानता संपत्ति का भी उपयोग कर सकते हैं:

27167. शंकु के आधार की त्रिज्या 3 है, ऊंचाई 4 है। शंकु के कुल सतह क्षेत्र को पाई से विभाजित करें।

एक शंकु की कुल सतह का सूत्र है:

त्रिज्या ज्ञात है, जेनरेटर को खोजना आवश्यक है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

इस तरह:

परिणाम को पाई से विभाजित करें और उत्तर लिखें।

कार्य। शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का चार गुना है। शंकु के जनक और आधार के तल के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।

शंकु के आधार का क्षेत्रफल है:

अर्थात्, कोसाइन इसके बराबर होगा:

उत्तर: 0.25

स्वयं निर्णय लें:

27136. शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल में कितनी बार वृद्धि होगी यदि इसके जनक को 3 गुना बढ़ा दिया जाए?

27160. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल का दोगुना है। शंकु के जनक और आधार के तल के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें। .

27161. शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 12 है। शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा जाता है, जो ऊंचाई को आधा में विभाजित करता है। काटे गए शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

निष्ठा से, सिकंदर।

*सामाजिक नेटवर्क के माध्यम से दोस्तों के साथ साइट के बारे में जानकारी साझा करें।