funkcije. Ta transformacija je zelo pomembna, saj jo lahko uporabimo za reševanje številnih praktičnih problemov. Fourierjeve vrste ne uporabljajo samo matematiki, ampak tudi specialisti drugih ved.

Razširitev funkcij v Fourierjev niz je matematična tehnika, ki jo je mogoče opazovati v naravi, če uporabljate instrument, ki zaznava sinusne funkcije.

Ta proces se zgodi, ko oseba sliši zvok. Človeško uho je zasnovano tako, da čuti posamezna sinusna nihanja zračnega tlaka različnih frekvenc, kar posledično omogoča prepoznavanje govora in poslušanje glasbe.

Človeško uho ne zaznava zvoka kot celote, temveč skozi komponente njegovega Fourierovega niza. Strune glasbila proizvajajo zvoke, ki so sinusne vibracije. različne frekvence. Resničnost razgradnje svetlobe v Fourierjev niz predstavlja mavrica. Človeški vid zaznava svetlobo skozi nekatere njene komponente različnih frekvenc elektromagnetnih nihanj.

Fourierjeva transformacija je funkcija, ki opisuje fazo in amplitudo sinusoide določene frekvence. Ta transformacija se uporablja za reševanje enačb, ki opisujejo dinamične procese, ki se zgodijo pod delovanjem energije. Fourierjevi nizi rešujejo problem ekstrakcije konstantnih komponent v kompleksnih oscilacijskih signalih, kar je omogočilo pravilno interpretacijo podatkov, pridobljenih s poskusi, opazovanji v medicini, kemiji in astronomiji.

Odkritje te transformacije pripada francoskemu matematiku Jeanu Baptistu Josephu Fourierju. V čigar čast je bil pozneje imenovan blizu Fourierja. Sprva je znanstvenik našel uporabo svoje metode pri preučevanju in razlagi mehanizmov toplotne prevodnosti. Predpostavljeno je bilo, da je začetno nepravilno porazdelitev toplote mogoče predstaviti v obliki najpreprostejših sinusoidov. Za vsako izmed njih bo določena najnižja, najvišja in faza temperature. Funkcija, ki opisuje zgornje in spodnje vrhove krivulje, fazo vsakega harmonika, se imenuje Fourierjeva transformacija izraza porazdelitve temperature. Avtor transformacije je predlagal metodo za razširitev kompleksne funkcije kot vsote periodičnih funkcij kosinusa, sinusa.

meriti seminarska naloga je preučevanje Fourierjevih vrst in pomembnost praktične uporabe te transformacije.

Za dosego tega cilja so bile oblikovane naslednje naloge:

1) podajte koncept trigonometrične Fourierjeve vrste;

2) določiti pogoje za razširitev funkcije v Fourierjev niz;

3) obravnavati Fourierjevo razširjanje sodih in lihih funkcij v vrsto;

4) razmislite o razširitvi neperiodične funkcije v Fourierjev niz;

5) razkrivajo praktično uporabo Fourierjevega niza.

Predmet študija: razširitev funkcij v Fourierjev niz.

Predmet študija: Fourierjeve vrste.

Raziskovalne metode: analiza, sinteza, primerjava, aksiomatska metoda.

1.5. Fourierjeva vrsta za sode in lihe funkcije

Razmislite o simetričnem integralu

kjer je zvezna ali delno zvezna na. Spremenimo prvi integral. Verjamemo. Potem

Torej, če je soda funkcija, potem (tj. graf sode funkcije je simetričen glede na os in

Če je liha funkcija, potem (tj. graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor) in

Tisti. simetrični integral sode funkcije je enak dvakratnemu integralu nad polovico intervala integracije, simetrični integral lihe funkcije pa je nič.

Upoštevajte naslednji dve lastnosti sode in lihe funkcije:

1) produkt sode funkcije z liho je liha funkcija;

2) produkt dveh sodih (lihih) funkcij je soda funkcija.

Naj bo soda funkcija podana na tem segmentu in se na tem segmentu razširi v trigonometrično Fourierjevo vrsto. Z uporabo zgornjih rezultatov dobimo, da bodo koeficienti te serije videti takole:

Če je liha funkcija podana na segmentu in se na tem segmentu razširi v trigonometrično Fourierjevo vrsto, bodo koeficienti te vrste videti takole:

Zato bo imela trigonometrična Fourierjeva vrsta na segmentu obliko

za sodo funkcijo:

(16)

za čudno funkcijo:

Vrsta (16) ne vsebuje sinusov več kotov, kar pomeni, da Fourierjeva vrsta sode funkcije vključuje samo sode funkcije in prosti člen. Niz (17) ne vsebuje večkotnih kosinusov, kar pomeni, da Fourierjev niz lihe funkcije vključuje le lihe funkcije.

Opredelitev. uvrstitve
so deli popolnega Fourierovega niza in se imenujejo nepopolnitrigonometrične Fourierjeve vrste.

Če funkcijo razširimo v nepopolno trigonometrično vrsto (16) (ali (17)), potem pravimo, darazširi v trigonometrično Fourierjevo vrsto v kosinusih (ali sinusih).

1.6. Fourierjeva ekspanzija neperiodične funkcije

1.6.1. Razširitev funkcij v Fourierjev red

Naj bo funkcija podana na intervalu in na tem intervalu izpolnjuje pogoje Dirichletovega izreka. Spremenimo spremenljivko. Pustimo, kje izberemo tako, da je dobljena funkcija argumenta definirana na. Zato menimo, da

Nastalo funkcijo lahko razširimo v Fourierjev niz:

kje

Naredimo obratno zamenjavo⇒ Dobiti

kje

(19)

Serija (18) - Fourierjeva vrsta v glavnem trigonometričnem sistemu funkcij

Tako smo dobili, da če je funkcija podana na odseku in na tem odseku izpolnjuje pogoje Dirichletovega izreka, jo je mogoče razširiti v trigonometrično Fourierjevo vrsto (18) po trigonometričnem sistemu funkcij (20).

Trigonometrična Fourierjeva vrsta za sodo funkcijo, podano na bo imela obliko

kje

za nenavadno funkcijo

kje

Komentiraj! V nekaterih problemih je potrebno razširiti funkcijo v trigonometrično Fourierjevo vrsto v smislu sistema funkcij (20) ne na segmentu, ampak na segmentu. V tem primeru morate le spremeniti meje integracije v formulah (19) ((15), če, to je v tem primeru

(23)

ali če

(24)

Vsota trigonometričnega Fourierovega niza je periodična funkcija s periodo, ki je periodično nadaljevanje dane funkcije. In za periodično funkcijo velja enakost (4).

1.6.2. Razširitev funkcij v Fourierjev red

Naj bo funkcija podana na in na tem intervalu izpolnjuje pogoje Dirichletovega izreka. Tako funkcijo je mogoče razširiti tudi v Fourierjev niz. Da bi to naredili, je treba funkcijo razširiti na interval in nastalo funkcijo razširiti v Fourierjev niz na segmentu. V tem primeru je treba nastalo serijo upoštevati samo na segmentu, na katerem je podana funkcija. Za udobje izračunov razširimo definicijo funkcije na sod in lih način.

1) Funkcijo na interval nadaljujemo sodo, to pomeni, da zgradimo novo sodo funkcijo, ki sovpada s funkcijo na segmentu. Zato je graf te funkcije simetričen glede na os in sovpada z grafom na segmentu. S pomočjo formul (21) poiščemo koeficiente Fourierove vrste za funkcijo in zapišemo samo Fourierjevo vrsto. Vsota Fourierjevega niza za je periodična funkcija s periodo. Sovpadala bo s funkcijo na v vseh točkah kontinuitete.

2) Funkcijo na intervalu razširimo na lih način, to pomeni, da zgradimo novo liho funkcijo, ki sovpada s funkcijo. Graf takšne funkcije je simetričen glede na izhodišče koordinat in sovpada z grafom na segmentu. S pomočjo formul (22) poiščemo koeficiente Fourierove vrste za funkcijo in zapišemo samo Fourierjevo vrsto. Vsota Fourierjevega niza za je periodična funkcija s periodo. Sovpadala bo s funkcijo na v vseh točkah kontinuitete.

Opombe!

1) Podobno lahko razširimo v Fourierjev niz funkcijo, definirano na intervalu

2) Ker razširitev funkcije na segment implicira njeno razširitev na segment na poljuben način, potem Fourierjeva vrsta za funkcijo ne bo edinstvena.

1.6.3. Razširitev funkcij v Fourierjev red

Naj bo funkcija podana na poljubnem dolžinskem odseku in na njem izpolnjuje pogoje Dirichletovega izreka.

Nato lahko to funkcijo razširimo v Fourierjev niz. Da bi to naredili, je treba funkcijo periodično (s piko) razširiti na celotno številsko premico in dobljeno funkcijo razširiti v Fourierjev niz, ki ga je treba upoštevati le na segmentu. Zaradi lastnosti (3) periodičnih funkcij imamo

Zato lahko Fourierjeve koeficiente za dobljeno nadaljevanje funkcije najdemo s formulami

(25)

2. Praktična uporaba Fourierjevih vrst

2.1. Problemi za razširitev funkcij v Fourierjev niz in njihova rešitev

V trigonometričnem Fourierjevem nizu je treba razširiti funkcijo, ki je periodično nadaljevanje funkcije, podane na segmentu. Za to je potrebno uporabiti algoritem za razširitev periodične funkcije v Fourierjev niz.

Algoritem za razširitev periodične funkcije v Fourierjev niz:

1) Izdelajte graf dane funkcije in njenega periodičnega nadaljevanja;

2) Nastavite obdobje dane funkcije;

3) Določite funkcijo sode, lihe ali splošne oblike;

4) Preverite izvedljivost pogojev Dirichletovega izreka;

5) Uradno zapišite Fourierjev niz, ki ga ustvari ta funkcija;

6) Izračunajte Fourierjeve koeficiente;

7) Zapišite Fourierjevo vrsto za dano funkcijo z uporabo koeficientov Fourierjeve vrste (točka 4).

Primer 1 Razširite funkcijo v Fourierjev niz na intervalu.

rešitev:

1) Zgradimo graf dane funkcije in njenega periodičnega nadaljevanja.

2) Obdobje razširitve funkcije.

3) Funkcija je liha.

4) Funkcija je zvezna in monotona, tj. funkcija izpolnjuje Dirichletove pogoje.

5) Izračunajte koeficiente Fourierove vrste.

6) Fourierjev niz zapišemo tako, da v formulo nadomestimo Fourierove koeficiente

odgovor:

Primer 2 Funkcijo s poljubno periodo razširimo v Fourierjev niz.

Rešitev: funkcija je definirana na polintervalu (-3; 3]. Raztezna perioda funkcije, polperioda. Razširimo funkcijo v Fourierjev niz

V izvoru je funkcija diskontinuirana, zato bo vsak Fourierjev koeficient predstavljen kot vsota dveh integralov.

Fourierjev niz zapišemo tako, da najdene koeficiente Fourierovega niza nadomestimo v formulo.

Primer 3 Razširi funkcijovmesv Fourierjevem nizu v kosinusih. Narišite vsoto serije.

Rešitev: funkcijo na intervalu nadaljujemo sodo, to pomeni, da zgradimo novo sodo funkcijo, ki sovpada s funkcijo na segmentu. Poiščite koeficiente Fourierove vrste za funkcijo in zapišite Fourierjevo vrsto. Vsota Fourierjevega niza za je periodična funkcija s periodo. Sovpadala bo s funkcijo na v vseh točkah kontinuitete.

Trigonometrična Fourierjeva vrsta za funkcijo bo videti takole

Poiščite koeficiente Fourierove vrste

Torej, ko so koeficienti najdeni, lahko zapišemo Fourierjev niz

Narišimo vsoto serije

Primer 4 Glede na funkcijo, definirano na segmentu. Ugotovite, ali je funkcijo mogoče razširiti v Fourierjev niz. Zapišite razširitev funkcije v Fourierjev niz.

rešitev:

1) narišite graf funkcije na .

2) funkcija je zvezna in monotona na , to pomeni, da se po Dirichletovem izreku razširi v trigonometrično Fourierjevo vrsto.

3) izračunajte Fourierjeve koeficiente z uporabo formul (1.19).

4) z najdenimi koeficienti zapišite Fourierjev niz.

2.2. Primeri uporabe Fourierjevih vrst na različnih področjih človekove dejavnosti

Matematika je ena od ved, ki ima široka uporaba na praksi. Vsak proizvodni in tehnološki proces temelji na matematičnih zakonitostih. Uporaba različnih orodij matematičnega aparata vam omogoča načrtovanje naprav in avtomatiziranih enot, ki lahko izvajajo operacije zapleteni izračuni in izračuni pri načrtovanju zgradb, struktur.

Fourierjeve vrste uporabljajo matematiki v geometriji zareševanje problemov sferične geometrije; v mmatematična fizika prireševanje problemov majhnih nihanj prožnih medijev. Toda poleg matematike so Fourierjeve vrste našle svojo uporabo tudi na drugih področjih znanosti.

Ljudje vsak dan uporabljamo različne naprave. In pogosto te naprave ne delujejo pravilno. Na primer, zvok je težko razločiti zaradi velikega šuma ali pa faksirana slika ni jasna. Oseba lahko po zvoku ugotovi vzrok okvare. Računalnik lahko tudi diagnosticira poškodbe naprave. Prekomerni šum je mogoče odstraniti z računalniško obdelavo signalov. Signal je predstavljen kot zaporedje digitalnih vrednosti, ki se nato vnesejo v računalnik. Po izvedbi določenih izračunov dobimo koeficiente Fourierjeve vrste.

Spreminjanje spektra signala vam omogoča, da počistite posnetek hrupa, kompenzirate popačenje signala z različnimi napravami za snemanje zvoka, spremenite tembre instrumentov in usmerite pozornost poslušalcev na posamezne dele.

Pri digitalni obdelavi slik uporaba Fourierovih serij omogoča naslednje učinke: zamegljenost, izboljšanje robov, obnovitev slike, umetniške učinke (embossing)

Razširitev v Fourierjev niz se uporablja v arhitekturi pri preučevanju nihajnih procesov. Na primer pri ustvarjanju projekta drugačne vrste konstrukcije izračunajo trdnost, togost in stabilnost konstrukcijskih elementov.

V medicini za zdravstveni pregled s pomočjo kardiogramov ultrazvočni aparati uporabljajo matematični aparat, ki temelji na teoriji Fourierjevih vrst.

Volumetrični računski problemi ocenjevanja statističnih značilnosti signalov, filtriranje šuma se pojavljajo pri snemanju in obdelavi podatkov z neprekinjenega morskega dna. Pri meritvah in registraciji le-teh obetajo holografske metode s Fourierjevimi vrstami. To pomeni, da se Fourierove serije uporabljajo tudi v znanosti, kot je oceanologija.

Elemente matematike najdemo v proizvodnji skoraj na vsakem koraku, zato je pomembno, da strokovnjaki poznajo in briljantno krmarijo na področju uporabe določenih orodij za analizo in izračun..

Zaključek

Tema tečaja je posvečena preučevanju Fourierjevih vrst. Poljubno funkcijo lahko razgradimo na enostavnejše, to pomeni, da jo lahko razgradimo v Fourierjev niz. Obseg tečaja ne omogoča podrobnega razkritja vseh vidikov razširitve funkcije v seriji. Vendar pa je bilo iz zastavljenih nalog mogoče razkriti osnovno teorijo Fourierjevih vrst.

V seminarski nalogi je bil razkrit koncept trigonometrične Fourierove vrste. Določeni so pogoji za razširitev funkcije v Fourierjev niz. Obravnavane sode in lihe funkcije v Fourierjeve vrste; neperiodične funkcije.

V drugem poglavju je podanih le nekaj primerov razširitve funkcij, podanih na različnih intervalih, v Fourierjev niz. Opisana so področja znanosti, kjer se ta transformacija uporablja.

Obstaja tudi kompleksna oblika predstavitve Fourierjevega niza, ki je ni bilo mogoče upoštevati, saj obseg tečaja tega ne dopušča. Kompleksna oblika vrste je algebraično preprosta. Zato se pogosto uporablja v fiziki in uporabnih izračunih.

Pomembnost teme tečaja je posledica dejstva, da se široko uporablja ne le v matematiki, ampak tudi v drugih vedah: fiziki, mehaniki, medicini, kemiji in mnogih drugih.

Bibliografija

1. Bari, N.K. trigonometrične vrste. [besedilo] / N.K. Bari. - Moskva, 1961. - 936 s.

2. Bermant, A.F. Kratek tečaj Matematična analiza: učbenik za univerze[besedilo]/ A.F. Bermant, I.G. Aramanovich. - 11. izd., Sr. - Sankt Peterburg: Založba "Lan", 2005. - 736 str.

3. Bugrov, Ya. S. Višja matematika: Učbenik za univerze: V 3 zv.[besedilo]/ Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovničij. - 6. izd., stereotip. - M .: Bustard, 2004. -512 str.

4. Vinogradova, I. A. Naloge in vaje za matematična analiza: priročnik za univerze, ped. Univerze: Ob 2. uri[besedilo]/ I. A. Vinogradova, S. N. Olehnik, V.A. Sadovnichy; izd. V.A. Sadovnichy. - 3. izdaja, Rev. – M.: Bustard, 2001. – 712 str.

5. Gusak, A.A. Višja matematika. V 2 zv., T. 2. Učbenik za študente.[besedilo]/ A. A. Gusak.– 5. izd. – Minsk: TetraSystems, 2004.

6. Danko, P.E. Višja matematika v vajah in nalogah: učbenik za visoke šole: 2 uri.[besedilo]/ P.E. Danko, A.G. Popov, T.Y. Koževnikov. Moskva: ONIKS: Svet in izobraževanje, 2003. - 306 str.

7. Lukin, A. Uvod v digitalno obdelavo signalov (matematične osnove) [besedilo] / A. Lukin. - M., 2007. - 54 str.

8. Piskunov, N. S. Diferencialni in integralni račun za visokošolske ustanove, v.2: Učbenik za visokošolske ustanove.[besedilo]/ N. S. Piskunov. - 13. izd. - M.: Nauka, 1985. - 432 str.

9. Rudin, U. Osnove matematične analize.[besedilo]/ W. Rudin. - 2. izd., Per. iz angleščine. .- M.: Mir, 1976 .- 206 str.

10. Fikhtengolts, G. M. Osnove matematične analize. 2. del.[besedilo]/ G. M. Fikhtengolts. -6. izd., ster. - Sankt Peterburg: Založba "Lan", 2005. - 464 str.

Orenburg, 2015

prepis

1 Moskovski inštitut za fiziko in tehnologijo (državna univerza) O.V. Besov TRIGONOMETRIČNE FOURIERJEVE VRSTE Učni pripomoček Moskva, 004

2 Sestavil O.V.Besov UDK 517. Trigonometrična Fourierjeva vrsta. Učni pripomoček za študente 4. letnika). MIPT. Gospa. V skladu s programom Oddelka za višjo matematiko Moskovskega inštituta za fiziko in tehnologijo, začetne informacije o teoriji trigonometričnih Fourierjevih vrst, izrekov o konvergenci in enakomerni konvergenci Fourierjevih vrst, Weierstrassovih izrekov o aproksimaciji zveznih funkcij so predstavljeni. Poudarek je na enakomerni konvergenci Fourierjevih vrst. Za razliko od mnogih tečajev matematične analize je enakomerna konvergenca Fourierjeve vrste zvezne in delno gladke funkcije dokazana z neizboljšano oceno za stopnjo konvergence Fourierjeve vrste. Poleg natančnih ocen je ugotovljena tudi odvisnost hitrosti konvergence Fourierjeve vrste funkcije od njene gladkosti. c Moskovski inštitut za fiziko in tehnologijo, 004 c O.V. Besov, 004

3 Vsebina 3 1. Definicija Fourierjeve vrste in princip lokalizacije Konvergenca Fourierjeve vrste Enakomerna konvergenca Fourierjeve vrste Približevanje zveznih funkcij s polinomi Počlenska diferenciacija trigonometričnih vrst. Hitrost, pri kateri se koeficienti in preostanek Fourierove vrste nagibajo k nič. Zaključne opombe

4 TRIGONOMETRIČNI FOURIEREVI VRSTI 1. Definicija Fourierove vrste in princip lokalizacije Definicija 1.1. Niz oblike a 0 + a k cos kx + b k sin kx a k, b k R) imenujemo trigonometrični niz. Množico funkcij 1, cos x, sin x, cosx, sin x, cos 3x, sin 3x,... imenujemo trigonometrični sistem. Funkcija trigonometričnega sistema je ortogonalni sistem v smislu, da je tudi cos kx cos mx dx = 0, k, m N 0, k m, sin kx sin mx dx = 0, k, m N 0, k m, cos kx sin mx dx = 0, k, m N 0, m N. cos kx dx = Lema 1.1. Naj bo sin kx dx = π, k N. fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.1)

5 1. Definicija Fourierove vrste in princip lokalizacije. 5 in ta vrsta enakomerno konvergira na R. Tedaj velja a 0 = 1 π a k = 1 π b k = 1 π fx) dx, fx) cos kx dx, fx) sin kx dx, k N. 1.) Dokaz a t e l s t v o. Funkcija f je zvezna na [, π] kot vsota enakomerno konvergentnega niza zveznih funkcij. Enakost 1.1) pomnožimo člen za členom s cos nx ali sin nx n N). Dobljene vrste bodo tudi enakomerno konvergirale in njihova integracija po členih z uporabo lastnosti ortogonalnosti sistemskih funkcij daje formule iz 1.). Prvo od formul 1.) dobimo z integracijo po členih serije 1.1). Upoštevajte, da so členi trigonometrične vrste π-periodične funkcije, definirane na realni osi. Zato je vsota trigonometričnega niza, če ta niz konvergira) tudi π-periodična funkcija. Definicija 1. Naj bo f π-periodična funkcija, absolutno integrabilna na intervalu [, π]. Trigonometrična vrsta s koeficienti a k, b k, določenimi s formulami 1.) se imenuje trigonometrična) Fourierjeva vrsta funkcije f, koeficienti a k, b k pa so koeficienti Fourierjeve vrste funkcije f.

6 6 O. V. Besov. Trigonometrična Fourierjeva vrsta V tem primeru pišemo fx) a 0 + a k cos kx + b k sin kx, 1.3) kar pomeni s takšnim zapisom, da je funkcija f povezana s svojo Fourierjevo vrsto. Lemo 1.1 lahko preoblikujemo na naslednji način: enakomerno konvergentna trigonometrična vrsta je Fourierjeva vrsta svoje vsote. Vaja 1.1. Pokažite, da je trigonometrična vrsta sin kx k 1+ε, ε > 0, Fourierjeva vrsta. Upoštevajte, da če je π-periodična funkcija f absolutno integrabilna na katerem koli segmentu dolžine π, potem bo absolutno integrabilna na katerem koli premaknjenem segmentu in poleg tega b + π a + π fx) dx = fx) dx. b To lastnost, ki je očitna z geometrijskega vidika, lahko zlahka dokažemo tudi analitično. Zlasti Fourierjeve koeficiente π-periodične funkcije f je mogoče izračunati z zamenjavo integrala po intervalu [, π] v formulah 1.) z integralom po katerem koli intervalu . Po drugi strani pa lahko vsako dano absolutno integrabilno funkcijo po potrebi razširimo tako, da spremenimo njeno vrednost v točki a π ali v točki a + π ali v obeh točkah) na π-periodično funkcijo, definirano na celotni osi . Hkrati pa sprememba njegove vrednosti v eni ali dveh točkah ne bo spremenila Fourierjevih koeficientov njegove π-periodične razširitve 1.) in s tem Fourierjeve vrste 1.3). Zato lahko konvergenco in druge lastnosti Fourierove vrste proučujemo ob predpostavki, da je funkcija f definirana samo na segmentu dolžine π, na primer na [, π]. a

7 1. Definicija Fourierove vrste in princip lokalizacije. 7 Najprej bomo proučevali vprašanja konvergence Fourierove vrste v dani točki, na odseku, enakomerne konvergence na celotni realni osi itd. Najbolj zanimiv je primer, ko Fourierjeva vrsta funkcije f v enem ali drugem smislu konvergira k funkciji f. V tem primeru naj bi bila funkcija f razširjena v Fourierjev niz. Riemannov oscilacijski izrek 1.1). Naj bo funkcija f absolutno integrabilna na končnem ali neskončnem intervalu a, b). Potem velja lim λ b a fx) cos λx dx = lim λ b a fx) sin λx dx = 0. Dokaz. Brez izgube splošnosti predpostavimo, da je a, b) =, +), če temu ni tako, potem lahko funkcijo f razširimo z ničlo na, +) \ a, b)). Znano je, da je vsaka absolutno integrabilna funkcija f srednje-transformna zvezna, tj. + fx + h) fx) dx 0 za h) To lastnost je mogoče dokazati z aproksimacijo f v povprečju z zvezno končno funkcijo. Če spremenljivko x zamenjamo z x + π λ, dobimo ] fx) cos λx dx. λ fx) dx 0 λ). Za integral + fx) sin λx dx je dokaz podoben.

8 8 O. V. Besov. Trigonometrične Fourierjeve vrste Posledica 1. Fourierjevi koeficienti 1.) absolutno integrabilne funkcije na intervalu [, π] težijo k ničli kot k. Naj bo π-periodična funkcija f absolutno integrabilna na [, π]. Delna vsota Fourierove vrste S n x; f) a n 0 + a k cos kx + b k sin kx imenujemo vsota Fourierjevega reda reda n N 0 funkcije f. Zmanjšajmo ga v kompaktno obliko, primerno za nadaljnje raziskovanje. Dirichletovo jedro imenujemo funkcijo D n x) 1 n sin n + 1) + x cos kx = sin x. 1.5) Zadnja enakost desni del se razume za x = mπ, m Z kot meja kvocienta za x mπ) se določi na naslednji način. Za x mπ D n x) = 1 sin x = 1 sin x) sin x n + sin x cos kx = sin x + n sin k + 1) x sin k 1 x = sin n + 1) x = sin x Dirichletovo jedro 1.5 ) je očitno π-periodična, soda, zvezna funkcija, max D n x) = D n 0) = n + 1, π D n x) dx = 1 D n x) dx =) π 0 π.

9 1. Definicija Fourierove vrste in princip lokalizacije. 9 Transformirajmo Fourierjevo vsoto S n x; f) tako, da namesto Fourierjevih koeficientov vanj nadomestimo svoje izraze 1.). Dobimo S n x; f) = = 1 π ft) dt + = 1 π n 1 π ft)cos kt cos kx + sinkt sin kx) dt = 1 n ft) + cos kt x) dt = 1 π D n t x)ft) dt. 1.7) Z zamenjavo spremenljivke t s t + x v zadnjem integralu (imenovanem Dirichletov integral) in premikom integracijskega intervala dobimo S n x; f) = 1 π D n t)fx + t) dt = = π 0 = 1 π 0) Dt)fx + t) dt = D n t) dt. 1.8) Za poljuben δ velja 0< δ < π, представим последний интеграл в виде S n x; f) = 1 δ) fx + t) + fx t) + π 0 δ sin t sin n + 1)) t dt. Во втором из этих интегралов знаменатель дроби sin t sin δ >0, tako da je sam ulomek absolutno integrabilen kot funkcija t. Zato drugi integral teži k ničli pri n po Riemannovem izreku o nihanju. Tako pridemo do naslednje trditve.

10 10 O. V. Besov. Trigonometrične Fourierjeve vrste Izrek 1. lokalizacijski princip). Naj bo π-periodična funkcija f absolutno integrabilna na intervalu [, π], x 0 R, 0< δ < π. Пределы lim S nx; f), n n + 1)) t dt 1 δ fx 0 + t) + fx 0 t) lim n π 0 sin t sin существуют или не существуют одновременно и совпадают в случае их существования. Мы видим, таким образом, что сходимость ряда Фурье функции f в точке x 0 и величина его суммы в случае сходимости определяются поведением функции f на интервале x 0 δ, x 0 + δ), т.е. в сколь угодно малой окрестности точки x 0.. Сходимость ряда Фурье Пусть x 0 точка разрыва первого рода функции f. Введем следующие обобщения односторонних производных: f +x fx 0 + h) fx 0 + 0) 0) = lim, h 0+0 h f x fx 0 h) fx 0 0) 0) = lim, h 0+0 h которые также будем называть односторонними производными. Определение.1. Точку x 0 назовем почти регулярной точкой функции f, если существуют fx 0 + 0), fx 0 0), f + +x 0), f x 0). Если при этом fx 0) = fx 0 0) + fx 0 + 0), то x 0 назовем регулярной точкой функции f. Если функция f непрерывна в точке x 0 и имеет в ней правую и левую производные, то x 0 регулярная точка функции f. Теорема.1. Пусть π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на отрезке [, π], и x 0 ее почти регулярная точка. Тогда ряд Фурье функции f сходится в точке x 0 к fx 0 0) + fx 0 + 0). Если же при этом x 0 регулярная

enajst Konvergenca Fourierjevih vrst. 11 zlasti točka f, če je f zvezna v točki x 0), potem Fourierjev niz v točki x 0 konvergira k fx 0). Dokaz. Naj bo x 0 skoraj regularna točka funkcije f. Iz formule 1.8) s pomočjo 1.6) dobimo S n x; f) fx 0 0) + fx 0 + 0) = = 1 π 0 = 1 D n t) dt π 0 fx 0 + 0) + fx 0 0) π D n t) dt = π 0 fx 0 + t) + fx 0 t) fx 0) sin t sin n + 1 = 1 [ fx0 + t) fx 0 + 0) + π 0 t ] ​​​​t + fx 0 t) fx 0 0) t sin t sin)) t dt = n + 1)) t dt. Ulomek t sin t, razširjen za enoto pri t = 0, je zvezen na funkciji. Ulomek fx 0 + t) fx 0 + 0) t je absolutno integrabilen na funkciji, saj je takšen njen števec in ima pri t 0+0 končno mejo. Enako velja za drugi ulomek v oglatih oklepajih. Posledično je faktor pri sin n + 1)) t v integrandu zadnjega integrala absolutno integrabilna funkcija. Po Riemannovem oscilacijskem izreku teži zadnji integral k ničli kot n, tj. S n x 0; f) fx 0 0) fx 0 + 0) za n. Opombe.1. Zahteva za obstoj f + +x 0), f x 0) v pogoju izreka je lahko, kot je razvidno iz dodatnega

12 1 O. V. Besov. Trigonometrična Fourierjeva vrsta je nadomeščena s šibkejšo zahtevo, da so neenakosti fx 0 + h) fx 0 + 0) Mh α, fx 0 h) fx 0 0) Mh α, h 0, δ), h 0, δ). 1) za nekatere α 0, 1], δ > 0, M > 0. Pogoje.1) imenujemo enostranski) Hölderjevi pogoji stopnje α, za α = 1 pa tudi enostranski) Lipschitzevi pogoji. Posledica 1. Naj bo π-periodična funkcija f absolutno integrabilna na intervalu [, π] in obstaja f x 0). Potem Fourierjeva vrsta funkcije f konvergira v točki x 0 k fx 0). Opomba Zveznost na R π-periodične funkcije ni zadosten pogoj za konvergenco njene Fourierjeve vrste v dani točki x 0. Obstajajo primeri π-periodičnih zveznih funkcij na R, katerih Fourierjeva vrsta se razhaja v vsaki racionalni točki. Izrek 1, Opomba 1 in posledica podajajo zadostne pogoje za konvergenco Fourierjeve vrste v dani točki. Obstajajo tudi veliko bolj splošni zadostni pogoji za tako konvergenco. Opomba.3. Naj bo funkcija f podana in absolutno integrabilna na odseku dolžine π, na primer na [, π]. Da bi ugotovili konvergenco njegove Fourierjeve vrste na koncih intervala, lahko uporabimo izrek 1 tako, da razširimo funkcijo f, spremenimo njene vrednosti na enem ali obeh koncih, če je potrebno) na π-periodično funkcijo. Po takem nadaljevanju bo točka x = skoraj pravilna, če in samo če je f +), f π). V tem primeru Fourierjeva vrsta funkcije f f + 0) + fπ 0) konvergira v točki x 0 = k. Vprašanje konvergence Fourierjeve vrste v točki x 0 = π se reši podobno. Primer 1. Poiščimo Fourierjev niz funkcije fx) = π x, x .

13 3. Enakomerna konvergenca Fourierove vrste. 13 Naj bo f: R R π-periodična funkcija, fx) = fx) za 0< x < π, f0) = 0. Как мы знаем, коэффициенты Фурье функции f можно вычислить по формулам 1.) либо отличающихся от них сдвигом отрезка интегрирования. В силу нечетности f, a k = 0 k N 0. Интегрируя по частям, получаем b k = 1 π π 0 π x sin kx dx = = 1 π π x) cos kx x π 0 1 π cos kx dx = 1 πk 0 k. Заметим, что всякая точка x R является регулярной точкой функции f. Следовательно, sin kx fx) = x R..) k Итак, на отрезке сумма ряда Фурье f функции f совпадает с f на интервале 0, π) и отличается от f в концах интервала. 3. Равномерная сходимость ряда Фурье Определение 3.1. Функцию f называют кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке , если существует такое разбиение {a i } m i=0 отрезка a = a 0 < a 1 < a < < < b m = b), что: 1. Производная f непрерывна на каждом интервале a i 1, a i);. Существуют односторонние пределы f a i 1 + 0), f a i 0) для i = 1,..., m. π-периодическую функцию будем называть кусочно-непрерывной кусочно-непрерывно дифференцируемой), если она кусочно-непрерывна кусочно-непрерывно дифференцируема) на отрезке [, π].

14 14 O. V. Besov. Trigonometrične Fourierjeve vrste Izrek 3.1. Naj bo f π-periodična zvezna in delno zvezno diferenciacijska funkcija. Potem Fourierjeva vrsta f konvergira k f enakomerno na R in sup S n x; f) fx) C ln n za n, x R n, kjer je C neodvisen od n. Dokaz. Naj bo M 0 = max f, M 1 = max f, fx + t) + fx t) fx) g x t) sin t. S pomočjo Lagrangeovega izreka o končnih prirastkih dobimo to za 0< t π Следовательно, fx + t) + fx t) fx) M 1 t. g x t) M 1t sin t πm 1, d dt g xt) f x + t) f 1 x t) sin t + cos t + fx + t) + fx t) fx) 4 sin t πm 1 + π M 1 π M 1. t t t Пусть 0 < δ = δ n < π. Как и при доказательстве теоремы.1 S n x; f) fx) = 1 δ) + g x t) sin n + 1)) t dt = I n +J n. π 0 δ Очевидно, что I n δm 1. C помощью интегрирования по частям имеем J n = 1 cos n + 1) π g t π xt) n d cos n + 1) δ π δ dt g t xt) n + 1 dt.

15 Zato 3. Enakomerna konvergenca Fourierove vrste. 15 J n M 1 n nm 1 δ n + 1) = Če postavimo δ = δ n = n 1, dobimo, da za n 1 + π) 1 M 1 δ n + 1. sup S n x; f) fx) I n + J n C ln n, x R n, kjer je C neodvisen od n. Zadnja neenakost implicira trditev izreka. Poudarjamo, da izrek 3.1 ne le vzpostavlja enakomerno konvergenco Fourierove vrste, ampak daje tudi oceno hitrosti, pri kateri ostanek te vrste teži k ničli. Enakomerno konvergenco Fourierjevega niza periodične funkcije lahko ugotovimo tudi pod pogoji, ki so bolj splošni kot v izreku 3.1, na primer za funkcije, ki izpolnjujejo Hölderjev pogoj. Opredelitev. Za funkcijo f: R velja, da izpolnjuje Hölderjev pogoj stopnje α, 0< α 1 или условию Липшица в случае α = 1), если M α >0: fx) fy) M α x y α x, y . Upoštevajte, da so funkcije, ki izpolnjujejo Hölderjev pogoj, zvezne in da se razred funkcij, ki izpolnjujejo Hölderjev pogoj stopnje α, oži, ko α narašča. Če je funkcija f zvezna in delno zvezna diferencibilna na , potem izpolnjuje Lipschitzev pogoj. Naslednji izrek posplošuje izrek 3.1. Izrek 3. Naj π-periodična funkcija f izpolnjuje Hölderjev pogoj stopnje α, 0< α 1. Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R и ln n sup S n x; f) fx) C α x n α n,

16 16 O. V. Besov. Trigonometrične Fourierjeve vrste, kjer C α ni odvisen od n. Dokaz. Uporabimo formulo.1) v obliki S n x; f) fx) = 1 fx + t) fx) π sin t sin n + 1)) t dt. Naj bo fx + t) fx) h x t) = sin t, λ = λ n = n + 1, δ 8 n > π λ. Tako kot pri dokazu Riemannovega nihajnega izreka dobimo S n x; f) fx) 1 h x t + π) h x t) dt = λ = 1 δ... dt + 1 δ) +... dt = I δ,n x) + J δ,n x). 3.1) δ δ Spomnimo se, da je π t< sin t < t при 0 < t < π. Заметим, что при t δ h x t) M α t α = π t M α t α 1, так что I δ,n x) π δ M α t α 1 dt = π 0 α M α α δ α. 3.) Если же t >δ, potem h x t + π) f h x t) = λ f = x + t + π) λ fx) sin t + π λ x + t + π) λ fx) sin t + π λ 1 1 fx + t) fx) sin t = 1 sin t + π λ sin t fx + t) fx)), 3.3)

17 tako da 3. Enakomerna konvergenca Fourierove vrste. 17) α h x t + π) M πλ α π sin λ π h x t) λ t + π π M α t α + λ t + π λ t J δ,n x) δ C M α λ α dt t C M α λ α ln 1 δ. C M α t λ α, Če nastavimo δ = n 8 in zberemo ocene, pridemo do trditve izreka. Del izreka 3.1, ki zadeva le dejstvo uniformne konvergence, dopušča naslednjo posplošitev. Izrek 3.3. Naj bo π-periodična funkcija f absolutno integrabilna na [, π]. Naj bo f zvezen na nekem intervalu a, b) in f je delno zvezen. Potem Fourierjeva vrsta f enakomerno konvergira k f na poljubnem intervalu a, b). Dokaz. Naj bo n 8 δ< δ, a, b), x . Воспользуемся оценкой 3.1). В силу 3.) при α = 1 I δ,n x) C 1 M 1 δ. Для получения оценки J δ,n используем преобразование 3.3) разности в подынтегральном выражении. Тогда J δ,n x) 1 f u + π) fu) du+ 4πδ λ) π + π3 4δ fu) du + π sup f. λ Пусть задано ε >0. Potem obstaja dovolj majhen δ = δε) > 0, tako da je sup I δ,n< ε. При выбранном δ n δ N: sup J δ,n < ε n n δ.

18 18 O. V. Besov. Trigonometrična Fourierjeva vrsta Potem iz 3.1) in dobljenih ocen sledi, da je sup S n x; f) fx) 0 za n x in izrek je potrjen. Upoštevajte, da izrek 3.3 razširja načelo lokalizacije, ki je bilo formulirano prej, tako da pokaže, da za uveljavljanje enakomerne konvergence Fourierjevega niza na intervalu zadostuje poznavanje obnašanja te funkcije le v okolici a ε, b + ε) tega segmenta za poljubno majhen ε > 0. Iz izreka 3.3 sledi npr., da vrsta sin kx k na poljubnem intervalu [ε, π ε], ε > 0, enakomerno konvergira k funkciji fx) = π x. Izrek 3.3 lahko posplošimo tako, da pogoj delno zvezne diferenciabilnosti nadomestimo s Hölderjevim pogojem stopnje α > 0 z . 4. Približevanje zveznih funkcij s polinomi Definicija 4.1. Funkcijo oblike A 0 n + A k cos kx + B k sin kx A n + Bn > 0) imenujemo trigonometrični polinomski polinom) stopnje n. Weierstrassov izrek 4.1). Naj bo f π-periodična zvezna funkcija. Potem za vsako ε >< ε. x R Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε >0. Naj bo τ = (x j ) J j=0, x j = + j π J, particija segmenta [, π]. Konstruiramo lomljeno črto, vpisano v graf funkcije f), ki jo povezujemo z odseki

19 4. Približevanje zveznih funkcij s polinomi. 19 zaporednih točk x j, fx j)) grafa f. Označimo z Λ J: R R π-periodično zvezno funkcijo, katere graf sovpada na [, π] s konstruirano lomljeno črto. Očitno je Λ J delno linearna funkcija na [, π] in zato delno zvezno diferencibilna, tj. Λ J je delno zvezen). Zvezna funkcija f je enakomerno zvezna. Zato fx) fx)< ε 4 при x x π J, если J = Jε) N достаточно велико. Тогда max fx) Λ J x) < ε. Функция Λ J удовлетворяет условиям теоремы.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следовательно, существует такое n = nε), что max x R Λ jx) S n x; Λ J) < ε. Из последних двух неравенств получаем, что max x R fx) S nx; Λ J) < ε, т.е. утверждение теоремы при T x) = S n x; Λ J). Теорему 4.1 в эквивалентной форму можно сформулировать следующим образом: Теорема 4.1. Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [, π] и f) = fπ). Тогда для каждого ε >0 obstaja trigonometrični polinom T, tako da max fx) T x)< ε. x π

20 0 O. V. Besov. Trigonometrična Fourierjeva vrsta Vaja 4.1. Pokažite, da zadnji izrek ne velja več, če opustimo pogoj f) = fπ). Upoštevajte, da je v izreku 4.1 na splošno nemogoče vzeti S n x kot trigonometrični polinom; f) delna vsota Fourierjeve vrste funkcije f), saj Fourierjevi vrsti zvezne funkcije ni treba enakomerno konvergirati (niti točkovno konvergirati) k funkciji f. Vendar lahko kot T vzamemo σ n x; f) Fejérjevo vsoto funkcije f) za dovolj velik n, kjer je σ n x; f) = S 0x; f) + S 1 x; f) + + S n x; f) n + 1 je aritmetična sredina Fourierjevih vsot, kot izhaja iz Fejérjevega izreka: Izrek 4. Fejér). Naj bo f π-periodična zvezna funkcija. Potem je σ n x; f) fx) za n. R Ne bomo dajali dokazov tega izreka. Dejstvo konvergence zaporedja Fejérjevih vsot v Fejérjevem izreku je izraženo tudi kot sledi: Fourierjev niz π-periodične zvezne funkcije f je sešteven s fx) z metodo aritmetičnih sredin. Metoda seštevanja niza z aritmetičnimi sredinami zaporedja njegovih delnih vsot) tudi omogoča, da nekatere divergentne vrste definirajo koncept njihove vsote kot limite zaporedja teh aritmetičnih sredin. Za konvergentno vrsto ta koncept sovpada s konceptom vsote serije. Primer 4.1. Divergentno vrsto seštejemo z metodo aritmetičnih sredin na število 1. S pomočjo Weierstrassovega izreka 4.1) dokažemo tudi možnost aproksimacije funkcije, zvezne na intervalu, s poljubno natančnostjo z ustreznim algebraičnim polinomom P.

21 4. Približevanje zveznih funkcij s polinomi. 1 Weierstrassov izrek 4.3). Naj bo funkcija f zvezna na intervalu . Potem za vsak ε > 0 obstaja algebrski polinom P, tako da max fx) P x)< ε. a x b Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок на отрезок : и положим f t) = f x = a + b a t, 0 t π, a x b, π a + b a π t), 0 t π. Продолжим ее четным образом на отрезок [, 0] и затем на всю ось с периодом π, сохранив обозначение f. Полученная функция f: R R является π-периодической и непрерывной на R. По теореме 4.1 для каждого ε >0 obstaja trigonometrični polinom T, tako da max f t) T t) max f t) T t)< ε 0 t π x R. Функции cos kt, sin kt а значит и T t)) раскладываются в степенные ряды с радиусом сходимости R = +, и, следовательно, равномерно сходящиеся на каждом отрезке. Поэтому существует такой номер n = nε), что max T t) P nt) < ε 0 t π, где P n многочлен Тейлора функции T. Из последних двух неравенств получаем, что max f t) P n t) < ε 0 t π + ε = ε, или возвращаясь к переменной x) max a x b fx) P n π x a) < ε. b a Теорема доказана. Теорему 4.3 можно переформулировать следующим образом:

22 O. V. Besov. Trigonometrična Fourierjeva vrsta Vsaka zvezna funkcija na intervalu je enotna meja nekega zaporedja algebrskih polinomov. 5. Člensko razlikovanje trigonometričnih vrst. Hitrost konvergence k ničli koeficientov in preostanka Fourierove vrste Izrek 5.1. Naj bo π-periodična funkcija f zvezna in po delih zvezno diferencibilna in naj bo fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx njena Fourierjeva ekspanzija. Potem f x) ka k sin kx + kb k cos kx, tj. Fourierjeva vrsta odvoda je pridobljena iz Fourierjeve vrste funkcije z diferenciacijo po členih. Dokaz. Naj bo f x) α 0 + α k cos kx + β k sin kx. Nato z integracijo po delih dobimo = = 1 π fx) sin kx π + k π k π fx) sin kx dx = kb k, fx) cos kx dx = ka k.

23 5. Počlensko diferenciranje Fourierjevih vrst. 3 Lema 5.1. Naj ima π-periodična funkcija f zvezne odvode do vključno reda m 1 in delno zvezen odvod reda m N. Potem so ocene za Fourierjeve koeficiente f 1 a k + b k = o k m za k. 5.1) Dokaz. Naj bo m 1 in f m) x) α k cos kx + β k sin kx. Z m-kratno uporabo izreka 5.1 dobimo, da je α k + β k = k m a k + b k), k N 0. Ker je α k, β k 0 k) po lemi o Fourierjevih koeficientih, ki težijo k nič, dobimo iz zadnje enakosti 5.1). Lema 5.1 kaže, da Fourierjevi koeficienti funkcije f težijo k ničli, čim hitreje so boljše diferencialne lastnosti funkcije f. Trditev leme 5.1 lahko nekoliko okrepimo z uporabo Besselovih neenačb za delno zvezne π-periodične funkcije: a 0 + a k + b k) 1 π f x) dx. 5.) To neenakost bomo ugotovili v nadaljevanju. Če uporabimo 5.) za odvod f m), dobimo, da pod pogoji leme 5.1 k m a k + b k) 1 f m) x)) dx<. π Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряжен-

24 4 O. V. Besov. Trigonometrična Fourierjeva vrsta s Fourierjevo vrsto π-periodične zvezne in delno zvezno diferenciabilne funkcije f, t.j. vrstica Sx; f) a k sin kx b k cos kx, 5.3) kjer sta a k, b k Fourierjeva koeficienta funkcije f. Konjugirano Dirichletovo jedro je D n x) = n cos x n cos + 1 sin kx = sin x) x Zadnja enakost je vzpostavljena na enak način kot 1.5). enako kot 1.8) se ugotovi, da je delna vsota n S n x; f) = a k sin kx b k cos kx serije 5.3) lahko predstavimo kot S n x; f) = kjer je 0. Torej D n t) dt = = 1 h x t) cos n + 1)) t dt + π fx), 0 fx + t) fx t) h x t) sin t, fx) 1 fx + t) fx t) π 0 tg t dt. Lema 5. Naj bo π-periodična funkcija f zvezna in delno zvezno diferenciabilna, a k, b k njeni Fourierjevi koeficienti. Potem je za nekaj C > 0 in n sup a k sin kx b k cos kx C ln n n. 5.4) xR n+1

25 5. Počlensko diferenciranje Fourierjevih vrst. 5 Dokaz. Naj bo M 1 max R f. Z uporabo Lagrangeovega izreka o končnih prirastkih dobimo fx + t) fx t) M 1 t, 0< t π, откуда следует, в частности, что fx) существует для каждого x как интеграл от непрерывной на 0, π] и ограниченной функции). Оценим fx) S n x; f) = 1 h x t) cos n + 1) t dt, π используя оценки h x t) πm 1, d dt h xt) f x + t) + f 1 x t) sin t + 0 cos t + fx + h) fx h) 4 sin t πm 1 t + π M 1 t π M 1 t. Так же, как при доказательстве теоремы 1. получаем sup fx) S n x; f) C ln n x R n n откуда следует 5.4). при n, Теорема 5.. Пусть при m N π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m 1 включительно и кусочно-непрерывную производную f m). Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно и max x R fx) S nx; f) = O ln n n m) = = o 1) n m ε при n и ε > 0.

26 6 O. V. Besov. Trigonometrični Fourierjev dokaz. Primer m = 1 sovpada z izrekom 3.1. Naj sta ϕ f m 1) in α k, β k Fourierjeva koeficienta funkcije ϕ. Po izreku 3.1 je sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. 5.5) n x R Naj sta a k, b k Fourierjeva koeficienta funkcije f. Najprej naj bo m 1 sodo. Potem, na podlagi izreka 5.1, uporabljenega m 1-krat, za x R imamo r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k cos kx + β k sin kx). Uporabimo Abelovo transformacijo za zadnjo vrsto, pri čemer upoštevamo konvergenco serije α k cos kx + β k sin kx in oceno, določeno v primeru m = 1 tega izreka) sup α k cos kx + β k sin kx C ln n n. Dobimo r n x; f) = x R j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1 α j cos jx + β j sin jx) C ln n n in 5.5) je v tem primeru ugotovljeno. = C ln n n 1 k + 1) m 1 1 k m 1 = 1 ln n C n + 1) m 1 n m,

27 5. Počlensko diferenciranje Fourierjevih vrst. 7 Naj bo m 1 liho. Potem r n x; f) = a k cos kx + b k sin kx = 1 = k m 1 α k sin kx β k cos kx). Niz α k sin kx β k cos kx konvergira po lemi 5. Z uporabo Abelove transformacije in ocene 5.5) dobimo, da je r n x; f) = α j sin jx β j cos jx j=n+1 1 k + 1) m 1 1 k m 1) C ln n n 1 ln n C n + 1) m 1 n m in izrek je dokazan. Izrek 5. kaže, da več kot ima funkcija f odvodov, hitreje konvergira njena Fourierjeva vrsta. Opomba: Lemo 5.1 in izrek 5. je mogoče preoblikovati za funkcijo f, definirano samo na intervalu [, π], tako da dodamo pogoje na končnih točkah intervala, ki zagotavljajo, da njena π-periodična razširitev izpolnjuje pogoje iz leme 5.1 in izreka 5. In sicer za funkcijo f: [, π] R velja naslednje dodatni pogoji v enostranske odvode: f j)) = f j) π) za j = 0, 1,..., m 1. Z ustrezno preoblikovanjem izreka 3.1 in izreka 5.1 je za funkcijo f: [, π] R, enakost f) = fπ). Poleg izreka 5. ugotavljamo še en izrek 5., ki je sicer manj močan, a prav tako kaže na povezavo med diferencialom

28 8 O. V. Besov. Trigonometrična Fourierjeva vrsta z diferencialnimi lastnostmi π-periodične funkcije in hitrostjo konvergence njene Fourierjeve vrste. Dokaz izreka 5., v nasprotju z izrekom 5., ne temelji na analizi konvergence niza, konjugiranega s Fourierjevim nizom, ampak na Besselovi neenakosti 5.), ki bo ugotovljena vnaprej. Bralec se lahko po lastni presoji omeji na preučevanje enega od teh dveh izrekov. Lema 5.3. Naj bo f π-periodična in delno zvezna funkcija, a k, b k njeni Fourierjevi koeficienti. Tedaj velja Besselova neenakost 5.). Dokaz. Najprej naj bo f π-periodična zvezna in delno zvezno diferencibilna funkcija. Po izreku 5. se razširi v enakomerno konvergentno Fourierjevo vrsto: fx) = a 0 + a k cos kx + b k sin kx. 5.6) Enakost 5.6) pomnožimo člen za členom s fx) in integriramo nastalo vrsto (prav tako enakomerno konvergentno) člen za členom. Na podlagi formul 1.) za Fourierjeve koeficiente dobimo enakost a 0 + a k + b k) = 1 π f x) dx, 5.7), ki je posledica.) Parsevalove enakosti 5.7) in Besselove neenakosti 5.) bo kasneje razširiti na funkcije s splošnimi lastnostmi. Naj zdaj funkcija f izpolnjuje pogoje iz leme in Λ J: R R π-periodična zvezna funkcija, delno linearna na [, π], zgrajena v dokazu Weierstrassovega izreka 4.1, je graf Λ J včrtan

29 5. Počlensko diferenciranje Fourierjevih vrst. 9 graf f lomljena črta). Označimo z a k f), b k f) Fourierjeve koeficiente funkcije f. Iz 5.) sledi a 0 Λ J) n + a k Λ J) + b k Λ J)) 1 π Λ Jx) dx n N. 5.8) Naj bo n N fiksen in J. Potem, kot lahko vidimo , a k Λ J) a k f), b k Λ J) b k f), Λ Jx) dx f x) dx. Če preidemo na limito v neenačbi 5.5), dobimo, da je a 0 f) n + a k f) + b k f)) 1 f x) dx. π S prehodom na limito kot n v zadnji neenačbi pridemo do trditve leme. Izrek 5. Naj ima za m N π-periodična funkcija f zvezne odvode do vključno reda m 1 in delno zvezni odvod f m). Tedaj k njej enakomerno konvergira Fourierjeva vrsta funkcije f na R in) 1 max fx) S nx; f) = o za n. 5,9) x R n m 1 Dokaz. Enakomerna konvergenca k funkciji f njenih Fourierjevih vrst je bila dokazana v izreku 3.1. Ocenimo preostanek njegove Fourierjeve vrste. rnx; f) = a k cos kx + b k sin kx a k + b k) α k + β k) 1 k m,

30 30 O. V. Besov. Trigonometrične Fourierjeve vrste, kjer sta α k, β k Fourierjeva koeficienta funkcije f m), zadnjo neenakost pa dobimo z m-kratno uporabo izreka 5.1. Zaradi Cauchy–Schwarzove neenakosti je N α k + β k) 1 k m N α k + β k) N 1 k m. Prehod na mejo v zadnji neenakosti za N pokaže, da ostane resnična, če N v njej zamenjamo. Z uporabo tega dobimo, da je r n x; f) αk + β k) 1 k m = ε n 1, 5.10) km kjer je ε n 0 n) zaradi konvergence vrste αk + βk), ki izhaja iz Besselove neenakosti za funkcijo f m) glej lemo 5.3). Upoštevajte, da je 1 k m m dx x m dx x m = 1 m 1)n m 1. k 1 Iz tega in 5.10) sledi 5.9). Zaključne opombe Ta vadnica se ne ukvarja z integracijo Fourierjevih vrst po členih, Fourierjevih vrstah l-periodičnih funkcij in kompleksne oblike Fourierjevih vrst. Standardno predstavitev teh vprašanj je mogoče najti v številnih učbenikih. Prav tako se nismo dotaknili vprašanj konvergence Fourierjevih vrst v smislu srednjega kvadrata, v katerem

PREDAVANJE N 7 .Moč

Tema modula Funkcijska zaporedja in nizi Lastnosti enakomerne konvergence zaporedij in nizov Potenčne vrste Predavanje Definicije funkcijskih zaporedij in nizov Enakomerno

TEORIJA NIZOV Teorija nizov je najpomembnejša komponenta matematične analize in najde tako teoretično kot številne praktične aplikacije. Razlikovati med numeričnimi in funkcijskimi serijami.

METODOLOŠKA NAVODILA ZA RAČUNSKE NALOGE PRI PREDMETU VIŠJE MATEMATIKE "NAVADNE DIFERENCIALNE ENAČBE NIZ DVOJNI INTEGRALI" III. DEL TEMATSKI NIZ Vsebina Niz Numerični niz Konvergenca in divergenca

VRSTICE. Številske črte. Osnovne definicije Naj bo podano neskončno zaporedje števil Izraz (neskončna vsota) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= imenujemo a številske serije. Številke

BELORUSKA DRŽAVNA UNIVERZA FAKULTETA ZA UPORABNO MATEMATIKO IN INFORMACIJO Oddelek za višjo matematiko Učna pomoč za študente Fakultete za uporabno matematiko in informatiko

Predavanje 4. Harmonska analiza. Fourierjeve vrste Periodične funkcije. Harmonična analiza V znanosti in tehnologiji imamo pogosto opravka s periodičnimi pojavi, torej tistimi, ki se ponavljajo skozi

Niz Številski niz Splošni pojmi Def Če je vsakemu naravnemu številu pripisano določeno število po določenem zakonu, se množica oštevilčenih števil imenuje številsko zaporedje,

Funkcionalna serija Funkcionalna serija njena vsota in površina funkcionalnega o Naj bo zaporedje funkcij k (k 1) podano v območju Δ realnih ali kompleksnih števil

Zvezna agencija za izobraževanje Državna tehnična univerza Arhangelsk Fakulteta za gradbeništvo SERIJA Navodila za izpolnjevanje nalog za samostojno delo Arhangelsk

O seštevalnih in interpolacijskih formulah A V Ustinov UDC 51117 1 Uvod Znano je, da Bernoullijeva števila B n in Bernoullijevi polinomi B n x) nastanejo v večini različna vprašanja teorija števil in približna analiza

Matematična analiza 3. del. Numerične in funkcionalne serije. Več integralov. Teorija polja. učbenik N.D.Vysk MATI-RGTU im. K.E. Tsiolkovsky Oddelek za višjo matematiko MATEMATIČNA ANALIZA

V.V. Žuk, A.M. Kamačkin 5 Funkcionalna zaporedja in serije. Enakomerna konvergenca, možnost permutacije mejnih prehodov, integracija in diferenciacija nizov in zaporedij.

E poklic. Taylor vrstice. Seštevek potenčnih vrst Mat. analiza, pril. Matematika, 3. semester Poiščite razširitev funkcije v potenčno vrsto, izračunajte polmer konvergence potenčne vrste: A f()

6 Fourierjeve vrste 6 Ortogonalni sistemi funkcij Fourierjeve vrste v terminih pravokotnega sistema funkcij Funkciji ϕ () in ψ (), definirani in integrabilni na segmentu [, ], imenujemo pravokotni na tem segmentu, če

35 7 Trigonometrična Fourierjeva vrsta Fourierjeva vrsta za periodične funkcije s periodo T. Naj bo f(x) delno zvezna periodična funkcija s periodo T. Upoštevajte osnovni trigonometrični sistem

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruska federacija VA Volkov SERIES FOURIER INTEGRAL Izobraževalna elektronska besedilna izdaja Za študente specialnosti 4865 Elektronika in avtomatizacija fizičnih naprav;

PREDAVANJE N37. Niz analitičnih funkcij. Razgradnja analitične funkcije v potenčni niz. Serija Taylor. Laurentove vrste..Razširitev analitične funkcije v potenčne vrste.....Taylorjeve vrste.... 3.Razširitev analitične

MOSKVSKA DRŽAVNA UNIVERZA jim. M.V. Lomonosov FAKULTETA ZA FIZIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO V.F. Butuzov NUMERIČNE NIZE FUNKCIONALNE SEKVENCE IN SERIJE Vadnica Moskva 05 Predgovor

~ ~ Niz Številski niz in njegova vsota. Definicija: Številska vrsta je vsota članov neskončnega številskega zaporedja. Definicija: skupni član serije je tak izraz, za katerega

8. lekcija. Enakomerna konvergenca funkcionalnih nizov. Weierstrassov test Mat. analiza, pril. Matematika, 3. semester. Raziščite naslednjo vrsto za enakomerno konvergenco z uporabo definicije: D 767

Tema 6. Meje zaporedij in funkcij, njihove lastnosti in aplikacije. Serija matematične analize Kratke opombe predavanj Sestavil V.A. znanosti, izredni profesor Oddelka za višjo matematiko

Preizkusi serije za samotestiranje Nujen kriterij za konvergenco serije Izrek potrebna funkcija konvergenca Če niz konvergira potem lim + Posledica zadosten pogoj divergenca serije Če je lim, potem vrsta divergira

Numerične metode Tema 2 Interpolacija V I Velikodny 2011 2012 študijsko leto 1 Pojem interpolacije Interpolacija je metoda približnega ali natančnega iskanja katere koli vrednosti iz znanih posameznih vrednosti

Ruska univerza prijateljstva ljudi Marchenko V.V., Sorokina M.V.

PREDAVANJE 3A Vrste konvergence. Lebesguev integral. Lebesgueovi prostori 1. Vrste konvergence funkcijskih zaporedij V predavanju 3 je bilo ugotovljeno, da obstajajo naslednje vrste konvergence funkcijskih zaporedij:

Naknadno zaporedje. Opredelitev. Če vsakemu naravnemu številu (N) po nekem zakonu pripišemo število ( ), potem to določa številsko zaporedje,... (ali samo zaporedje).

Poglavje 28 POSPLOŠENE FUNKCIJE 28.1. Prostori D, D osnovnih in posplošenih funkcij Koncept posplošene funkcije posplošuje klasični koncept funkcije in omogoča izražanje v matematični obliki

Fourierjeva vrsta Ortogonalni sistemi funkcij Z vidika algebre velja enakost, kjer so funkcije ta razred a - koeficienti iz R ali C preprosto pomenijo, da je vektor linearna kombinacija vektorjev B

Osnove teorije posebnih funkcij Potreba po študiju posebnih funkcij matematične fizike je povezana z dvema glavnima okoliščinama. Prvič, pri razvoju matematičnega modela fizičnega

Predavanja 89 5. poglavje Zveznost funkcije 5 Zveznost funkcije v točki Pojem zveznosti funkcije je eden od temeljnih pojmov visoke matematike Očitno je graf zvezne funkcije

Laurent Rows Več skupni tip Potenčne vrste so vrste, ki vsebujejo pozitivne in negativne potence z z 0. Tako kot Taylorjeve vrste igrajo pomembno vlogo v teoriji analitičnih funkcij.

ELEMENTI TEORIJE FUNKCIJ OPERACIJSKEGA RAČUNA KOMPLEKSNE SPREMENLJIVE Kot rezultat študija te teme se mora študent naučiti: najti trigonometrične in eksponentne oblike kompleksno število na

Zveznost funkcij Zveznost funkcije v točki Enostranske meje Definicija Število A imenujemo leva meja funkcije f(x), ko x teži k a, če takšno število obstaja za poljubno število

Poglavje VARIACIJSKI RAČUN Predavanje 9 Uvod

~ ~ FCF Odvod funkcije kompleksne spremenljivke FCF Cauchy-Riemannovega pogoja Koncept regularnosti FCF Prikaz in oblika kompleksnega števila Oblika FCF: kjer je realna funkcija dveh spremenljivk realna

Razdelek 2 Teorija meja Tema Numerična zaporedja Definicija številskega zaporedja 2 Omejena in neomejena zaporedja 3 Monotona zaporedja 4 Neskončno majhna in

Poglavje 4. Integral 1. Nedoločen integral 1 0. Protiodvod in nedoločen integral Definicija Funkcija F (x) se imenuje antiodvod za funkcijo f (x) na intervalu X, če je x X: F "(x) \u003d f (x). Primer

Ministrstvo za šolstvo Ruske federacije Jaroslavska državna univerza po imenu PG Demidov Oddelek za diskretno analizo Smernice za matematično analizo Jaroslavlj Sestavil: MV Anufrienko

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE izobraževalna ustanova višji poklicno izobraževanje"JUŽNA ZVEZNA UNIVERZA" T. I. Korshikova,

Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje Državna tehnična univerza Ukhta (USTU) Smernice za omejitve

FOURIERJEVA NIZA M I ​​VISHIK Predstavitev vsake periodične fukcije kot vsote ustreznih trigoometričnih vrst, ko je njena Fourierjeva vrsta expasio, je obravnavana. Parsevalova enačba je prednastavljena: itegral kvadrata

Zadnja posodobitev: 16. marec 2008 Seznam definicij: 1.1 Neprekrivajoči se segmenti ................................. ............. 2 1.2 Sistem neprekrivajočih se segmentov .................................. .............

NEDOLOČEN INTEGRAL. Antiizpeljava in nedoločen integral Glavna naloga diferencialnega računa je najti odvod (ali diferencial) dane funkcije. Integralni račun

Predavanje 5 Integral Cauchyjevega tipa 5.1 Integral Cauchyjevega tipa Naj bo C usmerjena kosno gladka krivulja, f zvezna funkcija, definirana na krivulji. Za vsako točko z C \ je funkcija t f(t) z zvezna v spremenljivki

Poklic. Stopnja s poljubnim realnim eksponentom, njene lastnosti. Potenčna funkcija, njene lastnosti, grafika.. Spomnimo se lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom. a a a a a za naravne čase

Far Eastern Mathematical Journal. 214. Zvezek 14. 2. Str. 231 241 UDC 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Illarionov, L. V. Illarionova 1 Analitične rešitve ekstremnih problemov za Laplaceovo enačbo

SPREMENLJIVKE IN KONSTANTE Kot rezultat merjenja fizikalnih količin (časa, površine, prostornine, mase, hitrosti itd.) se določijo njihove numerične vrednosti. Matematika se ukvarja s količinami, raztreseno

PREDAVANJE N38. Obnašanje analitične funkcije v neskončnosti. posebne točke. Funkcijski ostanki..okolica točke v neskončnosti.....Laurentova ekspanzija v okolici točke v neskončnosti.... 3. Vedenje

LABORATORIJSKE VAJE 7 POSPLOŠENE FUNKCIJE I. OSNOVNI POJMI IN IZREKI Označimo z D množico vseh neskončno diferenciabilnih končnih funkcij realne spremenljivke. to

ODVOD NARASTOJOČE FUNKCIJE Prof. dr. Avyt ASANOV Kirgiško-turška univerza “Manas” Klasični koncepti odvoda in diferenciala funkcije so predstavljeni v številnih delih.

009 M. S. Semchenok, E. N. Begun, V. A. Vlas’eva, V. G. Galkina Matematika Zapiski predavanj Tretji del Zapiske je vodil A. Diment SPbGUKiT, FAVT, gr. 7 POGLAVJE 0. NUMERIČNE NIZE 0.. KONCEPT KONVERGENCE NUMERIČNIH

SKLAD ORODIJ ZA VREDNOTENJE ZA VMESNO CERTIFIKACIJO ŠTUDENTOV PRI DISCIPLINI (MODULU). Splošne informacije 1. Katedra za informatiko, računalništvo in informacijsko varnost 2. Smer

Zadnja posodobitev: 29. marec 2008 Seznam definicij: 1.1 Neprekrivajoči se segmenti ................................. ................ 2 1.2 Sistem neprekrivajočih se segmentov ............................ ................

ZVEZNA AGENCIJA ZA IZOBRAŽEVANJE Državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "UFA STATE OIL TECHNICAL UNIVERZA" (UGNTU) Oddelek za matematiko

Predavanje 6 Niz analitičnih funkcij 6.1 Funkcijska zaporedja Naj bo D C in f n: D C. Zaporedje funkcij (f n ) konvergira točkovno k funkciji f: D C, če za vsako

Odsek. REDNE RELACIJE IN ASIMPTOTIČNO VEDENJE ELEMENTARNIH FUNKCIJ Primerjava obnašanja funkcij. O-simboli V tem uvodnem poglavju bomo razpravljali o primerjalnem obnašanju funkcij, pa tudi o asimptotiki

Konvergenčni radij Definicija. Potenčna vrsta je funkcionalna vrsta oblike c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () kjer je c 0, c, c 2,.. ., c, ... C imenujemo koeficienti moči

Integrabilnost funkcije (po Riemannu) in določenega integrala Osnovni pojmi in izreki 1. Integralne vsote in določen integral. Naj bo funkcija f(x) definirana na intervalu (kjer je a< b). Произвольное

Fourierjevi nizi in njihova uporaba v komunikacijski tehnologiji

Ime parametra	Pomen
Zadeva članka:	Fourierjevi nizi in njihova uporaba v komunikacijski tehnologiji
Rubrika (tematska kategorija)	izobraževanje

Dekompozicija zveznega signala v ortogonalne serije

Predavanje 6. Zvezni kanal

Merila kakovosti predelave.

Obstajajo naslednja merila:

1) Kriterij največjega odstopanja

kjer je: dopustna napaka obnovitve, - največja vrednost - trenutna napaka aproksimacije.

Hkrati obstaja zaupanje, da bodo vse spremembe prvotnega signala, vključno s kratkotrajnimi skoki, zabeležene.

2) Merilo RMS. kjer je: - dodatna napaka aproksimacije SC, - napaka aproksimacije SC.

3) Integralni kriterij

Max se določi s povprečno vrednostjo za obdobje vzorčenja.

4) Verjetnostni kriterij

Dopustna raven je nastavljena, vrednost Р je verjetnost, da trenutna napaka aproksimacije ni odvisna od določene vrednosti.

Namen predavanja: uvod v neprekinjeni kanal

a) razčlenitev zveznega signala v ortogonalne serije;

b) Fourierjeve vrste in njihova uporaba v komunikacijski tehnologiji;

c) Kotelnikov izrek (Shannonov osnovni izrek);

d) prepustnost neprekinjenega kanala;

e) model NKS.

V komunikacijski teoriji se za predstavitev signalov široko uporabljata dva posebna primera razširjanja funkcij v pravokotne vrste: raztezanje v trigonometrične funkcije in raztezanje v funkcije oblike greh x/x. V prvem primeru dobimo spektralno predstavitev signala v obliki običajne Fourierjeve vrste, v drugem primeru pa časovno predstavitev v obliki serije V.A. Kotelnikov.

S praktičnega vidika je najenostavnejša oblika izražanja signala linearna kombinacija nekaterih elementarnih funkcij

V splošnem primeru je signal kompleksno nihanje, v zvezi s tem je izjemno pomembno, da predstavljamo kompleksno funkcijo s(t), definiranje signala s preprostimi funkcijami.

Pri preučevanju linearnih sistemov je takšna predstavitev signala zelo priročna. Omogoča vam, da rešitev številnih problemov razdelite na dele z uporabo načela superpozicije. Na primer, za določitev signala na izhodu linearnega sistema se izračuna odziv sistema na vsako osnovno dejanje ψ k (t), nato pa se rezultati, pomnoženi z ustreznimi koeficienti in k, enostavno izračunajo in niso odvisni o številu členov v seštevku. Te zahteve najpopolneje izpolnjuje množica ortogonalnih funkcij.

Funkcije ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6,2)

Dani na intervalu se imenujejo ortogonalni,

če pri. (6,3)

Osnova spektralne analize signalov je predstavitev časovnih funkcij v obliki serije ali Fourierovega integrala. Vsak periodični signal s(t), ki izpolnjuje Dirichletov pogoj, je treba predstaviti kot vrsto v smislu trigonometričnih funkcij

Vrednost a 0, ki izraža povprečno vrednost signala v obdobju, se običajno imenuje konstantna komponenta. Izračuna se po formuli

Zelo priročna je kompleksna oblika pisanja Fourierjevega niza

Vrednost A k je kompleksna amplituda, najdemo jo s formulo

Relaciji (6.8) in (6.9) tvorita par diskretnih Fourierjevih transformacij. Opozoriti je treba, da Fourierjeva vrsta lahko predstavlja ne samo periodični signal, ampak tudi kateri koli signal končnega trajanja. V slednjem primeru signal S(t) se predpostavlja, da se periodično podaljša na celotni časovni osi. Enačba (6.4) ali (6.8) v tem primeru predstavlja signal samo na intervalu njegovega trajanja (- T/2,T/2). Naključni signal (ali motnja), dan v intervalu (- T/2,T/2), mora biti predstavljen tudi s Fourierjevim nizom

kje a k in b k so naključne spremenljivke (za nihajni šum - neodvisne naključne z normalno porazdelitvijo) .

Fourierjevi nizi in njihova uporaba v komunikacijski tehnologiji - koncept in vrste. Razvrstitev in značilnosti kategorije "Fourierjevi nizi in njihova uporaba v komunikacijski tehnologiji" 2017, 2018.

Ki so že pošteno siti. In čutim, da je prišel trenutek, ko je čas, da iz strateških zalog teorije izvlečemo novo konzervirano hrano. Ali je mogoče kako drugače razširiti funkcijo v niz? Na primer, da izrazite odsek ravne črte s sinusi in kosinusi? Zdi se neverjetno, toda takšne na videz oddaljene funkcije so primerne
"ponovno združitev". Poleg znanih diplom v teoriji in praksi obstajajo tudi drugi pristopi za razširitev funkcije v vrsto.

V tej lekciji se bomo seznanili s trigonometrično Fourierjevo vrsto, se dotaknili vprašanja njene konvergence in vsote ter seveda analizirali številne primere za razširitev funkcij v Fourierjevo vrsto. Članek sem iskreno želel poimenovati "Fourierjeve serije za telebane", vendar bi bilo to zvito, saj bo reševanje problemov zahtevalo poznavanje drugih delov matematične analize in nekaj praktičnih izkušenj. Zato bo preambula podobna treningu astronavtov =)

Najprej se je treba lotiti študije materialov strani v odlični obliki. Naspani, spočiti in trezni. Brez močnih čustev o zlomljeni taci hrčka in vsiljive misli o tegobah življenja akvarijske ribe. Fourierjeva serija ni težka v smislu razumevanja, vendar praktične naloge zahtevajo preprosto povečana koncentracija pozornost - v idealnem primeru bi morali popolnoma opustiti zunanje dražljaje. Situacijo otežuje dejstvo, da ni preprostega načina za preverjanje rešitve in odgovora. Torej, če je vaše zdravje podpovprečno, potem je bolje narediti nekaj preprostejšega. Resnica.

Drugič, pred poletom v vesolje se je treba učiti armaturna plošča vesoljska ladja. Začnimo z vrednostmi funkcij, ki jih je treba klikniti na stroju:

Za katero koli naravno vrednoto:

ena) . In pravzaprav sinusoida "utripa" os x skozi vsak "pi":
. V primeru negativnih vrednosti argumenta bo rezultat seveda enak: .

2). A vsi tega niso vedeli. Kosinus "pi en" je enakovreden "utripajoči luči":

Negativni argument ne spremeni primera: .

Morda dovolj.

In tretjič, dragi kozmonavtski zbor, morate biti sposobni ... integrirati.
Zlasti gotovo pripeljite funkcijo pod diferencialnim predznakom, integrirati po delih in biti v dobrih odnosih z Newton-Leibnizova formula. Začnimo s pomembnimi vajami pred poletom. Močno ne priporočam, da ga preskočite, da se pozneje ne boste sploščili v ničelni gravitaciji:

Primer 1

Izračunajte določene integrale

kjer zajema naravne vrednote.

rešitev: integracija se izvede nad spremenljivko "x" in na tej stopnji se diskretna spremenljivka "en" obravnava kot konstanta. V vseh integralih funkcijo spravimo pod znak diferenciala:

Kratka različica rešitve, ki bi bila dobra za streljanje, izgleda takole:

Navajanje na:

Štiri preostale točke so same. Poskusi se naloge lotiti vestno in integrale uredi na kratek način. Vzorčne rešitve na koncu lekcije.

Po KVALITETNI vadbi smo si nadeli skafandre
in se pripravljam na začetek!

Razširitev funkcije v Fourierjev niz na intervalu

Razmislimo o funkciji, ki odločen vsaj na intervalu (in morda tudi na večjem intervalu). Če je ta funkcija integrabilna na segmentu, jo je mogoče razširiti v trigonometrijo Fourierjeve vrste:
, kjer so t.i Fourierjevi koeficienti.

V tem primeru se kliče številka obdobje razgradnje, številka pa je razpad razpolovne dobe.

Očitno je v splošnem primeru Fourierjeva vrsta sestavljena iz sinusov in kosinusov:

Res, napišimo podrobno:

Ničelni člen vrste je običajno zapisan kot .

Fourierjevi koeficienti se izračunajo po naslednjih formulah:

Povsem dobro razumem, da so novi izrazi še vedno nejasni za začetnike pri preučevanju teme: obdobje razgradnje, pol cikla, Fourierjevi koeficienti itd. Brez panike, to ni primerljivo z navdušenjem pred odhodom vesolje. Ugotovimo vse v najbližjem primeru, pred izvedbo katerega je logično zastaviti pereča praktična vprašanja:

Kaj morate narediti pri naslednjih nalogah?

Razširite funkcijo v Fourierjev niz. Poleg tega je pogosto treba narisati graf funkcije, graf vsote serije, delno vsoto, v primeru prefinjenih profesorskih domislic pa narediti še kaj.

Kako razširiti funkcijo v Fourierjev niz?

V bistvu morate najti Fourierjevi koeficienti, to je sestaviti in izračunati tri določeni integrali.

Prepišite splošno obliko Fourierove vrste in tri delovne formule v svoj zvezek. Zelo sem vesel, da se nekaterim obiskovalcem strani pred očmi uresničujejo otroške sanje, da bi postali astronavti =)

Primer 2

Razširi funkcijo v Fourierjev niz na intervalu . Zgradite graf, graf vsote vrste in delne vsote.

rešitev: prvi del naloge je razširitev funkcije v Fourierjev niz.

Začetek je standarden, ne pozabite zapisati, da:

V tem problemu je ekspanzijska doba, polperioda.

Funkcijo razširimo v Fourierjev niz na interval:

Z ustreznimi formulami najdemo Fourierjevi koeficienti. Zdaj moramo sestaviti in izračunati tri določeni integrali. Za udobje bom točke oštevilčil:

1) Prvi integral je najpreprostejši, vendar že zahteva oko in oko:

2) Uporabimo drugo formulo:

Ta integral je dobro znan in jemlje po kosih:

Ko se najde uporabljeno metoda spravljanja funkcije pod diferencialni predznak.

Pri obravnavani nalogi je bolj priročno takoj uporabiti formula za integracijo po delih v določenem integralu :

Nekaj ​​tehničnih opomb. Prvič, po uporabi formule celoten izraz mora biti v velikih oklepajih, saj je pred prvotnim integralom konstanta. Ne izgubimo ga! Oklepaje je mogoče odpreti v katerem koli nadaljnjem koraku, jaz sem to naredil na zadnjem koraku. V prvem "delu" izkazujemo izjemno natančnost pri zamenjavi, kot vidite, konstanta ne deluje, meje integracije pa se nadomestijo v produkt. To dejanje poudarjeno v oglatih oklepajih. No, integral drugega "kosa" formule vam je dobro znan iz vadbene naloge ;-)

In kar je najpomembneje - končna koncentracija pozornosti!

3) Iščemo tretji Fourierjev koeficient:

Dobimo relativno prejšnjega integrala, ki je tudi integrirano po delih:

Ta primer je nekoliko bolj zapleten, nadaljnje korake bom komentiral korak za korakom:

(1) Celoten izraz je v velikih oklepajih.. Nisem hotel izgledati kot dolgočasen, prepogosto izgubijo konstanto.

(2) B ta primer Takoj sem odprl tiste velike oklepaje. Posebna pozornost posvečamo prvemu »kosu«: konstanta kadi ob strani in ne sodeluje pri nadomeščanju meja vključevanja (in) v izdelek. Glede na natrpanost zapisa je ponovno priporočljivo to dejanje označiti v oglatih oklepajih. Z drugim "kosom" vse je preprostejše: tukaj se je ulomek pojavil po odprtju velikih oklepajev in konstanta - kot rezultat integracije znanega integrala ;-)

(3) V oglatem oklepaju izvedemo transformacije, v desnem integralu pa nadomestimo limite integracije.

(4) Iz oglatega oklepaja izvlečemo »utripalko«: , nato pa odpremo notranje oklepaje: .

(5) Izbrišemo 1 in -1 v oklepajih, naredimo končne poenostavitve.

Končno smo našli vse tri Fourierjeve koeficiente:

Nadomestite jih v formulo :

Ne pozabite ga razdeliti na pol. Na zadnjem koraku se iz vsote izloči konstanta ("minus dva"), ki ni odvisna od "en".

Tako smo dobili razširitev funkcije v Fourierjev niz na intervalu:

Preučimo vprašanje konvergence Fourierjevega niza. Posebej bom razložil teorijo Dirichletov izrek, dobesedno "na prste", tako da, če potrebujete stroge formulacije, si oglejte učbenik o računu (npr. 2. zvezek Bohana; ali 3. zvezek Fichtenholtza, vendar je v njem težje).

V drugem delu naloge je potrebno narisati graf, graf vsote serije in graf delne vsote.

Graf funkcije je običajen ravna črta na ravnini, ki je narisana s črno pikčasto črto:

Ukvarjamo se s seštevkom serije. Kot veste, funkcionalne serije konvergirajo k funkcijam. V našem primeru konstruirana Fourierjeva vrsta za katero koli vrednost "x" konvergira k funkciji, prikazani rdeče. Ta funkcija je predmet odmori 1. vrste v točkah , ampak tudi definiran v njih (rdeče pike na risbi)

V to smer: . Preprosto je videti, da se izrazito razlikuje od prvotne funkcije, zato v zapisu namesto znaka enačaja se uporablja tilda.

Preučimo algoritem, s katerim je priročno sestaviti vsoto serije.

Na osrednjem intervalu Fourierjeva vrsta konvergira k sami funkciji (osrednji rdeči segment sovpada s črno pikčasto črto linearne funkcije).

Zdaj pa se pogovorimo malo o naravi obravnavane trigonometrične ekspanzije. Fourierjeve vrste vključuje samo periodične funkcije (konstanto, sinuse in kosinuse), torej vsoto serije je tudi periodična funkcija.

Kaj to pomeni v našem konkreten primer? In to pomeni, da je vsota serije –nujno periodično in rdeči segment intervala se mora neskončno ponavljati na levi in ​​desni.

Mislim, da je sedaj končno postal jasen pomen besedne zveze "obdobje razgradnje". Preprosto povedano, vsakič znova se situacija ponovi.

V praksi običajno zadošča, da prikažemo tri razgradne dobe, kot je prikazano na risbi. No, in več "štorov" sosednjih obdobij - da bo jasno, da se grafikon nadaljuje.

Posebej zanimivi so diskontinuitetne točke 1. vrste. V takšnih točkah Fourierjeva vrsta konvergira k izoliranim vrednostim, ki se nahajajo točno na sredini "skoka" diskontinuitete (rdeče pike na risbi). Kako najti ordinato teh točk? Najprej poiščemo ordinato "zgornjega nadstropja": za to izračunamo vrednost funkcije na skrajni desni točki osrednje ekspanzijske dobe: . Za izračun ordinate "spodnjega nadstropja" je najlažje vzeti skrajno levo vrednost istega obdobja: . Ordinata srednje vrednosti je aritmetična sredina vsote "zgoraj in spodaj": . Lepo je dejstvo, da boste pri gradnji risbe takoj videli, ali je sredina pravilno ali nepravilno izračunana.

Konstruirajmo delno vsoto vrste in hkrati ponovimo pomen izraza "konvergenca". Motiv je znan iz lekcije o vsota številske serije. Naj podrobneje opišemo naše bogastvo:

Če želite narediti delno vsoto, morate zapisati nič + še dva člana serije. to je

Na risbi je graf funkcije prikazan zeleno in, kot lahko vidite, se precej tesno ovija okoli skupne vsote. Če upoštevamo delno vsoto petih členov serije, bo graf te funkcije še natančneje približal rdeče črte, če je sto členov, potem se bo "zelena kača" dejansko popolnoma združila z rdečimi segmenti, itd. Tako Fourierjeva vrsta konvergira k svoji vsoti.

Zanimivo je, da je vsaka delna vsota neprekinjena funkcija, vendar je skupna vsota serije še vedno diskontinuirana.

V praksi ni neobičajno zgraditi graf delne vsote. Kako narediti? V našem primeru je treba upoštevati funkcijo na segmentu, izračunati njene vrednosti na koncih segmenta in na vmesnih točkah (kot več točk upoštevajte - bolj natančen bo urnik). Nato označite te točke na risbi in skrbno narišite graf na periodi, nato pa ga "replicirajte" v sosednje intervale. Kako drugače? Konec koncev je tudi aproksimacija periodična funkcija ... ... njen graf me nekako spominja na enakomeren srčni ritem na zaslonu medicinske naprave.

Seveda ni zelo priročno izvajati konstrukcije, saj morate biti zelo previdni in ohraniti natančnost najmanj pol milimetra. Bom pa razveselil bralce, ki so v nasprotju z risanjem - pri "pravi" nalogi še zdaleč ni vedno potrebno risati, nekje v 50% primerov je treba funkcijo razširiti v Fourierjev niz in to je to.

Po končani risbi opravimo nalogo:

Odgovori:

Pri številnih nalogah trpi funkcija ruptura 1. vrste prav v obdobju razgradnje:

Primer 3

Razširite funkcijo, podano na intervalu, v Fourierjev niz. Nariši graf funkcije in skupne vsote serije.

Predlagana funkcija je podana po delih (in, pozor, samo na segmentu) in potrpeti ruptura 1. vrste na točki. Ali je mogoče izračunati Fourierjeve koeficiente? Brez težav. Tako levi kot desni del funkcije sta integrabilna na svojih intervalih, zato je treba integrale v vsaki od treh formul predstaviti kot vsoto dveh integralov. Poglejmo na primer, kako se to naredi za ničelni koeficient:

Izkazalo se je, da je drugi integral enak nič, kar je zmanjšalo delo, vendar ni vedno tako.

Dva druga Fourierjeva koeficienta sta zapisana podobno.

Kako prikazati vsoto serije? Na levem intervalu narišemo odsek ravne črte in na intervalu - odsek ravne črte (odsek osi označite krepko-krepko). To pomeni, da na intervalu razširitve vsota serije sovpada s funkcijo povsod, razen treh "slabih" točk. V točki diskontinuitete funkcije Fourierjeva vrsta konvergira k izolirani vrednosti, ki se nahaja točno na sredini "skoka" diskontinuitete. Ustno ga ni težko videti: leva meja:, desna meja: in očitno je ordinata sredine 0,5.

Zaradi periodičnosti vsote je treba sliko "pomnožiti" v sosednje periode, še posebej upodabljati isto stvar na intervalih in . V tem primeru v točkah Fourierjeva vrsta konvergira k srednjim vrednostim.

Pravzaprav tu ni nič novega.

Poskusite to težavo rešiti sami. Približen vzorec likovnega oblikovanja in risanja na koncu lekcije.

Razširitev funkcije v Fourierjev niz na poljubno periodo

Za poljubno raztezno obdobje, kjer je "el" katero koli pozitivno število, se formule za Fourierjev niz in Fourierjeve koeficiente razlikujejo v nekoliko bolj zapletenem argumentu sinusa in kosinusa:

Če , potem dobimo formule za interval, s katerim smo začeli.

Algoritem in principi reševanja problema so popolnoma ohranjeni, vendar se tehnična zapletenost izračunov poveča:

Primer 4

Razširite funkcijo v Fourierjev niz in narišite vsoto.

rešitev: pravzaprav analog primera št. 3 z ruptura 1. vrste na točki. V tem problemu je ekspanzijska doba, polperioda. Funkcija je definirana le na polintervalu, vendar to ne spremeni stvari - pomembno je, da sta oba dela funkcije integrabilna.

Razširimo funkcijo v Fourierjev niz:

Ker je funkcija v izvoru diskontinuirana, je treba vsak Fourierjev koeficient očitno zapisati kot vsoto dveh integralov:

1) Prvi integral bom napisal čim bolj podrobno:

2) Previdno pokukajte v površino lune:

Drugi integral jemati po delih:

Na kaj morate biti zelo pozorni, ko odpremo nadaljevanje rešitve z zvezdico?

Prvič, ne izgubimo prvega integrala , kjer takoj izvedemo spraviti pod znak diferenciala. Drugič, ne pozabite na nesrečno konstanto pred velikimi oklepaji in naj vas znaki ne zmedejo pri uporabi formule . Velike oklepaje je navsezadnje bolj priročno odpreti takoj v naslednjem koraku.

Ostalo je stvar tehnike, le premalo izkušenj pri reševanju integralov lahko povzroči težave.

Da, ugledni kolegi francoskega matematika Fourierja niso bili zaman ogorčeni - kako si je drznil razstaviti funkcije v trigonometrične serije?! =) Mimogrede, verjetno vse zanima praktični pomen zadevne naloge. Na tem je delal sam Fourier matematični model toplotne prevodnosti, kasneje pa so po njem poimenovane serije začeli uporabljati za preučevanje številnih periodičnih procesov, ki so v okoliškem svetu očitno nevidni. Zdaj sem se mimogrede ujel pri misli, da ni bilo naključje, da sem graf drugega primera primerjal s periodičnim srčnim ritmom. Zainteresirani se lahko seznanijo s praktično uporabo Fourierjeve transformacije iz virov tretjih oseb. ... Čeprav je bolje, da ne - zapomnili si ga bomo kot Prva ljubezen =)

3) Glede na večkrat omenjene šibke povezave imamo opravka s tretjim koeficientom:

Integracija po delih:

Najdene Fourierjeve koeficiente nadomestimo v formulo , ne da bi pozabili razdeliti ničelni koeficient na polovico:

Narišimo vsoto serije. Na kratko ponovimo postopek: na intervalu zgradimo premico, na intervalu pa premico. Z ničelno vrednostjo "x" postavimo točko na sredino "skoka" vrzeli in "repliciramo" grafikon za sosednja obdobja:


Na "stičiščih" obdobij bo vsota enaka tudi sredinam "skoka" vrzeli.

pripravljena Opozarjam vas, da je sama funkcija pogojno definirana samo na polintervalu in očitno sovpada z vsoto serije na intervalih

Odgovori:

Včasih je delno dana funkcija zvezna tudi na raztezni periodi. Najenostavnejši vzorec: . rešitev (Glej Bohanov zvezek 2) je enak kot v prejšnjih dveh primerih: kljub kontinuiteta delovanja v točki je vsak Fourierjev koeficient izražen kot vsota dveh integralov.

V razpadnem intervalu diskontinuitetne točke 1. vrste in / ali "stičišč" grafa je lahko več (dve, tri in na splošno katera koli dokončno znesek). Če je funkcija integrabilna na vsakem delu, potem je tudi razširljiva v Fourierjevo vrsto. Toda iz praktičnih izkušenj se ne spomnim takšne pločevine. Kljub temu obstajajo težje naloge, kot smo jih le obravnavali, na koncu članka pa so za vse povezave do Fourierjevih vrst povečane kompleksnosti.

Medtem pa se sprostimo, naslonimo se na stole in opazujmo neskončna prostranstva zvezd:

Primer 5

Razširite funkcijo v Fourierjev niz na intervalu in narišite vsoto niza.

V tej nalogi funkcija neprekinjeno na dekompozicijski polinterval, kar poenostavi rešitev. Vse je zelo podobno primeru št. 2. Ne morete pobegniti od vesoljske ladje - morali se boste odločiti =) Vzorec načrta na koncu lekcije, urnik je priložen.

Razširitev sodih in lihih funkcij v Fourierjev niz

S sodimi in lihimi funkcijami je postopek reševanja problema opazno poenostavljen. In zato. Vrnimo se k razširitvi funkcije v Fourierjev niz na periodo "dva pi" in poljubna pika "dva ala" .

Predpostavimo, da je naša funkcija soda. Splošni člen niza, kot lahko vidite, vsebuje sode kosinuse in lihe sinuse. In če dekompoziramo SODO funkcijo, zakaj potem potrebujemo lihe sinuse?! Ponastavimo nepotreben koeficient: .

V to smer, soda funkcija se razširi v Fourierjev niz le v kosinusih:

Zaradi integrali sodih funkcij nad segmentom integracije, ki je simetričen glede na nič, se lahko podvoji, potem se poenostavijo tudi preostali Fourierjevi koeficienti.

Za razpon:

Za poljuben interval:

Primeri učbenikov, ki jih najdemo v skoraj vseh učbenikih računanja, vključujejo razširitve sodih funkcij . Poleg tega so se večkrat srečali v moji osebni praksi:

Primer 6

Glede na funkcijo. Zahtevano:

1) razširite funkcijo v Fourierjev niz s periodo , kjer je poljubno pozitivno število;

2) zapišite razširitev na interval , zgradite funkcijo in narišite graf skupne vsote niza .

rešitev: v prvem odstavku je predlagana rešitev problema na splošen način in to je zelo priročno! Pojavila se bo potreba - samo nadomestite svojo vrednost.

1) V tem problemu je ekspanzijska doba, polperioda. Med nadaljnjimi dejanji, zlasti med integracijo, se "el" šteje za konstanto

Funkcija je soda, kar pomeni, da se razširi v Fourierjev niz le v kosinusih: .

Fourierjeve koeficiente iščemo po formulah . Bodite pozorni na njihove absolutne prednosti. Najprej se integracija izvede preko pozitivnega segmenta razširitve, kar pomeni, da se varno znebimo modula , upoštevajoč samo "x" iz dveh kosov. In drugič, integracija je opazno poenostavljena.

dva:

Integracija po delih:

V to smer:
, medtem ko je konstanta , ki ni odvisna od "en", odvzeta iz vsote.

Odgovori:

2) Razširitev zapišemo na interval, za to zamenjamo želeno vrednost polčasa v splošno formulo:

V mnogih primerih je naloga pridobivanja (izračunavanja) spektra signala naslednja. Obstaja ADC, ki s frekvenco vzorčenja Fd pretvarja zvezni signal, ki prihaja na njegov vhod v času T, v digitalne odčitke - N kosov. Nato se niz odčitkov vnese v določen program, ki izda N / 2 nekaterih številskih vrednosti (programer, ki potegnjen iz interneta napisal program, trdi, da izvaja Fourierjevo transformacijo).

Da bi preverili, ali program deluje pravilno, bomo oblikovali niz odčitkov kot vsoto dveh sinusoid sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) in ga potisnili v program. Program je potegnil naslednje:

sl.1 Graf časovne funkcije signala

sl.2 Graf spektra signala

Na spektralnem grafu sta dve palici (harmoniki) 5 Hz z amplitudo 0,5 V in 10 Hz - z amplitudo 1 V, vse kot v formuli originalnega signala. Vse je v redu, bravo programer! Program deluje pravilno.

To pomeni, da če uporabimo pravi signal iz mešanice dveh sinusoidov na vhod ADC, potem bomo dobili podoben spekter, sestavljen iz dveh harmonikov.

Skupaj, naš resnično izmerjeni signal, trajanje 5 sek, ki jih je ADC digitaliziral, tj diskretnašteje, ima diskretno neperiodično spekter.

Z matematičnega vidika - koliko napak je v tej frazi? Zdaj so se oblasti odločile, da smo se odločili, da je 5 sekund predolgo, izmerimo signal v 0,5 sekunde.
sl.3 Graf funkcije sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) za obdobje merjenja 0,5 s

sl.4 Funkcijski spekter

Nekaj ​​ni v redu! Harmonik 10 Hz je narisan normalno, vendar se je namesto palice 5 Hz pojavilo več nerazumljivih harmonikov. Gledamo na internetu, kaj in kako ...

Pravijo, da je treba na konec vzorca dodati ničle in spekter bo narisan normalno.

sl.5 Končane ničle do 5 sekund

sl.6 Dobili smo spekter

Še vedno ni to, kar je bilo pri 5 sekundah. Ukvarjati se moraš s teorijo. Pojdimo na Wikipedia- vir znanja.

2. Zvezna funkcija in njena predstavitev s Fourierjevim nizom

Matematično je naš signal s trajanjem T sekund določena funkcija f(x), podana na intervalu (0, T) (X je v tem primeru čas). Takšno funkcijo lahko vedno predstavimo kot vsoto harmoničnih funkcij (sinus ali kosinus) v obliki:

(1), kjer:

k - številka trigonometrične funkcije (število harmonske komponente, harmonično število) T - segment, kjer je funkcija definirana (trajanje signala) Ak - amplituda k-te harmonske komponente, θk - začetna faza k-te harmonske komponente

Kaj pomeni "predstaviti funkcijo kot vsoto vrste"? To pomeni, da bomo z dodajanjem vrednosti harmoničnih komponent Fourierjevega niza na vsaki točki dobili vrednost naše funkcije na tej točki.

(Natančneje, standardna deviacija vrste od funkcije f(x) se bo nagibala k ničli, vendar kljub standardni konvergenci Fourierjevi vrsti funkcije na splošno ni treba točkovno konvergirati k njej. Glej https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

To serijo lahko zapišemo tudi kot:

(2), kjer , k-ta kompleksna amplituda.

Razmerje med koeficientoma (1) in (3) je izraženo z naslednjima formulama:

Upoštevajte, da so vse te tri predstavitve Fourierove vrste popolnoma enakovredne. Včasih je pri delu s Fourierjevimi serijami bolj priročno uporabiti eksponente imaginarnega argumenta namesto sinusov in kosinusov, to je uporabiti Fourierjevo transformacijo v kompleksni obliki. Toda za nas je priročno uporabiti formulo (1), kjer je Fourierjeva serija predstavljena kot vsota kosinusnih valov z ustreznimi amplitudami in fazami. V vsakem primeru je napačno reči, da bodo rezultat Fourierjeve transformacije realnega signala kompleksne amplitude harmonikov. Kot pravilno pravi wiki, je "Fourierjeva transformacija (ℱ) operacija, ki preslika eno funkcijo realne spremenljivke v drugo funkcijo, prav tako realne spremenljivke."

Skupaj: Matematična osnova spektralne analize signalov je Fourierjeva transformacija.

Fourierjeva transformacija nam omogoča, da zvezno funkcijo f(x) (signal), definirano na segmentu (0, T), predstavimo kot vsoto neskončnega števila (neskončnega niza) trigonometričnih funkcij (sinus in/ali kosinus) z določenimi amplitudami. in faze, upoštevane tudi na segmentu (0, T). Takšno vrsto imenujemo Fourierjeva vrsta.

Za to je treba razumeti še nekaj točk pravilna uporaba Fourierjeve transformacije v analizo signalov. Če upoštevamo Fourierjevo vrsto (vsoto sinusoidov) na celotni osi X, potem lahko vidimo, da bo zunaj segmenta (0, T) funkcija, ki jo predstavlja Fourierjeva vrsta, periodično ponavljala našo funkcijo.

Na primer, v grafu na sliki 7 je prvotna funkcija definirana na segmentu (-T \ 2, + T \ 2), Fourierjeva vrsta pa predstavlja periodično funkcijo, definirano na celotni osi x.

To je zato, ker so same sinusoide periodične funkcije, njihova vsota pa bo periodična funkcija.

sl.7 Predstavitev neperiodične izvirne funkcije s Fourierjevim nizom

V to smer:

Naša začetna funkcija je zvezna, neperiodična, definirana na določenem odseku dolžine T. Spekter te funkcije je diskreten, to pomeni, da je predstavljen kot neskončen niz harmoničnih komponent - Fourierjev niz. Pravzaprav je določena periodična funkcija določena s Fourierjevim nizom, ki sovpada z našim na segmentu (0, T), vendar ta periodičnost za nas ni bistvena.

Periode harmoničnih komponent so večkratniki segmenta (0, T), na katerem je definirana izvirna funkcija f(x). Z drugimi besedami, harmonične periode so večkratniki trajanja merjenja signala. Na primer, perioda prvega harmonika Fourierovega niza je enaka intervalu T, na katerem je definirana funkcija f(x). Perioda drugega harmonika Fourierovega niza je enaka intervalu T/2. In tako naprej (glej sliko 8).

sl.8 Periode (frekvence) harmoničnih komponent Fourierove vrste (tu T=2π)

V skladu s tem so frekvence harmoničnih komponent večkratniki 1/T. To pomeni, da so frekvence harmoničnih komponent Fk enake Fk= k\T, kjer se k giblje od 0 do ∞, na primer k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (pri ničelni frekvenci - konstantna komponenta).

Naj bo naša prvotna funkcija signal, posnet T=1 s. Takrat bo perioda prvega harmonika enaka trajanju našega signala T1=T=1 sek in frekvenca harmonika 1 Hz. Perioda drugega harmonika bo enaka trajanju signala, deljenemu z 2 (T2=T/2=0,5 s), frekvenca pa 2 Hz. Za tretji harmonik je T3=T/3 s in frekvenca 3 Hz. In tako naprej.

Korak med harmoniki je v tem primeru 1 Hz.

Tako lahko signal s trajanjem 1 sekunde razgradimo na harmonične komponente (da dobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 1 Hz. Za povečanje ločljivosti za 2-krat na 0,5 Hz je potrebno podaljšati trajanje meritve za 2-krat - do 2 sekundi. Signal s trajanjem 10 sekund je mogoče razstaviti na harmonične komponente (da dobimo spekter) s frekvenčno ločljivostjo 0,1 Hz. Ni drugih načinov za povečanje frekvenčne ločljivosti.

Obstaja način za umetno povečanje trajanja signala z dodajanjem ničel nizu vzorcev. Vendar ne poveča dejanske frekvenčne ločljivosti.

3. Diskretni signali in diskretna Fourierjeva transformacija

Z razvojem digitalne tehnologije so se spremenili tudi načini shranjevanja merilnih podatkov (signalov). Če je bilo prej mogoče signal posneti na magnetofon in ga shraniti na trak v analogni obliki, so sedaj signali digitalizirani in shranjeni v datotekah v pomnilniku računalnika kot niz številk (counts).

Običajna shema za merjenje in digitalizacijo signala je naslednja.

sl.9 Shema merilnega kanala

Signal iz merilnega pretvornika prispe na ADC v času T. Vzorci signala (vzorec), dobljeni v času T, se prenesejo v računalnik in shranijo v pomnilnik.

sl.10 Digitaliziran signal - N odčitkov, prejetih v času T

Kakšne so zahteve za parametre digitalizacije signala? Naprava, ki pretvori vhodni analogni signal v diskretno kodo (digitalni signal), se imenuje analogno-digitalni pretvornik (ADC, angleško Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Eden od glavnih parametrov ADC je največja stopnja vzorčenja (ali hitrost vzorčenja, angleška stopnja vzorčenja) - pogostost jemanja vzorcev signala, neprekinjenega v času med njegovim vzorčenjem. Merjeno v hertzih. ((Wiki))

V skladu s Kotelnikovim izrekom, če ima zvezni signal spekter, omejen s frekvenco Fmax, ga je mogoče popolnoma in edinstveno obnoviti iz njegovih diskretnih vzorcev, vzetih v časovnih intervalih , tj. s frekvenco Fd ≥ 2*Fmax, kjer je Fd - stopnja vzorčenja; Fmax - največja frekvenca spektra signala. Z drugimi besedami, stopnja vzorčenja signala (ADC sampling rate) mora biti vsaj dvakrat večja od največje frekvence signala, ki ga želimo izmeriti.

In kaj se bo zgodilo, če bomo odčitavali z nižjo frekvenco, kot zahteva Kotelnikov izrek?

V tem primeru pride do učinka »aliasinga« (aka stroboskopski učinek, moiré efekt), pri katerem se visokofrekvenčni signal po digitalizaciji spremeni v nizkofrekvenčni signal, ki dejansko ne obstaja. Na sl. 11 visokofrekvenčni rdeči sinusni val je pravi signal. Nižjefrekvenčni modri sinusni val je navidezni signal, ki izhaja iz dejstva, da lahko med časom vzorčenja preteče več kot polovica obdobja visokofrekvenčnega signala.

riž. 11. Pojav lažnega nizkofrekvenčnega signala, ko stopnja vzorčenja ni dovolj visoka

Da bi se izognili učinku aliasinga, je pred ADC nameščen poseben anti-aliasing filter - LPF (low-pass filter), ki prepušča frekvence pod polovico frekvence vzorčenja ADC, višje frekvence pa odreže.

Za izračun spektra signala iz njegovih diskretnih vzorcev se uporablja diskretna Fourierjeva transformacija (DFT). Ponovno ugotavljamo, da je spekter diskretnega signala "po definiciji" omejen s frekvenco Fmax, ki je manjša od polovice frekvence vzorčenja Fd. Zato lahko spekter diskretnega signala predstavimo z vsoto končnega števila harmonikov, v nasprotju z neskončno vsoto za Fourierjev niz zveznega signala, katerega spekter je lahko neomejen. Po izreku Kotelnikova mora biti največja harmonska frekvenca takšna, da zajema vsaj dva vzorca, tako da je število harmonikov enako polovici števila vzorcev diskretnega signala. To pomeni, da če je v vzorcu N vzorcev, bo število harmonikov v spektru enako N/2.

Razmislite zdaj o diskretni Fourierjevi transformaciji (DFT).

Primerjava s Fourierjevim nizom

vidimo, da sovpadata, le da je čas v DFT diskreten in je število harmonikov omejeno na N/2 - polovico števila vzorcev.

Formule DFT so zapisane v brezdimenzionalnih celoštevilskih spremenljivkah k, s, kjer so k števila vzorcev signala, s pa števila spektralnih komponent. Vrednost s prikazuje število polnih nihanj harmonika v periodi T (trajanje merjenja signala). Diskretna Fourierjeva transformacija se uporablja za numerično iskanje amplitud in faz harmonikov, tj. "na računalniku"

Če se vrnem k rezultatom, pridobljenim na začetku. Kot je navedeno zgoraj, pri razširitvi neperiodične funkcije (našega signala) v Fourierjevo vrsto nastala Fourierjeva vrsta dejansko ustreza periodični funkciji z obdobjem T. (slika 12).

sl.12 Periodična funkcija f(x) s periodo Т0, z merilno periodo Т>T0

Kot je razvidno iz slike 12, je funkcija f(x) periodična s periodo Т0. Vendar pa zaradi dejstva, da trajanje merilnega vzorca T ne sovpada s periodo funkcije T0, ima funkcija, dobljena kot Fourierjeva vrsta, diskontinuiteto v točki T. Posledično bo spekter te funkcije vsebujejo veliko število visokofrekvenčni harmoniki. Če bi trajanje merilnega vzorca T sovpadalo s periodo funkcije T0, bi bil v spektru, dobljenem po Fourierjevi transformaciji, prisoten samo prvi harmonik (sinusoida s periodo, ki je enaka trajanju vzorca), saj je funkcija f (x) je sinusoida.

Z drugimi besedami, program DFT "ne ve", da je naš signal "kos sinusnega vala", ampak poskuša predstaviti periodično funkcijo kot serijo, ki ima vrzel zaradi nekonsistentnosti posameznih delov sinusni val.

Posledično se v spektru pojavijo harmoniki, ki naj bi skupaj predstavljali obliko funkcije, vključno s to diskontinuiteto.

Da torej dobimo "pravilen" spekter signala, ki je vsota več sinusoidov z različnimi periodami, je potrebno, da se na periodo merjenja signala prilega celo število period vsake sinusoide. V praksi je ta pogoj lahko izpolnjen pri dovolj dolgem trajanju merjenja signala.

Sl.13 Primer funkcije in spektra signala kinematične napake menjalnika

S krajšim trajanjem bo slika videti "slabša":

Slika 14 Primer delovanja in spektra vibracijskega signala rotorja

V praksi je lahko težko razumeti, kje so »prave komponente« in kje so »artefakti«, ki nastanejo zaradi nemnožnosti obdobij komponent in trajanja vzorca signala ali »skokov in prelomov« valovna oblika. Besedi "prave komponente" in "artefakti" seveda nista zaman naveden. Prisotnost številnih harmonikov na spektralnem grafu ne pomeni, da je naš signal dejansko "sestavljen" iz njih. To je tako, kot bi mislili, da je število 7 "sestavljeno" iz števil 3 in 4. Število 7 lahko predstavimo kot vsoto števil 3 in 4 - to je pravilno.

Tako tudi naš signal ... ali bolje rečeno, niti ne "naš signal", ampak periodično funkcijo, ki jo sestavimo s ponavljanjem našega signala (vzorčenje), lahko predstavimo kot vsoto harmonikov (sinusoidov) z določenimi amplitudami in fazami. Toda v mnogih primerih, ki so pomembni za prakso (glej zgornje slike), je res mogoče harmonike, dobljene v spektru, povezati z resničnimi procesi, ki so po naravi ciklični in pomembno prispevajo k obliki signala.

Nekaj ​​rezultatov

1. Realni izmerjeni signal, trajanje T s, digitaliziran z ADC, to je predstavljen z nizom diskretnih vzorcev (N kosov), ima diskretni neperiodični spekter, predstavljen z nizom harmonikov (N/2 kosa). ).

2. Signal je predstavljen z nizom realnih vrednosti in njegov spekter je predstavljen z nizom realnih vrednosti. Harmonične frekvence so pozitivne. Dejstvo, da je za matematike bolj priročno predstaviti spekter v kompleksni obliki z uporabo negativnih frekvenc, ne pomeni, da je "to prav" in "bi moralo biti vedno tako".

3. Signal, izmerjen na časovnem intervalu T, je določen samo na časovnem intervalu T. Kaj se je zgodilo, preden smo začeli meriti signal, in kaj se bo zgodilo po tem - tega znanost ne ve. In v našem primeru - ni zanimivo. DFT časovno omejenega signala daje njegov "pravi" spekter, v smislu, da pod določenimi pogoji omogoča izračun amplitude in frekvence njegovih komponent.

Rabljeni materiali in drugi uporabni materiali.

FourierScope je program za konstruiranje radijskih signalov in njihovo spektralno analizo. Graph je odprtokodni program za ustvarjanje matematičnih grafov. DISKRETNA FOURIEREVA TRANSFORMACIJA - KAKO SE IZVAJA Diskretna Fourierjeva transformacija (DFT)