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परिचय

मॉडलिंग में वैज्ञानिक अनुसंधानयह प्राचीन काल में उपयोग किया जाने लगा और धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान के सभी नए क्षेत्रों पर कब्जा कर लिया: तकनीकी डिजाइन, निर्माण और वास्तुकला, खगोल विज्ञान, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अंत में, सामाजिक विज्ञान। लगभग सभी उद्योगों में बड़ी सफलता और मान्यता आधुनिक विज्ञानबीसवीं सदी की मॉडलिंग पद्धति लाया। हालांकि, लंबे समय से व्यक्तिगत विज्ञान द्वारा स्वतंत्र रूप से मॉडलिंग पद्धति विकसित की गई है। अवधारणाओं की कोई एकीकृत प्रणाली नहीं थी, एक एकीकृत शब्दावली थी। केवल धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान की एक सार्वभौमिक पद्धति के रूप में मॉडलिंग की भूमिका को महसूस किया जाने लगा।

"मॉडल" शब्द का व्यापक रूप से मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है और इसके कई अर्थ हैं। आइए हम केवल ऐसे "मॉडल" पर विचार करें जो ज्ञान प्राप्त करने के लिए उपकरण हैं।

एक मॉडल एक ऐसी सामग्री या मानसिक रूप से प्रस्तुत वस्तु है जो अनुसंधान की प्रक्रिया में मूल वस्तु को बदल देती है ताकि इसका प्रत्यक्ष अध्ययन मूल वस्तु के बारे में नया ज्ञान प्रदान करे।

मॉडलिंग से तात्पर्य मॉडल बनाने, अध्ययन करने और लागू करने की प्रक्रिया से है। यह अमूर्तता, सादृश्य, परिकल्पना, आदि जैसी श्रेणियों से निकटता से संबंधित है। मॉडलिंग प्रक्रिया में आवश्यक रूप से अमूर्त का निर्माण, और सादृश्य द्वारा अनुमान, और वैज्ञानिक परिकल्पना का निर्माण शामिल है।

मॉडलिंग की मुख्य विशेषता यह है कि यह परोक्ष वस्तुओं की सहायता से अप्रत्यक्ष अनुभूति की एक विधि है। मॉडल ज्ञान के एक प्रकार के उपकरण के रूप में कार्य करता है, जिसे शोधकर्ता अपने और वस्तु के बीच रखता है और जिसकी सहायता से वह अपनी रुचि की वस्तु का अध्ययन करता है। यह मॉडलिंग पद्धति की यह विशेषता है जो अमूर्त, उपमाओं, परिकल्पनाओं और अन्य श्रेणियों और अनुभूति के तरीकों का उपयोग करने के विशिष्ट रूपों को निर्धारित करती है।

मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने की आवश्यकता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि कई वस्तुएं (या इन वस्तुओं से संबंधित समस्याएं) या तो सीधे जांच करना असंभव है या बिल्कुल नहीं, या इस शोध के लिए बहुत समय और धन की आवश्यकता होती है।

मॉडलिंग प्रक्रिया में तीन तत्व शामिल हैं: 1) विषय (शोधकर्ता), 2) अध्ययन की वस्तु, 3) एक मॉडल जो संज्ञानात्मक विषय और संज्ञानात्मक वस्तु के संबंध में मध्यस्थता करता है।

किसी वस्तु को बनाने की आवश्यकता है या होने दें A. हम निर्माण करते हैं (भौतिक या मानसिक रूप से) या पाते हैं असली दुनियाएक अन्य वस्तु बी वस्तु ए का एक मॉडल है। एक मॉडल के निर्माण का चरण मूल वस्तु के बारे में कुछ ज्ञान की उपस्थिति मानता है। मॉडल की संज्ञानात्मक क्षमताएं इस तथ्य के कारण हैं कि मॉडल मूल वस्तु की किसी भी आवश्यक विशेषता को दर्शाता है। मूल और मॉडल के बीच आवश्यकता और पर्याप्त समानता के प्रश्न के लिए एक विशिष्ट विश्लेषण की आवश्यकता होती है। जाहिर है, मॉडल मूल के साथ पहचान के मामले में अपना अर्थ खो देता है (तब यह मूल होना बंद हो जाता है), और सभी आवश्यक मामलों में मूल से अत्यधिक अंतर के मामले में।

इस प्रकार, अन्य पहलुओं को प्रतिबिंबित करने से इनकार करने की कीमत पर प्रतिरूपित वस्तु के कुछ पहलुओं का अध्ययन किया जाता है। इसलिए, कोई भी मॉडल मूल को सख्ती से सीमित अर्थों में ही बदल देता है। यह इस प्रकार है कि एक वस्तु के लिए कई "विशिष्ट" मॉडल बनाए जा सकते हैं, जो अध्ययन के तहत वस्तु के कुछ पहलुओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं या वस्तु को अलग-अलग डिग्री के विवरण के साथ चित्रित करते हैं।

मॉडलिंग प्रक्रिया के दूसरे चरण में, मॉडल अध्ययन की एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में कार्य करता है। इस तरह के एक अध्ययन के रूपों में से एक "मॉडल" प्रयोगों का संचालन है, जिसमें मॉडल के कामकाज की शर्तों को जानबूझकर बदल दिया जाता है और इसके "व्यवहार" पर डेटा व्यवस्थित किया जाता है। इस चरण का अंतिम परिणाम आर मॉडल के बारे में ज्ञान का खजाना है।

तीसरे चरण में, मॉडल से मूल में ज्ञान का हस्तांतरण किया जाता है - वस्तु के बारे में ज्ञान एस के एक सेट का गठन। ज्ञान हस्तांतरण की यह प्रक्रिया कुछ नियमों के अनुसार की जाती है। मॉडल के बारे में ज्ञान को मूल वस्तु के उन गुणों को ध्यान में रखते हुए ठीक किया जाना चाहिए जो मॉडल के निर्माण के दौरान प्रतिबिंबित या परिवर्तित नहीं हुए थे। हम अच्छे कारण के साथ किसी भी परिणाम को मॉडल से मूल में स्थानांतरित कर सकते हैं, यदि यह परिणाम आवश्यक रूप से मूल और मॉडल के बीच समानता के संकेतों से जुड़ा हो। यदि किसी मॉडल अध्ययन का एक निश्चित परिणाम मॉडल और मूल के बीच के अंतर से जुड़ा है, तो इस परिणाम को स्थानांतरित नहीं किया जा सकता है।

चौथा चरण मॉडल की मदद से प्राप्त ज्ञान का व्यावहारिक सत्यापन और वस्तु के सामान्य सिद्धांत, उसके परिवर्तन या नियंत्रण के निर्माण के लिए उनका उपयोग है।

मॉडलिंग के सार को समझने के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि इस तथ्य पर ध्यान न दिया जाए कि मॉडलिंग किसी वस्तु के बारे में ज्ञान का एकमात्र स्रोत नहीं है। अनुभूति की अधिक सामान्य प्रक्रिया में मॉडलिंग प्रक्रिया "डूबे" है। इस परिस्थिति को न केवल मॉडल के निर्माण के चरण में, बल्कि अंतिम चरण में भी ध्यान में रखा जाता है, जब अनुभूति के विविध साधनों के आधार पर प्राप्त अध्ययन के परिणाम संयुक्त और सामान्यीकृत होते हैं।

मॉडलिंग एक चक्रीय प्रक्रिया है। इसका मतलब है कि पहले चार चरणों के चक्र के बाद दूसरा, तीसरा, और इसी तरह किया जा सकता है। इसी समय, अध्ययन की जा रही वस्तु के बारे में ज्ञान का विस्तार और परिष्कृत किया जाता है, और मूल मॉडल में धीरे-धीरे सुधार होता है। मॉडलिंग के पहले चक्र के बाद मिली कमियों, वस्तु की कम जानकारी और मॉडल के निर्माण में त्रुटियों के कारण, बाद के चक्रों में ठीक किया जा सकता है। इसलिए, मॉडलिंग की कार्यप्रणाली में आत्म-विकास के महान अवसर होते हैं।

1. गणितीय पद्धति के अनुप्रयोग की विशेषताएंअर्थशास्त्र में मॉडलिंग

अर्थशास्त्र में गणित का प्रवेश महत्वपूर्ण कठिनाइयों पर काबू पाने से जुड़ा है। यह आंशिक रूप से गणित का "दोषी" था, जो कई शताब्दियों से विकसित हो रहा है, मुख्यतः भौतिकी और प्रौद्योगिकी की जरूरतों के संबंध में। लेकिन मुख्य कारण अभी भी आर्थिक प्रक्रियाओं की प्रकृति में निहित हैं, विशिष्टताओं में अर्थशास्त्र.

आर्थिक विज्ञान द्वारा अध्ययन की जाने वाली अधिकांश वस्तुओं को एक जटिल प्रणाली की साइबरनेटिक अवधारणा की विशेषता हो सकती है।

सिस्टम की सबसे आम समझ तत्वों के एक समूह के रूप में है जो बातचीत में हैं और एक निश्चित अखंडता, एकता बनाते हैं। किसी भी प्रणाली का एक महत्वपूर्ण गुण उद्भव है - ऐसे गुणों की उपस्थिति जो सिस्टम में शामिल किसी भी तत्व में निहित नहीं हैं। इसलिए, सिस्टम का अध्ययन करते समय, इन तत्वों के अलग-अलग अध्ययन के साथ उन्हें तत्वों में विभाजित करने की विधि का उपयोग करना पर्याप्त नहीं है। आर्थिक अनुसंधान की कठिनाइयों में से एक यह है कि लगभग ऐसी कोई आर्थिक वस्तु नहीं है जिसे अलग (गैर-प्रणालीगत) तत्व माना जा सके।

सिस्टम की जटिलता इसमें शामिल तत्वों की संख्या, इन तत्वों के बीच संबंधों के साथ-साथ सिस्टम और पर्यावरण के बीच संबंधों से निर्धारित होती है। देश की अर्थव्यवस्था में एक बहुत ही जटिल प्रणाली के सभी लक्षण हैं। यह बड़ी संख्या में तत्वों को जोड़ती है, विभिन्न प्रकार के आंतरिक कनेक्शन और अन्य प्रणालियों (प्राकृतिक वातावरण, अन्य देशों की अर्थव्यवस्था, आदि) के साथ कनेक्शन द्वारा प्रतिष्ठित है। राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था में प्राकृतिक, तकनीकी, सामाजिक प्रक्रियाएं, उद्देश्य और व्यक्तिपरक कारक परस्पर क्रिया करते हैं।

अर्थव्यवस्था की जटिलता को कभी-कभी इसके मॉडलिंग, गणित के माध्यम से अध्ययन की असंभवता के औचित्य के रूप में माना जाता था। लेकिन यह दृष्टिकोण मौलिक रूप से गलत है। आप किसी भी प्रकृति और किसी भी जटिलता की वस्तु को मॉडल कर सकते हैं। और सिर्फ जटिल वस्तुएं मॉडलिंग के लिए सबसे बड़ी रुचि हैं; यह वह जगह है जहां मॉडलिंग ऐसे परिणाम प्रदान कर सकती है जो अनुसंधान के अन्य तरीकों से प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं।

किसी भी आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग की संभावित संभावना, निश्चित रूप से, आर्थिक और गणितीय ज्ञान, उपलब्ध विशिष्ट जानकारी और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के दिए गए स्तर पर इसकी सफल व्यवहार्यता नहीं है। और यद्यपि आर्थिक समस्याओं की गणितीय औपचारिकता की पूर्ण सीमाओं को इंगित करना असंभव है, फिर भी हमेशा अनौपचारिक समस्याएं होंगी, साथ ही ऐसी स्थितियां भी होंगी जहां गणितीय मॉडलिंग पर्याप्त प्रभावी नहीं है।

2. ई वर्गीकरणआर्थिक और गणितीय मॉडल

आर्थिक प्रक्रियाओं और परिघटनाओं के गणितीय मॉडल को संक्षेप में आर्थिक और गणितीय मॉडल कहा जा सकता है। इन मॉडलों को वर्गीकृत करने के लिए विभिन्न आधारों का उपयोग किया जाता है।

उनके इच्छित उद्देश्य के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल अनुसंधान में उपयोग किए जाने वाले सैद्धांतिक और विश्लेषणात्मक मॉडल में विभाजित हैं सामान्य गुणऔर आर्थिक प्रक्रियाओं के पैटर्न, और विशिष्ट आर्थिक समस्याओं (आर्थिक विश्लेषण, पूर्वानुमान, प्रबंधन के मॉडल) को हल करने में उपयोग किए जाने वाले लागू होते हैं।

आर्थिक और गणितीय मॉडल राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विभिन्न पहलुओं (विशेष रूप से, इसके उत्पादन और तकनीकी, सामाजिक, क्षेत्रीय संरचनाओं) का अध्ययन करने के लिए डिज़ाइन किए जा सकते हैं और इसके अलग भाग. अध्ययन की गई आर्थिक प्रक्रियाओं और सामग्री के मुद्दों के अनुसार मॉडलों को वर्गीकृत करते समय, कोई भी राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के मॉडल को समग्र रूप से और उसके उप-प्रणालियों - उद्योगों, क्षेत्रों, आदि, उत्पादन, खपत, आय के गठन और वितरण के मॉडल के परिसरों को अलग कर सकता है। श्रम संसाधन, मूल्य निर्धारण, वित्तीय कनेक्शन, आदि।

आइए हम आर्थिक और गणितीय मॉडल के ऐसे वर्गों की विशेषताओं पर अधिक विस्तार से ध्यान दें, जो कार्यप्रणाली और मॉडलिंग तकनीकों की सबसे बड़ी विशेषताओं से जुड़े हैं।

गणितीय मॉडल के सामान्य वर्गीकरण के अनुसार, उन्हें कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया गया है, और इसमें मध्यवर्ती रूप (संरचनात्मक-कार्यात्मक) भी शामिल हैं। राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर अध्ययन में, संरचनात्मक मॉडल का अधिक बार उपयोग किया जाता है, क्योंकि योजना और प्रबंधन के लिए उप-प्रणालियों के अंतर्संबंधों का बहुत महत्व है। विशिष्ट संरचनात्मक मॉडल इंटरब्रांच संबंधों के मॉडल हैं। कार्यात्मक मॉडल व्यापक रूप से आर्थिक विनियमन में उपयोग किए जाते हैं, जब किसी वस्तु ("आउटपुट") का व्यवहार "इनपुट" को बदलने से प्रभावित होता है। कमोडिटी-मनी संबंधों के संदर्भ में उपभोक्ता व्यवहार का एक उदाहरण एक उदाहरण है। एक ही वस्तु को संरचना और दोनों द्वारा एक साथ वर्णित किया जा सकता है कार्यात्मक मॉडल. इसलिए, उदाहरण के लिए, एक अलग शाखा प्रणाली की योजना के लिए एक संरचनात्मक मॉडल का उपयोग किया जाता है, और राष्ट्रीय आर्थिक स्तर पर, प्रत्येक शाखा को एक कार्यात्मक मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है।

वर्णनात्मक और मानक मॉडल के बीच अंतर पहले ही ऊपर दिखाया जा चुका है। वर्णनात्मक मॉडल प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसे होता है? या इसके आगे विकसित होने की सबसे अधिक संभावना कैसे है?, अर्थात। वे केवल देखे गए तथ्यों की व्याख्या करते हैं या एक संभावित पूर्वानुमान देते हैं। मानक मॉडल प्रश्न का उत्तर देते हैं: यह कैसा होना चाहिए? उद्देश्यपूर्ण कार्रवाई शामिल है। मानक मॉडल का एक विशिष्ट उदाहरण इष्टतम योजना के मॉडल हैं, एक तरह से या किसी अन्य आर्थिक विकास के लक्ष्यों को औपचारिक रूप देना, उन्हें प्राप्त करने की संभावनाएं और साधन।

अर्थव्यवस्था के मॉडलिंग में एक वर्णनात्मक दृष्टिकोण के उपयोग को अनुभवजन्य रूप से अर्थव्यवस्था में विभिन्न निर्भरताओं की पहचान करने, सामाजिक समूहों के आर्थिक व्यवहार के सांख्यिकीय पैटर्न स्थापित करने और अपरिवर्तित परिस्थितियों में या बाहरी के बिना किसी भी प्रक्रिया को विकसित करने के संभावित तरीकों का अध्ययन करने की आवश्यकता से समझाया गया है। को प्रभावित। वर्णनात्मक मॉडल के उदाहरण सांख्यिकीय डेटा प्रोसेसिंग के आधार पर निर्मित उत्पादन कार्य और उपभोक्ता मांग कार्य हैं।

एक आर्थिक-गणितीय मॉडल वर्णनात्मक है या मानकात्मक है, यह न केवल इसकी गणितीय संरचना पर निर्भर करता है, बल्कि इस मॉडल के उपयोग की प्रकृति पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, इनपुट-आउटपुट मॉडल वर्णनात्मक है यदि इसका उपयोग पिछली अवधि के अनुपात का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। लेकिन वही गणितीय मॉडल मानक बन जाता है जब इसका उपयोग राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था के विकास के लिए संतुलित विकल्पों की गणना करने के लिए किया जाता है जो नियोजित उत्पादन लागत के साथ समाज की अंतिम जरूरतों को पूरा करते हैं।

कई आर्थिक और गणितीय मॉडल वर्णनात्मक और मानक मॉडल की विशेषताओं को जोड़ते हैं। एक विशिष्ट स्थिति तब होती है जब एक जटिल संरचना का एक मानक मॉडल अलग-अलग ब्लॉकों को जोड़ता है जो निजी वर्णनात्मक मॉडल होते हैं। उदाहरण के लिए, एक क्रॉस-इंडस्ट्री मॉडल में उपभोक्ता मांग कार्य शामिल हो सकते हैं जो आय में परिवर्तन होने पर उपभोक्ता व्यवहार का वर्णन करते हैं। इस तरह के उदाहरण आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडलिंग के लिए वर्णनात्मक और मानक दृष्टिकोणों को प्रभावी ढंग से संयोजित करने की प्रवृत्ति को दर्शाते हैं। सिमुलेशन मॉडलिंग में वर्णनात्मक दृष्टिकोण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

कारण और प्रभाव संबंधों के प्रतिबिंब की प्रकृति के अनुसार, कठोर नियतात्मक मॉडल और मॉडल जो यादृच्छिकता और अनिश्चितता को ध्यान में रखते हैं, प्रतिष्ठित हैं। संभाव्य कानूनों द्वारा वर्णित अनिश्चितता और अनिश्चितता के बीच अंतर करना आवश्यक है जिसके लिए संभाव्यता सिद्धांत के नियम लागू नहीं होते हैं। दूसरे प्रकार की अनिश्चितता को मॉडल करना अधिक कठिन है।

समय कारक को प्रतिबिंबित करने के तरीकों के अनुसार, आर्थिक और गणितीय मॉडल को स्थिर और गतिशील में विभाजित किया गया है। स्थिर मॉडल में, सभी निर्भरताएँ एक ही क्षण या समयावधि को संदर्भित करती हैं। गतिशील मॉडल समय के साथ आर्थिक प्रक्रियाओं में बदलाव की विशेषता बताते हैं। समय की अवधि के अनुसार, अल्पकालिक (एक वर्ष तक), मध्यम अवधि (5 वर्ष तक), दीर्घकालिक (10-15 वर्ष या अधिक) पूर्वानुमान और योजना के मॉडल प्रतिष्ठित हैं। आर्थिक और गणितीय मॉडल में समय ही लगातार या अलग-अलग बदल सकता है।

गणितीय निर्भरता के रूप में आर्थिक प्रक्रियाओं के मॉडल अत्यंत विविध हैं। रैखिक मॉडल के वर्ग को अलग करना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जो विश्लेषण और गणना के लिए सबसे सुविधाजनक हैं और परिणामस्वरूप, व्यापक हो गए हैं। रैखिक और गैर-रेखीय मॉडल के बीच अंतर न केवल गणितीय दृष्टिकोण से, बल्कि सैद्धांतिक और आर्थिक दृष्टिकोण से भी महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि अर्थव्यवस्था में कई निर्भरताएं मौलिक रूप से गैर-रैखिक हैं: वृद्धि के साथ संसाधन उपयोग दक्षता उत्पादन, उत्पादन में वृद्धि के साथ जनसंख्या की मांग और खपत में परिवर्तन, आय में वृद्धि के साथ जनसंख्या की मांग और खपत में परिवर्तन आदि। "रैखिक अर्थशास्त्र" का सिद्धांत "गैर-रेखीय अर्थशास्त्र" के सिद्धांत से काफी भिन्न है। क्या उप-प्रणालियों (उद्योगों, उद्यमों) की उत्पादन संभावनाओं के सेट को उत्तल या गैर-उत्तल माना जाता है, यह केंद्रीय योजना और आर्थिक उप-प्रणालियों की आर्थिक स्वतंत्रता के संयोजन की संभावना के बारे में निष्कर्षों को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है।

मॉडल में शामिल बहिर्जात और अंतर्जात चर के अनुपात के अनुसार, उन्हें खुले और बंद में विभाजित किया जा सकता है। पूरी तरह से खुले मॉडल नहीं हैं; मॉडल में कम से कम एक अंतर्जात चर होना चाहिए। पूरी तरह से बंद आर्थिक और गणितीय मॉडल, यानी। जिसमें बहिर्जात चर शामिल नहीं हैं अत्यंत दुर्लभ हैं; उनके निर्माण के लिए "पर्यावरण" से पूर्ण अमूर्तता की आवश्यकता होती है, अर्थात। वास्तविक आर्थिक प्रणालियों का गंभीर रूप से मोटा होना, जिनके हमेशा बाहरी संबंध होते हैं। अधिकांश आर्थिक और गणितीय मॉडल एक मध्यवर्ती स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं और खुलेपन (बंद) की डिग्री में भिन्न होते हैं।

राष्ट्रीय आर्थिक स्तर के मॉडल के लिए, उन्हें समेकित और विस्तृत में विभाजित करना महत्वपूर्ण है।

इस पर निर्भर करते हुए कि राष्ट्रीय आर्थिक मॉडल में स्थानिक कारक और स्थितियां शामिल हैं या नहीं, स्थानिक और बिंदु मॉडल प्रतिष्ठित हैं।

इस प्रकार, सामान्य वर्गीकरणआर्थिक और गणितीय मॉडल में दस से अधिक मुख्य विशेषताएं शामिल हैं। आर्थिक और गणितीय अनुसंधान के विकास के साथ, लागू मॉडलों को वर्गीकृत करने की समस्या और अधिक जटिल हो जाती है। नए प्रकार के मॉडल के उद्भव के साथ (विशेषकर मिश्रित प्रकार) और उनके वर्गीकरण के नए संकेत, मॉडल के एकीकरण की प्रक्रिया की जाती है अलग - अलग प्रकारअधिक जटिल मॉडल संरचनाओं में।

3 . अर्थव्यवस्थाओं के चरणओ-गणितीय मॉडलिंग

मॉडलिंग प्रक्रिया के मुख्य चरणों पर पहले ही ऊपर चर्चा की जा चुकी है। अर्थव्यवस्था सहित ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में, वे अपनी विशिष्ट विशेषताओं को प्राप्त करते हैं। आइए आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के एक चक्र के चरणों के अनुक्रम और सामग्री का विश्लेषण करें।

1. आर्थिक समस्या का विवरण और उसका गुणात्मक विश्लेषण। यहां मुख्य बात यह है कि समस्या के सार को स्पष्ट रूप से स्पष्ट किया जाए, जो धारणाएं बनाई गई हैं और जिन सवालों के जवाब देने की जरूरत है। इस चरण में मॉडलिंग की गई वस्तु की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों का चयन और द्वितीयक से अमूर्तता शामिल है; वस्तु की संरचना और उसके तत्वों को जोड़ने वाली मुख्य निर्भरता का अध्ययन करना; वस्तु के व्यवहार और विकास की व्याख्या करने वाली परिकल्पनाओं का निर्माण (कम से कम प्रारंभिक)।

2. गणितीय मॉडल का निर्माण। यह आर्थिक समस्या को औपचारिक रूप देने, इसे विशिष्ट गणितीय निर्भरता और संबंधों (कार्यों, समीकरणों, असमानताओं, आदि) के रूप में व्यक्त करने का चरण है। आमतौर पर, गणितीय मॉडल का मुख्य निर्माण (प्रकार) पहले निर्धारित किया जाता है, और फिर इस निर्माण का विवरण निर्दिष्ट किया जाता है (चर और मापदंडों की एक विशिष्ट सूची, संबंधों का रूप)। इस प्रकार, मॉडल के निर्माण को कई चरणों में विभाजित किया गया है।

यह मान लेना गलत है कि मॉडल जितने अधिक तथ्यों को ध्यान में रखता है, उतना ही बेहतर "काम" करता है और बेहतर परिणाम देता है। मॉडल की जटिलता की ऐसी विशेषताओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है जैसे कि गणितीय निर्भरता के रूपों (रैखिक और गैर-रैखिक) का उपयोग किया जाता है, यादृच्छिकता और अनिश्चितता के कारकों को ध्यान में रखते हुए, आदि। मॉडल की अत्यधिक जटिलता और बोझिलता अनुसंधान प्रक्रिया को जटिल बनाती है। न केवल सूचना और गणितीय समर्थन की वास्तविक संभावनाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि प्राप्त प्रभाव के साथ मॉडलिंग की लागतों की तुलना करना भी आवश्यक है (जैसे-जैसे मॉडल की जटिलता बढ़ती है, लागत में वृद्धि प्रभाव में वृद्धि से अधिक हो सकती है) .

गणितीय मॉडल की महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक विभिन्न गुणवत्ता की समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग की संभावित संभावना है। इसलिए, जब एक नई आर्थिक चुनौती का सामना करना पड़ता है, तब भी किसी को एक मॉडल का "आविष्कार" करने का प्रयास नहीं करना चाहिए; सबसे पहले, इस समस्या को हल करने के लिए पहले से ज्ञात मॉडलों को लागू करने का प्रयास करना आवश्यक है।

मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया में, वैज्ञानिक ज्ञान की दो प्रणालियों - आर्थिक और गणितीय - की तुलना की जाती है। एक ऐसा मॉडल प्राप्त करने का प्रयास करना स्वाभाविक है जो गणितीय समस्याओं के एक अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग से संबंधित हो। अक्सर यह मॉडल की प्रारंभिक मान्यताओं के कुछ सरलीकरण द्वारा किया जा सकता है जो प्रतिरूपित वस्तु की आवश्यक विशेषताओं को विकृत नहीं करते हैं। हालाँकि, यह भी संभव है कि किसी आर्थिक समस्या का औपचारिककरण पहले से अज्ञात गणितीय संरचना की ओर ले जाए। बीसवीं सदी के मध्य में आर्थिक विज्ञान और अभ्यास की जरूरतें। गणितीय प्रोग्रामिंग, गेम थ्योरी, कार्यात्मक विश्लेषण और कम्प्यूटेशनल गणित के विकास में योगदान दिया। यह संभावना है कि भविष्य में गणित की नई शाखाओं के निर्माण के लिए आर्थिक विज्ञान का विकास एक महत्वपूर्ण प्रोत्साहन बन जाएगा।

3. मॉडल का गणितीय विश्लेषण। इस चरण का उद्देश्य मॉडल के सामान्य गुणों को स्पष्ट करना है। विशुद्ध रूप से विशुद्ध रूप से शोध के गणितीय तरीके यहां लागू होते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बिंदु तैयार मॉडल (अस्तित्व प्रमेय) में समाधान के अस्तित्व का प्रमाण है। अगर यह साबित किया जा सकता है कि गणितीय समस्यासमाधान नहीं है, तो मॉडल के प्रारंभिक संस्करण पर बाद के काम की कोई आवश्यकता नहीं है; या तो आर्थिक समस्या का निरूपण या उसके गणितीय औपचारिकरण के तरीकों को ठीक किया जाना चाहिए। मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन के दौरान, ऐसे प्रश्नों को स्पष्ट किया जाता है, उदाहरण के लिए, समाधान अद्वितीय है, समाधान में कौन से चर (अज्ञात) शामिल किए जा सकते हैं, उनके बीच क्या संबंध होंगे, किस सीमा के भीतर और किस प्रारंभिक के आधार पर वे परिस्थितियाँ बदलते हैं, उनके परिवर्तन की प्रवृत्तियाँ क्या हैं और आदि। अनुभवजन्य (संख्यात्मक) की तुलना में मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन का यह फायदा है कि प्राप्त निष्कर्ष मॉडल के बाहरी और आंतरिक मापदंडों के विभिन्न विशिष्ट मूल्यों के लिए मान्य रहते हैं।

मॉडल के सामान्य गुणों का ज्ञान इतना महत्वपूर्ण है कि अक्सर, ऐसे गुणों को साबित करने के लिए, शोधकर्ता जानबूझकर मूल मॉडल के आदर्शीकरण के लिए जाते हैं। और फिर भी, जटिल आर्थिक वस्तुओं के मॉडल बड़ी मुश्किल से विश्लेषणात्मक शोध के लिए खुद को उधार देते हैं। उन मामलों में जब विश्लेषणात्मक तरीके मॉडल के सामान्य गुणों को निर्धारित करने में विफल होते हैं, और मॉडल के सरलीकरण से अस्वीकार्य परिणाम होते हैं, वे जांच के संख्यात्मक तरीकों पर स्विच करते हैं।

4. प्रारंभिक सूचना तैयार करना। मॉडलिंग सूचना प्रणाली पर सख्त आवश्यकताएं लगाता है। इसी समय, सूचना प्राप्त करने की वास्तविक संभावनाएं व्यावहारिक उपयोग के लिए इच्छित मॉडलों की पसंद को सीमित करती हैं। यह न केवल सूचना तैयार करने की मौलिक संभावना (एक निश्चित अवधि के लिए) को ध्यान में रखता है, बल्कि प्रासंगिक सूचना सरणियों को तैयार करने की लागत को भी ध्यान में रखता है। ये लागत अतिरिक्त जानकारी के उपयोग के प्रभाव से अधिक नहीं होनी चाहिए।

सूचना तैयार करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता सिद्धांत, सैद्धांतिक और गणितीय सांख्यिकी के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्रणालीगत आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग में, कुछ मॉडलों में उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक जानकारी अन्य मॉडलों के कामकाज का परिणाम होती है।

5. संख्यात्मक समाधान। इस चरण में समस्या के संख्यात्मक समाधान के लिए एल्गोरिदम का विकास, कंप्यूटर प्रोग्राम का संकलन और प्रत्यक्ष गणना शामिल है। इस चरण की कठिनाइयाँ मुख्य रूप से आर्थिक समस्याओं के बड़े आयाम, महत्वपूर्ण मात्रा में सूचनाओं को संसाधित करने की आवश्यकता के कारण हैं।

आमतौर पर, आर्थिक-गणितीय मॉडल पर आधारित गणनाएं बहुभिन्नरूपी प्रकृति की होती हैं। आधुनिक कंप्यूटरों की उच्च गति के कारण, कुछ स्थितियों में विभिन्न परिवर्तनों के तहत मॉडल के "व्यवहार" का अध्ययन करते हुए, कई "मॉडल" प्रयोग करना संभव है। संख्यात्मक विधियों द्वारा किया गया एक अध्ययन एक विश्लेषणात्मक अध्ययन के परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से पूरक कर सकता है, और कई मॉडलों के लिए यह एकमात्र संभव है। आर्थिक समस्याओं का वर्ग जिसे संख्यात्मक तरीकों से हल किया जा सकता है, विश्लेषणात्मक अनुसंधान के लिए सुलभ समस्याओं के वर्ग की तुलना में बहुत व्यापक है।

6. संख्यात्मक परिणामों का विश्लेषण और उनका अनुप्रयोग। इस पर अंतिम चरणचक्र, सिमुलेशन परिणामों की शुद्धता और पूर्णता के बारे में सवाल उठता है, बाद के व्यावहारिक प्रयोज्यता की डिग्री के बारे में।

गणितीय तरीकेजाँच गलत मॉडल निर्माणों को प्रकट कर सकती है और इस तरह संभावित रूप से सही मॉडलों के वर्ग को सीमित कर सकती है। मॉडल के माध्यम से प्राप्त सैद्धांतिक निष्कर्षों और संख्यात्मक परिणामों का एक अनौपचारिक विश्लेषण, उपलब्ध ज्ञान और वास्तविकता के तथ्यों के साथ उनकी तुलना भी आर्थिक समस्या के निर्माण, निर्मित गणितीय मॉडल, इसकी जानकारी की कमियों का पता लगाना संभव बनाती है। और गणितीय समर्थन।

चरणों के संबंध। आइए हम उन चरणों के फीडबैक लिंक पर ध्यान दें जो इस तथ्य के कारण उत्पन्न होते हैं कि अनुसंधान की प्रक्रिया में, मॉडलिंग के पिछले चरणों की कमियों का पता चलता है।

पहले से ही मॉडल के निर्माण के चरण में, यह स्पष्ट हो सकता है कि समस्या कथन विरोधाभासी है या अत्यधिक जटिल गणितीय मॉडल की ओर ले जाता है। इसके अनुसार, समस्या के मूल सूत्रीकरण को ठीक किया जाता है। मॉडल का आगे गणितीय विश्लेषण (चरण 3) यह दिखा सकता है कि समस्या कथन का थोड़ा सा संशोधन या इसकी औपचारिकता एक दिलचस्प विश्लेषणात्मक परिणाम देती है।

सबसे अधिक बार, प्रारंभिक जानकारी (चरण 4) तैयार करते समय मॉडलिंग के पिछले चरणों में लौटने की आवश्यकता होती है। यह पता चल सकता है कि आवश्यक जानकारी गायब है या इसे तैयार करने की लागत बहुत अधिक है। फिर हमें समस्या कथन और उसकी औपचारिकता पर लौटना होगा, उन्हें बदलना होगा ताकि उपलब्ध जानकारी के अनुकूल हो सके।

चूंकि आर्थिक और गणितीय समस्याएं संरचना में जटिल हो सकती हैं, एक बड़ा आयाम हो सकता है, अक्सर ऐसा होता है कि ज्ञात एल्गोरिदम और कंप्यूटर प्रोग्राम समस्या को उसके मूल रूप में हल करने की अनुमति नहीं देते हैं। यदि थोड़े समय में नए एल्गोरिदम और कार्यक्रमों को विकसित करना असंभव है, तो समस्या और मॉडल के प्रारंभिक विवरण को सरल बनाया जाता है: शर्तों को हटा दिया जाता है और संयुक्त किया जाता है, कारकों की संख्या कम हो जाती है, गैर-रैखिक संबंधों को रैखिक वाले द्वारा बदल दिया जाता है, मॉडल के नियतत्ववाद को मजबूत किया जाता है, आदि।

मॉडलिंग के मध्यवर्ती चरणों में ठीक नहीं की जा सकने वाली कमियों को बाद के चक्रों में समाप्त कर दिया जाता है। लेकिन प्रत्येक चक्र के परिणामों का पूरी तरह से स्वतंत्र महत्व है। एक साधारण मॉडल के साथ अध्ययन शुरू करके, आप जल्दी से उपयोगी परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और फिर एक अधिक उन्नत मॉडल बनाने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, जो परिष्कृत गणितीय संबंधों सहित नई स्थितियों के पूरक हैं।

जैसे-जैसे आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग विकसित होती है और अधिक जटिल होती जाती है, इसके व्यक्तिगत चरणों को अनुसंधान के विशेष क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है, सैद्धांतिक-विश्लेषणात्मक और अनुप्रयुक्त मॉडल के बीच अंतर बढ़ता है, और मॉडल को अमूर्तता और आदर्शीकरण के स्तरों द्वारा विभेदित किया जाता है।

आर्थिक मॉडल के गणितीय विश्लेषण का सिद्धांत आधुनिक गणित - गणितीय अर्थशास्त्र की एक विशेष शाखा में विकसित हुआ है। गणितीय अर्थशास्त्र के ढांचे के भीतर अध्ययन किए गए मॉडल आर्थिक वास्तविकता के साथ अपना सीधा संबंध खो देते हैं; वे विशेष रूप से आदर्शीकृत आर्थिक वस्तुओं और स्थितियों से निपटते हैं। ऐसे मॉडलों का निर्माण करते समय, मुख्य सिद्धांत वास्तविकता का इतना अधिक सन्निकटन नहीं है जितना कि अधिकतम संभव संख्या प्राप्त करना विश्लेषणात्मक परिणामगणितीय प्रमाणों के माध्यम से। के लिए इन मॉडलों का मूल्य आर्थिक सिद्धांतऔर अभ्यास इस तथ्य में निहित है कि वे लागू प्रकार के मॉडल के लिए सैद्धांतिक आधार के रूप में कार्य करते हैं।

आर्थिक जानकारी की तैयारी और प्रसंस्करण और आर्थिक समस्याओं के लिए गणितीय समर्थन का विकास (डेटाबेस और सूचना बैंकों का निर्माण, स्वचालित मॉडल निर्माण के लिए कार्यक्रम और उपयोगकर्ता अर्थशास्त्रियों के लिए एक सॉफ्टवेयर सेवा) अनुसंधान के काफी स्वतंत्र क्षेत्र बन रहे हैं। मॉडलों के व्यावहारिक उपयोग के चरण में, विशेषज्ञों द्वारा आर्थिक विश्लेषण, योजना और प्रबंधन के प्रासंगिक क्षेत्र में अग्रणी भूमिका निभाई जानी चाहिए। अर्थशास्त्रियों-गणितज्ञों के काम का मुख्य क्षेत्र आर्थिक समस्याओं का सूत्रीकरण और औपचारिकता और आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का संश्लेषण है।

आर्थिक गणितीय मॉडलिंग

प्रयुक्त साहित्य की सूची

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2. आई एल अकुलिच, उदाहरण और समस्याओं में गणितीय प्रोग्रामिंग, मॉस्को, हायर स्कूल, 1986;

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रूसी संघ के रेल मंत्रालय

संचार के यूराल स्टेट यूनिवर्सिटी

संचार के चेल्याबिंस्क संस्थान

पाठ्यक्रम कार्य

पाठ्यक्रम पर: "आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग"

विषय: "अर्थशास्त्र में गणितीय मॉडल"

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चेल्याबिंस्क 200_

परिचय

गणितीय मॉडल तैयार करना

रिपोर्ट बनाएं और सहेजें

पाए गए समाधान का विश्लेषण। सवालों के जवाब

भाग संख्या 2 "इनपुट-आउटपुट संतुलन के आर्थिक और गणितीय मॉडल की गणना

कंप्यूटर पर किसी समस्या का समाधान

उत्पादों के उत्पादन और वितरण का अंतरक्षेत्रीय संतुलन

साहित्य

परिचय

प्राचीन काल में वैज्ञानिक अनुसंधान में मॉडलिंग का उपयोग किया जाने लगा और धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान के सभी नए क्षेत्रों पर कब्जा कर लिया: तकनीकी डिजाइन, निर्माण और वास्तुकला, खगोल विज्ञान, भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अंत में, सामाजिक विज्ञान। आधुनिक विज्ञान की लगभग सभी शाखाओं में बड़ी सफलता और मान्यता ने बीसवीं शताब्दी की मॉडलिंग पद्धति को जन्म दिया। हालांकि, लंबे समय से व्यक्तिगत विज्ञान द्वारा स्वतंत्र रूप से मॉडलिंग पद्धति विकसित की गई है। अवधारणाओं की कोई एकीकृत प्रणाली नहीं थी, एक एकीकृत शब्दावली थी। केवल धीरे-धीरे वैज्ञानिक ज्ञान की एक सार्वभौमिक पद्धति के रूप में मॉडलिंग की भूमिका को महसूस किया जाने लगा।

"मॉडल" शब्द का व्यापक रूप से मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है और इसके कई अर्थ हैं। आइए हम केवल ऐसे "मॉडल" पर विचार करें जो ज्ञान प्राप्त करने के लिए उपकरण हैं।

एक मॉडल एक ऐसी सामग्री या मानसिक रूप से प्रस्तुत वस्तु है जो अनुसंधान की प्रक्रिया में मूल वस्तु को बदल देती है ताकि इसका प्रत्यक्ष अध्ययन मूल वस्तु के बारे में नया ज्ञान प्रदान करे।

मॉडलिंग से तात्पर्य मॉडल बनाने, अध्ययन करने और लागू करने की प्रक्रिया से है। यह अमूर्तता, सादृश्य, परिकल्पना, आदि जैसी श्रेणियों से निकटता से संबंधित है। मॉडलिंग प्रक्रिया में आवश्यक रूप से अमूर्त का निर्माण, और सादृश्य द्वारा अनुमान, और वैज्ञानिक परिकल्पना का निर्माण शामिल है।

मॉडलिंग की मुख्य विशेषता यह है कि यह परोक्ष वस्तुओं की सहायता से अप्रत्यक्ष अनुभूति की एक विधि है। मॉडल ज्ञान के एक प्रकार के उपकरण के रूप में कार्य करता है, जिसे शोधकर्ता अपने और वस्तु के बीच रखता है और जिसकी सहायता से वह अपनी रुचि की वस्तु का अध्ययन करता है। यह मॉडलिंग पद्धति की यह विशेषता है जो अमूर्त, उपमाओं, परिकल्पनाओं और अन्य श्रेणियों और अनुभूति के तरीकों का उपयोग करने के विशिष्ट रूपों को निर्धारित करती है।

मॉडलिंग पद्धति का उपयोग करने की आवश्यकता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि कई वस्तुएं (या इन वस्तुओं से संबंधित समस्याएं) या तो सीधे जांच करना असंभव है या बिल्कुल नहीं, या इस शोध के लिए बहुत समय और धन की आवश्यकता होती है।

मॉडलिंग एक चक्रीय प्रक्रिया है। इसका मतलब है कि पहले चार चरणों के चक्र के बाद दूसरा, तीसरा, और इसी तरह किया जा सकता है। इसी समय, अध्ययन की जा रही वस्तु के बारे में ज्ञान का विस्तार और परिष्कृत किया जाता है, और मूल मॉडल में धीरे-धीरे सुधार होता है। मॉडलिंग के पहले चक्र के बाद मिली कमियों, वस्तु की कम जानकारी और मॉडल के निर्माण में त्रुटियों के कारण, बाद के चक्रों में ठीक किया जा सकता है। इसलिए, मॉडलिंग की कार्यप्रणाली में आत्म-विकास के महान अवसर होते हैं।

आर्थिक प्रणालियों के गणितीय मॉडलिंग का उद्देश्य, एक नियम के रूप में, आधुनिक कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करके, अर्थशास्त्र के क्षेत्र में उत्पन्न होने वाली समस्याओं के सबसे प्रभावी समाधान के लिए गणितीय विधियों का उपयोग करना है।

आर्थिक समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया कई चरणों में की जाती है:

समस्या का सार्थक (आर्थिक) कथन। सबसे पहले आपको समस्या को समझने की जरूरत है, इसे स्पष्ट रूप से तैयार करें। साथ ही, हल की जा रही समस्या से संबंधित वस्तुएँ भी निर्धारित की जाती हैं, साथ ही उस स्थिति को भी निर्धारित किया जाता है जिसे इसके समाधान के परिणामस्वरूप लागू करने की आवश्यकता होती है। यह समस्या के सार्थक बयान का चरण है। समस्या को मात्रात्मक रूप से वर्णित करने के लिए और इसे हल करने में कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का उपयोग करने के लिए, वस्तुओं और उससे संबंधित स्थितियों का गुणात्मक और मात्रात्मक विश्लेषण करना आवश्यक है। इसी समय, जटिल वस्तुओं को भागों (तत्वों) में विभाजित किया जाता है, इन तत्वों के संबंध, उनके गुण, गुणों के मात्रात्मक और गुणात्मक मूल्य, उनके बीच मात्रात्मक और तार्किक संबंध, समीकरणों, असमानताओं आदि के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। । निर्धारित किए गए है। यह मंच है प्रणाली विश्लेषणकार्य, जिसके परिणामस्वरूप वस्तु को एक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

अगला चरण समस्या का गणितीय सूत्रीकरण है, जिसके दौरान वस्तु के गणितीय मॉडल का निर्माण और समस्या का समाधान प्राप्त करने के लिए विधियों (एल्गोरिदम) की परिभाषा की जाती है। यह समस्या के सिस्टम संश्लेषण (गणितीय सूत्रीकरण) का चरण है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस स्तर पर यह पता चल सकता है कि पहले किए गए सिस्टम विश्लेषण ने तत्वों, गुणों और संबंधों के ऐसे सेट को जन्म दिया है जिसके लिए समस्या को हल करने के लिए कोई स्वीकार्य तरीका नहीं है, नतीजतन, किसी को वापस लौटना पड़ता है सिस्टम विश्लेषण के चरण में। एक नियम के रूप में, आर्थिक व्यवहार में हल की गई समस्याओं को मानकीकृत किया जाता है, एक ज्ञात गणितीय मॉडल और इसके समाधान के लिए एक एल्गोरिथ्म के आधार पर सिस्टम विश्लेषण किया जाता है, समस्या केवल उपयुक्त विधि चुनने में है।

अगला चरण कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एक कार्यक्रम का विकास है। जटिल वस्तुओं के लिए एक लंबी संख्याबड़ी संख्या में गुणों वाले तत्व, इसके साथ काम करने के लिए डेटाबेस और उपकरणों को संकलित करना आवश्यक हो सकता है, गणना के लिए आवश्यक डेटा निकालने के तरीके। मानक कार्यों के लिए, यह विकास नहीं है जो किया जाता है, बल्कि एक उपयुक्त एप्लिकेशन पैकेज और डेटाबेस प्रबंधन प्रणाली का चयन होता है।

अंतिम चरण में, मॉडल संचालित होता है और परिणाम प्राप्त होते हैं।

इस प्रकार, समस्या के समाधान में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

2. सिस्टम विश्लेषण।

3. सिस्टम संश्लेषण (समस्या का गणितीय सूत्रीकरण)

4. सॉफ्टवेयर का विकास या चयन।

5. समस्या का समाधान।

संचालन अनुसंधान विधियों का लगातार उपयोग और आधुनिक सूचना और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी पर उनके कार्यान्वयन से व्यक्तिपरकता को दूर करना संभव हो जाता है, वस्तुनिष्ठ परिस्थितियों के सख्त और सटीक विचार के आधार पर नहीं, बल्कि यादृच्छिक भावनाओं और प्रबंधकों की व्यक्तिगत रुचि के आधार पर तथाकथित स्वैच्छिक निर्णयों को बाहर करना संभव है। विभिन्न स्तरइसके अलावा, जो इन स्वैच्छिक निर्णयों का समन्वय नहीं कर सकते हैं।

सिस्टम विश्लेषण प्रबंधन में प्रबंधित वस्तु के बारे में सभी उपलब्ध जानकारी को ध्यान में रखना और उपयोग करना संभव बनाता है, एक उद्देश्य के संदर्भ में किए गए निर्णयों को समन्वयित करने के लिए, न कि व्यक्तिपरक, प्रभावशीलता का मानदंड। ड्राइविंग करते समय गणना पर बचत करना शूटिंग के दौरान लक्ष्य पर बचत करने के समान है। हालाँकि, कंप्यूटर न केवल सभी सूचनाओं को ध्यान में रखना संभव बनाता है, बल्कि प्रबंधक को अनावश्यक जानकारी से बचाता है, और सभी आवश्यक सूचनाओं को व्यक्ति को बायपास करने की अनुमति देता है, उसे केवल सबसे सामान्यीकृत जानकारी, सर्वोत्कृष्टता प्रस्तुत करता है। अर्थशास्त्र में सिस्टम दृष्टिकोण अपने आप में, कंप्यूटर के उपयोग के बिना, एक शोध पद्धति के रूप में प्रभावी है, जबकि यह पहले से खोजे गए आर्थिक कानूनों को नहीं बदलता है, बल्कि केवल यह सिखाता है कि उनका बेहतर उपयोग कैसे किया जाए।

अर्थव्यवस्था में प्रक्रियाओं की जटिलता के लिए एक निर्णय निर्माता को अत्यधिक योग्य और अनुभवी होने की आवश्यकता होती है। हालांकि, यह त्रुटियों की गारंटी नहीं देता है, प्रश्न का त्वरित उत्तर देने के लिए, प्रयोगात्मक अध्ययन करने के लिए जो असंभव है या वास्तविक वस्तु पर बड़े व्यय और समय की आवश्यकता होती है, गणितीय मॉडलिंग की अनुमति देता है।

गणितीय मॉडलिंग आपको इष्टतम, यानी सर्वोत्तम निर्णय लेने की अनुमति देता है। यह गणितीय मॉडलिंग (लगभग 3%) के उपयोग के बिना एक अच्छी तरह से किए गए निर्णय से थोड़ा भिन्न हो सकता है। हालांकि, बड़े उत्पादन संस्करणों के साथ, इस तरह की "मामूली" त्रुटि से भारी नुकसान हो सकता है।

गणितीय मॉडल का विश्लेषण करने और इष्टतम निर्णय लेने के लिए उपयोग की जाने वाली गणितीय विधियां बहुत जटिल हैं और कंप्यूटर के उपयोग के बिना उनका कार्यान्वयन मुश्किल है। कार्यक्रमों के हिस्से के रूप में एक्सेल और MathCAD ऐसे उपकरण हैं जो आपको गणितीय विश्लेषण करने और इष्टतम समाधान खोजने की अनुमति देते हैं।

भाग संख्या 1 "गणितीय मॉडल का अनुसंधान"

समस्या का निरूपण।

कंपनी के पास 4 तरह के उत्पाद बनाने की क्षमता है। प्रत्येक प्रकार के उत्पादन की एक इकाई का उत्पादन करने के लिए, एक निश्चित मात्रा में श्रम, वित्तीय, कच्चा माल खर्च करना आवश्यक है। प्रत्येक संसाधन की सीमित मात्रा उपलब्ध है। उत्पादन की एक इकाई की बिक्री से लाभ होता है। पैरामीटर मान तालिका 1 में दिए गए हैं। अतिरिक्त शर्त: उत्पादों नंबर 2 और नंबर 4 के उत्पादन के लिए वित्तीय लागत 50 रूबल से अधिक नहीं होनी चाहिए। (प्रत्येक प्रकार का)।

गणितीय मॉडलिंग पर आधारित साधन एक्सेल यह निर्धारित करें कि सबसे अधिक लाभ प्राप्त करने के लिए कौन से उत्पाद और किस मात्रा में उत्पादन करना उचित है, परिणामों का विश्लेषण करें, सवालों के जवाब दें, निष्कर्ष निकालें।

आर्थिक मॉडल का निर्माण करते समय, महत्वपूर्ण कारकों की पहचान की जाती है और विवरण जो समस्या को हल करने के लिए आवश्यक नहीं हैं उन्हें छोड़ दिया जाता है।

आर्थिक मॉडल में मॉडल शामिल हो सकते हैं:

• आर्थिक विकास
• उपभोक्ता की पसंद
• वित्तीय और कमोडिटी बाजारों और कई अन्य में संतुलन।

आदर्शघटकों और कार्यों का एक तार्किक या गणितीय विवरण है जो प्रतिरूपित वस्तु या प्रक्रिया के आवश्यक गुणों को दर्शाता है।

मॉडल का उपयोग किसी वस्तु या प्रक्रिया के अध्ययन को सरल बनाने के लिए डिज़ाइन की गई एक सशर्त छवि के रूप में किया जाता है।

मॉडलों की प्रकृति भिन्न हो सकती है। मॉडल में विभाजित हैं: वास्तविक, संकेत, मौखिक और सारणीबद्ध विवरण, आदि।

आर्थिक और गणितीय मॉडल

व्यवसाय प्रक्रिया प्रबंधन में उच्चतम मूल्यसबसे पहले आर्थिक और गणितीय मॉडल, अक्सर मॉडल सिस्टम में संयुक्त।

आर्थिक और गणितीय मॉडल(ईएमएम) उनके अध्ययन और प्रबंधन के उद्देश्य से किसी आर्थिक वस्तु या प्रक्रिया का गणितीय विवरण है। यह हल की जा रही आर्थिक समस्या का गणितीय रिकॉर्ड है।

मुख्य प्रकार के मॉडल

• एक्सट्रपलेशन मॉडल
• फैक्टोरियल अर्थमितीय मॉडल
• अनुकूलन मॉडल
• बैलेंस मॉडल, इंटर-इंडस्ट्री बैलेंस मॉडल (आईएसबी)
• विशेषज्ञ आकलन
• खेल का सिद्धांत
• नेटवर्क मॉडल
• कतार प्रणाली के मॉडल

आर्थिक और गणितीय मॉडल और आर्थिक विश्लेषण में प्रयुक्त तरीके

आर ए \u003d पीई / वीए + ओए,

एक सामान्यीकृत रूप में, मिश्रित मॉडल को निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है:

तो, पहले आपको एक आर्थिक-गणितीय मॉडल बनाना चाहिए जो संगठन के सामान्य आर्थिक संकेतकों पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव का वर्णन करता है। प्राप्त आर्थिक गतिविधि के विश्लेषण में व्यापक बहुक्रियात्मक गुणक मॉडल, चूंकि वे हमें संकेतकों के सामान्यीकरण पर महत्वपूर्ण संख्या में कारकों के प्रभाव का अध्ययन करने की अनुमति देते हैं और इस तरह विश्लेषण की अधिक गहराई और सटीकता प्राप्त करते हैं।

उसके बाद, आपको इस मॉडल को हल करने का एक तरीका चुनना होगा। पारंपरिक तरीके : श्रृंखला प्रतिस्थापन की विधि, पूर्ण और सापेक्ष अंतर के तरीके, संतुलन विधि, सूचकांक विधि, साथ ही सहसंबंध-प्रतिगमन, क्लस्टर, फैलाव विश्लेषण, आदि के तरीके। इन विधियों और विधियों के साथ, विशिष्ट गणितीय विधियां और विधियों का उपयोग आर्थिक विश्लेषण में भी किया जाता है।

आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न विधि

इन विधियों (विधियों) में से एक अभिन्न है। यह गुणक, बहु, और मिश्रित (एकाधिक योगात्मक) मॉडल का उपयोग करके व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव को निर्धारित करने में आवेदन पाता है।

अभिन्न पद्धति को लागू करने की शर्तों के तहत, श्रृंखला प्रतिस्थापन विधि और इसके वेरिएंट का उपयोग करने की तुलना में व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना के लिए अधिक उचित परिणाम प्राप्त करना संभव है। श्रृंखला प्रतिस्थापन विधि और इसके वेरिएंट, साथ ही साथ सूचकांक विधि में महत्वपूर्ण कमियां हैं: 1) कारकों के प्रभाव की गणना के परिणाम व्यक्तिगत कारकों के मूल मूल्यों को वास्तविक लोगों के साथ बदलने के स्वीकृत अनुक्रम पर निर्भर करते हैं; 2) कारकों की बातचीत के कारण सामान्यीकरण संकेतक में एक अतिरिक्त वृद्धि, एक अपरिवर्तनीय शेष के रूप में, अंतिम कारक के प्रभाव के योग में जोड़ा जाता है। अभिन्न विधि का उपयोग करते समय, यह वृद्धि सभी कारकों के बीच समान रूप से विभाजित होती है।

इस मॉडल में शामिल तत्वों की संख्या की परवाह किए बिना, और इन तत्वों के बीच संबंध के रूप की परवाह किए बिना, अभिन्न विधि विभिन्न प्रकार के मॉडल को हल करने के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण स्थापित करती है।

फ़ैक्टोरियल आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न विधि एक फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के योग पर आधारित है, जिसे आंशिक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, जो कि असीम रूप से छोटे अंतराल पर तर्क की वृद्धि से गुणा किया जाता है।

अभिन्न विधि को लागू करने की प्रक्रिया में, कई शर्तों को पूरा करना होगा। सबसे पहले, फ़ंक्शन की निरंतर भिन्नता की स्थिति देखी जानी चाहिए, जहां कुछ आर्थिक संकेतक को तर्क के रूप में लिया जाता है। दूसरे, प्रारंभिक अवधि के प्रारंभ और अंत बिंदुओं के बीच का कार्य एक सीधी रेखा में बदलना चाहिए जी ई. अंत में, तीसरा, कारकों के मूल्यों में परिवर्तन की दरों के अनुपात की स्थिरता होनी चाहिए

डाई / डीएक्स = कॉन्स्ट

इंटीग्रल विधि का उपयोग करते समय, किसी दिए गए इंटीग्रैंड और दिए गए इंटीग्रेशन अंतराल पर एक निश्चित इंटीग्रल की गणना आधुनिक कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करके उपलब्ध मानक प्रोग्राम के अनुसार की जाती है।

यदि हम एक गुणक मॉडल को हल कर रहे हैं, तो सामान्य आर्थिक संकेतक पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है:

Z(x) = y 0 * Δ एक्स + 1/2Δ एक्स *Δ आप

जेड (वाई)=एक्स 0 * Δ आप +1/2 Δ एक्स* Δ आप

कारकों के प्रभाव की गणना के लिए एक बहु मॉडल को हल करते समय, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करते हैं:

जेड = एक्स / वाई;

Δ जेड (एक्स)= Δ एक्स/Δ वाई एलएनईy1/y0

Δ जेड (वाई) =Δ जेड- Δ जेड (एक्स)

अभिन्न विधि का उपयोग करके हल की जाने वाली दो मुख्य प्रकार की समस्याएं हैं: स्थिर और गतिशील। पहले प्रकार में, इस अवधि के दौरान विश्लेषण किए गए कारकों में परिवर्तन के बारे में कोई जानकारी नहीं है। ऐसे कार्यों के उदाहरण व्यावसायिक योजनाओं के कार्यान्वयन का विश्लेषण या पिछली अवधि की तुलना में आर्थिक संकेतकों में परिवर्तन का विश्लेषण हैं। एक निश्चित अवधि के दौरान विश्लेषण किए गए कारकों में परिवर्तन के बारे में जानकारी की उपस्थिति में गतिशील प्रकार के कार्य होते हैं। इस प्रकार के कार्यों में आर्थिक संकेतकों की समय श्रृंखला के अध्ययन से संबंधित गणना शामिल है।

ये तथ्यात्मक आर्थिक विश्लेषण की अभिन्न पद्धति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं।

लॉग विधि

इस पद्धति के अलावा, विश्लेषण में लघुगणक की विधि (विधि) का भी उपयोग किया जाता है। गुणक मॉडल को हल करते समय इसका उपयोग कारक विश्लेषण में किया जाता है। विचाराधीन विधि का सार इस तथ्य में निहित है कि जब इसका उपयोग किया जाता है, तो उत्तरार्द्ध के बीच कारकों की संयुक्त क्रिया के मूल्य का एक लघुगणकीय आनुपातिक वितरण होता है, अर्थात यह मान कारकों के बीच अनुपात में वितरित किया जाता है। सामान्यीकरण संकेतक के योग पर प्रत्येक व्यक्तिगत कारक के प्रभाव का हिस्सा। अभिन्न विधि के साथ, उल्लिखित मूल्य को समान रूप से कारकों के बीच वितरित किया जाता है। इसलिए, लघुगणक विधि अभिन्न विधि की तुलना में कारकों के प्रभाव की गणना को अधिक उचित बनाती है।

लॉगरिदम लेने की प्रक्रिया में, आर्थिक संकेतकों के विकास के पूर्ण मूल्यों का उपयोग नहीं किया जाता है, जैसा कि अभिन्न विधि के मामले में होता है, लेकिन सापेक्ष, यानी इन संकेतकों में परिवर्तन के सूचकांक। उदाहरण के लिए, एक सामान्यीकरण आर्थिक संकेतक को तीन कारकों के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जाता है - कारक एफ = एक्स वाई जेड.

आइए हम आर्थिक संकेतक के सामान्यीकरण पर इन कारकों में से प्रत्येक के प्रभाव का पता लगाएं। तो, पहले कारक का प्रभाव निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

f x \u003d f एलजी (x 1 / x 0) / लॉग (f 1 / f 0)

अगले कारक का क्या प्रभाव पड़ा? इसका प्रभाव ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करते हैं:

f y \u003d Δf एलजी (y 1 / y 0) / लॉग (f 1 / f 0)

अंत में, तीसरे कारक के प्रभाव की गणना करने के लिए, हम सूत्र लागू करते हैं:

f z \u003d f एलजी (z 1 / z 0) / लॉग (f 1 / f 0)

इस प्रकार, सामान्यीकरण संकेतक में परिवर्तन की कुल मात्रा को अलग-अलग कारकों के बीच विभाजित किया जाता है, जो कि सामान्यीकरण संकेतक के लघुगणक के लिए अलग-अलग कारक सूचकांकों के लघुगणक के अनुपात के अनुपात के अनुसार होता है।

विचाराधीन विधि को लागू करते समय, किसी भी प्रकार के लघुगणक का उपयोग किया जा सकता है - प्राकृतिक और दशमलव दोनों।

डिफरेंशियल कैलकुलस की विधि

कारक विश्लेषण करते समय, विभेदक कलन की विधि का भी उपयोग किया जाता है। उत्तरार्द्ध मानता है कि फ़ंक्शन में समग्र परिवर्तन, यानी सामान्यीकरण संकेतक, अलग-अलग शब्दों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक के मूल्य की गणना एक निश्चित आंशिक व्युत्पन्न के उत्पाद के रूप में की जाती है और चर की वृद्धि जिसके द्वारा यह व्युत्पन्न होता है निर्धारित किया जाता है। आइए सामान्यीकरण संकेतक पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव को निर्धारित करें, उदाहरण के रूप में दो चर के एक फ़ंक्शन का उपयोग करें।

फ़ंक्शन सेट है जेड = एफ (एक्स, वाई). यदि यह फलन अवकलनीय है, तो इसके परिवर्तन को निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

आइए हम इस सूत्र के अलग-अलग तत्वों की व्याख्या करें:

Z = (Z 1 - Z 0)- फ़ंक्शन परिवर्तन का परिमाण;

x \u003d (x 1 - x 0)- एक कारक में परिवर्तन का परिमाण;

Δ वाई = (वाई 1 - वाई 0)- किसी अन्य कारक के परिवर्तन की मात्रा;

की तुलना में एक उच्च क्रम का एक असीम मूल्य है

इस उदाहरण में, व्यक्तिगत कारकों का प्रभाव एक्सऔर आपसमारोह को बदलने के लिए जेड(सामान्यीकरण संकेतक) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

Zx = Z / δx Δx; Zy = Z / δy Δy।

इन दोनों कारकों के प्रभाव का योग इस कारक की वृद्धि के सापेक्ष, विभेदक कार्य की वृद्धि का मुख्य, रैखिक भाग है, अर्थात सामान्यीकरण संकेतक।

इक्विटी पद्धति

योगात्मक, साथ ही बहु-योगात्मक मॉडल को हल करने की स्थितियों में, सामान्य संकेतक में परिवर्तन पर व्यक्तिगत कारकों के प्रभाव की गणना के लिए इक्विटी भागीदारी की विधि का भी उपयोग किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि सबसे पहले प्रत्येक कारक का हिस्सा कुल राशिउनके परिवर्तन। फिर इस शेयर को सारांश संकेतक में कुल परिवर्तन से गुणा किया जाता है।

मान लीजिए कि हम तीन कारकों के प्रभाव का निर्धारण कर रहे हैं - ए,बीऔर साथसारांश के लिए आप. फिर, कारक ए के लिए, इसके हिस्से का निर्धारण और इसे सामान्यीकरण संकेतक में परिवर्तन के कुल मूल्य से गुणा करना निम्न सूत्र के अनुसार किया जा सकता है:

y a = a/Δa + b + c*Δy

कारक के लिए माना सूत्र में निम्नलिखित रूप होगा:

yb =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

अंत में, कारक c के लिए हमारे पास है:

y c =∆c/∆a +∆b +∆c*∆y

यह कारक विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए उपयोग की जाने वाली इक्विटी पद्धति का सार है।

रैखिक प्रोग्रामिंग विधि

नीचे देखें:

कतार सिद्धांत

नीचे देखें:

खेल का सिद्धांत

गेम थ्योरी भी आवेदन पाता है। क्यूइंग थ्योरी की तरह, गेम थ्योरी अनुप्रयुक्त गणित की शाखाओं में से एक है। गेम थ्योरी उन इष्टतम समाधानों का अध्ययन करती है जो एक खेल प्रकृति की स्थितियों में संभव हैं। इसमें ऐसी स्थितियां शामिल हैं जो इष्टतम की पसंद से जुड़ी हैं प्रबंधन निर्णय, अन्य संगठनों, आदि के साथ संबंधों के लिए सबसे उपयुक्त विकल्पों के चुनाव के साथ।

गेम थ्योरी में ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, बीजीय विधियों का उपयोग किया जाता है, जो रैखिक समीकरणों और असमानताओं की एक प्रणाली पर आधारित होते हैं, साथ ही साथ इस समस्या को अंतर समीकरणों की एक विशिष्ट प्रणाली में कम करने के तरीकों पर आधारित होते हैं।

संगठनों की आर्थिक गतिविधियों के विश्लेषण में उपयोग की जाने वाली आर्थिक और गणितीय विधियों में से एक तथाकथित संवेदनशीलता विश्लेषण है। इस पद्धति का उपयोग अक्सर निवेश परियोजनाओं के विश्लेषण की प्रक्रिया में किया जाता है, साथ ही इस संगठन के निपटान में शेष लाभ की मात्रा की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जाता है।

संगठन की गतिविधियों की बेहतर योजना बनाने और पूर्वानुमान लगाने के लिए, उन परिवर्तनों की भविष्यवाणी करना आवश्यक है जो भविष्य में विश्लेषण किए गए आर्थिक संकेतकों के साथ हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, उन कारकों के मूल्यों में परिवर्तन की अग्रिम भविष्यवाणी करना आवश्यक है जो लाभ की मात्रा को प्रभावित करते हैं: अधिग्रहित भौतिक संसाधनों के लिए खरीद मूल्य का स्तर, किसी दिए गए संगठन के उत्पादों के लिए बिक्री मूल्य का स्तर, इन उत्पादों के लिए ग्राहकों की मांग में बदलाव।

संवेदनशीलता विश्लेषण में एक सामान्यीकरण आर्थिक संकेतक के भविष्य के मूल्य का निर्धारण करना शामिल है, बशर्ते कि इस सूचक को प्रभावित करने वाले एक या अधिक कारकों का मूल्य बदल जाए।

इसलिए, उदाहरण के लिए, वे यह स्थापित करते हैं कि प्रति यूनिट बेचे जाने वाले उत्पादों की मात्रा में परिवर्तन के अधीन, भविष्य में लाभ किस राशि से बदलेगा। इस प्रकार, हम इसे प्रभावित करने वाले कारकों में से एक में परिवर्तन के लिए शुद्ध लाभ की संवेदनशीलता का विश्लेषण करते हैं, अर्थात् इस मामले मेंबिक्री कारक। लाभ मार्जिन को प्रभावित करने वाले शेष कारक अपरिवर्तित रहते हैं। कई कारकों के प्रभाव के भविष्य में एक साथ परिवर्तन के साथ लाभ की मात्रा का निर्धारण करना भी संभव है। इस प्रकार, संवेदनशीलता विश्लेषण इस सूचक को प्रभावित करने वाले व्यक्तिगत कारकों में परिवर्तन के लिए एक सामान्यीकृत आर्थिक संकेतक की प्रतिक्रिया की ताकत स्थापित करना संभव बनाता है।

मैट्रिक्स विधि

उपरोक्त आर्थिक और गणितीय विधियों के साथ-साथ इनका उपयोग आर्थिक गतिविधि के विश्लेषण में भी किया जाता है। ये विधियां रैखिक और वेक्टर-मैट्रिक्स बीजगणित पर आधारित हैं।

नेटवर्क योजना विधि

नीचे देखें:

एक्सट्रपलेशन विश्लेषण

माना विधियों के अलावा, एक्सट्रपलेशन विश्लेषण का भी उपयोग किया जाता है। इसमें विश्लेषित प्रणाली की स्थिति में परिवर्तन और एक्सट्रपलेशन, यानी भविष्य की अवधि के लिए इस प्रणाली की मौजूदा विशेषताओं का विस्तार शामिल है। इस प्रकार के विश्लेषण को लागू करने की प्रक्रिया में, निम्नलिखित मुख्य चरणों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: प्राथमिक प्रसंस्करणऔर उपलब्ध डेटा की मूल श्रृंखला का परिवर्तन; अनुभवजन्य कार्यों के प्रकार की पसंद; इन कार्यों के मुख्य मापदंडों का निर्धारण; एक्सट्रपलेशन; विश्लेषण की विश्वसनीयता की डिग्री स्थापित करना।

आर्थिक विश्लेषण में, प्रमुख घटकों की विधि का भी उपयोग किया जाता है। उनका उपयोग इस उद्देश्य के लिए किया जाता है तुलनात्मक विश्लेषणव्यक्ति घटक भाग, अर्थात्, संगठन की गतिविधियों के विश्लेषण के पैरामीटर। प्रमुख घटक घटक भागों के रैखिक संयोजनों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं, अर्थात्, विश्लेषण के पैरामीटर, जिनमें फैलाव के सबसे महत्वपूर्ण मूल्य हैं, अर्थात् औसत मूल्यों से सबसे बड़ा पूर्ण विचलन।

अर्थव्यवस्था में गणितीय तरीके और मॉडल

परिचय

प्राकृतिक और तकनीकी विज्ञानों में गणित की आश्चर्यजनक रूप से उच्च दक्षता सभी व्यावहारिक मानवीय गतिविधियों द्वारा लगातार पुष्टि की जाती है। 20वीं और 21वीं शताब्दी की सबसे भव्य तकनीकी परियोजनाओं को उनके आधुनिक रूप और गुणवत्ता में शक्तिशाली गणितीय उपकरणों के उपयोग के बिना कम से कम भयावह त्रुटियों के साथ पूरा नहीं किया जा सकता था। सामान्य रूप से आर्थिक विज्ञान और अर्थशास्त्र के लिए, स्थिति अधिक जटिल है। हालाँकि, समस्या का सबसे सामान्य दृष्टिकोण भी इस अहसास की ओर ले जाता है कि अर्थशास्त्र में गणित की संभावित उच्च दक्षता की थीसिस काफी स्वाभाविक और तार्किक है, क्योंकि परिणाम, उत्पत्ति और विकास में सभी गणित और इसके कई खंड इसके लिए जिम्मेदार हैं। समाज का व्यावहारिक, आर्थिक, आर्थिक जीवन।

साथ ही, सामान्य प्रावधानों की वैधता का मतलब अभी तक प्रत्येक विशिष्ट मामले में उनकी बिना शर्त प्राथमिकता नहीं है, और ज्ञान के किसी भी क्षेत्र में किसी भी विधि का अपना दायरा होता है, कभी-कभी बहुत सीमित होता है। इसलिए, किसी को अतिशयोक्ति नहीं करनी चाहिए और इससे भी अधिक सामान्य रूप से गणितीय विधियों और गणित की भूमिका को निरपेक्ष करना चाहिए, जिससे छात्रों का विषय के प्रति नकारात्मक रवैया होता है: आर्थिक संरचनाओं का एक विस्तृत वर्ग है जो बिना किसी के सहज स्तर पर प्रबंधित होते हैं। गणितीय मॉडल और विधियों का उपयोग और काफी स्वीकार्य परिणाम देता है। ऐसी संरचनाओं में व्यक्तिगत लघु-स्तरीय उद्यम शामिल हैं। इस प्रकार के संगठनों में गणित के अनुप्रयोग को लेखांकन समस्याओं के ढांचे के भीतर प्राथमिक अंकगणितीय गणनाओं तक कम कर दिया जाता है, जो इस भ्रम को पैदा करता है और मजबूत करता है कि किसी भी गंभीर गणित का उपयोग किए बिना किसी भी आर्थिक प्रणाली को सफलतापूर्वक प्रबंधित करना संभव है।

हालाँकि, यह दृष्टिकोण बहुत सरल है।

गणित का मॉडलवस्तु समीकरणों, असमानताओं, तार्किक संबंधों, रेखांकन, अपने अध्ययन को सरल बनाने, इसके बारे में नया ज्ञान प्राप्त करने, विशिष्ट या संभावित स्थितियों में किए गए निर्णयों का विश्लेषण और मूल्यांकन करने के लिए बनाई गई वस्तु की एक सशर्त छवि के रूप में इसका होमोमोर्फिक प्रदर्शन है।

आर्थिक और गणितीय मॉडलिंगगणितीय मॉडल के रूप में जटिल सामाजिक-आर्थिक वस्तुओं और प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए प्रभावी तरीकों में से एक होने के कारण, यह अर्थव्यवस्था के एक हिस्से में बदल जाता है, या बल्कि, अर्थशास्त्र, गणित और साइबरनेटिक्स का मिश्र धातु।

के हिस्से के रूप में आर्थिक और गणितीय तरीकेनिम्नलिखित वैज्ञानिक विषयों को प्रतिष्ठित और उनमें विभाजित किया जा सकता है:

आर्थिक साइबरनेट ka (अर्थशास्त्र का प्रणाली विश्लेषण, आर्थिक सूचना का सिद्धांत और नियंत्रण प्रणाली का सिद्धांत);

गणित के आँकड़े (विचरण विश्लेषण, सहसंबंध विश्लेषण, प्रतिगमन विश्लेषण, बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय विश्लेषण, कारक विश्लेषण, क्लस्टर विश्लेषण, आवृत्ति विश्लेषण, सूचकांक सिद्धांत, आदि);

गणितीय अर्थशास्त्र और अर्थमिति (आर्थिक विकास सिद्धांत, उत्पादन कार्य सिद्धांत, इनपुट-आउटपुट बैलेंस, राष्ट्रीय खाते, मांग और खपत विश्लेषण, क्षेत्रीय और स्थानिक विश्लेषण, वैश्विक मॉडलिंग, आदि);

इष्टतम निर्णय लेने के तरीके (गणितीय प्रोग्रामिंग, योजना और प्रबंधन के नेटवर्क और कार्यक्रम-लक्ष्य विधियों, कतार सिद्धांत, सूची प्रबंधन सिद्धांत और विधियों, खेल सिद्धांत, निर्णय सिद्धांत और विधियों, शेड्यूलिंग सिद्धांत, आदि);

विशिष्ट तरीके और अनुशासन (मुक्त प्रतियोगिता के मॉडल, एकाधिकार के मॉडल, सांकेतिक योजना के मॉडल, फर्म के सिद्धांत के मॉडल, आदि);

अर्थशास्त्र के अध्ययन के लिए प्रायोगिक तरीके (आर्थिक प्रयोगों के विश्लेषण और योजना के गणितीय तरीके, सिमुलेशन मॉडलिंग, व्यावसायिक खेल, विशेषज्ञ आकलन के तरीके, आदि)।

आर्थिक और गणितीय मॉडलनिम्नलिखित मुख्य विशेषताओं के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

सामान्य प्रयोजन के लिए - सैद्धांतिक-विश्लेषणात्मक और अनुप्रयुक्त मॉडल ;

वस्तुओं के एकत्रीकरण की डिग्री से - सूक्ष्म आर्थिक और व्यापक आर्थिक मॉडल ;

किसी खास मकसद के लिए- बैलेंस शीट (संसाधनों की उपलब्धता और उनके उपयोग से मेल खाने की आवश्यकता), फैशनेबल (इसके मुख्य मापदंडों की लंबी अवधि की प्रवृत्ति के माध्यम से नकली प्रणाली का विकास), अनुकूलन, अनुकरण (अध्ययन की गई प्रणालियों या प्रक्रियाओं के मशीन सिमुलेशन की प्रक्रिया में) मॉडल ;

मॉडल में प्रयुक्त सूचना के प्रकार के अनुसार, - विश्लेषणात्मक और पहचान योग्य (एक पोस्टीरियरी, प्रायोगिक जानकारी के आधार पर) मॉडल ;

अनिश्चितता कारक को ध्यान में रखते हुए - नियतात्मक और स्टोकेस्टिक मॉडल ;

गणितीय वस्तुओं या यंत्रों की विशेषताओं के अनुसार - मैट्रिक्स मॉडल, रैखिक और गैर-रेखीय प्रोग्रामिंग मॉडल, सहसंबंध-प्रतिगमन मॉडल, कतार सिद्धांत मॉडल, नेटवर्क योजना और नियंत्रण मॉडल, गेम थ्योरी मॉडल, आदि।;

अध्ययन के तहत प्रणालियों के दृष्टिकोण के प्रकार से - वर्णनात्मक (वर्णनात्मक) मॉडल (उदाहरण के लिए, संतुलन और प्रवृत्ति) और मानक मॉडल (उदाहरण के लिए, अनुकूलन मॉडल और जीवन स्तर के मॉडल)।

इसके अलावा, इस्तेमाल किए गए उपकरणों के अनुसार, कोई भी भेद कर सकता है संतुलित, स्थिर, गतिशील, निरंतर और अन्य मॉडल।

प्राथमिक जानकारी के आधार पर सैद्धांतिक मॉडल औपचारिक परिसर से निष्कर्ष की कटौती के साथ अर्थव्यवस्था और उसके घटकों के सामान्य गुणों को दर्शाते हैं।

अनुप्रयुक्त मॉडल विशिष्ट तकनीकी और आर्थिक वस्तुओं के कामकाज के मापदंडों का मूल्यांकन करने और प्रबंधकीय निर्णय लेने के लिए निष्कर्ष निकालने की क्षमता प्रदान करते हैं।

मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल आमतौर पर समग्र रूप से देश की अर्थव्यवस्था का वर्णन करते हैं, समग्र सामग्री और वित्तीय संकेतकों को एक साथ जोड़ते हैं: जीडीपी, खपत, निवेश, रोजगार, बजट, मुद्रास्फीति, मूल्य निर्धारण, आदि।

सूक्ष्म आर्थिक मॉडल अर्थव्यवस्था के संरचनात्मक और कार्यात्मक घटकों की बातचीत या एक संक्रमणकालीन अस्थिर या स्थिर बाजार वातावरण में उनके स्वायत्त व्यवहार का वर्णन करते हैं, अनुकूलन विधियों और गेम थ्योरी आदि का उपयोग करके एक कुलीन वर्ग में फर्मों के व्यवहार के लिए रणनीतियाँ।

अनुकूलन मॉडल मुख्य रूप से सूक्ष्म स्तर से जुड़े होते हैं, मैक्रो स्तर पर व्यवहार की तर्कसंगत पसंद का परिणाम संतुलन की एक निश्चित स्थिति है।

नियतात्मक मॉडल मॉडल चर के बीच कठोर कार्यात्मक संबंध मानते हैं, जबकि स्टोकेस्टिक मॉडल अध्ययन किए गए संकेतकों पर यादृच्छिक प्रभावों की उपस्थिति की अनुमति देते हैं और उनका वर्णन करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के उपकरणों का उपयोग करते हैं।

एक बाजार अर्थव्यवस्था में निहित संतुलन मॉडल, स्थिर स्थिर राज्यों और गैर-बाजार अर्थव्यवस्था दोनों में व्यावसायिक संस्थाओं के व्यवहार का वर्णन करते हैं, जहां एक पैरामीटर में असमानता की भरपाई अन्य कारकों द्वारा की जाती है।

स्थिर मॉडल एक विशिष्ट वर्तमान क्षण या समय की अवधि में एक आर्थिक वस्तु की स्थिति का वर्णन करते हैं; दूसरी ओर, गतिशील मॉडल में समय के साथ चर के संबंध शामिल होते हैं, जो अर्थव्यवस्था में प्रक्रियाओं की ताकतों और अंतःक्रियाओं का वर्णन करते हैं।

जटिल संयुक्त आर्थिक और गणितीय मॉडल में, उदाहरण के लिए, जिम्मेदार ठहराया जा सकता है इनपुट-आउटपुट संतुलन का आर्थिक-गणितीय मॉडल, जो एक लागू, व्यापक आर्थिक, विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक, नियतात्मक, संतुलन, मैट्रिक्स मॉडल है, और इनपुट-आउटपुट संतुलन के स्थिर और गतिशील दोनों मॉडल प्रतिष्ठित हैं।

अध्याय I. रैखिक प्रोग्रामिंग

§ एक। बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

गणितीय प्रोग्रामिंगरैखिक और गैर-रेखीय बाधाओं (समानताओं और असमानताओं) द्वारा परिभाषित सेटों पर बहुआयामी चरम समस्याओं को हल करने के लिए सिद्धांत और विधियों से निपटने वाला एक गणितीय अनुशासन है।

सामान्य शब्दों में, गणितीय प्रोग्रामिंग की समस्या निम्नानुसार तैयार की जाती है: बाधाओं के तहत किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा (या सबसे बड़ा) मान ज्ञात करें

और कहां कार्य दिए गए हैं, और कुछ स्थिर संख्याएँ हैं।

फ़ंक्शन के गुणों के आधार पर और गणितीय प्रोग्रामिंग को कई स्वतंत्र विषयों में विभाजित किया गया है। पहला रैखिक प्रोग्रामिंग है। कार्यों के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग(एलपी) गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याएं हैं जिनमें कार्य और

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए, सार्वभौमिक तरीके हैं जिनका उपयोग किसी भी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करने के लिए किया जा सकता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग की मुख्य समस्या पर विचार करें।

(1.2)

सिस्टम (1.2) के गैर-नकारात्मक समाधानों के वातावरण में एक समाधान खोजना आवश्यक है जिसके लिए फ़ंक्शन (1.1) न्यूनतम मान लेता है.

कैनन काया रैखिक प्रोग्रामिंग का मुख्य कार्य(जेडएलपी)।

सिस्टम के समाधान की गैर-नकारात्मकता की शर्तें (1.2), यदि वे समस्या के निर्माण में निर्दिष्ट नहीं हैं, तो इस प्रकार लिखी जाती हैं

फलन (1.1) कहलाता है उद्देश्य समारोह(सीएफ), और शर्तें (1.2) समानता की कमी.

सिस्टम का कोई भी गैर-ऋणात्मक समाधान (1.2) कहलाता है स्वीकार्य समाधानया योजनाकार्य।

सिस्टम (1.2) के स्वीकार्य समाधान के सेट को कहा जाता है व्यवहार्य समाधान का क्षेत्र(ओडीआर)।

सिस्टम का एक स्वीकार्य समाधान (1.2) जो फ़ंक्शन (1.1) को कम करता है, कहलाता है सर्वोतम उपायया इष्टतम योजनाजेडएलपी।

इष्टतम समाधान के अनुरूप उद्देश्य फलन (1.1) का मान कहलाता है अनुकूलतम.

यदि एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में फ़ंक्शन का अधिकतम पता लगाना आवश्यक है, तो इस फ़ंक्शन के अधिकतमकरण को विपरीत फ़ंक्शन के न्यूनतमकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

एक अन्य रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या पर विचार करें।

मान लीजिए एक रैखिक फलन दिया गया है

और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली

(1.5)

जहां , और निरंतर संख्याएं दी जाती हैं।

सिस्टम के गैर-नकारात्मक समाधानों के वातावरण में एक समाधान खोजना आवश्यक है (1.5) जो फ़ंक्शन को कम करता है (1.4).

तैयार किए गए कार्य को कहा जाता है मानकया सममित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या.

शर्तें (1.5) कहलाती हैं असमानता की कमी.

एक मानक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को नए गैर-ऋणात्मक अज्ञातों को पेश करके सिस्टम (1.5) में असमानताओं को समानता के साथ बदलकर आसानी से एक विहित रूप में कम किया जा सकता है।

2. रैखिक प्रोग्रामिंग की सबसे सरल समस्याएं

संसाधनों के सर्वोत्तम उपयोग की समस्या.

के लिए तीन प्रकारउत्पादों, और तीन प्रकार के कच्चे माल का उपयोग किया जाता है और। एक उद्यम 32 टन कच्चे माल, कम से कम 40 टन कच्चे माल और 50 टन से अधिक कच्चे माल का उपयोग नहीं कर सकता है। एक विशेष प्रकार के उत्पादन की प्रति इकाई कच्चे माल की खपत दर, साथ ही उत्पादन की एक इकाई के उत्पादन के लिए श्रम और ऊर्जा लागत तालिका में दर्शाई गई है।

	रिजर्व (टी)	उत्पादन की प्रति इकाई खपत दर (टी)
खर्च (रब.)

प्रकार के उत्पादों की मात्रा निर्धारित करें, और जिन्हें ऊर्जा और श्रम संसाधनों की न्यूनतम लागत पर उत्पादित किया जाना चाहिए।

समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाने के लिए, हम उत्पादन की मात्रा के द्वारा निरूपित करते हैं, और क्रमशः, जिन्हें उत्पादित किया जाना चाहिए। तब वस्तुनिष्ठ फलन और समस्या के अवरोधों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्या का गणितीय मॉडल बाधाओं के तहत कुछ रैखिक कार्य को कम करने के लिए कम हो गया है। समानता और असमानता के रूप में लिखा गया है।

एक विनिर्माण उद्यम की अधिकतम आय की समस्या.

तीन प्रकार के उत्पादों के उत्पादन में, और तीन प्रकार के कच्चे माल का उपयोग किया जाता है और। प्रत्येक प्रकार के कच्चे माल का भंडार क्रमशः 32 टन, 40 टन और 50 टन है। उत्पादन की एक इकाई के निर्माण के लिए आवश्यक कच्चे माल की इकाइयों की संख्या, साथ ही प्रत्येक प्रकार के उत्पादन की एक इकाई की बिक्री से प्राप्त लाभ तालिका में दिखाया गया है।

	रिजर्व (टी)	उत्पाद प्रकार
लाभ (रब.)

एक उत्पादन योजना तैयार करना आवश्यक है, और जिसमें सभी उत्पादों की बिक्री से लाभ अधिकतम होगा।

आइए हम प्रकार के उत्पादन की इकाइयों की संख्या से निरूपित करें, और जिसे उत्पादित किया जाना चाहिए।

इस समस्या के गणितीय मॉडल का रूप है

इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक संख्याओं के ऐसे सेट को खोजना आवश्यक है जो असमानता बाधाओं की प्राप्त प्रणाली को संतुष्ट करता है, जो उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम मूल्य प्रदान करता है।

भोजन की समस्या.

स्वास्थ्य और प्रदर्शन को बनाए रखने के लिए, एक व्यक्ति को दिन में एक निश्चित मात्रा में प्रोटीन, वसा, कार्बोहाइड्रेट, विटामिन, माइक्रोलेमेंट्स आदि का सेवन करना चाहिए।

तीन प्रकार के उत्पाद होने दें, और आवश्यक पोषक तत्वों की एक सूची और। उत्पाद इकाई में निहित पोषक तत्वों की मात्रा, साथ ही उत्पाद इकाइयों की लागत तालिका में दर्शाई गई है।

पोषक तत्त्व पदार्थों	दैनिक जरुरत 1 व्यक्ति	उत्पाद प्रकार
उत्पाद की 1 इकाई की लागत (रगड़)

भोजन को इस तरह व्यवस्थित करना आवश्यक है कि पोषक तत्वों की आवश्यकताओं को पूरा किया जाए और उपयोग किए गए उत्पादों की लागत कम से कम हो।

प्रजातियों के उत्पादों की इकाइयों की संख्या से निरूपित करें, और।

इस समस्या के गणितीय मॉडल का रूप होगा

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी

अर्थशास्त्र, सांख्यिकी और सूचना विज्ञान

अर्थशास्त्र और कानून के संकाय

परीक्षण

अनुशासन: एएचडी

प्रदर्शन किया

छात्र जीआर.वीएफ-3

टिमोनिना टी.एस.

गणितीय मॉडलिंग

औपचारिक साइन मॉडलिंग के प्रकारों में से एक गणितीय मॉडलिंग है, जो गणित और तर्क की भाषा के माध्यम से किया जाता है। बाहरी दुनिया की घटनाओं के किसी भी वर्ग का अध्ययन करने के लिए, उसका गणितीय मॉडल बनाया जाता है, अर्थात। गणितीय प्रतीकों की मदद से व्यक्त की गई घटनाओं के इस वर्ग का अनुमानित विवरण।

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया को चार मुख्य चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

मैंमंच:मॉडल की मुख्य वस्तुओं को जोड़ने वाले कानूनों का निर्माण, अर्थात। मॉडल की वस्तुओं के बीच संबंधों के बारे में तैयार किए गए गुणात्मक विचारों के गणितीय शब्दों के रूप में एक रिकॉर्ड।

द्वितीयमंच:गणितीय समस्याओं का अध्ययन जिससे गणितीय मॉडल ले जाते हैं। मुख्य मुद्दा प्रत्यक्ष समस्या का समाधान है, अर्थात। अध्ययन की गई घटनाओं के अवलोकन के परिणामों के साथ उनकी आगे की तुलना के लिए मॉडल के विश्लेषण के परिणामस्वरूप आउटपुट डेटा (सैद्धांतिक परिणाम) प्राप्त करना।

तृतीयमंच:अभ्यास की कसौटी के अनुसार स्वीकृत काल्पनिक मॉडल का सुधार, अर्थात। इस सवाल का स्पष्टीकरण कि क्या टिप्पणियों के परिणाम अवलोकन की सटीकता के भीतर मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों के अनुरूप हैं। यदि मॉडल को पूरी तरह से परिभाषित किया गया था - इसके सभी पैरामीटर दिए गए थे - तो अवलोकन से सैद्धांतिक परिणामों के विचलन का निर्धारण प्रत्यक्ष समस्या का समाधान देता है, इसके बाद विचलन का अनुमान लगाया जाता है। यदि विचलन प्रेक्षणों की सटीकता से बाहर हैं, तो मॉडल को स्वीकार नहीं किया जा सकता है। अक्सर, एक मॉडल का निर्माण करते समय, इसकी कुछ विशेषताएं अपरिभाषित रहती हैं। गणितीय मॉडल के मूल्यांकन के लिए अभ्यास की कसौटी के आवेदन से यह निष्कर्ष निकालना संभव हो जाता है कि अध्ययन किए जाने वाले (काल्पनिक) मॉडल में अंतर्निहित धारणाएं सही हैं।

चतुर्थमंच:अध्ययन की गई घटनाओं और मॉडल के आधुनिकीकरण पर डेटा के संचय के संबंध में मॉडल का बाद का विश्लेषण। कंप्यूटर के आगमन के साथ, गणितीय मॉडलिंग की पद्धति ने अन्य शोध विधियों के बीच एक अग्रणी स्थान ले लिया है। विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिकायह विधि आधुनिक अर्थशास्त्र में खेलती है। गणितीय मॉडलिंग द्वारा किसी भी आर्थिक घटना का अध्ययन और पूर्वानुमान आपको नए तकनीकी साधनों को डिजाइन करने, इस घटना पर कुछ कारकों के प्रभाव की भविष्यवाणी करने, अस्थिर आर्थिक स्थिति की उपस्थिति में भी इन घटनाओं की योजना बनाने की अनुमति देता है।

आर्थिक विश्लेषण का सार

विश्लेषण (अपघटन, विघटन, विश्लेषण) एक तार्किक तकनीक है, एक शोध पद्धति है, जिसका सार यह है कि जिस विषय का अध्ययन किया जा रहा है, उसे मानसिक रूप से घटक तत्वों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक को अलग-अलग पूरे के हिस्से के रूप में अलग-अलग जांच की जाती है, क्रम में विश्लेषण के दौरान पहचाने गए तत्वों की पहचान करने के लिए। एक और तार्किक तकनीक - संश्लेषण - की मदद से नए ज्ञान से समृद्ध, समग्र रूप से संयोजित करें।

नीचे आर्थिक विश्लेषणलागू वैज्ञानिक अनुशासन को समझें, जो विशेष ज्ञान की एक प्रणाली है जो आपको बाजार अर्थव्यवस्था के किसी विशेष विषय की गतिविधियों की प्रभावशीलता का मूल्यांकन करने की अनुमति देती है।

आर्थिक विश्लेषण का सिद्धांतआपको तर्कसंगत रूप से उचित ठहराने, निकट भविष्य के लिए नियंत्रण वस्तु के विकास की भविष्यवाणी करने और प्रबंधन निर्णय लेने की व्यवहार्यता का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।

आर्थिक विश्लेषण की मुख्य दिशाएँ:

विश्लेषण की गई वस्तु के काम की विशेषता वाले संकेतकों की एक प्रणाली का निर्माण;

अध्ययन की गई घटना (परिणाम) का गुणात्मक विश्लेषण;

इस घटना का मात्रात्मक विश्लेषण (परिणाम):

एक प्रबंधन निर्णय के विकास और अपनाने के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि यह उत्पादन संसाधनों के उपयोग में सुधार, लागत कम करने, लाभप्रदता बढ़ाने और लाभ बढ़ाने में आर्थिक गतिविधि की दक्षता बढ़ाने के लिए भंडार की पहचान करने के मुख्य कार्य को हल करने का एक साधन है। अर्थात। एक प्रबंधन निर्णय को लागू करने के अंतिम लक्ष्य के उद्देश्य से है।

आर्थिक विश्लेषण के सिद्धांत के विकासकर्ता इस पर जोर देते हैं विशेषताविशेषताएं:

1. आर्थिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए द्वंद्वात्मक दृष्टिकोण, जिसकी विशेषता है: गुणवत्ता में मात्रा का संक्रमण, एक नई गुणवत्ता का उदय, निषेध का निषेध, विरोधों का संघर्ष, पुराने का लुप्त होना और उद्भव नए का।

2. कारण संबंधों और अन्योन्याश्रयता द्वारा आर्थिक घटनाओं की सशर्तता।

3. संकेतकों के अंतर्संबंधों और अन्योन्याश्रितताओं की पहचान और माप माल के उत्पादन और संचलन के विकास के उद्देश्य पैटर्न के ज्ञान पर आधारित हैं।

आर्थिक विश्लेषण, सबसे पहले, तथ्यात्मक है, अर्थात, किसी उद्यम के प्रदर्शन संकेतक पर आर्थिक कारकों के एक परिसर के प्रभाव का निर्धारण करना।

प्रभाव कई कारकउद्यम के कामकाज के आर्थिक संकेतक पर, फर्म को स्टोकेस्टिक विश्लेषण का उपयोग करके किया जाता है।

बदले में, नियतात्मक और स्टोकेस्टिक विश्लेषण प्रदान करते हैं:

कारकों और प्रदर्शन संकेतकों के कारण या संभाव्य संबंधों की स्थापना;

उद्यम के कामकाज पर कारकों के प्रभाव के आर्थिक पैटर्न की पहचान और गणितीय निर्भरता की मदद से उनकी अभिव्यक्ति;

प्रदर्शन संकेतकों और अध्ययन पर कारक प्रणालियों के प्रभाव के मॉडल (मुख्य रूप से गणितीय) बनाने की क्षमता, उनकी मदद से, प्रबंधकीय निर्णय के अंतिम परिणाम पर प्रभाव .

व्यवहार में, वे उपयोग करते हैं विभिन्न प्रकारआर्थिक विश्लेषण। किए गए प्रबंधन निर्णयों के लिए, विश्लेषण विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: परिचालन, वर्तमान, संभावित (समय अंतराल के अनुसार); आंशिक और जटिल (मात्रा द्वारा); भंडार की पहचान, गुणवत्ता में सुधार, आदि (नियुक्ति द्वारा); भविष्य कहनेवाला विश्लेषण। पूर्वानुमान आपको रणनीतिक, परिचालन (कार्यात्मक) या सामरिक प्रबंधन निर्णयों को आर्थिक रूप से सही ठहराने की अनुमति देते हैं .

ऐतिहासिक रूप से, विधियों और तकनीकों के दो समूह विकसित हुए हैं: पारंपरिक और गणितीय। आइए आर्थिक विश्लेषण में गणितीय विधियों के अनुप्रयोग पर अधिक विस्तार से विचार करें।

आर्थिक विश्लेषण में गणितीय तरीके

प्रबंधन प्रणालियों में सुधार के लिए प्रबंधन के क्षेत्र में गणितीय विधियों का उपयोग सबसे महत्वपूर्ण दिशा है। गणितीय तरीके आर्थिक विश्लेषण को गति देते हैं, प्रदर्शन पर कारकों के प्रभाव के अधिक संपूर्ण खाते में योगदान करते हैं, गणना की सटीकता में सुधार करते हैं। गणितीय विधियों के आवेदन की आवश्यकता है:

* किसी वस्तु के अध्ययन के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण, अन्य वस्तुओं (उद्यमों, फर्मों) के साथ संबंधों और संबंधों को ध्यान में रखते हुए;

* गणितीय मॉडल का विकास जो संगठन के कर्मचारियों की प्रणालीगत गतिविधि के मात्रात्मक संकेतकों को दर्शाता है, जटिल प्रणालियों में होने वाली प्रक्रियाएं, जो उद्यम हैं;

* इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों का उपयोग करके उद्यम प्रबंधन के लिए सूचना समर्थन प्रणाली में सुधार।

गणितीय विधियों द्वारा आर्थिक विश्लेषण की समस्याओं को हल करना संभव है यदि उन्हें गणितीय रूप से तैयार किया जाए, अर्थात। वास्तविक आर्थिक संबंधों और निर्भरता को गणितीय विश्लेषण का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। इसके लिए गणितीय मॉडल के विकास की आवश्यकता है।

प्रबंधन अभ्यास में, आर्थिक समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग किया जाता है। चित्र 1 आर्थिक विश्लेषण में प्रयुक्त मुख्य गणितीय विधियों को दर्शाता है।

वर्गीकरण की चयनित विशेषताएं बल्कि सशर्त हैं। उदाहरण के लिए, नेटवर्क योजना और प्रबंधन में, विभिन्न गणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है, और कई लेखक "संचालन अनुसंधान" शब्द के अर्थ में अलग-अलग सामग्री डालते हैं।

प्रारंभिक गणित के तरीकेपारंपरिक आर्थिक गणनाओं में उपयोग किया जाता है जब संसाधन की जरूरतों को पूरा करते हैं, एक योजना, परियोजनाओं आदि को विकसित करते हैं।

गणितीय विश्लेषण के शास्त्रीय तरीकेस्वतंत्र रूप से (भेदभाव और एकीकरण) और अन्य विधियों (गणितीय सांख्यिकी, गणितीय प्रोग्रामिंग) के ढांचे के भीतर उपयोग किया जाता है।

सांख्यकी पद्धतियाँ -सामूहिक आवर्ती घटनाओं की जांच का मुख्य साधन। उनका उपयोग तब किया जाता है जब एक यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में विश्लेषण किए गए संकेतकों में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करना संभव होता है। यदि विश्लेषण की गई विशेषताओं के बीच संबंध नियतात्मक नहीं है, लेकिन स्टोकेस्टिक है, तो सांख्यिकीय और संभाव्य तरीके व्यावहारिक रूप से एकमात्र शोध उपकरण बन जाते हैं। आर्थिक विश्लेषण में, बहु और युग्मित सहसंबंध विश्लेषण के तरीकों को सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है।

एक साथ सांख्यिकीय समुच्चय का अध्ययन करने के लिए, वितरण कानून, भिन्नता श्रृंखला और नमूनाकरण विधि का उपयोग किया जाता है। बहुआयामी सांख्यिकीय समुच्चय के लिए, सहसंबंध, प्रतिगमन, फैलाव, सहप्रसरण, वर्णक्रमीय, घटक, कारक प्रकार के विश्लेषण का उपयोग किया जाता है।

आर्थिक तरीकेज्ञान के तीन क्षेत्रों के संश्लेषण पर आधारित हैं: अर्थशास्त्र, गणित और सांख्यिकी। अर्थमिति का आधार एक आर्थिक मॉडल है, अर्थात। एक आर्थिक घटना या प्रक्रियाओं का एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व, वैज्ञानिक अमूर्तता का उपयोग करके उनकी विशिष्ट विशेषताओं का प्रतिबिंब। आर्थिक विश्लेषण का सबसे आम तरीका "लागत - आउटपुट" है। विधि एक शतरंज योजना के अनुसार निर्मित मैट्रिक्स (बैलेंस) मॉडल का प्रतिनिधित्व करती है और लागत और उत्पादन परिणामों के बीच संबंधों को स्पष्ट रूप से दर्शाती है।

गणितीय प्रोग्रामिंग विधियाँ -उत्पादन अनुकूलन की समस्याओं को हल करने का मुख्य उपकरण -आर्थिक गतिविधि. वास्तव में, विधियाँ नियोजित गणना के साधन हैं, और वे नियोजित लक्ष्यों की तीव्रता, परिणामों की कमी, सीमित प्रकार के कच्चे माल, उपकरणों के समूहों को निर्धारित करना संभव बनाते हैं।

संचालन अनुसंधान के तहतउद्देश्यपूर्ण कार्यों (संचालन) के तरीकों के विकास, समाधानों का मात्रात्मक मूल्यांकन और उनमें से सर्वश्रेष्ठ की पसंद को संदर्भित करता है। संचालन अनुसंधान का लक्ष्य प्रणाली के संरचनात्मक परस्पर संबंधित तत्वों का संयोजन है जो सबसे बड़ी सीमा तक सर्वोत्तम आर्थिक संकेतक प्रदान करता है।

खेल का सिद्धांतसंचालन अनुसंधान के एक खंड के रूप में, यह विभिन्न हितों के साथ कई पार्टियों के अनिश्चितता या संघर्ष की स्थितियों के तहत इष्टतम निर्णय लेने के लिए गणितीय मॉडल का एक सिद्धांत है।

गणितीय आँकड़ों के तरीके

चावल। 1. आर्थिक विश्लेषण में प्रयुक्त मुख्य गणितीय विधियों का वर्गीकरण।

संभाव्यता सिद्धांत पर आधारित कतार सिद्धांतगणितीय विधियों की खोज करता है मात्रा का ठहरावकतारबद्ध प्रक्रियाएं। कतार से संबंधित सभी कार्यों की एक विशेषता अध्ययन के तहत घटना की यादृच्छिक प्रकृति है। सेवा के लिए अनुरोधों की संख्या और उनकी प्राप्तियों के बीच का समय अंतराल यादृच्छिक है, लेकिन कुल मिलाकर वे सांख्यिकीय पैटर्न का पालन करते हैं, जिसका मात्रात्मक अध्ययन कतार सिद्धांत का विषय है।

आर्थिक साइबरनेटिक्सआर्थिक घटनाओं और प्रक्रियाओं का विश्लेषण करता है: जटिल प्रणालीनियंत्रण के नियमों और उनमें सूचना के संचलन के दृष्टिकोण से। मॉडलिंग और सिस्टम विश्लेषण के तरीके इस क्षेत्र में सबसे अधिक विकसित हैं।

आर्थिक विश्लेषण में गणितीय विधियों का अनुप्रयोग आर्थिक प्रक्रियाओं के आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग की पद्धति और विश्लेषण के तरीकों और कार्यों के वैज्ञानिक रूप से प्रमाणित वर्गीकरण पर आधारित है। सभी आर्थिक और गणितीय विधियों (कार्यों) को दो समूहों में विभाजित किया गया है: अनुकूलनकिसी दिए गए मानदंड के अनुसार समाधान और गैर-अनुकूलन(इष्टतम मानदंड के बिना समाधान)।

एक सटीक समाधान प्राप्त करने के आधार पर, सभी गणितीय विधियों को विभाजित किया जाता है सटीक(मानदंड के साथ या बिना, एक अनूठा समाधान प्राप्त होता है) और अनुमानित(स्टोकेस्टिक जानकारी के आधार पर)।

इष्टतम सटीक विधियों में इष्टतम प्रक्रियाओं के सिद्धांत के तरीके, गणितीय प्रोग्रामिंग के कुछ तरीके और संचालन अनुसंधान के तरीके, अनुकूलन सन्निकटन - गणितीय प्रोग्रामिंग के तरीकों का हिस्सा, संचालन अनुसंधान, आर्थिक साइबरनेटिक्स, अनुमानी शामिल हैं।

प्राथमिक गणित के तरीके और गणितीय विश्लेषण के शास्त्रीय तरीके, आर्थिक तरीके गैर-अनुकूलन सटीक तरीकों से संबंधित हैं, और सांख्यिकीय परीक्षणों की विधि और गणितीय आँकड़ों के अन्य तरीके गैर-अनुकूलन अनुमानित तरीकों से संबंधित हैं।

विशेष रूप से अक्सर कतारों और सूची प्रबंधन के गणितीय मॉडल का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कतारों का सिद्धांत वैज्ञानिकों द्वारा विकसित ए.एन. कोलमोगोरोव और ए.एल. खानचिन कतार सिद्धांत।

कतार सिद्धांत

यह सिद्धांत यादृच्छिक प्रकृति की आवश्यकताओं के बड़े पैमाने पर प्रवाह की सेवा के लिए डिज़ाइन की गई प्रणालियों का अध्ययन करना संभव बनाता है। आवश्यकताओं की उपस्थिति के क्षण और उनके रखरखाव पर बिताया गया समय दोनों यादृच्छिक हो सकते हैं। सिद्धांत के तरीकों का उद्देश्य सेवा का एक उचित संगठन खोजना है जो इसकी दी गई गुणवत्ता सुनिश्चित करता है, ऑन-ड्यूटी सेवा के इष्टतम (स्वीकृत मानदंड के दृष्टिकोण से) मानकों को निर्धारित करने के लिए, जिसकी आवश्यकता अनियोजित होती है , अनियमित रूप से।

गणितीय मॉडलिंग की पद्धति का उपयोग करके, यह निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, स्वचालित रूप से संचालित मशीनों की इष्टतम संख्या जो एक कार्यकर्ता या श्रमिकों की एक टीम द्वारा सेवित की जा सकती है, आदि।

कतार के सिद्धांत की वस्तुओं का एक विशिष्ट उदाहरण स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंजों - स्वचालित टेलीफोन एक्सचेंजों के रूप में काम कर सकता है। PBX बेतरतीब ढंग से "अनुरोध" प्राप्त करता है - ग्राहकों से कॉल, और "सेवा" में ग्राहकों को अन्य ग्राहकों से जोड़ना, बातचीत के दौरान संचार बनाए रखना आदि शामिल हैं। सिद्धांत की समस्याएं, गणितीय रूप से तैयार की जाती हैं, आमतौर पर एक विशेष प्रकार की यादृच्छिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए कम कर दी जाती हैं।

आने वाली कॉल प्रवाह और सेवा अवधि की संभाव्य विशेषताओं पर डेटा के आधार पर, और सेवा प्रणाली की योजना को ध्यान में रखते हुए, सिद्धांत सेवा की गुणवत्ता की संबंधित विशेषताओं (विफलता संभावना, औसत प्रतीक्षा समय की शुरुआत के लिए निर्धारित करता है) सेवा, आदि)।

गणितीय मॉडल अनेक कार्यतकनीकी और आर्थिक सामग्री भी रैखिक प्रोग्रामिंग की समस्याएं हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग एक अनुशासन है जो रैखिक समानता और असमानताओं की प्रणालियों द्वारा परिभाषित सेटों पर रैखिक कार्यों के चरम की समस्याओं को हल करने के लिए सिद्धांत और विधियों के लिए समर्पित है।

उद्यम के काम की योजना बनाने का कार्य

सजातीय उत्पादों के उत्पादन के लिए, विभिन्न उत्पादन कारकों को खर्च करना आवश्यक है - कच्चा माल, श्रम, मशीन पार्क, ईंधन, परिवहन, आदि। आमतौर पर उत्पादन के कई सिद्ध तकनीकी तरीके होते हैं, और इन तरीकों में उत्पादों की रिहाई के लिए प्रति यूनिट समय उत्पादन कारकों की लागत अलग-अलग होती है।

उपभोग किए गए उत्पादन कारकों की संख्या और निर्मित उत्पादों की संख्या इस बात पर निर्भर करती है कि उद्यम एक या किसी अन्य तकनीकी पद्धति के अनुसार कितने समय तक काम करेगा।

कार्य विभिन्न तकनीकी विधियों के अनुसार उद्यम के काम के समय को तर्कसंगत रूप से वितरित करना है, अर्थात। ताकि प्रत्येक की दी गई सीमित लागत के लिए उत्पादों की अधिकतम संख्या का उत्पादन किया जा सके उत्पादन कारक.

परिचालन अनुसंधान में गणितीय मॉडलिंग की पद्धति के आधार पर, कई महत्वपूर्ण कार्य भी हल किए जाते हैं जिनके लिए विशिष्ट समाधान विधियों की आवश्यकता होती है। इसमे शामिल है:

उत्पाद विश्वसनीयता का कार्य।

· उपकरण बदलने का कार्य।

· निर्धारण सिद्धांत (तथाकथित शेड्यूलिंग सिद्धांत)।

· संसाधन आवंटन की समस्या।

मूल्य निर्धारण की समस्या।

· नेटवर्क योजना का सिद्धांत।

उत्पाद विश्वसनीयता का कार्य

उत्पादों की विश्वसनीयता संकेतकों के एक सेट द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के लिए, विश्वसनीयता संकेतक चुनने के लिए सिफारिशें हैं।

उन उत्पादों का मूल्यांकन करने के लिए जो दो संभावित अवस्थाओं में हो सकते हैं - संचालन योग्य और विफलता, निम्नलिखित संकेतकों का उपयोग किया जाता है: विफलता का औसत समय (पहली विफलता का समय), विफलता का समय, विफलता दर, विफलता दर पैरामीटर, एक कार्यशील राज्य का औसत पुनर्प्राप्ति समय , समय टी के दौरान गैर-विफलता संचालन की संभावना, उपलब्धता कारक।

संसाधन आवंटन समस्या

उत्पादन प्रबंधन की प्रक्रिया में संसाधन आवंटन का मुद्दा मुख्य है। इस मुद्दे को हल करने के लिए, परिचालन अनुसंधान एक रैखिक सांख्यिकीय मॉडल के निर्माण का उपयोग करता है।

मूल्य निर्धारण चुनौती

उद्यम के लिए, उत्पादों के लिए मूल्य निर्धारण का मुद्दा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। उद्यम में मूल्य निर्धारण कैसे किया जाता है यह उसके लाभ पर निर्भर करता है। इसके अलावा, बाजार अर्थव्यवस्था की मौजूदा परिस्थितियों में, प्रतिस्पर्धी संघर्ष में कीमत एक अनिवार्य कारक बन गई है।

नेटवर्क योजना सिद्धांत

नेटवर्क योजना और प्रबंधन बड़े आर्थिक परिसरों के विकास के लिए एक प्रबंधन योजना प्रणाली है, नए प्रकार के सामानों के उत्पादन के लिए डिजाइन और तकनीकी तैयारी, निर्माण और पुनर्निर्माण, नेटवर्क शेड्यूल के उपयोग के माध्यम से अचल संपत्तियों की प्रमुख मरम्मत।

नेटवर्क योजना और प्रबंधन का सार एक नेटवर्क आरेख या कंप्यूटर की मेमोरी में स्थित एक मॉडल के रूप में एक प्रबंधित वस्तु के गणितीय मॉडल का संकलन है, जो कार्यों के एक निश्चित सेट के संबंध और अवधि को दर्शाता है। व्यावहारिक गणित और कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के माध्यम से इसके अनुकूलन के बाद नेटवर्क आरेख का उपयोग कार्य के संचालन प्रबंधन के लिए किया जाता है।

गणितीय मॉडलिंग की पद्धति का उपयोग करके आर्थिक समस्याओं का समाधान अनुमति देता है प्रभावी प्रबंधनआर्थिक स्थितियों के पूर्वानुमान और नियोजन के स्तर पर व्यक्तिगत उत्पादन प्रक्रियाओं द्वारा और इसके आधार पर प्रबंधकीय निर्णय लेने और समग्र रूप से संपूर्ण अर्थव्यवस्था द्वारा। नतीजतन, गणितीय मॉडलिंग एक विधि के रूप में प्रबंधन में निर्णय लेने के सिद्धांत से निकटता से संबंधित है।

आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के चरण

मॉडलिंग प्रक्रिया के मुख्य चरणों पर पहले ही ऊपर चर्चा की जा चुकी है। अर्थव्यवस्था सहित ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में, वे अपनी विशिष्ट विशेषताओं को प्राप्त करते हैं। आइए आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग के एक चक्र के चरणों के अनुक्रम और सामग्री का विश्लेषण करें।

1. आर्थिक समस्या का विवरण और उसका गुणात्मक विश्लेषण।यहां मुख्य बात यह है कि समस्या के सार को स्पष्ट रूप से स्पष्ट किया जाए, जो धारणाएं बनाई गई हैं और जिन सवालों के जवाब देने की जरूरत है। इस चरण में मॉडलिंग की गई वस्तु की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं और गुणों का चयन और द्वितीयक से अमूर्तता शामिल है; वस्तु की संरचना और उसके तत्वों को जोड़ने वाली मुख्य निर्भरता का अध्ययन करना; वस्तु के व्यवहार और विकास की व्याख्या करने वाली परिकल्पनाओं का निर्माण।

2. गणितीय मॉडल का निर्माण. यह आर्थिक समस्या को औपचारिक रूप देने, इसे विशिष्ट गणितीय निर्भरता और संबंधों (कार्यों, समीकरणों, असमानताओं, आदि) के रूप में व्यक्त करने का चरण है। आमतौर पर, गणितीय मॉडल का मुख्य निर्माण (प्रकार) पहले निर्धारित किया जाता है, और फिर इस निर्माण का विवरण निर्दिष्ट किया जाता है (चर और मापदंडों की एक विशिष्ट सूची, संबंधों का रूप)। इस प्रकार, मॉडल के निर्माण को कई चरणों में विभाजित किया गया है।

यह मान लेना गलत है कि मॉडल जितने अधिक तथ्यों को ध्यान में रखता है, उतना ही बेहतर "काम" करता है और बेहतर परिणाम देता है। मॉडल की जटिलता की ऐसी विशेषताओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है जैसे कि गणितीय निर्भरता के रूपों (रैखिक और गैर-रैखिक) का उपयोग किया जाता है, यादृच्छिकता और अनिश्चितता के कारकों को ध्यान में रखते हुए, आदि। मॉडल की अत्यधिक जटिलता और बोझिलता अनुसंधान प्रक्रिया को जटिल बनाती है। न केवल सूचना और गणितीय समर्थन की वास्तविक संभावनाओं को ध्यान में रखना आवश्यक है, बल्कि प्राप्त प्रभाव के साथ मॉडलिंग की लागतों की तुलना करना भी आवश्यक है (जैसे-जैसे मॉडल की जटिलता बढ़ती है, लागत में वृद्धि प्रभाव में वृद्धि से अधिक हो सकती है) .

गणितीय मॉडल की महत्वपूर्ण विशेषताओं में से एक विभिन्न गुणवत्ता की समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग की संभावित संभावना है। इसलिए, जब एक नई आर्थिक चुनौती का सामना करना पड़ता है, तब भी किसी को एक मॉडल का "आविष्कार" करने का प्रयास नहीं करना चाहिए; सबसे पहले, इस समस्या को हल करने के लिए पहले से ज्ञात मॉडलों को लागू करने का प्रयास करना आवश्यक है।

मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया में, वैज्ञानिक ज्ञान की दो प्रणालियों - आर्थिक और गणितीय - की तुलना की जाती है। एक ऐसा मॉडल प्राप्त करने का प्रयास करना स्वाभाविक है जो गणितीय समस्याओं के एक अच्छी तरह से अध्ययन किए गए वर्ग से संबंधित हो। अक्सर यह मॉडल की प्रारंभिक मान्यताओं के कुछ सरलीकरण द्वारा किया जा सकता है जो प्रतिरूपित वस्तु की आवश्यक विशेषताओं को विकृत नहीं करते हैं। हालाँकि, यह भी संभव है कि किसी आर्थिक समस्या का औपचारिककरण पहले से अज्ञात गणितीय संरचना की ओर ले जाए। बीसवीं सदी के मध्य में आर्थिक विज्ञान और अभ्यास की जरूरतें। गणितीय प्रोग्रामिंग, गेम थ्योरी, कार्यात्मक विश्लेषण और कम्प्यूटेशनल गणित के विकास में योगदान दिया। यह संभावना है कि भविष्य में गणित की नई शाखाओं के निर्माण के लिए आर्थिक विज्ञान का विकास एक महत्वपूर्ण प्रोत्साहन बन जाएगा।

3. मॉडल का गणितीय विश्लेषण।इस चरण का उद्देश्य मॉडल के सामान्य गुणों को स्पष्ट करना है। यहां शोध की विशुद्ध रूप से गणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण बिंदु तैयार मॉडल (अस्तित्व प्रमेय) में समाधान के अस्तित्व का प्रमाण है। यदि यह साबित करना संभव है कि गणितीय समस्या का कोई हल नहीं है, तो मॉडल के मूल संस्करण पर और काम करने की कोई आवश्यकता नहीं है; या तो आर्थिक समस्या का निरूपण या उसके गणितीय औपचारिकरण के तरीकों को ठीक किया जाना चाहिए। मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन के दौरान, ऐसे प्रश्नों को स्पष्ट किया जाता है, उदाहरण के लिए, समाधान अद्वितीय है, समाधान में कौन से चर (अज्ञात) शामिल किए जा सकते हैं, उनके बीच क्या संबंध होंगे, किस सीमा के भीतर और किस प्रारंभिक के आधार पर वे परिस्थितियाँ बदलते हैं, उनके परिवर्तन की प्रवृत्तियाँ क्या हैं और आदि। अनुभवजन्य (संख्यात्मक) की तुलना में मॉडल के विश्लेषणात्मक अध्ययन का यह फायदा है कि प्राप्त निष्कर्ष मॉडल के बाहरी और आंतरिक मापदंडों के विभिन्न विशिष्ट मूल्यों के लिए मान्य रहते हैं।

मॉडल के सामान्य गुणों का ज्ञान इतना महत्वपूर्ण है कि अक्सर, ऐसे गुणों को साबित करने के लिए, शोधकर्ता जानबूझकर मूल मॉडल के आदर्शीकरण के लिए जाते हैं। और फिर भी, जटिल आर्थिक वस्तुओं के मॉडल बड़ी मुश्किल से विश्लेषणात्मक शोध के लिए खुद को उधार देते हैं। उन मामलों में जब विश्लेषणात्मक तरीके मॉडल के सामान्य गुणों को निर्धारित करने में विफल होते हैं, और मॉडल के सरलीकरण से अस्वीकार्य परिणाम होते हैं, वे जांच के संख्यात्मक तरीकों पर स्विच करते हैं।

4. प्रारंभिक सूचना तैयार करना।मॉडलिंग सूचना प्रणाली पर सख्त आवश्यकताएं लगाता है। इसी समय, सूचना प्राप्त करने की वास्तविक संभावनाएं व्यावहारिक उपयोग के लिए इच्छित मॉडलों की पसंद को सीमित करती हैं। यह न केवल सूचना तैयार करने की मौलिक संभावना (एक निश्चित अवधि के लिए) को ध्यान में रखता है, बल्कि प्रासंगिक सूचना सरणियों को तैयार करने की लागत को भी ध्यान में रखता है। ये लागत अतिरिक्त जानकारी के उपयोग के प्रभाव से अधिक नहीं होनी चाहिए।

सूचना तैयार करने की प्रक्रिया में, संभाव्यता सिद्धांत, सैद्धांतिक और गणितीय सांख्यिकी के तरीकों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। प्रणालीगत आर्थिक और गणितीय मॉडलिंग में, कुछ मॉडलों में उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक जानकारी अन्य मॉडलों के कामकाज का परिणाम होती है।

5. संख्यात्मक समाधान।इस चरण में समस्या के संख्यात्मक समाधान के लिए एल्गोरिदम का विकास, कंप्यूटर प्रोग्राम का संकलन और प्रत्यक्ष गणना शामिल है। इस चरण की कठिनाइयाँ, सबसे पहले, आर्थिक समस्याओं के बड़े आयाम, महत्वपूर्ण मात्रा में सूचनाओं को संसाधित करने की आवश्यकता के कारण हैं।

आमतौर पर, आर्थिक-गणितीय मॉडल पर आधारित गणनाएं बहुभिन्नरूपी प्रकृति की होती हैं। आधुनिक कंप्यूटरों की उच्च गति के कारण, कुछ स्थितियों में विभिन्न परिवर्तनों के तहत मॉडल के "व्यवहार" का अध्ययन करते हुए, कई "मॉडल" प्रयोग करना संभव है। संख्यात्मक विधियों द्वारा किया गया एक अध्ययन एक विश्लेषणात्मक अध्ययन के परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से पूरक कर सकता है, और कई मॉडलों के लिए यह एकमात्र संभव है। आर्थिक समस्याओं का वर्ग जिसे संख्यात्मक तरीकों से हल किया जा सकता है, विश्लेषणात्मक अनुसंधान के लिए सुलभ समस्याओं के वर्ग की तुलना में बहुत व्यापक है।

6. संख्यात्मक परिणामों का विश्लेषण और उनका अनुप्रयोग।चक्र के इस अंतिम चरण में, सिमुलेशन परिणामों की शुद्धता और पूर्णता के बारे में सवाल उठता है, उत्तरार्द्ध की व्यावहारिक प्रयोज्यता की डिग्री के बारे में।

गणितीय सत्यापन विधियां गलत मॉडल निर्माण का पता लगा सकती हैं और इस तरह संभावित सही मॉडल के वर्ग को सीमित कर सकती हैं। मॉडल के माध्यम से प्राप्त सैद्धांतिक निष्कर्षों और संख्यात्मक परिणामों का एक अनौपचारिक विश्लेषण, उपलब्ध ज्ञान और वास्तविकता के तथ्यों के साथ उनकी तुलना भी आर्थिक समस्या के निर्माण, निर्मित गणितीय मॉडल, इसकी जानकारी की कमियों का पता लगाना संभव बनाती है। और गणितीय समर्थन।

संदर्भ

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