T praštevila. Nepraštevila

Prevajanje

Lastnosti praštevil so prvi preučevali matematiki Antična grčija. Matematike pitagorejske šole (500 - 300 pr. n. št.) so zanimale predvsem mistične in numerološke lastnosti praštevil. Bili so prvi, ki so prišli do idej o popolnih in prijaznih številkah.

Popolno število ima vsoto lastnih deliteljev, ki je enaka sebi. Pravilni delitelji števila 6 so na primer 1, 2 in 3. 1 + 2 + 3 = 6. Delitelji števila 28 so 1, 2, 4, 7 in 14. Poleg tega je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Števila imenujemo prijazna, če je vsota pravilnih deliteljev enega števila enaka drugemu in obratno - na primer 220 in 284. Lahko rečemo, da je popolno število prijazno do sebe.

V času Evklidovih Elementov leta 300 pr. več jih je že dokazanih pomembna dejstva glede praštevil. V 9. knjigi Elementov je Evklid dokazal, da obstaja neskončno število praštevil. Mimogrede, to je eden prvih primerov uporabe dokaza s protislovjem. Dokaže tudi temeljni izrek aritmetike - vsako celo število je mogoče edinstveno predstaviti kot produkt praštevil.

Pokazal je tudi, da če je število 2n-1 praštevilo, potem bo število 2n-1 * (2n-1) popolno. Drugemu matematiku, Eulerju, je leta 1747 uspelo dokazati, da je mogoče vsa celo popolna števila zapisati v tej obliki. Do danes ni znano, ali liha popolna števila obstajajo.

Leta 200 pr. Grk Eratosten je izumil algoritem za iskanje praštevil, imenovan Eratostenovo sito.

In potem je prišlo do velikega preloma v zgodovini študija praštevil, povezanega s srednjim vekom.

Do naslednjih odkritij je že v začetku 17. stoletja prišel matematik Fermat. Dokazal je domnevo Alberta Girarda, da je vsako praštevilo oblike 4n+1 mogoče enolično zapisati kot vsoto dveh kvadratov, in oblikoval izrek, da je vsako število mogoče zapisati kot vsoto štirih kvadratov.

Razvil se je nova metoda faktorizacija velike številke, in to demonstriral na številu 2027651281 = 44021 × 46061. Prav tako je dokazal mali Fermatov izrek: če je p praštevilo, potem za vsako celo število a velja, da je a p = a modulo p.

Ta izjava dokazuje polovico tistega, kar je bilo znano kot "kitajska domneva" in sega 2000 let nazaj: celo število n je pra, če in samo če je 2 n -2 deljivo z n. Drugi del hipoteze se je izkazal za napačnega - na primer 2.341 - 2 je deljivo s 341, čeprav je število 341 sestavljeno: 341 = 31 × 11.

Fermatov mali izrek je služil kot podlaga za številne druge rezultate v teoriji števil in metode za preverjanje, ali so števila praštevila - od katerih se mnoge uporabljajo še danes.

Fermat si je veliko dopisoval s svojimi sodobniki, zlasti z menihom po imenu Maren Mersenne. V enem od svojih pisem je postavil hipotezo, da bodo števila v obliki 2 n +1 vedno praštevila, če je n potenca dvojke. To je preizkusil za n = 1, 2, 4, 8 in 16 in bil prepričan, da v primeru, ko n ni potenca dvojke, število ni nujno praštevilo. Ta števila imenujemo Fermatova števila in šele 100 let pozneje je Euler pokazal, da je naslednje število, 2 32 + 1 = 4294967297, deljivo s 641 in torej ni praštevilo.

Števila oblike 2 n - 1 so bila prav tako predmet raziskav, saj je enostavno dokazati, da če je n sestavljeno, je tudi samo število sestavljeno. Ta števila se imenujejo Mersennova števila, ker jih je obširno preučeval.

Toda vsa števila v obliki 2 n - 1, kjer je n praštevilo, niso praštevila. Na primer, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. To je bilo prvič odkrito leta 1536.

Številke te vrste so matematikom dolga leta dajale največja znana števila. praštevila. Da je M 19 dokazal Cataldi leta 1588 in je bilo 200 let največje znano praštevilo, dokler Euler ni dokazal, da je tudi M 31 praštevilo. Ta zapis je obstal še sto let, nato pa je Lucas pokazal, da je M 127 praštevilo (in to je že 39-mestno število), nato pa so se raziskave nadaljevale s prihodom računalnikov.

Leta 1952 je bila dokazana praštevila števil M 521, M 607, M 1279, M 2203 in M 2281.

Do leta 2005 je bilo najdenih 42 Mersennovih praštevil. Največji med njimi, M 25964951, je sestavljen iz 7816230 števk.

Eulerjevo delo je imelo velik vpliv na teorijo števil, vključno s praštevili. Razširil je mali Fermatov izrek in uvedel φ-funkcijo. Faktoriziral 5. Fermatovo število 2 32 +1, našel 60 parov prijaznih števil in formuliral (vendar ni mogel dokazati) kvadratni zakon vzajemnosti.

Bil je prvi, ki je uvedel metode matematične analize in razvil analitično teorijo števil. Dokazal je, da ni samo harmonična vrsta ∑ (1/n), ampak tudi vrsta oblike

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Tudi rezultat, dobljen z vsoto recipročnih vrednosti praštevil, se razlikuje. Vsota n členov harmoničnega niza raste približno kot log(n), drugi niz pa divergira počasneje kot log[ log(n)]. To pomeni, da bo na primer vsota recipročnih vrednosti vseh praštevil, najdenih do danes, dala samo 4, čeprav se serija še vedno razlikuje.

Na prvi pogled se zdi, da so praštevila precej naključno porazdeljena med cela števila. Na primer, med 100 števili neposredno pred 10000000 je 9 praštevil, med 100 števili takoj za to vrednostjo pa sta samo 2. Toda po velikih segmentih so praštevila porazdeljena precej enakomerno. Legendre in Gauss sta se ukvarjala z vprašanji njihove distribucije. Gauss je nekoč rekel prijatelju, da v vseh prostih 15 minutah vedno prešteje število praštevil v naslednjih 1000 številih. Do konca življenja je preštel vsa praštevila do 3 milijone. Legendre in Gauss sta prav tako izračunala, da je za velike n gostota praštevil 1/log(n). Legendre je ocenil število praštevil v območju od 1 do n kot

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

In Gauss je kot logaritemski integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Z integracijskim intervalom od 2 do n.

Trditev o gostoti praštevil 1/log(n) je znana kot izrek o praštevilih. To so poskušali dokazati skozi vse 19. stoletje, napredek pa sta dosegla Čebišev in Riemann. Povezali so jo z Riemannovo hipotezo, še nedokazano hipotezo o porazdelitvi ničel Riemannove funkcije zeta. Gostoto praštevil sta leta 1896 istočasno dokazala Hadamard in Vallée-Poussin.

V teoriji praštevil je še veliko nerešenih vprašanj, nekatera so stara več sto let:

Hipoteza dvojnih praštevil govori o neskončnem številu parov praštevil, ki se med seboj razlikujejo za 2
Goldbachova domneva: vsako sodo število, začenši s 4, je mogoče predstaviti kot vsoto dveh praštevil
Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n 2 + 1?
Ali je vedno mogoče najti praštevilo med n 2 in (n + 1) 2? (dejstvo, da je med n in 2n vedno praštevilo, je dokazal Čebišev)
Ali je število Fermatovih praštevil neskončno? Ali obstajajo Fermatova praštevila po 4?
ali obstaja aritmetična progresija zaporednih praštevil za katero koli dano dolžino? na primer za dolžino 4: 251, 257, 263, 269. Največja ugotovljena dolžina je 26.
Ali obstaja neskončno število nizov treh zaporednih praštevil v aritmetičnem napredovanju?
n 2 - n + 41 je praštevilo za 0 ≤ n ≤ 40. Ali obstaja neskončno število takih praštevil? Isto vprašanje za formulo n 2 - 79 n + 1601. Ta števila so praštevila za 0 ≤ n ≤ 79.
Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n# + 1? (n# je rezultat množenja vseh praštevil, manjših od n)
Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n# -1?
Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n? + 1?
Ali obstaja neskončno število praštevil oblike n? - 1?
če je p pra, ali 2 p -1 vedno ne vsebuje prakvadratov med faktorji?
Ali Fibonaccijevo zaporedje vsebuje neskončno število praštevil?

Največja praštevila dvojčka sta 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sestavljena sta iz 58711 števk in sta bila odkrita leta 2007.

Največje faktorialno praštevilo (tipa n! ± 1) je 147855! - 1. Sestavljen je iz 142891 števk in je bil najden leta 2002.

Največje praštevilo (število v obliki n# ± 1) je 1098133# + 1.

Delitev naravnih števil na praštevila in sestavljena števila pripisujejo starogrškemu matematiku Pitagori. In če sledite Pitagori, potem lahko niz naravnih števil razdelimo v tri razrede: (1) - niz, sestavljen iz enega števila - ena; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – množica praštevil; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – niz sestavljenih števil.

Drugi sklop skriva veliko različnih skrivnosti. Toda najprej ugotovimo, kaj je praštevilo. Odprite "Matematični enciklopedični slovar"(Yu. V. Prokhorov, založba " Sovjetska enciklopedija«, 1988) in se glasi:

Praštevilo je pozitivno celo število, večje od ena, ki nima drugih deliteljev razen sebe in ena: 2,3,5,7,11,13,

Koncept praštevila je temeljni pri preučevanju deljivosti naravnih števil; temeljni izrek aritmetike namreč pravi, da je vsako pozitivno celo število razen 1 mogoče enolično razstaviti v produkt praštevil (vrstni red faktorjev se ne upošteva). Praštevil je neskončno veliko (ta predlog, imenovan Evklidov izrek, so poznali starogrški matematiki; njegov dokaz je mogoče najti v 9. knjigi Evklidovih elementov). P. Dirichlet (1837) je ugotovil, da je v aritmetični progresiji a + bx za x = 1. ,2,c s soprostima celima številoma a in b vsebuje tudi neskončno veliko praštevil.

Iskanje praštevil od 1 do x je znano iz 3. stoletja. pr. n. št e. Eratostenova metoda sita. Pregled zaporedja (*) praštevil od 1 do x kaže, da z naraščanjem x postane v povprečju redkejši. Obstajajo poljubno dolgi segmenti niza naravnih števil, med katerimi ni niti enega praštevila (4. izrek). Hkrati obstajajo praštevila, katerih razlika je enaka 2 (tako imenovani dvojčki). Še vedno ni znano (1987), ali je množica takih dvojčkov končna ali neskončna. Tabele praštevil znotraj prvih 11 milijonov naravnih števil kažejo na prisotnost zelo velikih dvojčkov (na primer 10.006.427 in 10.006.429).

Ugotavljanje porazdelitve praštevil v naravnih vrstah števil je v teoriji števil zelo težaven problem. Formuliran je kot študija asimptotičnega obnašanja funkcije, ki označuje število praštevil, ki ne presegajo pozitivnega števila x. Iz Evklidovega izreka je razvidno, da ko. L. Euler je leta 1737 predstavil funkcijo zeta.

Dokazal je tudi, ko

Pri čemer se sešteva po vseh naravnih številih, zmnožek pa po vseh praštevilih. Ta identiteta in njene posplošitve igrajo temeljno vlogo v teoriji porazdelitve praštevil. Na podlagi tega je L. Euler dokazal, da se vrsta in zmnožek glede na pra p razhajata. Poleg tega je L. Euler ugotovil, da obstaja "veliko" praštevil, ker

In hkrati so skoraj vsa naravna števila sestavljena, saj pri.

in za katero koli (tj. tisto, kar raste kot funkcija). Kronološko je naslednji pomemben rezultat, ki izpopolnjuje Čebiševljev izrek, ti. asimptotični zakon porazdelitve praštevil (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), ki je trdil, da je meja razmerja enaka 1. Kasneje so bila velika prizadevanja matematikov usmerjena v razjasnitev asimptotike zakon porazdelitve praštevil. Vprašanja porazdelitve praštevil se preučujejo z uporabo osnovnih metod in metod matematične analize.

Tukaj je smiselno navesti dokaz nekaterih izrekov, navedenih v članku.

Lema 1. Če je gcd(a, b)=1, potem obstajajo cela števila x, y, taka da.

Dokaz. Naj sta a in b relativno praštevili. Razmislite o množici J vseh naravnih števil z, ki jih je mogoče predstaviti v obliki, in izberite v njej najmanjše število d.

Dokažimo, da je a deljiv z d. Delimo a z d z ostankom: in pustimo. Ker ima obliko, torej

To vidimo.

Ker smo predpostavili, da je d najmanjše število v J, dobimo protislovje. To pomeni, da je a deljiv z d.

Dokažimo na enak način, da je b deljiv z d. Torej d=1. Lema je dokazana.

Izrek 1. Če sta števili a in b soprosti in je produkt bx deljiv z a, potem je x deljiv z a.

Dokaz1. Dokazati moramo, da je ax deljiv z b in gcd(a,b)=1, potem je x deljiv z b.

Po lemi 1 obstajajo x, y taki, da. Potem je očitno deljivo z b.

Dokaz 2. Razmislite o množici J vseh naravnih števil z, tako da je zc deljivo z b. Naj bo d najmanjše število v J. To je enostavno videti. Podobno kot pri dokazu leme 1 je dokazano, da je a deljiv z d in b deljiv z d

Lema 2. Če so števila q,p1,p2,pn praštevila in je produkt deljiv s q, potem je eno od števil pi enako q.

Dokaz. Najprej upoštevajte, da če je praštevilo p deljivo s q, potem je p=q. To takoj sledi trditvi leme za n=1. Za n=2 sledi neposredno iz izreka 1: če je p1p2 deljivo s praštevilom q in, potem je p2 deljivo z q(tj. e).

Lemo bomo za n=3 dokazali takole. Naj bo p1 p2 p3 deljeno s q. Če je p3 =q, je vse dokazano. Če, potem je po izreku 1 p1 p2 deljivo s q. Tako smo primer n=3 zreducirali na že obravnavani primer n=2.

Na enak način lahko gremo od n=3 do n=4, nato do n=5 in na splošno, ob predpostavki, da je trditev n=k leme dokazana, jo zlahka dokažemo za n=k+ 1. To nas prepriča, da lema velja za vse n.

Temeljni izrek aritmetike. Vsako naravno število je mogoče faktorizirati na edinstven način.

Dokaz. Recimo, da obstajata dve razgradnji števila a na prafaktorje:

Ker desni del je deljiv s q1, potem leva stran enakosti morajo biti deljive s q1. Po lemi 2 je eno od števil enako q1. Odštejmo obe strani enakosti s q1.

Izvedimo isto sklepanje za q2, nato za q3, za qi. Na koncu se bodo vsi faktorji na desni izničili in ostal bo 1. Na levi strani seveda ne bo ostalo nič razen enega. Iz tega sklepamo, da se obe razširitvi in lahko razlikujeta le v vrstnem redu faktorjev. Izrek je dokazan.

Evklidov izrek. Niz praštevil je neskončen.

Dokaz. Recimo, da je niz praštevil končen in zadnje praštevilo označimo s črko N. Sestavimo produkt

Temu dodamo 1. Dobimo:

To število, ki je celo število, mora vsebovati vsaj en prafaktor, to pomeni, da mora biti deljivo z vsaj enim praštevilom. Toda vsa praštevila po predpostavki ne presegajo N in število M+1 ni deljivo brez ostanka z nobenim od praštevil, manjšim ali enakim N - vsakič, ko je ostanek 1. Izrek je dokazan.

Izrek 4. Odseki sestavljenih števil med praštevili so lahko poljubno dolgi. Zdaj bomo dokazali, da niz sestavlja n zaporednih sestavljenih števil.

Ta števila si sledijo neposredno eno za drugim v naravnem nizu, saj je vsako naslednje za 1 večje od prejšnjega. Treba je še dokazati, da so vsi sestavljeni.

Prva številka

Enako, ker oba njegova člena vsebujeta faktor 2. In vsako sodo število, večje od 2, je sestavljeno.

Drugo število je sestavljeno iz dveh členov, od katerih je vsak večkratnik števila 3. To pomeni, da je to število sestavljeno.

Na podoben način ugotovimo, da je naslednje število večkratnik števila 4 itd. Z drugimi besedami, vsako število v našem nizu vsebuje faktor, ki je drugačen od enote in samega sebe; je torej sestavljena. Izrek je dokazan.

Ko smo preučili dokaze izrekov, nadaljujemo z obravnavo članka. Njegovo besedilo je omenilo Eratostenovo metodo rešeta kot način iskanja praštevil. Preberimo o tej metodi iz istega slovarja:

»Eratostenovo sito je metoda, ki jo je razvil Eratosten in vam omogoča presejanje sestavljena števila od naravna serija. Bistvo Eratostenovega sita je naslednje. Enota je prečrtana. Številka dve je praštevilo. Prečrtana so vsa naravna števila, deljiva z 2. Število 3 – prvo neprečrtano število bo praštevilo. Nato se prečrtajo vsa naravna števila, ki so deljiva s 3. Število 5 - naslednje neprečrtano število - bo praštevilo. Če nadaljujete s podobnimi izračuni, lahko najdete poljubno dolg segment zaporedja praštevil. Eratostenovo sito kot teoretično metodo za preučevanje teorije števil je razvil V. Brun (1919).

Tukaj največje število, za katerega je trenutno znano, da je preprost:

To število ima približno sedemsto decimalnih mest. Izračuni, s katerimi je bilo ugotovljeno, da je to število praštevilo, so bili izvedeni na sodobnih računalnikih.

»Riemannova zeta funkcija, -funkcija, je analitična funkcija kompleksne spremenljivke za σ>1, ki jo absolutno in enakomerno določa konvergentna Dirichletova vrsta:

Za σ>1 velja predstavitev v obliki Eulerjevega produkta:

(2) kjer p poteka skozi vsa praštevila.

Identiteta serije (1) in produkta (2) je ena glavnih lastnosti funkcije zeta. Omogoča nam pridobitev različnih odnosov, ki povezujejo funkcijo zeta z najpomembnejšimi številsko-teoretičnimi funkcijami. Zato ima funkcija zeta veliko vlogo v teoriji števil.

Funkcijo zeta je kot funkcijo realne spremenljivke uvedel L. Euler (1737, obj. 1744), ki je nakazal njeno mesto v produktu (2). Nato je funkcijo zeta obravnaval P. Dirichlet in še posebej uspešno P. L. Chebyshev v povezavi s preučevanjem zakona porazdelitve praštevil. Vendar pa so bile najgloblje lastnosti zeta funkcije odkrite po delu B. Riemanna, ki je leta 1859 prvič obravnaval zeta funkcijo kot funkcijo kompleksne spremenljivke, uvedel je tudi ime "zeta funkcija" in oznaka """.

Toda postavlja se vprašanje: kakšna je praktična uporaba vsega tega dela na praštevilih? Resda od njih skoraj ni nobene koristi, vendar obstaja področje, kjer se praštevila in njihove lastnosti uporabljajo še danes. To je kriptografija. Tukaj se praštevila uporabljajo v sistemih šifriranja brez prenosa ključev.

Na žalost je to vse, kar je znano o praštevilih. Ostalo je še veliko skrivnosti. Na primer, ni znano, ali je množica praštevil, ki jih je mogoče predstaviti kot dva kvadrata, neskončna.

"TEŽKA PRŠTEVA".

Odločil sem se malo raziskati, da bi našel odgovore na nekaj vprašanj o praštevilih. Najprej sem sestavil program, ki izdela vsa zaporedna praštevila, manjša od 1.000.000.000, poleg tega sem sestavil program, ki ugotavlja, ali je vpisano praštevilo praštevilo. Za preučevanje problemov praštevil sem sestavil graf, ki prikazuje odvisnost vrednosti praštevila od rednega števila.Kot nadaljnji raziskovalni načrt sem se odločil uporabiti članek I. S. Zeltserja in B. A. Kordemskega »Zanimive jate praštevil številke." Avtorji so identificirali naslednje raziskovalne poti:

1. 168 mest v prvih tisoč naravnih številih zasedajo praštevila. Od tega je 16 števil palindromnih – vsako je enako svojemu obratnemu številu: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Obstaja le 1061 štirimestnih praštevil in nobeno od njih ni palindromno.

Obstaja veliko petmestnih prapalindromskih števil. Vključujejo takšne lepote: 13331, 15551, 16661, 19991. Nedvomno obstajajo jate te vrste: ,. Koliko primerkov pa je v vsaki taki jati?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Vidimo, da je vsota števk števil deljiva s 3, torej so tudi ta števila deljiva s 3.

Kar zadeva številke oblike, so med njimi praštevila 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. V prvih tisoč številih je pet »kvartetkov«, sestavljenih iz zaporednih praštevil, katerih zadnje števke tvorijo zaporedje 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Koliko takšnih četveric je med n-mestnimi praštevili za n›3?

S pomočjo programa, ki sem ga napisal, je bil najden kvartet, ki so ga avtorji spregledali: (479, 467, 463, 461) in kvarteti za n = 4, 5, 6. Za n = 4 je 11 kvartetov

3. Jata devetih praštevil: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 ni privlačna le zato, ker predstavlja aritmetično progresijo z razliko 210, ampak tudi zato, ker se lahko prilega devetim celice tako, da se tvori magični kvadrat s konstanto, ki je enaka razliki dveh praštevil: 3119 – 2:

Naslednji, deseti člen obravnavane progresije, 2089, je prav tako praštevilo. Če iz jate odstranite številko 199, vendar vključite 2089, lahko jata tudi v tej sestavi tvori čarobni kvadrat - temo za iskanje.

Upoštevati je treba, da obstajajo tudi drugi magični kvadrati, sestavljeni iz praštevil:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Predlagani trg je zanimiv, ker

1. Je magični kvadrat 7x7;

2. Vsebuje magični kvadrat 5x5;

3. Čarobni kvadrat 5x5 vsebuje čarobni kvadrat 3x3;

4. Vsi ti kvadrati imajo eno skupno centralno številko - 3407;

5. Vseh 49 števil v kvadratu 7x7 se konča s številko 7;

6. Vseh 49 števil v kvadratu 7x7 je praštevil;

7. Vsako od 49 števil, vključenih v kvadrat 7x7, je mogoče predstaviti kot 30n + 17.

Uporabljene programe sem napisal v programskem jeziku Dev-C++ in njihova besedila podajam v prilogi (glej datoteke s končnico .srr). Poleg vsega naštetega sem napisal program, ki razgradi zaporedna naravna števila na prafaktorje (glej Delitelji 1. срр) in program, ki razgradi samo vpisano število na prafaktorje (glej Delitelji 2. срр). Ker ti programi v prevedeni obliki zavzamejo preveč prostora, so navedena samo njihova besedila. Sestavi pa jih lahko vsak, če ima pravi program.

BIOGRAFIJE ZNANSTVEVNIKOV, KI SE VKLJUČUJEJO V PROBLEM PRŠTEV

EUKLID

(okoli 330 pr. n. št. – c. 272 pr. n. št.)

O življenju najslavnejšega matematika antike je ohranjenih zelo malo zanesljivih podatkov. Domneva se, da je študiral v Atenah, kar pojasnjuje njegovo briljantno obvladovanje geometrije, ki jo je razvila Platonova šola. Vendar pa očitno ni bil seznanjen z deli Aristotela. Poučeval je v Aleksandriji, kjer si je prislužil veliko pohvalo za svoje pedagoška dejavnost med vladavino Ptolemeja I. Soterja. Obstaja legenda, da je ta kralj od njega zahteval, naj odkrije način za doseganje hitrega uspeha v matematiki, na kar je Evklid odgovoril, da v geometriji ni kraljevskih poti (podobno zgodbo pa pripovedujejo tudi o Menchemu, ki naj bi ga spraševali o enako Aleksander Veliki). Tradicija je ohranila spomin na Evklida kot na dobrohotno in skromno osebo. Evklid - avtor razprav o različne teme, vendar je njegovo ime povezano predvsem z eno od razprav, imenovano »Načela«. Gre za zbirko del matematikov, ki so delovali pred njim (najbolj znan med njimi je bil Hipokrat s Kosa), katerih rezultate je zaradi svoje sposobnosti posploševanja in trdega dela pripeljal do popolnosti.

EULER LEONARD

(Basel, Švica 1707 – St. Petersburg, 1783)

Matematik, mehanik in fizik. Rojen v družini revnega pastorja Paula Eulerja. Izobraževal se je najprej pri očetu, v letih 1720–24 pa na Univerzi v Baslu, kjer je poslušal predavanja iz matematike I. Bernoullija.

Konec leta 1726 je bil Euler povabljen na peterburško akademijo znanosti in maja 1727 je prispel v St. V novo organizirani akademiji je Euler našel ugodne pogoje za znanstvena dejavnost, kar mu je omogočilo, da je takoj začel študirati matematiko in mehaniko. V 14 letih prvega peterburškega obdobja svojega življenja je Euler pripravil za objavo približno 80 del in jih objavil preko 50. V Sankt Peterburgu je študiral ruski jezik.

Euler je sodeloval na številnih področjih dejavnosti Sanktpeterburške akademije znanosti. Predaval je študentom na akademski univerzi, sodeloval pri različnih tehničnih pregledih, delal na sestavljanju zemljevidov Rusije in napisal javno dostopen »Priročnik za aritmetiko« (1738–40). Po posebnih navodilih Akademije je Euler za objavo pripravil "Marine Science" (1749) - temeljno delo o teoriji ladjedelništva in navigacije.

Leta 1741 je Euler sprejel ponudbo pruskega kralja Friderika II., da se preseli v Berlin, kjer naj bi potekala reorganizacija Akademije znanosti. Na berlinski akademiji znanosti je Euler prevzel mesto direktorja matematičnega razreda in člana upravnega odbora, po smrti njenega prvega predsednika P. Maupertuisa pa je več let (od 1759) akademijo tudi dejansko vodil. V 25 letih svojega življenja v Berlinu je pripravil okoli 300 del, med njimi vrsto obsežnih monografij.

Medtem ko je živel v Berlinu, Euler ni nehal intenzivno delati za Sanktpeterburško akademijo znanosti in ohranil naziv njenega častnega člana. Vodil je obsežno znanstveno in znanstveno-organizacijsko korespondenco, zlasti si je dopisoval z M. Lomonosovom, ki ga je zelo cenil. Euler je urejal matematični oddelek ruskega akademskega znanstvenega telesa, kjer je v tem času objavil skoraj toliko člankov kot v "Memoirs" Berlinske akademije znanosti. Aktivno je sodeloval pri usposabljanju ruskih matematikov; Bodoči akademiki S. Kotelnikov, S. Rumovsky in M. Sofronov so bili poslani v Berlin na študij pod njegovim vodstvom. Velika pomoč Euler je pomagal Akademiji znanosti v Sankt Peterburgu in pridobil zanjo znanstvena literatura in opremo, pogajanja s kandidati za delovna mesta na akademiji itd.

17. (28.) julija 1766 se je Euler z družino vrnil v Sankt Peterburg. Kljub visoki starosti in skoraj popolni slepoti, ki ga je doletela, je produktivno delal do konca življenja. V 17 letih svojega drugega bivanja v Sankt Peterburgu je pripravil okoli 400 del, med njimi več velikih knjig. Euler je še naprej sodeloval pri organizacijskem delu akademije. Leta 1776 je bil eden od strokovnjakov za projekt enoločnega mostu čez Nevo, ki ga je predlagal I. Kulibin, in od celotne komisije je bil edini, ki je zagotovil široko podporo projektu.

Eulerjeve zasluge kot velikega znanstvenika in organizatorja znanstvena raziskava v času svojega življenja prejel veliko pohval. Poleg peterburške in berlinske akademije je bil član največjih znanstvenih ustanov: Pariške akademije znanosti, Kraljeve družbe v Londonu in drugih.

Eden od značilnih vidikov Eulerjevega dela je njegova izjemna produktivnost. Samo v času njegovega življenja je bilo objavljenih okoli 550 njegovih knjig in člankov (seznam Eulerjevih del obsega približno 850 naslovov). Leta 1909 je začelo izhajati Švicarsko naravoslovno društvo polno srečanje Eulerjeva dela, ki je bila dokončana leta 1975; obsega 72 zvezkov. Zelo zanimiva je tudi ogromna Eulerjeva znanstvena korespondenca (okrog 3000 pisem), ki je bila doslej le delno objavljena.

Eulerjev obseg dejavnosti je bil nenavadno širok in je zajemal vse oddelke sodobne matematike in mehanike, teorijo elastičnosti, matematično fiziko, optiko, teorijo glasbe, teorijo strojev, balistiko, pomorsko znanost, zavarovalništvo itd. Približno 3/5 Eulerjevih del se nanaša na matematiki, preostalih 2/5 pa predvsem njenim aplikacijam. Znanstvenik je sistematiziral svoje rezultate in rezultate drugih v številnih klasičnih monografijah, napisanih z neverjetno jasnostjo in opremljenih z dragocenimi primeri. To so na primer »Mehanika ali znanost o gibanju, razložena analitično« (1736), »Uvod v analizo« (1748), »Diferencialni račun« (1755), »Teorija gibanja«. trdna"(1765), "Univerzalna aritmetika" (1768–69), ki je doživela približno 30 izdaj v 6 jezikih, "Integralni račun" (1768–94) itd. V 18. st. , delno pa v 19. stol. Izjemno priljubljena so postala javno dostopna »Pisma o različnih fizičnih in filozofskih zadevah, pisana neki nemški princesi«. « (1768–74), ki je doživelo več kot 40 izdaj v 10 jezikih. Večina vsebine Eulerjevih monografij je bila nato vključena v učbenike za višje in delno srednje šole. Nemogoče je našteti vse Eulerjeve izreke, metode in formule, ki so še v uporabi, od katerih se jih le nekaj pojavlja v literaturi pod njegovim imenom [na primer Eulerjeva metoda lomljene črte, Eulerjeve substitucije, Eulerjeva konstanta, Eulerjeve enačbe, Eulerjeve formule, Eulerjeva funkcija, Eulerjeva števila, Eulerjeva formula - Maclaurin, Euler–Fourierjeve formule, Eulerjeva karakteristika, Eulerjevi integrali, Eulerjevi koti].

V Mehaniki je Euler z matematično analizo prvič orisal dinamiko točke: prosto gibanje točke pod vplivom različnih sil tako v praznini kot v mediju z uporom; premikanje točke vzdolž dane črte ali površine; gibanje pod vplivom centralnih sil. Leta 1744 je prvi pravilno formuliral mehanski princip najmanjšega delovanja in pokazal njegove prve uporabe. V Teoriji gibanja togega telesa je Euler razvil kinematiko in dinamiko togega telesa in podal enačbe za njegovo rotacijo okoli fiksne točke, s čimer je postavil temelje za teorijo žiroskopov. Euler je v svoji teoriji ladje dragoceno prispeval k teoriji stabilnosti. Eulerjeva odkritja so bila pomembna v nebesni mehaniki (na primer v teoriji gibanja Lune), mehaniki kontinuuma (osnovne enačbe gibanja idealne tekočine v Eulerjevi obliki in v tako imenovanih Lagrangeovih spremenljivkah, nihanje plinov v ceveh). itd.). V optiki je Euler (1747) podal formulo za bikonveksno lečo in predlagal metodo za izračun lomnega količnika medija. Euler se je držal valovne teorije svetlobe. Verjel je, da različne barve ustrezajo različnim valovnim dolžinam svetlobe. Euler je predlagal načine za odpravo kromatskih aberacij leč in dal metode za izračun optičnih komponent mikroskopa. Euler je obsežno serijo del, ki se je začela leta 1748, posvetil matematični fiziki: problemom nihanja vrvice, plošče, membrane itd. Vse te študije so spodbudile razvoj teorije diferencialnih enačb, približnih analiznih metod in posebnih tehnik. . funkcije, diferencialna geometrija itd. V teh delih so zapisana številna Eulerjeva matematična odkritja.

Eulerjevo glavno delo kot matematika je bil razvoj matematične analize. Postavil je temelje več matematičnih disciplin, ki so bile v neskončno malem I. Newtonu, G. Leibnizu in bratih Bernoulli le v svoji rudimentarni obliki ali pa jih sploh ni bilo. Tako je Euler prvi uvedel funkcije kompleksnega argumenta in raziskoval lastnosti osnovnih elementarnih funkcij kompleksne spremenljivke (eksponentne, logaritemske in trigonometrične funkcije); zlasti je izpeljal formule, ki povezujejo trigonometrične funkcije z eksponentnimi funkcijami. Eulerjevo delo v tej smeri je postavilo temelje za teorijo funkcij kompleksne spremenljivke.

Euler je bil ustvarjalec variacijskega računa, predstavljenega v delu »Metoda iskanja ukrivljenih črt, ki imajo lastnosti maksimuma ali minimuma. « (1744). Metoda, s katero je Euler izpeljal leta 1744 potreben pogoj ekstrem funkcionala - Eulerjeva enačba, je bila prototip direktnih metod variacijskega računa 20. stoletja. Euler je ustvaril teorijo navadnih diferencialnih enačb kot samostojno disciplino in postavil temelje teoriji parcialnih diferencialnih enačb. Tukaj ima ogromno odkritij: klasičen način rešitve linearnih enačb s konstantnimi koeficienti, metoda variacije poljubnih konstant, razjasnitev osnovnih lastnosti Riccatijeve enačbe, integracija linearnih enačb s spremenljivimi koeficienti z uporabo neskončnih nizov, kriteriji za posebne rešitve, nauk o integrirnem faktorju, razn. približne metode in številne tehnike za reševanje parcialnih diferencialnih enačb. Euler je velik del teh rezultatov zbral v svojem "Integralnem računu".

Euler je obogatil tudi diferencialni in integralni račun v ožjem pomenu besede (npr. nauk o spremembah spremenljivk, izrek o homogenih funkcijah, koncept dvojnega integrala in izračun številnih posebnih integralov). V "Diferencialnem računu" je Euler izrazil in s primeri podprl svoje prepričanje o smiselnosti uporabe divergentnih vrst in predlagal metode za posplošeno seštevanje vrst, pri čemer je predvideval ideje sodobne stroge teorije divergentnih vrst, ki je nastala na prelomu 19. 20. stoletja. Poleg tega je Euler dobil veliko konkretnih rezultatov v teoriji serij. Odkril je t.i. Euler–Maclaurinovo formulo seštevanja, predlagal transformacijo vrst, ki nosi njegovo ime, določil vsote ogromnega števila vrst in v matematiko uvedel pomembne nove vrste vrst (na primer trigonometrične vrste). Sem sodijo tudi Eulerjeve raziskave teorije zveznih ulomkov in drugih neskončnih procesov.

Euler je utemeljitelj teorije posebnih funkcij. Bil je prvi, ki je sinus in kosinus obravnaval kot funkciji in ne kot segmenta v krogu. Dobil je skoraj vse klasične razširitve elementarnih funkcij v neskončne serije in produkte. Njegova dela so ustvarila teorijo γ-funkcije. Študiral je lastnosti eliptičnih integralov, hiperboličnih in cilindričnih funkcij, ζ-funkcije, nekatere θ-funkcije, integralni logaritem in pomembne razrede posebnih polinomov.

Po P. Čebiševu je Euler postavil temelje vsem raziskavam, ki sestavljajo splošni del teorije števil. Tako je Euler dokazal številne trditve P. Fermata (na primer mali Fermatov izrek), razvil temelje teorije potenčnih ostankov in teorije kvadratnih oblik, odkril (vendar ne dokazal) kvadratni zakon recipročnosti, in proučeval številne probleme diofantske analize. Euler je v svojih delih o delitvi števil na člene in o teoriji praštevil prvi uporabil metode analize in s tem postal ustvarjalec analitično teorijoštevilke. Predvsem je uvedel ζ-funkcijo in dokazal t.i. Eulerjeva identiteta, ki povezuje praštevila z vsemi naravnimi števili.

Euler je dosegel velike dosežke tudi na drugih področjih matematike. V algebri je pisal dela o reševanju enačb v radikalih višje stopnje in o enačbah z dvema neznankama ter o t.i. Eulerjeva identiteta štirih kvadratov. Euler je znatno napredoval analitično geometrijo, zlasti nauk o površinah drugega reda. V diferencialni geometriji je podrobno preučeval lastnosti geodetskih črt, prvi uporabil naravne enačbe krivulj in, kar je najpomembnejše, postavil temelje teorije ploskev. Uvedel je pojem glavnih smeri v točki na ploskvi, dokazal njihovo ortogonalnost, izpeljal formulo za ukrivljenost katerega koli normalnega odseka, začel študij razvitih ploskev itd.; v enem posthumno objavljenem delu (1862) je deloma predvidel raziskave K. Gaussa o notranji geometriji površin. Euler se je ukvarjal tudi z nekaterimi vprašanji topologije in dokazal na primer pomemben izrek o konveksnih poliedrih. Matematika Eulerja pogosto označujejo kot briljantnega »kalkulatorja«. Bil je namreč neprekosljiv mojster formalnih postavitev in transformacij, v njegovih delih mnogo matematične formule in prejeli simbole moderen videz(na primer, ima notacijo za e in π). Vendar je Euler v znanost vnesel tudi vrsto globokih idej, ki so danes strogo utemeljene in služijo kot primer globine prodiranja v predmet raziskovanja.

Po P. Laplaceu je bil Euler učitelj matematikov v drugi polovici 18. stoletja.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, zdaj Nemčija, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Študiral je v Parizu in vzdrževal prijateljske odnose z izjemnimi matematiki, zlasti s Fourierjem. Po diplomi je bil profesor na univerzah v Breslauu (1826 - 1828), Berlinu (1828 - 1855) in Göttingenu, kjer je po smrti znanstvenika Carla Friedricha Gaussa postal predstojnik oddelka za matematiko. Njegov največji prispevek k znanosti se nanaša na teorijo števil, predvsem na študij vrst. To mu je omogočilo razvoj teorije nizov, ki jo je predlagal Fourier. Ustvaril lastno različico dokaza Fermatovega izreka, uporabil analitične funkcije za reševanje aritmetičnih problemov in uvedel konvergenčna merila za vrste. Na področju matematične analize je izpopolnil definicijo in koncept funkcije, na področju teoretične mehanike pa se je osredotočil na študij stabilnosti sistemov in na Newtonov koncept potenciala.

ČEBIŠEV PAFNUTIJ LVOVIČ

Ruski matematik, ustanovitelj peterburške znanstvene šole, akademik Sanktpeterburške akademije znanosti (1856). Dela Čebiševa so postavila temelje za razvoj številnih novih vej matematike.

Najštevilnejša dela Čebiševa so bila na področju matematične analize. Zlasti mu je bila posvečena disertacija za pravico do predavanj, v kateri je Chebyshev raziskoval integrabilnost nekaterih iracionalnih izrazov v algebrskih funkcijah in logaritmih. Čebišev je integraciji algebrskih funkcij posvetil tudi številna druga dela. V enem od njih (1853) je bil pridobljen dobro znani izrek o pogojih integrabilnosti v elementarnih funkcijah diferencialnega binoma. Pomembno področje raziskav o matematična analiza sestavljajo njegova dela o konstrukciji splošne teorije ortogonalnih polinomov. Razlog za njen nastanek je bila parabolična interpolacija po metodi najmanjših kvadratov. Čebiševljevo raziskovanje problema momentov in kvadraturnih formul je sosednje temu istemu krogu idej. Da bi zmanjšal izračune, je Chebyshev (1873) predlagal, da se upoštevajo kvadraturne formule z enakimi koeficienti (približna integracija). Raziskave kvadraturnih formul in teorije interpolacije so bile tesno povezane z nalogami, ki so bile postavljene Čebiševu v topniškem oddelku vojaškega znanstvenega odbora.

V teoriji verjetnosti je Chebyshev zaslužen za sistematično uvedbo naključne spremenljivke in ustvarjanje nove tehnike za dokazovanje mejnih izrekov v teoriji verjetnosti – t.i. metodo momentov (1845, 1846, 1867, 1887). Dokazal je, da je zakon velikih števil zelo splošna oblika; Poleg tega je njegov dokaz presenetljiv v svoji preprostosti in elementarnosti. Čebišev študije pogojev za konvergenco porazdelitvenih funkcij vsot neodvisnih naključnih spremenljivk k normalnemu zakonu ni dokončal. Vendar pa je A. A. Markovu z nekaj dodatki k metodam Čebiševa to uspelo. Brez strogih zaključkov je Chebyshev orisal tudi možnost razjasnitve tega mejnega izreka v obliki asimptotičnih razširitev porazdelitvene funkcije vsote neodvisnih členov po potencah n21/2, kjer je n število členov. Čebiševljevo delo na teoriji verjetnosti predstavlja pomembno stopnjo v njenem razvoju; poleg tega so bili osnova, na kateri je zrasla ruska šola teorije verjetnosti, ki so jo sprva sestavljali neposredni učenci Čebiševa.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Spodnja Saška, 1826 - Selaska, blizu Intre, Italija 66)

nemški matematik. Leta 1846 je vstopil na Univerzo v Göttingenu: poslušal je predavanja K. Gaussa, čigar mnoge ideje je pozneje razvil. V letih 1847–49 je obiskoval predavanja na Univerzi v Berlinu; leta 1849 se je vrnil v Göttingen, kjer se je zbližal z Gaussovim sodelavcem, fizikom W. Webrom, ki je v njem vzbudil globoko zanimanje za vprašanja matematične znanosti.

Leta 1851 je zagovarjal doktorsko disertacijo "Osnove splošne teorije funkcij ene kompleksne spremenljivke". Od 1854 je bil zasebni docent, od 1857 pa profesor na univerzi v Göttingenu.

Riemannovo delo je imelo velik vpliv na razvoj matematike 2 polovica 19. stoletja V. in v 20. stoletju. V svoji doktorski disertaciji je Riemann postavil temelje geometrijski smeri teorije analitičnih funkcij; uvedel je tako imenovane Riemannove ploskve, ki so pomembne pri proučevanju večvrednih funkcij, razvil teorijo konformnih preslikav in v zvezi s tem podal osnovne ideje topologije, preučeval pogoje za obstoj analitičnih funkcij. znotraj domen različne vrste(tako imenovano Dirichletovo načelo) itd. Metode, ki jih je razvil Riemann, so bile široko uporabljene v njegovih nadaljnjih delih o teoriji algebraičnih funkcij in integralov, o analitični teoriji diferencialnih enačb (zlasti enačb, ki definirajo hipergeometrične funkcije), na analitična teorija števil (na primer, Riemann je nakazal povezavo med porazdelitvijo praštevil in lastnostmi ζ-funkcije, zlasti s porazdelitvijo njenih ničel v kompleksnem območju - tako imenovana Riemannova hipoteza, katere veljavnost še ni dokazano) itd.

Riemann je v številnih delih raziskoval razgradljivost funkcij v trigonometrične vrste in v zvezi s tem določil potrebno in zadostni pogoji integrabilnost v riemannovem smislu, kar je bilo pomembno za teorijo množic in funkcij realne spremenljivke. Riemann je predlagal tudi metode za integracijo parcialnih diferencialnih enačb (na primer z uporabo tako imenovanih Riemannovih invariant in Riemannove funkcije).

V svojem znamenitem predavanju iz leta 1854 "O hipotezah, ki so osnova geometrije" (1867) je Riemann podal splošno predstavo o matematičnem prostoru (po njegovih besedah "raznoterih"), vključno s funkcionalnimi in topološkimi prostori. Tu je obravnaval geometrijo v širšem smislu kot preučevanje zveznih n-dimenzionalnih mnogoterosti, tj. zbirk kakršnih koli homogenih objektov, in posplošil rezultate Gaussa o notranji geometriji površine, dal splošni koncept linearni element (diferencial razdalje med točkami mnogoterosti), s čimer definira tako imenovane Finslerjeve prostore. Riemann je podrobneje preučil tako imenovane Riemannove prostore, posplošil prostore Evklidske, Lobačevskega in Riemannove eliptične geometrije, za katere je značilna posebna vrsta linearnega elementa, in razvil nauk o njihovi ukrivljenosti. Ko je razpravljal o uporabi svojih idej v fizičnem prostoru, je Riemann postavil vprašanje o "vzrokih metričnih lastnosti" le-tega, kot da bi predvideval, kaj se je zgodilo v splošni teoriji relativnosti.

Ideje in metode, ki jih je predlagal Riemann, so odprle nove poti v razvoju matematike in našle uporabo v mehaniki in splošni teoriji relativnosti. Znanstvenik je leta 1866 umrl zaradi tuberkuloze.

Praštevilo je naravno število, ki je deljivo samo s seboj in z ena.

Preostala števila imenujemo sestavljena števila.

Pranaravna števila

Niso pa vsa naravna števila praštevila.

Pranaravna števila so le tista, ki so deljiva le sama s seboj in ena.

Primeri praštevil:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Pracela števila

Iz tega sledi, da so samo naravna števila praštevila.

To pomeni, da so praštevila nujno naravna števila.

Toda vsa naravna števila so tudi cela števila.

Tako so vsa praštevila cela števila.

Primeri praštevil:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Tudi praštevila

Obstaja samo eno sodo praštevilo - število dve.

Vsa druga praštevila so liha.

Zakaj sodo število, večje od dveh, ne more biti praštevilo?

Ker pa bo vsako sodo število, večje od dve, deljivo samo s seboj, ne z ena in z dvema, bo tako število vedno imelo tri delitelje, lahko pa tudi več.

Ilyin odgovor je pravilen, vendar ni zelo podroben. Mimogrede, v 18. stoletju je ena še vedno veljala za praštevilo. Na primer tako veliki matematiki, kot sta Euler in Goldbach. Goldbach je avtor enega od sedmih problemov tisočletja – Goldbachove hipoteze. Prvotna formulacija pravi, da je vsako sodo število mogoče predstaviti kot vsoto dveh praštevil. Poleg tega je bilo prvotno 1 upoštevano kot praštevilo in vidimo tole: 2 = 1+1. To je najmanjši primer, ki zadovoljuje prvotno formulacijo hipoteze. Kasneje je bila popravljena in formulacija je dobila sodobno obliko: "vsako sodo število, začenši s 4, je mogoče predstaviti kot vsoto dveh praštevil."

Spomnimo se definicije. Praštevilo je naravno število p, ki ima samo 2 različna naravna delitelja: sam p in 1. Posledica iz definicije: praštevilo p ima samo en praštevilo - sam p.

Zdaj pa predpostavimo, da je 1 praštevilo. Po definiciji ima praštevilo le en praštevilo - samo sebe. Potem se izkaže, da je vsako praštevilo, večje od 1, deljivo s praštevilom, ki je od njega različno (z 1). Toda dveh različnih praštevil ni mogoče deliti med seboj, ker sicer niso praštevila, ampak sestavljena števila, kar je v nasprotju z definicijo. S tem pristopom se izkaže, da obstaja samo eno praštevilo - enota sama. Ampak to je absurd. Zato 1 ni praštevilo.

1, kot tudi 0, tvorita drug razred števil - razred nevtralnih elementov glede na n-arne operacije v neki podmnožici algebraičnega polja. Poleg tega je glede na operacijo seštevanja 1 tudi tvorni element za obroč celih števil.

S tem premislekom ni težko odkriti analogov praštevil v drugih algebrskih strukturah. Recimo, da imamo multiplikativno skupino, sestavljeno iz potenc števila 2, začenši z 1: 2, 4, 8, 16, ... itd. 2 tukaj deluje kot oblikovalni element. Praštevilo v tej skupini je število, ki je večje od najmanjšega elementa in je deljivo samo s seboj in s najmanjši element. V naši skupini imajo takšne lastnosti samo 4. To je to. V naši skupini ni več praštevil.

Če bi bilo 2 tudi praštevilo v naši skupini, potem glej prvi odstavek - spet bi se izkazalo, da je samo 2 praštevilo.

praštevilo je naravno (pozitivno celo) število, ki je brez ostanka deljivo le z dvema naravnima številoma: s samim seboj in s samim seboj. Z drugimi besedami, praštevilo ima natanko dva naravna delitelja: in število samo.

Po definiciji je množica vseh deliteljev praštevila dvoelementna, tj. predstavlja niz.

Množica vseh praštevil je označena s simbolom . Tako lahko zaradi definicije množice praštevil zapišemo: .

Zaporedje praštevil je videti takole:

Temeljni izrek aritmetike

Temeljni izrek aritmetike trdi, da je vsako naravno število, večje od ena, mogoče predstaviti kot produkt praštevil, in edina pot do vrstnega reda dejavnikov. Tako so praštevila osnovni "gradniki" množice naravnih števil.

Razširitev naravnih števil title="Upodobljeno s QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanoničen:

kjer je praštevilo in . na primer kanonična razgradnja naravno število izgleda takole: .

Imenuje se tudi predstavitev naravnega števila kot produkta praštevil faktorizacija števila.

Lastnosti praštevil

Eratostenovo sito

Eden najbolj znanih algoritmov za iskanje in prepoznavanje praštevil je sito Eratostena. Tako je ta algoritem dobil ime po grškem matematiku Eratostenu iz Cirene, ki velja za avtorja algoritma.

Če želite najti vsa praštevila, manjša od danega števila, po Eratostenovi metodi sledite tem korakom:

Korak 1. Zapišite vsa naravna števila od dve do , tj. .
2. korak Spremenljivki dodelite vrednost , to je vrednost, ki je enaka najmanjšemu praštevilu.
3. korak Na seznamu prečrtaj vse številke od do , ki so večkratniki , torej številke: .
4. korak Poiščite prvo neprečrtano število na seznamu, večje od , in dodelite vrednost tega števila spremenljivki.
5. korak Ponavljajte koraka 3 in 4, dokler ne dosežete številke.

Postopek uporabe algoritma bo videti takole:

Vsa preostala neprečrtana števila na seznamu ob koncu postopka uporabe algoritma bodo množica praštevil od do .

Goldbachova domneva

Naslovnica knjige “Stric Petros in Goldbachova hipoteza”

Kljub dejstvu, da praštevila matematiki preučujejo že precej časa, ostaja veliko povezanih problemov še danes nerešenih. Eden najbolj znanih nerešenih problemov je Goldbachova hipoteza, ki je formuliran na naslednji način:

Ali drži, da lahko vsako sodo število, večje od dve, predstavimo kot vsoto dveh praštevil (Goldbachova binarna hipoteza)?
Ali je res, da vsak liho število, večje od 5, lahko predstavimo kot vsoto tri preprosteštevila (ternarna Goldbachova hipoteza)?

Povedati je treba, da je ternarna Goldbachova hipoteza poseben primer binarne Goldbachove hipoteze, ali kot pravijo matematiki, je ternarna Goldbachova hipoteza šibkejša od binarne Goldbachove hipoteze.

Goldbachova domneva je leta 2000 postala splošno znana zunaj matematične skupnosti, zahvaljujoč promocijski marketinški potezi založniških družb Bloomsbury USA (ZDA) in Faber and Faber (UK). Te založbe so ob izdaji knjige "Stric Petros in Goldbachova domneva" obljubile, da bodo plačale nagrado v višini 1 milijona ameriških dolarjev vsakomur, ki dokaže Goldbachovo hipotezo v 2 letih od datuma objave knjige. Včasih se omenjena nagrada založnikov zamenjuje z nagradami za reševanje problemov Millennium Prize Problems. Da ne bo pomote, Clay Institute Goldbachove hipoteze ne uvršča med »izziv tisočletja«, čeprav je tesno povezana z Riemannova hipoteza- eden izmed “izzivov tisočletja”.

Knjiga "Praštevila. Dolga pot v neskončnost"

Naslovnica knjige “Svet matematike. Praštevila. Dolga pot do neskončnosti"

Poleg tega priporočam branje zanimive poljudnoznanstvene knjige, v opombi katere piše: »Iskanje praštevil je eden najbolj paradoksalnih problemov v matematiki. Znanstveniki jo že več tisočletij poskušajo rešiti, vendar z novimi različicami in hipotezami ta skrivnost še vedno ostaja nerešena. Pojav praštevil ni podvržen nobenemu sistemu: pojavljajo se spontano v nizu naravnih števil, ne da bi upoštevali vse poskuse matematikov, da bi prepoznali vzorce v njihovem zaporedju. Ta knjiga bo bralcu omogočila slediti evoluciji znanstvenih idej od antičnih časov do danes in predstavila najzanimivejše teorije iskanja praštevil.”

Dodatno bom citiral začetek drugega poglavja te knjige: »Praštevila so ena od pomembnih tem, ki nas popeljejo nazaj na same začetke matematike, nato pa nas po vse večji kompleksni poti popeljejo v ospredje moderna znanost. Zato bi bilo zelo koristno izslediti fascinantno in zapleteno zgodovino teorije praštevil: natanko kako se je razvila, natanko kako so bila zbrana dejstva in resnice, ki so danes splošno sprejete. V tem poglavju bomo videli, kako so generacije matematikov skrbno preučevale naravna števila v iskanju pravila, ki je napovedovalo pojav praštevil - pravilo, ki je postajalo vedno bolj nedosegljivo, ko je iskanje napredovalo. Podrobno si bomo ogledali tudi zgodovinski kontekst: pogoje, v katerih so matematiki delali, in v kolikšni meri je njihovo delo vključevalo mistične in polverske prakse, ki se precej razlikujejo od znanstvenih metod, ki se uporabljajo v našem času. Kljub temu so se počasi in s težavo pripravljala tla za nove poglede, ki so navdihnili Fermata in Eulerja v 17. in 18. stoletju.«