सभी आवश्यक सूत्र। गणित के फॉर्मूले को कैसे याद करें ताकि उन्हें भुलाया न जाए

इस पृष्ठ पर आप सबसे लोकप्रिय को मुफ्त में देख या डाउनलोड कर सकते हैं गणितीय सूत्र, टेबल, साथ ही उच्च गणित पर संदर्भ सामग्री। सभी गणितीय तालिकाएं मेरे द्वारा व्यक्तिगत रूप से संकलित की गई हैं और अतिरिक्त टिप्पणियों के साथ प्रदान की गई हैं। यह उन कठिनाइयों को दूर करने के लिए किया गया था जो अंशकालिक छात्रों को अक्सर समस्याओं को हल करने के दौरान सामना करना पड़ता है। मैं व्यापक होने का दिखावा नहीं करता, लेकिन आप पाएंगे कि क्या बहुत आम है।

उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों की एक तालिका पर विचार करें। बहुत सारे त्रिकोणमितीय सूत्र हैं, वे लंबे समय से जाने जाते हैं, और संदर्भ पुस्तकों को फिर से लिखने का कोई मतलब नहीं है। लेकिन वे सूत्र जो उच्च गणित के पाठ्यक्रम में समस्याओं को हल करने के लिए अक्सर उपयोग किए जाते हैं, एक साथ एकत्र किए जाते हैं और व्यावहारिक कार्यों को करते समय बहुत उपयोगी हो सकते हैं। उसी समय, टिप्पणियों में, मैं इंगित करता हूं कि उच्च गणित (सीमा, व्युत्पन्न, अभिन्न, आदि) के किस खंड में यह या वह सूत्र लगभग हमेशा दिखाई देता है।

तो, अभी आपके पास मूल्यवान संदर्भ सामग्री तक मुफ्त पहुंच है, ऑनलाइन देखना और डाउनलोड करना दोनों संभव है। गणितीय तालिकाओं और आपकी रुचि के संदर्भ सामग्री को तुरंत प्रिंट करना सबसे सुविधाजनक है। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मॉनिटर स्क्रीन पर जानकारी कागज की तुलना में खराब अवशोषित होती है, और मॉनिटर से इसे पढ़ना अधिक कठिन होता है।

लगभग सभी फाइलें सीधे साइट पर रखी जाती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें यथासंभव प्राप्त किया जा सकता है। लघु अवधिकेवल आपके इंटरनेट कनेक्शन की गति से सीमित।

! पीडीएफ के गलत प्रदर्शन के मामले में, निम्नलिखित अनुशंसाओं का उपयोग करें

मैं सभी को देखने की सलाह देता हूं। ये सूत्र उच्च गणित में हर कदम पर शाब्दिक रूप से समस्याओं को हल करने के क्रम में पाए जाते हैं। इन सूत्रों की जानकारी के बिना - कहीं नहीं। उच्च गणित का अध्ययन कैसे शुरू करें? इसे दोहराने से। आपकी गणितीय तैयारी के स्तर के बावजूद इस पल, प्रारंभिक क्रियाओं को करने की संभावना को तुरंत देखना अत्यधिक वांछनीय है, सीमा, अभिन्न, अंतर समीकरण आदि को हल करने के दौरान सरलतम सूत्रों को लागू करना।

हैंडबुक में है संक्षिप्त जानकारीमापांक के बारे में, संक्षिप्त गुणन सूत्र, समाधान एल्गोरिथ्म द्विघात समीकरण, बहुमंजिला भिन्नों को सरल बनाने के नियम, और सबसे महत्वपूर्ण गुणडिग्री और लघुगणक।

उच्च गणित में समस्याओं को हल करने के दौरान उपयोग किए जाने वाले सबसे अधिक "चलने वाले" त्रिकोणमितीय सूत्र दिए गए हैं। वास्तव में, ऐसे कुछ सूत्र हैं, और विभिन्न गणितीय संदर्भ पुस्तकों से दर्जनों अन्य को एकत्रित करना समय की बर्बादी है। सब कुछ (या लगभग सब कुछ) जिसकी आपको आवश्यकता हो सकती है वह यहाँ है।

गणित में कार्य करते समय, त्रिकोणमितीय तालिकाओं को देखना अक्सर आवश्यक हो जाता है। इसमें संदर्भ सामग्रीशून्य से 360 डिग्री तक तर्क मानों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट) के मूल्यों की एक तालिका प्रस्तुत की जाती है। ध्यान रखें यह जानकारीत्रिकोणमितीय कार्यों के कुछ मूल्यों के अलावा कोई अर्थ नहीं है जानकार अच्छा लगा. उपरोक्त त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए कमी सूत्र भी प्रस्तुत किए गए हैं, कभी कभी(अक्सर सीमा को हल करते समय) की आवश्यकता होती है। साइट के आगंतुकों के अनुरोध पर, पीडीएफ फाइल में उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की एक तालिका और दो सूत्र जोड़े गए हैं: डिग्री को रेडियन में परिवर्तित करने का एक सूत्र, रेडियन को डिग्री में परिवर्तित करने का एक सूत्र।

विधिवत सामग्रीबुनियादी प्राथमिक कार्यों और उनके गुणों के रेखांकन का एक सिंहावलोकन है। उच्च गणित के लगभग सभी वर्गों का अध्ययन करते समय यह उपयोगी होगा, इसके अलावा, एक संदर्भ मार्गदर्शिका आपको बहुत मदद करेगी बेहतर और बेहतर गुणवत्ताकुछ विषयों को समझें। आप यह भी पता लगा सकते हैं कि कौन से फ़ंक्शन मान होने चाहिए दिल से जाननाताकि उत्तर देते समय "दो स्वचालित रूप से" न मिलें सबसे सरल प्रश्नपरीक्षक। सहायता एक वेब पेज के रूप में होती है और इसमें कार्यों के कई रेखांकन होते हैं जो याद रखने योग्य भी होते हैं। जैसे ही परियोजना विकसित हुई, मैनुअल ने "कार्य और रेखांकन" विषय पर एक परिचयात्मक पाठ की भूमिका निभानी शुरू कर दी।

व्यवहार में, अंशकालिक छात्रों को लगभग हमेशा पहले और दूसरे का उपयोग करने की आवश्यकता होती है अद्भुत सीमाएंजिनकी चर्चा इस गाइड में की गई है। तीन और उल्लेखनीय सीमाएं, जो बहुत दुर्लभ हैं, पर भी विचार किया जाता है। अतिरिक्त महत्वपूर्ण टिप्पणियों के साथ सभी अद्भुत सीमाएं प्रदान की जाती हैं। इसके अलावा, फ़ाइल उल्लेखनीय समकक्षों के बारे में जानकारी के साथ पूरक है।

संदर्भ में भेदभाव के नियम और बुनियादी प्राथमिक कार्यों के डेरिवेटिव की एक तालिका शामिल है। तालिका बहुत महत्वपूर्ण नोट्स के साथ प्रदान की जाती है।

कार्यों और रेखांकन के लिए आपका मार्गदर्शक। पीडीएफ एक चर के कार्य के अध्ययन के मुख्य चरणों के बारे में जानकारी को व्यवस्थित और रेखांकित करता है। मैनुअल लिंक के साथ है, जिसका अर्थ है कि यह बहुत समय बचाता है। मैनुअल चायदानी और तैयार पाठक दोनों के लिए उपयोगी है।

सामान्य तौर पर, अंतर कलन के समान ही। मेरी टिप्पणियों के साथ एकीकरण नियम और इंटीग्रल की तालिका।

शक्ति श्रृंखला के अध्ययन में संदर्भ सामग्री अपरिहार्य है। तालिका निम्नलिखित कार्यों की शक्ति श्रृंखला विस्तार दिखाती है: एक्सपोनेंट, साइन, कोसाइन, लॉगरिदम, आर्क टेंगेंट, और आर्क साइन। द्विपद प्रसार और द्विपद प्रसार के सबसे सामान्य विशेष मामले भी दिए गए हैं। एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार एक स्वतंत्र कार्य है, जिसका उपयोग अनुमानित गणना, एक निश्चित अभिन्न की अनुमानित गणना और कुछ अन्य समस्याओं में किया जाता है।

स्थिर गुणांक वाले अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने में मुख्य कठिनाई दाईं ओर के रूप के अनुसार किसी विशेष समाधान का सही चयन है। यह मैनुअल मुख्य रूप से पाठ पर लागू होता है एक अमानवीय दूसरे क्रम के समीकरण को कैसे हल करें?और आपको किसी विशेष समाधान के चयन को आसानी से समझने में मदद मिलेगी। सहायता पूरी तरह से वैज्ञानिक पूर्णता होने का दावा नहीं करती है, यह एक सरल और में लिखा गया है सदा भाषा, लेकिन 99.99% बार इसमें ठीक वही मामला होगा जिसकी आपको तलाश है।

अनुप्रयुक्त समस्याओं को हल करने के दौरान सहायता अपरिहार्य है जटिल विश्लेषण – परिचालन विधि द्वारा DE का एक विशेष समाधान खोजनाऔर उसी तरह DE प्रणाली का एक विशेष समाधान खोजना। तालिका एनालॉग्स से इस मायने में भिन्न है कि यह विशेष रूप से उपरोक्त कार्यों के लिए "तेज" है, यह सुविधासमाधान एल्गोरिदम में महारत हासिल करना आसान बनाता है। सबसे सामान्य कार्यों के लिए प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम दोनों लाप्लास रूपांतरण दिए गए हैं। यदि जानकारी पर्याप्त नहीं है, तो मेरा सुझाव है कि आप एक ठोस गणितीय संदर्भ पुस्तक देखें - पूर्ण संस्करणसौ से अधिक आइटम शामिल हैं।

संदर्भ सामग्री में फैक्टोरियल, क्रमपरिवर्तन की संख्या, संयोजन, प्लेसमेंट (दोहराव के साथ और बिना), साथ ही प्रत्येक सूत्र पर सूचनात्मक टिप्पणियां शामिल हैं, जिससे आप उनके सार को समझ सकते हैं। + जोड़ और गुणा संयोजन के नियम। इसके अलावा, पीडीएफ में न्यूटन के द्विपद और पास्कल के त्रिकोण के बारे में उनके व्यावहारिक उपयोग के उदाहरणों के साथ संक्षिप्त जानकारी है।

फ़ाइल में सूत्रों की एक सूची है संक्षिप्त टिप्पणियाँटर्वर के दोनों सिरों पर - यादृच्छिक घटनाएंतथा यादृच्छिक चर, जिसमें सामान्य असतत और निरंतर वितरण के सूत्र और संख्यात्मक विशेषताएं शामिल हैं। सामग्री को व्यवस्थित करने में मदद करें और व्यावहारिक कार्यों को करने के लिए बहुत सुविधाजनक है, ड्रॉप इन करें और तुरंत अपनी जरूरत का पता लगाएं!

विशेष गणना कार्यक्रम:

इस खंड में आप विस्तृत और संकीर्ण स्थानीय को हल करने के लिए सहायक कार्यक्रम पा सकते हैं गणित की समस्याये. वे गणनाओं को शीघ्रता से पूरा करने और निर्णय लेने में आपकी सहायता करेंगे।

यूनिवर्सल कैलकुलेटरएक एमएस एक्सेल कार्यपुस्तिका में कार्यान्वित किया गया जिसमें तीन पत्रक हैं। कार्यक्रम एक नियमित कैलकुलेटर को कई कार्यों से बदल सकता है। कोई भी डिग्री, जड़ें, लघुगणक, त्रिकोणमितीय कार्य, मेहराब - कोई समस्या नहीं! इसके अलावा, कैलकुलेटर स्वचालित रूप से मैट्रिसेस के साथ बुनियादी संचालन करता है, निर्धारकों की गणना करता है (निर्धारक 5 तक 5 समावेशी), तुरंत मैट्रिक्स के नाबालिग और बीजगणितीय पूरक ढूंढता है। सेकंड के एक मामले में, आप उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं और क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके समाधान के मुख्य चरणों को देख सकते हैं। यह सब आत्म-जांच के लिए बहुत सुविधाजनक है। बस अपने नंबर दर्ज करें और प्राप्त करें समाप्त परिणाम!

इस अर्ध-स्वचालित कार्यक्रमपाठ से संबंधित समलम्बाकार सूत्र, सिम्पसन का सूत्रऔर विभाजन के 2, 4, 8, 10 और 20 खंडों पर निश्चित समाकल के अनुमानित मान की गणना करने में मदद करता है। कैलकुलेटर के साथ काम करने पर एक वीडियो ट्यूटोरियल संलग्न है। मिनटों और यहां तक ​​कि सेकंडों में अपने निश्चित समाकलन की गणना करें!

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अनुभाग को धीरे-धीरे अतिरिक्त सामग्रियों और उपयोगी कार्यक्रमों के साथ अद्यतन किया जाता है। आपकी इच्छाओं और टिप्पणियों को ध्यान में रखते हुए, प्रत्येक संदर्भ पुस्तिका को बार-बार संपादित और बेहतर किया गया है! यदि आपको लगता है कि कुछ महत्वपूर्ण छूट गया है, आपने कोई अशुद्धि पाई है, या हो सकता है कि कुछ स्पष्ट रूप से पर्याप्त रूप से समझाया नहीं गया है, तो लिखना सुनिश्चित करें!

साभार, एमेलिन अलेक्जेंडर

स्कूल में जो कुछ पढ़ाया जाता था उसे भुला देने के बाद भी शिक्षा बची रहती है।

नोवोसिबिर्स्क वैज्ञानिक इगोर खमेलिंस्की, जो अब पुर्तगाल में काम कर रहे हैं, साबित करते हैं कि ग्रंथों और सूत्रों के सीधे याद के बिना, बच्चों में अमूर्त स्मृति का विकास मुश्किल है। पेश हैं उनके लेख के अंशयूरोप और पूर्व सोवियत संघ के देशों में शैक्षिक सुधारों से सबक"

दिल और दीर्घकालिक स्मृति से सीखना

गुणन सारणी की अज्ञानता अधिक है गंभीर परिणामकैलकुलेटर पर गणना में त्रुटियों का पता लगाने में असमर्थता की तुलना में। हमारी दीर्घकालीन स्मृतिएक सहयोगी डेटाबेस के सिद्धांत पर काम करता है, अर्थात्, जानकारी के कुछ तत्व जब याद किए जाते हैं, तो उनके साथ परिचित होने के समय स्थापित संघों के आधार पर दूसरों के साथ जुड़े होते हैं। इसलिए, किसी भी विषय क्षेत्र में ज्ञान का आधार बनाने के लिए, उदाहरण के लिए, अंकगणित में, आपको पहले कम से कम कुछ दिल से सीखने की जरूरत है। इसके अलावा, नई आने वाली जानकारी से आएगी अल्पकालिक स्मृतिएक लंबी अवधि में, यदि थोड़े समय के भीतर (कई दिन) हम इसका कई बार सामना करते हैं, और, अधिमानतः, विभिन्न परिस्थितियों में (जो उपयोगी संघों के निर्माण में योगदान देता है)। हालाँकि, स्थायी स्मृति में अंकगणित से ज्ञान के अभाव में, सूचना के नए आने वाले तत्व ऐसे तत्वों से जुड़े होते हैं जिनका अंकगणित से कोई लेना-देना नहीं है - उदाहरण के लिए, शिक्षक का व्यक्तित्व, सड़क पर मौसम, आदि। जाहिर है, इस तरह के संस्मरण से छात्र को कोई वास्तविक लाभ नहीं होगा - चूंकि संघ इस विषय क्षेत्र से दूर जाते हैं, इसलिए छात्र अंकगणित से संबंधित किसी भी ज्ञान को याद नहीं कर पाएगा, सिवाय अस्पष्ट विचारों के कि उसे एक बार इसके बारे में कुछ लगता है .सुनना चाहिए था। ऐसे छात्रों के लिए, लापता संघों की भूमिका आमतौर पर विभिन्न प्रकार के संकेतों द्वारा निभाई जाती है - एक सहयोगी से प्रतिलिपि, नियंत्रण में ही प्रमुख प्रश्नों का उपयोग करें, सूत्रों की सूची से सूत्रों का उपयोग करने की अनुमति है, आदि। वी असली जीवन, बिना किसी संकेत के, ऐसा व्यक्ति पूरी तरह से असहाय हो जाता है और अपने दिमाग में मौजूद ज्ञान को लागू करने में असमर्थ हो जाता है।

एक गणितीय उपकरण का निर्माण, जिसमें सूत्र याद नहीं किए जाते हैं, अन्यथा की तुलना में धीमा है। क्यों? सबसे पहले, नए गुण, प्रमेय, गणितीय वस्तुओं के बीच संबंध लगभग हमेशा पहले से अध्ययन किए गए सूत्रों और अवधारणाओं की कुछ विशेषताओं का उपयोग करते हैं। यदि इन विशेषताओं को कम समय में स्मृति से पुनः प्राप्त नहीं किया जा सकता है तो छात्र का ध्यान नई सामग्री पर केंद्रित करना अधिक कठिन होगा। दूसरे, सूत्रों की हृदय से अज्ञानता सार्थक समस्याओं के समाधान की खोज में बाधक है बड़ी मात्राछोटे ऑपरेशन, जिसमें न केवल कुछ परिवर्तनों को करने की आवश्यकता होती है, बल्कि इन चालों के अनुक्रम की पहचान करने के लिए दो या तीन कदम आगे कई सूत्रों के आवेदन का विश्लेषण करना होता है।

अभ्यास से पता चलता है कि बच्चे का बौद्धिक और गणितीय विकास, उसके ज्ञान के आधार और कौशल का निर्माण, बहुत तेजी से होता है यदि उपयोग की जाने वाली अधिकांश जानकारी (गुण और सूत्र) सिर में हो। और इसे जितना मजबूत और लंबा रखा जाए, उतना अच्छा है।

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DPVA इंजीनियरिंग हैंडबुक से अतिरिक्त जानकारी, अर्थात् इस खंड के अन्य उपखंड:

गणितज्ञ हेनरी पोंकारे ने अपनी पुस्तक साइंस एंड मेथड में लिखा है: "यदि प्रकृति सुंदर नहीं होती, तो यह जानने लायक नहीं होता, जीवन अनुभव करने लायक नहीं होता। निःसंदेह मैं यहां उस सुंदरता की बात नहीं कर रहा हूं जो आंख को पकड़ लेती है... यह वह है जो जमीन बनाती है, दृश्य रंगों के खेल के लिए एक रूपरेखा बनाती है जो हमारी भावनाओं को दुलारती है, और इस समर्थन के बिना, क्षणभंगुर छापों की सुंदरता अपूर्ण होगी, जैसे सब कुछ अस्पष्ट और क्षणिक। इसके विपरीत बौद्धिक सौन्दर्य अपने आप में संतुष्टि देता है।

पी.ए.एम. डिराक ने लिखा: "सैद्धांतिक भौतिकी में विकास का एक और निश्चित तरीका है। प्रकृति की यह मौलिक विशेषता है कि सबसे बुनियादी भौतिक नियमों का वर्णन एक गणितीय सिद्धांत द्वारा किया जाता है, जिसके उपकरण में असाधारण शक्ति और सुंदरता होती है। इस सिद्धांत को समझने के लिए, आपके पास होना चाहिए एक असामान्य रूप से उच्च गणितीय योग्यता। आप पूछ सकते हैं: प्रकृति को इस तरह से क्यों व्यवस्थित किया गया है? इसका केवल एक ही उत्तर हो सकता है: हमारे आधुनिक ज्ञान के अनुसार, प्रकृति को इस तरह से व्यवस्थित किया जाता है, अन्यथा नहीं।

सात साल पहले, यूक्रेनी भौतिक विज्ञानी (और कलाकार) नतालिया कोंद्रात्येवा ने दुनिया के कुछ प्रमुख गणितज्ञों से पूछा, "आपके अनुसार कौन से तीन गणितीय सूत्र सबसे सुंदर हैं?"
ब्रिटेन से सर माइकल अतिया और डेविड एल्वारसी, संयुक्त राज्य अमेरिका से याकोव सिनाई और अलेक्जेंडर किरिलोव, जर्मनी से फ्रेडरिक हर्जेब्रुक और यूरी मैनिन, फ्रांस से डेविड रूएल, रूस से अनातोली वर्शिक और रॉबर्ट मिनलोस और अन्य गणितज्ञों से विभिन्न देश. यूक्रेनियन के बीच, नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज वलोडिमिर कोरोल्युक और अनातोली स्कोरोखोद के शिक्षाविदों ने चर्चा में भाग लिया। इस तरह से प्राप्त सामग्री का एक हिस्सा नतालिया कोंड्रैटिव द्वारा प्रकाशित का आधार बना वैज्ञानिक कार्य"तीन सबसे सुंदर गणितीय सूत्र।"
- जब आपने गणितज्ञों से सुंदर सूत्रों के बारे में पूछा तो आपका लक्ष्य क्या था?
- प्रत्येक नई सदी वैज्ञानिक प्रतिमान का अद्यतन करती है। सदी की शुरुआत में, इस भावना के साथ कि हम एक नए विज्ञान की दहलीज पर हैं, मानव समाज के जीवन में इसकी नई भूमिका, मैंने गणितज्ञों के पास गणितीय प्रतीकों के पीछे विचारों की सुंदरता के बारे में एक प्रश्न के साथ, अर्थात्। गणितीय सूत्रों की सुंदरता के बारे में।
नए विज्ञान की कुछ विशेषताओं को पहले ही नोट किया जा सकता है। अगर बीसवीं सदी का विज्ञान बहुत है महत्वपूर्ण भूमिकाभौतिकी के साथ गणित की "दोस्ती" खेली गई, अब गणित जीव विज्ञान, आनुवंशिकी, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र के साथ प्रभावी रूप से सहयोग करता है ... नतीजतन, विज्ञान पत्राचार की जांच करेगा। गणितीय संरचनाएं तत्व अंतःक्रियाओं के बीच पत्राचार का पता लगाएंगी विभिन्न क्षेत्रऔर योजनाएँ। और बहुत कुछ जिसे हमने पहले दार्शनिक कथनों के रूप में स्वीकार किया था, विज्ञान द्वारा ठोस ज्ञान के रूप में अनुमोदित किया जाएगा।
यह प्रक्रिया 20वीं सदी में ही शुरू हो गई थी। तो, कोलमोगोरोव ने गणितीय रूप से दिखाया कि कोई यादृच्छिकता नहीं है, लेकिन एक बहुत बड़ी जटिलता है। भग्न ज्यामिति ने विविधता में एकता के सिद्धांत की पुष्टि की, इत्यादि।
- किन सूत्रों को सबसे सुंदर नाम दिया गया?
- मुझे तुरंत कहना होगा कि सूत्रों के लिए प्रतियोगिता की व्यवस्था करने का कोई लक्ष्य नहीं था। गणितज्ञों को लिखे अपने पत्र में, मैंने लिखा: "जो लोग यह समझना चाहते हैं कि कौन से कानून दुनिया को नियंत्रित करते हैं, वे दुनिया के सामंजस्य को खोजने का रास्ता अपनाते हैं। यह मार्ग अनंत तक जाता है (क्योंकि गति शाश्वत है), लेकिन लोग अभी भी इसका अनुसरण करते हैं, क्योंकि। किसी अन्य विचार या विचार से मिलने का विशेष आनंद होता है। सुंदर सूत्रों के प्रश्न के उत्तर से संसार की सुंदरता के एक नए पहलू का संश्लेषण संभव हो सकता है। इसके अलावा, यह काम भविष्य के वैज्ञानिकों के लिए इस सुंदरता को खोजने के तरीके के रूप में दुनिया और गणित के महान सामंजस्य के विचार के रूप में उपयोगी हो सकता है।
फिर भी, सूत्रों के बीच स्पष्ट पसंदीदा थे: पाइथागोरस सूत्र और यूलर सूत्र।
उनके बाद गणितीय सूत्रों के बजाय भौतिक का पालन किया गया, जिसने बीसवीं शताब्दी में दुनिया की हमारी समझ को बदल दिया - मैक्सवेल, श्रोडिंगर, आइंस्टीन।
इसके अलावा सबसे सुंदर में सूत्र हैं जो अभी भी चर्चा में हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, भौतिक निर्वात के समीकरण। अन्य सुंदर गणितीय सूत्रों का भी उल्लेख किया गया था।
- आपको क्या लगता है, दूसरी और तीसरी सहस्राब्दी के मोड़ पर, पाइथागोरस सूत्र को सबसे सुंदर में से एक का नाम क्यों दिया गया?
- पाइथागोरस के समय में, इस सूत्र को ब्रह्मांडीय विकास के सिद्धांत की अभिव्यक्ति के रूप में माना जाता था: दो विपरीत सिद्धांत (दो वर्ग ऑर्थोगोनली स्पर्श करते हुए) उनके योग के बराबर एक तिहाई को जन्म देते हैं। ज्यामितीय रूप से बहुत सुंदर व्याख्या देना संभव है।
शायद उस समय की किसी प्रकार की अवचेतन, आनुवंशिक स्मृति है जब "गणित" की अवधारणा का अर्थ "विज्ञान" था, और संश्लेषण में अंकगणित, चित्रकला, संगीत, दर्शन का अध्ययन किया गया था।
राफेल खस्मिंस्की ने अपने पत्र में लिखा है कि स्कूल में वह पाइथागोरस फार्मूले की सुंदरता से प्रभावित थे, जिसने काफी हद तक एक गणितज्ञ के रूप में उनके भाग्य को निर्धारित किया था।
यूलर के सूत्र के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
- कुछ गणितज्ञों ने इस बात पर ध्यान दिया कि इसमें "सब इकट्ठे हुए", अर्थात्। सभी सबसे शानदार गणितीय संख्या, और इकाई अनंत से भरी हुई है! इसका गहरा दार्शनिक अर्थ है।
कोई आश्चर्य नहीं कि यूलर ने इस सूत्र की खोज की। महान गणितज्ञ ने सौंदर्य को विज्ञान में लाने के लिए बहुत कुछ किया, उन्होंने गणित में "सौंदर्य की डिग्री" की अवधारणा को भी पेश किया। बल्कि, उन्होंने इस अवधारणा को संगीत के सिद्धांत में पेश किया, जिसे उन्होंने गणित का हिस्सा माना।
यूलर का मानना ​​था कि सौंदर्य बोध विकसित किया जा सकता है और वैज्ञानिक के लिए यह भाव आवश्यक है।
मैं अधिकारियों का उल्लेख करूंगा ... ग्रोथेंडिक: "गणित में इस या उस चीज़ की समझ उतनी ही परिपूर्ण है जितनी कि इसकी सुंदरता को महसूस करना संभव है।"
पोंकारे: "गणित में एक भावना है।" उन्होंने गणित में सौंदर्य की भावना की तुलना एक फिल्टर के साथ की, जो कई समाधानों में से सबसे सामंजस्यपूर्ण समाधान चुनता है, जो एक नियम के रूप में, सही है। सौंदर्य और सद्भाव पर्यायवाची हैं, और सर्वोच्च अभिव्यक्तिसद्भाव संतुलन का विश्व नियम है। गणित इस कानून की जांच करता है विभिन्न योजनाएंजीवन और विभिन्न पहलुओं में। कोई आश्चर्य नहीं प्रत्येक गणितीय सूत्रएक समान चिह्न शामिल है।
मुझे लगता है कि उच्चतम मानवीय सद्भाव विचार और भावना का सामंजस्य है। शायद इसीलिए आइंस्टीन ने कहा कि लेखक दोस्तोवस्की ने उन्हें गणितज्ञ गॉस से ज्यादा दिया।
मैंने दोस्तोवस्की के सूत्र "ब्यूटी विल सेव द वर्ल्ड" को गणित में सौंदर्य पर एक काम के लिए एक एपिग्राफ के रूप में लिया। और इसकी चर्चा गणितज्ञों ने भी की है।
और वे इस कथन से सहमत थे?
- गणितज्ञों ने इस दावे की पुष्टि या खंडन नहीं किया। उन्होंने इसे स्पष्ट किया: "सौंदर्य की जागरूकता दुनिया को बचाएगी।" यह लगभग पचास साल पहले उनके द्वारा लिखित क्वांटम मापन में चेतना की भूमिका पर यूजीन विग्नर के काम को तुरंत ध्यान में लाया। इस काम में, विग्नर ने दिखाया कि मानव चेतना प्रभावित करती है वातावरणयानी कि हम न केवल बाहर से जानकारी प्राप्त करते हैं, बल्कि प्रतिक्रिया में अपने विचारों और भावनाओं को भी भेजते हैं। यह काम अभी भी प्रासंगिक है और इसके समर्थक और विरोधी दोनों हैं। मैं वास्तव में आशा करता हूं कि 21वीं सदी में विज्ञान यह साबित करेगा कि सौंदर्य के प्रति जागरूकता हमारी दुनिया के सामंजस्य में योगदान करती है।

1. यूलर फॉर्मूला। कई लोगों ने इस सूत्र में सभी गणित की एकता का प्रतीक देखा, क्योंकि इसमें "-1 अंकगणित, i - बीजगणित, - ज्यामिति और ई - विश्लेषण" का प्रतिनिधित्व करता है।

2. यह सरल समीकरण दर्शाता है कि 0.999 का मान (और इसी तरह विज्ञापन infinitum पर) एक के बराबर है। बहुत से लोग यह नहीं मानते कि यह सच हो सकता है, हालांकि सीमा के सिद्धांत पर आधारित कई प्रमाण हैं। हालाँकि, समानता अनंत के सिद्धांत को दर्शाती है।


3. इस समीकरण को आइंस्टीन ने 1915 में सामान्य सापेक्षता के अग्रणी सिद्धांत के हिस्से के रूप में तैयार किया था। इस समीकरण का दाहिना हाथ हमारे ब्रह्मांड में निहित ऊर्जा ("डार्क एनर्जी" सहित) का वर्णन करता है। बाएं हाथ की ओरअंतरिक्ष-समय की ज्यामिति का वर्णन करता है। समानता इस तथ्य को दर्शाती है कि आइंस्टीन के सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में, द्रव्यमान और ऊर्जा ज्यामिति को निर्धारित करते हैं, और साथ ही वक्रता, जो गुरुत्वाकर्षण की अभिव्यक्ति है। आइंस्टीन ने कहा था कि बाईं तरफसामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण समीकरण, जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र होता है, सुंदर होता है और मानो संगमरमर से उकेरा जाता है, जबकि दाहिना भागपदार्थ का वर्णन करने वाले समीकरण अभी भी बदसूरत हैं, जैसे कि लकड़ी के एक साधारण टुकड़े से बने हों।


4. भौतिकी का एक अन्य प्रमुख सिद्धांत - मानक मॉडल - सभी प्राथमिक कणों के विद्युत चुम्बकीय, कमजोर और मजबूत अंतःक्रिया का वर्णन करता है। कुछ भौतिकविदों का मानना ​​है कि यह डार्क मैटर, डार्क एनर्जी को छोड़कर ब्रह्मांड में होने वाली सभी प्रक्रियाओं को दर्शाता है और इसमें गुरुत्वाकर्षण शामिल नहीं है। हिग्स बोसॉन, पिछले साल तक मायावी, भी मानक मॉडल में फिट बैठता है, हालांकि सभी विशेषज्ञ इसके अस्तित्व के बारे में सुनिश्चित नहीं हैं।


5. पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेयों में से एक है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करता है। हम उसे स्कूल से याद करते हैं और मानते हैं कि प्रमेय के लेखक पाइथागोरस हैं। वास्तव में, इस सूत्र का उपयोग तब से किया जा रहा है प्राचीन मिस्रपिरामिड के निर्माण के दौरान।


6. यूलर की प्रमेय। इस प्रमेय ने गणित की एक नई शाखा - टोपोलॉजी की नींव रखी। समीकरण पॉलीहेड्रा के लिए कोने, किनारों और चेहरों की संख्या के बीच एक संबंध स्थापित करता है जो एक क्षेत्र के बराबर है।


7. सापेक्षता का विशेष सिद्धांत गति, यांत्रिकी के नियमों और अंतरिक्ष-समय संबंधों को गति की मनमानी गति से, निर्वात में प्रकाश की गति से कम, प्रकाश की गति के करीब सहित, का वर्णन करता है। आइंस्टीन एक सूत्र के साथ आए जो बताता है कि समय और स्थान पूर्ण अवधारणा नहीं हैं, बल्कि पर्यवेक्षक की गति के आधार पर सापेक्ष हैं। समीकरण दिखाता है कि व्यक्ति कैसे और कहाँ चलता है, इसके आधार पर समय कैसे फैलता या धीमा होता है।


8. 1750 के दशक में यूलर और लैग्रेंज द्वारा आइसोक्रोन समस्या को हल करते हुए समीकरण प्राप्त किया गया था। यह उस वक्र को निर्धारित करने की समस्या है जो एक भारी कण एक निश्चित समय में एक निश्चित बिंदु पर ले जाता है, भले ही शुरुआती बिंदु कुछ भी हो। सामान्य शब्दों में, यदि आपके सिस्टम में समरूपता है, तो एक समरूपता संरक्षण कानून है।


9. कैलन-सिमान्ज़िका समीकरण। यह ऊर्जा पैमाने में परिवर्तन के साथ एन-सहसंबंध फ़ंक्शन के विकास का वर्णन करने वाला एक अंतर समीकरण है जिस पर सिद्धांत परिभाषित किया गया है और इसमें सिद्धांत और विषम आयामों के बीटा फ़ंक्शन शामिल हैं। इस समीकरण ने क्वांटम भौतिकी को बेहतर ढंग से समझने में मदद की।


10. न्यूनतम सतह का समीकरण। यह समानता साबुन के बुलबुलों के बनने की व्याख्या करती है।


11. यूलर की सीधी रेखा। यूलर की प्रमेय 1765 में सिद्ध हुई थी। उन्होंने पाया कि एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु और उसकी ऊँचाइयों के आधार एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं।


12. 1928 में पी.ए.एम. डिराक ने श्रोडिंगर समीकरण का अपना संस्करण प्रस्तावित किया - जो ए आइंस्टीन के सिद्धांत के अनुरूप था। वैज्ञानिक दुनिया हैरान थी - डिराक ने इलेक्ट्रॉन के लिए अपने समीकरण की खोज विशुद्ध रूप से गणितीय जोड़तोड़ के माध्यम से उच्च गणितीय वस्तुओं के साथ की जिन्हें स्पिनर्स के रूप में जाना जाता है। और यह एक सनसनी थी - अब तक, भौतिकी में सभी महान खोजों को प्रयोगात्मक डेटा के ठोस आधार पर खड़ा होना चाहिए। लेकिन डिराक का मानना ​​​​था कि शुद्ध गणित, यदि पर्याप्त सुंदर है, तो निष्कर्ष की शुद्धता के लिए एक विश्वसनीय मानदंड है। "प्रायोगिक डेटा के साथ उनके समझौते से समीकरणों की सुंदरता अधिक महत्वपूर्ण है। ... ऐसा लगता है कि यदि आप समीकरणों में सुंदरता पाने का प्रयास करते हैं और स्वस्थ अंतर्ज्ञान रखते हैं, तो आप आगे हैं सही तरीका". यह उनकी गणना के लिए धन्यवाद था कि पॉज़िट्रॉन - एंटीइलेक्ट्रॉन - की खोज की गई थी, और उन्होंने इलेक्ट्रॉन में "स्पिन" की उपस्थिति की भविष्यवाणी की - एक प्राथमिक कण का घूर्णन।


13. जे मैक्सवेल ने आश्चर्यजनक समीकरण प्राप्त किए जो बिजली, चुंबकत्व और प्रकाशिकी की सभी घटनाओं को मिलाते थे। उल्लेखनीय जर्मन भौतिक विज्ञानी, सांख्यिकीय भौतिकी के संस्थापकों में से एक, लुडविग बोल्ट्ज़मैन ने मैक्सवेल के समीकरणों के बारे में कहा: "क्या भगवान ने इन पत्रों को नहीं खींचा?"


14. श्रोडिंगर समीकरण। एक समीकरण जो हैमिल्टनियन क्वांटम सिस्टम में तरंग फ़ंक्शन द्वारा दिए गए शुद्ध राज्य के स्थान और समय में परिवर्तन का वर्णन करता है। यह क्वांटम यांत्रिकी में शास्त्रीय यांत्रिकी में न्यूटन के दूसरे नियम के समीकरण के समान महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।