Metodologija preučevanja izbranega algebraičnega gradiva. Varalka: Pouk algebrske snovi v osnovni šoli

Predavanje 8. Metode študija algebraičnega gradiva.

Predavanje 7. Pojem obsega mnogokotnika

1. Metodologija obravnave elementov algebre.

2. Številske enačbe in neenakosti.

3. Priprava na seznanitev s spremenljivko. Elementi črkovnih simbolov.

4. Neenačbe s spremenljivko.

5. Enačba

1. Uvedba elementov algebre v začetni tečaj matematike omogoča, da že od samega začetka usposabljanja izvajamo sistematično delo, namenjeno razvoju tako pomembnih matematičnih pojmov pri otrocih, kot so: izraz, enakost, neenakost, enačba. Seznanitev z uporabo črke kot simbola, ki označuje poljubno število s področja števil, ki ga otroci poznajo, ustvarja pogoje za posploševanje številnih vprašanj teorije aritmetike v začetnem tečaju in je dobra priprava za seznanjanje otrok s pojmi v prihodnosti. spremenljivka funkcij. Zgodnje seznanjanje z uporabo algebraične metode reševanja problemov omogoča resne izboljšave v celotnem sistemu poučevanja otrok za reševanje različnih besedilnih problemov.

Naloge: 1. Razvijati zmožnost učencev za branje, pisanje in primerjanje številskih izrazov.2. Učence seznanite s pravili za izvajanje vrstnega reda dejanj v številskih izrazih in razvijete sposobnost izračunavanja vrednosti izrazov v skladu s temi pravili.3. Pri učencih razvijati zmožnost branja, pisanja črkovnih izrazov in računanja njihovih pomenov glede na pomene črk.4. Seznaniti študente z enačbami 1. stopnje, ki vsebujejo dejanja prve in druge stopnje, razviti sposobnost njihovega reševanja z metodo izbire, pa tudi na podlagi poznavanja odnosa med komponentami m/y in rezultat aritmetičnih operacij.

Program osnovni razredi Učencem omogoča seznanitev z uporabo črkovnih simbolov, rešitvami elementarnih enačb prve stopnje z eno neznanko in njihovo uporabo pri problemih v enem dejanju. Ta vprašanja se preučujejo v tesni povezavi z aritmetičnim materialom, ki prispeva k oblikovanju števil in aritmetičnih operacij.

Od prvih dni usposabljanja se začne delo razvijati koncepte enakosti med študenti. Otroci se na začetku naučijo primerjati veliko predmetov, izenačevati neenake skupine in spreminjati enake skupine v neenake. Že pri preučevanju ducata številk so uvedene primerjalne vaje. Najprej se izvajajo s podporo na predmetih.

Koncept izražanja tvorijo mlajši šolarji v tesni povezavi s koncepti aritmetičnih operacij. Metodologija dela na izrazih vključuje dve stopnji. Pri 1 se oblikuje pojem o najpreprostejših izrazih (vsota, razlika, zmnožek, količnik dveh števil), pri 2 pa o kompleksnih izrazih (vsota zmnožka in števila, razlika dveh količnikov ipd.) . Uvedena sta pojma »matematični izraz« in »vrednost matematičnega izraza« (brez definicij). Po zapisu več primerov v eni dejavnosti učitelj sporoči, da se ti primeri drugače imenujejo metamatematični izrazi. Pri učenju računskih operacij so vključene vaje za primerjanje izrazov, ki so razdeljene v 3 skupine. Preučevanje poslovnika. Cilj na tej stopnji je na podlagi praktičnih veščin študentov opozoriti na vrstni red izvajanja dejanj v takih izrazih in oblikovati ustrezno pravilo. Učenci samostojno rešujejo primere po izboru učitelja in pojasnjujejo vrstni red, v katerem so izvajali dejanja v posameznem primeru. Nato sami oblikujejo sklep ali ga preberejo iz učbenika. Identična transformacija izraza je zamenjava danega izraza z drugim, katerega vrednost je enaka vrednosti danega izraza. Takšne pretvorbe izrazov izvajajo učenci, pri čemer se opirajo na lastnosti računskih operacij in posledice, ki iz njih izhajajo (kako številu prištejemo vsoto, kako od vsote odštejemo število, kako število pomnožimo s produktom itd.). ). Pri preučevanju vsake lastnosti se učenci prepričajo, da se lahko v izrazih določene vrste dejanja izvajajo na različne načine, vendar se pomen izraza ne spremeni.

2. Številske izraze že od samega začetka obravnavamo v neločljivi povezavi s številskimi enakimi in neenakimi. Številske enakosti in neenakosti delimo na »prave« in »nepravilne«. Naloge: primerjaj števila, primerjaj aritmetične izraze, reševaj preproste neenačbe z eno neznanko, prehajaj od neenačbe do enačbe in od enačbe do neenačbe.

1. Vaja, namenjena razjasnitvi znanja učencev o aritmetičnih operacijah in njihovi uporabi. Pri uvajanju učencev v računske operacije se primerjajo izrazi oblike 5+3 in 5-3; 8*2 in 8/2. Izraze najprej primerjamo tako, da poiščemo vrednosti vsakega in primerjamo dobljena števila. V nadaljevanju se naloga izvaja na podlagi dejstva, da je vsota dveh števil večja od njune razlike, produkt pa večji od njunega količnika; izračun se uporablja samo za preverjanje rezultata. Primerjava izrazov oblike 7+7+7 in 7*3 se izvede za utrjevanje znanja učencev o povezavi med seštevanjem in množenjem.

Pri primerjanju se učenci seznanijo z vrstnim redom izvajanja računskih operacij. Najprej obravnavamo izraze, ki vsebujejo oklepaje oblike 16 - (1+6).

2. Po tem se upošteva vrstni red dejanj v izrazih brez oklepajev, ki vsebujejo dejanja ene in dveh stopinj. Učenci spoznajo te pomene, ko dokončajo primere. Najprej se upošteva vrstni red dejanj v izrazih, ki vsebujejo dejanja ene ravni, na primer: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Hkrati se morajo otroci naučiti, če izrazi vsebujejo samo seštevanje in odštevanje ali samo množenje in delitev, potem se izvajajo v vrstnem redu, v katerem so zapisane. Nato so predstavljeni izrazi, ki vsebujejo dejanja obeh stopenj. Učence seznanimo, da morajo v takšnih izrazih najprej po vrsti izvesti operacije množenja in deljenja, nato pa seštevanje in odštevanje, npr.: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Da bi študente prepričali o izjemnem pomenu upoštevanja vrstnega reda dejanj, jih je koristno izvesti v istem izrazu v drugačnem zaporedju in primerjati rezultate.

3. Vaje, pri katerih učenci spoznavajo in utrjujejo znanje o razmerju med sestavinami in rezultati računskih operacij. Οʜᴎ so vključeni že pri preučevanju števil deset.

V tej skupini vaj študentje spoznajo primere sprememb rezultatov dejanj na podlagi spremembe ene od komponent. Primerjamo izraze, v katerih je eden od členov spremenjen (6+3 in 6+4) ali zmanjšan za 8-2 in 9-2 itd. Podobne naloge so vključene tudi pri učenju tabelarnega množenja in deljenja in se izvajajo z računi (5*3 in 6*3, 16:2 in 18:2) itd. V prihodnosti lahko te izraze primerjate brez zanašanja na izračune.

Obravnavane vaje so tesno povezane s programsko snovjo in prispevajo k njeni asimilaciji. Ob tem učenci v procesu primerjanja števil in izrazov dobijo prve ideje o enakosti in neenakosti.

Torej, v 1. razredu, kjer se izraza "enakost" in "neenakost" še ne uporabljata, lahko učitelj pri preverjanju pravilnosti izračunov, ki so jih opravili otroci, postavlja vprašanja v naslednji obliki: "Kolja je dodal osem šest in dobil 15. Ali je ta rešitev pravilna ali nepravilna?«, ali otrokom predlagajte naloge, pri katerih je treba preveriti rešitev danih primerov, poiskati pravilne vnose ipd. Podobno je pri obravnavanju numeričnih neenakosti oblike 5<6,8>4 in bolj zapletene lahko učitelj postavi vprašanje v obliki: »Ali so ti zapisi pravilni?«, po uvedbi neenakosti pa »Ali te neenakosti držijo?«

Od 1. razreda se otroci seznanijo s transformacijami številskih izrazov, ki se izvajajo na podlagi uporabe preučenih elementov aritmetične teorije (številčenje, pomen dejanj itd.). Učenci lahko na primer na podlagi znanja o oštevilčevanju in mestni vrednosti števil poljubno število predstavijo kot vsoto njegovih mestnih delov. Ta veščina se uporablja pri obravnavanju transformacij izrazov v povezavi z izražanjem številnih računalniških tehnik.

V zvezi s takimi transformacijami se otroci že v prvem razredu srečajo z »verigo« enakosti.

Predavanje 8. Metode študija algebraičnega gradiva. - pojem in vrste. Razvrstitev in značilnosti kategorije "Predavanje 8. Metode študija algebraičnega materiala." 2017, 2018.

Uvod................................................. ......................................................... ............. 2

Poglavje I. Splošni teoretični vidiki učenja algebraične snovi v osnovni šoli...................................... ............... ................................... ..................... 7

1.1 Izkušnje z uvajanjem elementov algebre v osnovno šolo.................................. 7

1.2 Psihološke osnove za uvajanje algebraičnih pojmov

v osnovni šoli..................................................... ................................ 12

1.3 Problem izvora algebraičnih pojmov in njegov pomen

za gradnjo akademski predmet..................................................... 20

2.1 Učenje v osnovni šoli z vidika potreb

Srednja šola................................................ ......................................... 33

2.1 Primerjava (kontrast) pojmov pri pouku matematike.... 38

2.3 Skupno učenje seštevanja in odštevanja, množenja in deljenja 48

Poglavje III. Praksa učenja algebraičnega gradiva pri pouku matematike v osnovna šola Srednja šola št. 4 v Rylsku..................................... 55

3.1 Utemeljitev uporabe inovativnih tehnologij (tehnologij

utrjevanje didaktičnih enot)................................................. ...... 55

3.2 O izkušnji spoznavanja algebrskih pojmov v I. razredu.... 61

3.3 Urjenje reševanja problemov, povezanih z gibanjem teles.................................. 72

Zaključek..................................................... ................................................. ...... 76

Bibliografija................................................. .................................................. 79

Uvod

Na katerikoli sodoben sistem V splošnem izobraževanju zavzema matematika eno osrednjih mest, kar nedvomno govori o edinstvenosti tega področja znanja.

Kaj je sodobna matematika? Zakaj je to potrebno? Ta in podobna vprašanja otroci pogosto zastavljajo učiteljem. In vsakič bo odgovor drugačen, odvisno od stopnje razvoja otroka in njegovih izobraževalnih potreb.

Pogosto se reče, da je matematika jezik sodobne znanosti. Vendar se zdi, da je v tej izjavi pomembna napaka. Jezik matematike je tako razširjen in tako pogosto učinkovit prav zato, ker matematike ni mogoče reducirati nanj.

Izjemen ruski matematik A.N. Kolmogorov je zapisal: "Matematika ni le eden od jezikov. Matematika je jezik in sklepanje, je kot jezik in logika skupaj. Matematika je orodje za razmišljanje. Združuje rezultate natančnega razmišljanja mnogih ljudi. Z uporabo matematike lahko povežite eno razmišljanje z drugim ... Očitna zapletenost narave z njenimi nenavadnimi zakoni in pravili, od katerih vsako dopušča ločeno zelo podrobna razlaga, sta pravzaprav tesno povezana. Če pa ne želite uporabljati matematike, potem v tej ogromni raznolikosti dejstev ne boste videli, da vam logika omogoča prehod od enega do drugega« (str. 44).

Tako nam matematika omogoča oblikovanje določenih oblik mišljenja, potrebnih za preučevanje sveta okoli nas.

Trenutno postaja vse bolj opazno nesorazmerje med stopnjo našega poznavanja narave in našim razumevanjem človeka, njegove psihe in miselnih procesov. W. W. Sawyer v knjigi “Prelude to Mathematics” (str. 7) ugotavlja: “Učence lahko naučimo reševati veliko vrst problemov, vendar bo pravo zadovoljstvo prišlo šele, ko bomo svojim učencem lahko posredovali ne le znanje, ampak tudi fleksibilnost. uma«, kar bi jim v prihodnosti dalo možnost ne le za samostojno reševanje, temveč tudi za zastavljanje novih nalog.

Seveda so tu določene meje, ki jih ne smemo pozabiti: marsikaj določajo prirojene sposobnosti in talent. Lahko pa opazimo cel niz dejavnikov, odvisnih od izobrazbe in vzgoje. Zato je izjemno pomembno pravilno oceniti ogromen neizkoriščen potencial izobraževanja na splošno in še posebej matematične izobrazbe.

V zadnjih letih je opazen stalen trend prodora matematične metode v vedah, kot so zgodovina, filologija, da ne omenjam jezikoslovja in psihologije. Zato krog ljudi, ki v svojih nadaljnjih poklicna dejavnost Morda bodo uporabili matematiko, razširili.

Naš izobraževalni sistem je zasnovan tako, da mnogim šola predstavlja edino priložnost v življenju, da se vključijo v matematično kulturo in osvojijo vrednote, ki jih vsebuje matematika.

Kakšen je vpliv matematike na splošno in še posebej šolske matematike na vzgojo ustvarjalne osebnosti? Poučevanje umetnosti reševanja problemov pri pouku matematike nam daje izredno ugodno priložnost za razvijanje določene miselnosti pri učencih. Potreba po raziskovalnih dejavnostih razvija zanimanje za vzorce in nas uči videti lepoto in harmonijo človeške misli. Vse to je po našem mnenju najpomembnejši element splošna kultura. Predmet matematike pomembno vpliva na oblikovanje različnih oblik mišljenja: logičnega, prostorsko-geometrijskega, algoritemskega. Vsak ustvarjalni proces se začne z oblikovanjem hipoteze. Matematika, ob ustrezni organizaciji izobraževanja, kot dobra šola za postavljanje in preverjanje hipotez, te nauči primerjati različne hipoteze, iskati najboljšo možnost, postavljati nove probleme in iskati načine za njihovo rešitev. Med drugim razvija tudi navado metodičnega dela, brez katerega si ni mogoč noben ustvarjalni proces. Z maksimiranjem možnosti človeškega razmišljanja je matematika njegov najvišji dosežek. Človeku pomaga razumeti sebe in oblikovati svoj značaj.

To je majhen seznam razlogov, zakaj bi moralo matematično znanje postati sestavni del splošne kulture in obvezen element pri vzgoji in izobraževanju otroka.

Tečaj matematike (brez geometrije) v naši 10-letni šoli je dejansko razdeljen na tri glavne dele: aritmetiko (I. - V. razred), algebro (VI. - VIII. razred) in elemente analize (IX. - X. razred). Kaj je osnova za takšno delitev?

Seveda ima vsak od teh delov svojo posebno »tehnologijo«. Tako je v aritmetiki povezana na primer z izračuni, izvedenimi na večmestnih številih, v algebri - z enakimi transformacijami, logaritmizacijo, v analizi - z diferenciacijo itd. Kateri pa so globlji razlogi, povezani s konceptualno vsebino posameznega dela?

Naslednje vprašanje se nanaša na osnovo za razlikovanje šolske aritmetike in algebre (tj. prvega in drugega dela predmeta). Aritmetika vključuje preučevanje naravnih števil (pozitivna cela števila) in ulomkov (pra in decimalna). Posebna analiza pa pokaže, da je kombiniranje tovrstnih števil v enem šolskem predmetu nezakonito.

Dejstvo je, da imajo te številke različne funkcije: prve so povezane s štetjem predmetov, druge z merjenjem količin. Ta okoliščina je zelo pomembna za razumevanje dejstva, da so ulomka (racionalna) števila le poseben primer realnih števil.

Z vidika merjenja količin, kot ugotavlja A.N. Kolmogorov, "ni tako velike razlike med racionalnimi in iracionalnimi realnimi števili. Iz pedagoških razlogov se dolgo zadržujejo na racionalnih številih, saj jih je enostavno zapisati v obliki ulomkov; vendar je uporaba, ki je dana od vsega začetka naj takoj vodijo do realnih števil v celoti" (), str. 9).

A.N. Kolmogorov je menil, da je upravičen tako z vidika zgodovine razvoja matematike kot v bistvu predlog A. Lebesgue, da se pri poučevanju naravnih števil premakne neposredno na izvor in logično naravo realnih števil. Hkrati, kot ugotavlja A.N. Kolmogorov, "pristop k konstrukciji racionalnih in realnih števil z vidika merjenja količin ni nič manj znanstven kot na primer uvedba racionalnih števil v obliki" parov ". Za šolo ima nedvomno prednost« (str. 10).

Tako obstaja realna možnost, da na podlagi naravnih (celih) števil takoj oblikujemo »najsplošnejši pojem števila« (v terminologiji A. Lebesgue), pojem realnega števila. A z vidika gradnje programa to pomeni nič več ali manj kot odpravo aritmetike ulomkov v njeni šolski interpretaciji. Prehod od celih k realnim številkam je prehod od aritmetike k »algebri«, k ustvarjanju temeljev za analizo.

Te ideje, izražene pred več kot 20 leti, so še vedno aktualne. Ali je mogoče spremeniti strukturo pouka matematike v osnovni šoli v v tej smeri? Kakšne so prednosti in slabosti "algebraizacije" osnovna izobrazba matematika? Namen tega dela je poskušati odgovoriti na zastavljena vprašanja.

Uresničevanje tega cilja zahteva reševanje naslednjih nalog:

Obravnava splošnih teoretičnih vidikov uvajanja algebraičnih pojmov velikosti in števila v osnovni šoli. Ta naloga je zastavljena v prvem poglavju dela;

Preučevanje posebnih metod za poučevanje teh konceptov v osnovni šoli. Predvsem je tu mišljena obravnava ti teorije širitve didaktičnih enot (UDE), o kateri bo govora v nadaljevanju;

Pokažite praktično uporabnost obravnavanih določb pri šolskem pouku matematike v osnovni šoli (učne ure je avtor vodil v Srednja šolašt. 4 Rylsk). Temu je posvečeno tretje poglavje dela.

Glede na bibliografijo, posvečeno tej problematiki, je mogoče opozoriti na naslednje. Kljub temu, da je v Zadnje čase skupno število objavljenih metodološka literatura pri matematiki skrajno nepomemben, informacij pri pisanju dela ni manjkalo. Dejansko od leta 1960 (čas, ko je bil problem postavljen) do leta 1990. V naši državi je bilo objavljeno ogromno izobraževalne, znanstvene in metodološke literature, ki se tako ali drugače dotika problematike uvajanja algebrskih konceptov v tečaje matematike za osnovne šole. Poleg tega so ta vprašanja redno obravnavana v specializiranih periodičnih publikacijah. Tako so bile pri pisanju dela v veliki meri uporabljene objave v revijah »Pedagogika«, »Poučevanje matematike v šoli« in »Osnovna šola«.

Poglavje I. Splošni teoretični vidiki učenja algebrskega gradiva v osnovni šoli 1.1 Izkušnje pri uvajanju elementov algebre v osnovno šolo

Vsebina učnega predmeta je, kot je znano, odvisna od številnih dejavnikov - od življenjskih zahtev po znanju študentov, od ravni ustreznih ved, od duševnih in telesnih starostnih zmožnosti otrok itd. Pravilno upoštevanje teh dejavnikov je bistveni pogoj za čim bolj učinkovito izobraževanje šolarjev in širitev njihovih kognitivnih zmožnosti. Toda včasih ta pogoj iz enega ali drugega razloga ni izpolnjen. V tem primeru poučevanje ne daje želenega učinka v smislu otrokovega obvladovanja kroga potrebno znanje in v povezavi z razvojem njihove inteligence.

Zdi se, da trenutno učni programi nekaterih učnih predmetov, zlasti matematike, ne ustrezajo novim zahtevam življenja in ravni razvoja. sodobne znanosti(na primer matematika) ter novi podatki iz razvojne psihologije in logike. Ta okoliščina narekuje potrebo po celovitem teoretičnem in eksperimentalnem preizkusu možnih projektov novih vsebin učnih predmetov.

Temelji matematičnih znanj so postavljeni že v osnovni šoli. A žal tako matematiki sami, metodologi in psihologi posvečajo zelo malo pozornosti vsebini elementarna matematika. Dovolj je reči, da je bil program matematike v osnovni šoli (I. - IV. razred) v svojih glavnih značilnostih oblikovan pred 50-60 leti in seveda odraža sistem matematičnih, metodoloških in psiholoških idej tistega časa.

Razmislimo o značilnostih državnega standarda matematike v osnovni šoli. Njegova glavna vsebina so cela števila in operacije na njih, ki se preučujejo v določenem zaporedju. Najprej se preučujejo štiri operacije v meji 10 in 20, nato - ustni izračuni v meji 100, ustni in pisni izračuni v meji 1000 in končno v meji milijonov in milijard. V IV. razredu se preučujejo nekatera razmerja med podatki in rezultati aritmetičnih operacij ter preprosti ulomki. Poleg tega program vključuje študij metričnih mer in časovnih mer, obvladovanje sposobnosti njihove uporabe za merjenje, poznavanje nekaterih elementov vizualne geometrije - risanje pravokotnika in kvadrata, merjenje segmentov, ploščin pravokotnika in kvadrata, računanje. zvezki.

Pridobljeno znanje in veščine mora študent uporabiti pri reševanju nalog in izvajanju preprostih računov. V celotnem tečaju se reševanje problemov izvaja vzporedno s študijem števil in operacij - temu je namenjena polovica ustreznega časa. Reševanje problemov pomaga učencem razumeti specifičen pomen dejanj, razumeti različne primere njihove uporabe, vzpostaviti razmerja med količinami ter pridobiti osnovne veščine analize in sinteze. Od I. do IV. razreda otroci rešujejo naslednje glavne vrste nalog (preproste in sestavljene): iskanje vsote in ostanka, produkta in količnika, povečevanje in zmanjševanje danih števil, razlika in večkratna primerjava, preprosto trojno pravilo, sorazmerno deljenje, iskanje neznanka z dvema razlikama, računanje aritmetične sredine in nekatere druge vrste nalog.

Z različni tipi otroci se pri reševanju nalog srečujejo z odvisnostmi količin. Zelo tipično pa je, da učenci začnejo s težavami po in med študijem števil; glavna stvar, ki se zahteva pri reševanju, je najti številski odgovor. Otroci imajo velike težave pri prepoznavanju lastnosti količinska razmerja v posebnih, posebnih situacijah, ki veljajo za aritmetične težave. Praksa kaže, da manipulacija s številkami pogosto nadomesti dejansko analizo pogojev problema z vidika odvisnosti realnih količin. Poleg tega problemi, predstavljeni v učbenikih, ne predstavljajo sistema, v katerem bi bolj »kompleksne« situacije povezovale z »globljimi« plastmi kvantitativnih odnosov. Naloge enake težavnosti najdemo tako na začetku kot na koncu učbenika. Razlikujejo se od oddelka do oddelka in od razreda do razreda glede na kompleksnost ploskve (narašča število dejanj), rang števil (od deset do milijarde), kompleksnost fizičnih odvisnosti (od distribucijskih težav do gibanja). težave) in druge parametre. Samo en parameter - poglabljanje v sam sistem matematičnih zakonov - se v njih kaže šibko in nejasno. Zato je zelo težko določiti merilo za matematično težavnost določenega problema. Zakaj so naloge iskanja neznanke iz dveh razlik in ugotavljanja aritmetične sredine (III. razred) težje od nalog diferencnega in večkratnega primerjanja (II. razred)? Metodologija na to vprašanje ne daje prepričljivega in logičnega odgovora.

Tako osnovnošolci ne dobijo ustreznega, polnega znanja o odvisnostih količin in splošnih lastnostih količine niti pri učenju elementov teorije števil, ker so v šolskem predmetu povezani predvsem z računskimi tehnikami, niti pri reševanju težave, saj slednji nimajo ustrezne oblike in zahtevanega sistema. Poskusi metodikov za izboljšanje učnih metod, čeprav vodijo do delnih uspehov, ne spremenijo splošnega stanja, saj so vnaprej omejeni z okvirom sprejetih vsebin.

Kaže, da je osnova kritična analiza Sprejeti aritmetični program mora vsebovati naslednje določbe:

Koncept števila ni identičen konceptu kvantitativnih značilnosti predmetov;

Število ni prvotna oblika izražanja kvantitativnih odnosov.

Naj podamo utemeljitev teh določb.

Znano je, da sodobna matematika (zlasti algebra) proučuje vidike kvantitativnih odnosov, ki nimajo numerične lupine. Znano je tudi, da so nekatera kvantitativna razmerja precej izrazljiva brez številk in pred številkami, na primer v segmentih, volumnih itd. (razmerje »več«, »manj«, »enako«). Predstavitev izvirnih splošnih matematičnih pojmov v sodobnih priročnikih je izvedena v takšni simboliki, ki ne pomeni nujno izražanja predmetov s številkami. Torej, v knjigi E.G. Goninova "Teoretična aritmetika" so osnovni matematični predmeti že od vsega začetka označeni s črkami in posebnimi znaki (, str. 12 – 15). Značilno je, da so določene vrste števil in številske odvisnosti podane le kot primeri, ilustracije lastnosti množic, ne pa kot njihova edina možna in edina obstoječa oblika izražanja. Nadalje je omembe vredno, da so številne ilustracije posameznih matematičnih definicij podane v grafični obliki, skozi razmerje segmentov in ploščin (, str. 14-19). Vse osnovne lastnosti množic in količin je mogoče izpeljati in utemeljiti brez vključevanja numeričnih sistemov; Poleg tega slednji sami dobijo utemeljitev na podlagi splošnih matematičnih konceptov.

Po drugi strani pa številna opažanja psihologov in učiteljev kažejo, da se kvantitativne ideje pri otrocih porajajo veliko preden pridobijo znanje o številih in o tem, kako z njimi upravljati. Resda obstaja težnja, da bi te ideje uvrstili med »predmatematične tvorbe« (kar je povsem naravno za tradicionalne metode, ki kvantitativne značilnosti predmeta identificirajo s številko), vendar to ne spremeni njihove bistvene funkcije v otrokovem splošnem življenju. orientacija v lastnostih stvari. In včasih se zgodi, da je globina teh domnevno "predmatematičnih formacij" pomembnejša za razvoj otrokovega lastnega matematičnega mišljenja kot poznavanje zapletenosti računalniške tehnologije in sposobnost iskanja čisto numeričnih odvisnosti. Omeniti velja, da je akademik A.N. Kolmogorov, ki označuje značilnosti matematične ustvarjalnosti, posebej opozarja na naslednjo okoliščino: "Osnova večine matematičnih odkritij je neka preprosta ideja: vizualna geometrijska konstrukcija, nova elementarna neenakost itd. To preprosto idejo je treba pravilno uporabiti za rešitev problema, ki se na prvi pogled zdi nedostopna« (, str. 17).

Trenutno so primerne različne zamisli o strukturi in načinih izgradnje novega programa. V delo pri njegovi izgradnji je treba vključiti matematike, psihologe, logike in metodologe. Vendar se zdi, da mora v vseh svojih posebnih različicah izpolnjevati naslednje osnovne zahteve:

Premostiti obstoječi razkorak med vsebinami matematike v osnovnih in srednjih šolah;

Zagotoviti sistem znanja o osnovnih zakonitostih kvantitativnih razmerij objektivnega sveta; v tem primeru naj lastnosti števil, kot posebna oblika izražanja količine, postanejo poseben, ne pa glavni del programa;

Otrokom privzgojite metode matematičnega razmišljanja in ne samo računskih veščin: to vključuje izgradnjo sistema problemov, ki temelji na poglabljanju v sfero odvisnosti realnih količin (povezava matematike s fiziko, kemijo, biologijo in drugimi vedami, ki proučujejo specifične količine);

Odločno poenostavite vse tehnike izračunavanja in zmanjšajte delo, ki ga ni mogoče opraviti brez ustreznih tabel, referenčnih knjig in drugih pomožnih (predvsem elektronskih) sredstev.

Smisel teh zahtev je jasen: v osnovni šoli je povsem mogoče poučevati matematiko kot vedo o zakonitostih kvantitativnih razmerij, o odvisnostih količin; računalniške tehnike in elementi teorije števil naj postanejo poseben in zaseben del programa.

Izkušnje s konstruiranjem novega programa matematike in njegovo eksperimentalno testiranje, izvedeno od poznih šestdesetih let prejšnjega stoletja, nam zdaj omogočajo govoriti o možnosti uvedbe sistematičnega tečaja matematike v šoli od prvega razreda, ki zagotavlja znanje o kvantitativnih razmerjih in odvisnostih. količin v algebraični obliki.

1.2 Psihološke podlage za uvajanje algebrskih pojmov v osnovno šolo

V zadnjem času se pri posodabljanju programov poseben pomen pripisuje postavljanju teoretičnih osnov za šolski predmet (ta trend se jasno kaže tako pri nas kot v tujini). Implementacija tega trenda v poučevanju (zlasti v osnovnih razredih, kot je to na primer v ameriški šoli) bo neizogibno postavila številna težka vprašanja za otroško in pedagoško psihologijo ter za didaktiko, saj zdaj študij skorajda ni. razkrivajo značilnosti otrokove asimilacije pomena pojma množice (za razliko od usvajanja štetja in števila, ki je bilo preučeno zelo celovito).

Logične in psihološke raziskave v zadnjih letih (zlasti delo J. Piageta) so razkrile povezavo med nekaterimi »mehanizmi« otroškega mišljenja in splošnimi matematičnimi koncepti. V nadaljevanju posebej razpravljamo o značilnostih te povezave in njihovem pomenu za konstrukcijo matematike kot akademskega predmeta (govorili bomo o teoretični strani zadeve in ne o kakšni posebni različici programa).

Naravno število je bilo temeljni pojem v matematiki skozi njeno zgodovino; ima zelo pomembno vlogo na vseh področjih proizvodnje, tehnologije, Vsakdanje življenje. To omogoča teoretičnim matematikom, da ji dajo posebno mesto med drugimi koncepti matematike. V različnih oblikah so podane izjave, da je koncept naravnega števila začetna stopnja matematične abstrakcije, da je osnova za gradnjo večine matematičnih disciplin.

Izbira začetnih elementov matematike kot učnega predmeta v bistvu uresničuje ta splošna določila. Predpostavlja se, da otrok ob seznanjanju s števili hkrati sam odkriva začetne značilnosti kvantitativnih odnosov. Štetje in število sta osnova za vse nadaljnje učenje matematike v šoli.

Vendar obstaja razlog za domnevo, da ta določila ob upravičenem poudarjanju posebnega in temeljnega pomena števila hkrati neustrezno izražajo njegovo povezanost z drugimi matematičnimi pojmi ter napačno ocenjujejo mesto in vlogo števila v procesu obvladovanja matematike. . Predvsem zaradi te okoliščine se pojavljajo nekatere bistvene pomanjkljivosti sprejetih programov, metod in učbenikov matematike. Posebej je treba upoštevati dejansko povezavo pojma števila z drugimi pojmi.

Številni splošni matematični pojmi, zlasti pojmi ekvivalenčnih odnosov in reda, so v matematiki sistematično obravnavani ne glede na numerično obliko. Ti koncepti ne izgubijo svojega neodvisnega značaja, na njihovi podlagi je mogoče opisati in preučevati določen predmet - različne numerične sisteme, katerih koncepti sami po sebi ne pokrivajo pomena in pomena prvotnih definicij. Še več, v zgodovini matematične znanosti so se splošni koncepti razvili ravno do te mere, da so se »algebraične operacije«, dobro znani primer katerih so štiri aritmetične operacije, začele uporabljati za elemente popolnoma nenumerične narave.

V zadnjem času se poskuša razširiti stopnja uvajanja otroka v matematiko pri poučevanju. Ta trend se izraža v metodoloških priročnikih, pa tudi v nekaterih eksperimentalnih učbenikih. Tako so v enem ameriškem učbeniku, namenjenem poučevanju otrok, starih 6-7 let (), na prvih straneh uvedene naloge in vaje, ki posebej usposabljajo otroke pri ugotavljanju identitete predmetnih skupin. Otrokom pokažemo tehniko povezovanja množic in predstavimo ustrezno matematično simboliko. Delo s števili temelji na osnovnem znanju o množicah.

Vsebino posameznih poskusov uresničevanja tega trenda je mogoče oceniti različno, sam pa je po našem mnenju povsem legitimen in obetaven.

Na prvi pogled so pojmi »odnos«, »struktura«, »zakoni sestave« itd. matematične definicije, ni mogoče povezati z oblikovanjem matematičnih pojmov pri majhnih otrocih. Seveda je celoten pravi in abstrakten pomen teh pojmov in njihovo mesto v aksiomatski strukturi matematike kot vede predmet asimilacije za glavo, ki je v matematiki že dobro razvita in »izurjena«. Vendar pa se nekatere lastnosti stvari, ki jih določajo ti pojmi, tako ali drugače pokažejo otroku relativno zgodaj: za to obstajajo posebni psihološki dokazi.

Najprej se je treba zavedati, da se otrok od rojstva do 7 - 10 let razvija in razvija. zelo kompleksni sistemi splošne ideje o svetu okoli nas in postavlja temelje za smiselno in objektivno razmišljanje. Še več, otroci na podlagi razmeroma ozkega empiričnega materiala ugotavljajo splošne vzorce orientacije v prostorsko-časovnih in vzročno-posledičnih odvisnostih stvari. Ti diagrami služijo kot nekakšen okvir za tisti "koordinatni sistem", znotraj katerega otrok začne vse globlje obvladovati različne lastnosti raznolik svet. Seveda so te splošne sheme malo uresničene in jih v majhni meri otrok sam lahko izrazi v obliki abstraktne sodbe. So, figurativno rečeno, intuitivna oblika organiziranja otrokovega vedenja (čeprav se seveda vse bolj odražajo v sodbah).

V zadnjih desetletjih so vprašanja oblikovanja otrokove inteligence in nastanek njihovih splošnih predstav o realnosti, času in prostoru še posebej intenzivno preučevali znani švicarski psiholog J. Piaget in njegovi sodelavci. Nekatera njegova dela so neposredno povezana s problemi razvoja otrokovega matematičnega mišljenja, zato je za nas pomembno, da jih obravnavamo v povezavi z vprašanji oblikovanja učnega načrta.

V eni od svojih najnovejših knjig () J. Piaget ponuja eksperimentalne podatke o genezi in oblikovanju pri otrocih (do 12-14 let) takšnih osnovnih logičnih struktur, kot sta klasifikacija in seriacija. Klasifikacija vključuje izvedbo operacije vključitve (na primer A + A" = B) in njene obratne operacije (B - A" = A). Seriacija je razvrščanje predmetov v sistematične vrste (v vrsto so lahko na primer razporejene palice različnih dolžin, katerih vsak člen je večji od vseh prejšnjih in manjši od vseh naslednjih).

Z analizo oblikovanja klasifikacije J. Piaget pokaže, kako otroci od svoje začetne oblike, od ustvarjanja »figurativnega agregata«, ki temelji le na prostorski bližini predmetov, preidejo na klasifikacijo, ki temelji na razmerju podobnosti (»ne- figurativni agregati«), nato pa k sami klasifikaciji. kompleksna oblika- do vključevanja razredov, ki ga določa povezava med obsegom in vsebino pojma. Avtor posebej obravnava vprašanje oblikovanja klasifikacije ne samo po enem, ampak tudi po dveh ali treh kriterijih in o razvoju pri otrocih sposobnosti spreminjanja osnove klasifikacije pri dodajanju novih elementov. Avtorja najdeta podobne faze v procesu nastajanja seriacije.

Te študije so zasledovale zelo specifičen cilj - ugotoviti vzorce oblikovanja operaterskih struktur uma in najprej njihovo tako konstitutivno lastnost, kot je reverzibilnost, tj. sposobnost uma, da se premika naprej in nazaj. Reverzibilnost nastopi, ko se »operacije in dejanja lahko odvijajo v dveh smereh in razumevanje ene od teh smeri povzroči ipso facto [na podlagi samega dejstva] razumevanje druge« (, str. 15).

Reverzibilnost po J. Piagetu predstavlja temeljni zakon sestave, ki je lasten umu. Ima dve komplementarni in ireduktibilni obliki: obrat (inverzija ali negacija) in recipročnost. Preobrat se pojavi na primer v primeru, ko je mogoče prostorsko premikanje predmeta iz A v B preklicati s prenosom predmeta nazaj iz B v A, kar je na koncu enakovredno ničelni transformaciji (zmnožek operacije in njen inverz je identična operacija ali ničelna transformacija).

Vzajemnost (ali kompenzacija) vključuje primer, ko na primer, ko se predmet premakne iz A v B, predmet ostane v B, vendar se otrok sam premakne iz A v B in reproducira začetni položaj, ko je bil predmet ob njegovem telesu. . Gibanje predmeta tu ni bilo razveljavljeno, ampak je bilo kompenzirano z ustreznim gibanjem lastnega telesa - in to je drugačna oblika transformacije kot kroženje (, str. 16).

J. Piaget je v svojih delih pokazal, da se te transformacije najprej pojavijo v obliki senzomotoričnih krogov (od 10 do 12 mesecev). Postopno usklajevanje senzorno-motoričnih tokokrogov, funkcionalne simbolike in jezikovnega prikaza vodi do tega, da kroženje in recipročnost skozi več stopenj postaneta lastnosti intelektualnih dejanj (operacij) in se sintetizirata v eni sami operaterski strukturi (v obdobju od 7 do 11 in od 12 do 15 let). Zdaj lahko otrok uskladi vse gibe v eno glede na dva referenčna sistema hkrati - enega mobilnega, drugega mirujočega.

J. Piaget verjame, da psihološke raziskave razvoja aritmetičnih in geometrijskih operacij v otrokovem umu (zlasti tistih logičnih operacij, ki v njih izvajajo predpogoje) omogočajo natančno korelacijo operatorskih struktur mišljenja z algebrskimi strukturami, strukturami reda in topološkimi. one (str. 13). Tako algebraična struktura (»skupina«) ustreza operaterskim mehanizmom uma, podvrženim eni od oblik reverzibilnosti - inverziji (negaciji). Skupina ima štiri osnovne lastnosti: produkt dveh elementov skupine daje tudi element skupine; direktna operacija ustreza eni in samo eni obratni operaciji; obstaja operacija identitete; zaporedne sestave so asociativne. V jeziku intelektualnih dejanj to pomeni:

Usklajevanje dveh sistemov delovanja predstavlja novo shemo, ki je povezana s prejšnjimi;

Operacija se lahko razvija v dveh smereh;

Ko se vrnemo na izhodišče, ga ugotovimo nespremenjenega;

Eno in isto točko lahko dosežemo na različne načine, sama točka pa ostane nespremenjena.

Dejstva otrokovega »samostojnega« razvoja (tj. razvoja, neodvisnega od neposrednega vpliva šolanja) kažejo na neskladje med vrstnim redom stopenj geometrije in stopnjami oblikovanja geometrijskih pojmov pri otroku. Slednje približajo zaporedje glavnih skupin, kjer je topologija na prvem mestu. Otrok po J. Piagetu najprej razvije topološko intuicijo, nato pa se usmeri v smeri projektivnih in metričnih struktur. Zato zlasti, kot ugotavlja J. Piaget, otrok med prvimi poskusi risanja ne razlikuje med kvadrati, krogi, trikotniki in drugimi metričnimi figurami, temveč odlično razlikuje odprte in zaprte figure, položaj »zunaj« ali »znotraj«. ” v zvezi z mejo, delitvijo in bližino (zaenkrat brez razlikovanja razdalj) itd. (, str. 23).

Oglejmo si glavne določbe, ki jih je oblikoval J. Piaget v zvezi z vprašanji sestave kurikuluma. Prvič, raziskave J. Piageta kažejo, da je med predšolsko in šolsko otroštvo Otrok razvije takšne operaterske strukture mišljenja, ki mu omogočajo, da oceni temeljne značilnosti razredov predmetov in njihovih odnosov. Poleg tega že na stopnji posebnih operacij (od 7 do 8 let) otrokov intelekt pridobi lastnost reverzibilnosti, kar je izjemno pomembno za razumevanje teoretične vsebine izobraževalnih predmetov, zlasti matematike.

Ti podatki kažejo, da tradicionalna psihologija in pedagogika nista dovolj upoštevali kompleksne in obsežne narave teh faz. duševni razvoj otroka, ki sta povezana z obdobjem od 2. do 7. in od 7. do 11. leta.

Upoštevanje rezultatov, ki jih je pridobil J. Piaget, nam omogoča, da potegnemo številne pomembne zaključke v zvezi z zasnovo učnega načrta za matematiko. Prvič, dejanski podatki o oblikovanju otrokovega intelekta od 2 do 11 let kažejo, da v tem času lastnosti predmetov, opisane z matematičnimi koncepti "razmerje - struktura", niso le "tuje" zanj, ampak slednji sami organsko vstopajo v otrokovo mišljenje.

Tradicionalni programi tega ne upoštevajo. Zato se ne zavedajo številnih priložnosti, ki se skrivajo v procesu. intelektualni razvoj otrok.

Materiali, ki so na voljo v sodobni otroški psihologiji, nam omogočajo, da pozitivno ocenimo splošno idejo o izgradnji izobraževalnega predmeta, ki bi temeljil na konceptih začetnih matematičnih struktur. Seveda se na tej poti pojavijo velike težave, saj še ni izkušenj s konstruiranjem takšnega izobraževalnega predmeta. Zlasti eden od njih je povezan z določanjem starostnega "praga", od katerega se začne usposabljanje nov program. Če sledimo logiki J. Piageta, potem se očitno te programe lahko poučuje šele, ko imajo otroci že popolnoma oblikovane operaterske strukture (od 14 do 15 let). Če pa predpostavimo, da se otrokovo pravo matematično mišljenje oblikuje ravno v procesu, ki ga J. Piaget označuje kot proces zlaganja operatorskih struktur, potem lahko te programe uvedemo veliko prej (npr. od 7. do 8. leta starosti) , ko otroci začnejo oblikovati specifične operacije z najvišjo stopnjo reverzibilnosti. V "naravnih" razmerah, pri študiju po tradicionalnih programih, se lahko formalne operacije oblikujejo šele v starosti 13–15 let. Toda ali je mogoče "pospešiti" njihov nastanek s zgodnejšim uvajanjem izobraževalno gradivo, katere asimilacija zahteva neposredno analizo matematičnih struktur?

Zdi se, da takšne možnosti obstajajo. Do starosti 7-8 let imajo otroci že dovolj razvit načrt miselnih dejanj in z usposabljanjem po ustreznem programu, v katerem so lastnosti matematičnih struktur podane "eksplicitno" in otroci dobijo sredstva za njihovo analizo, je mogoče otroke hitro pripeljati na raven »formalnih« operacij, kot v časovnem okviru, v katerem se to izvaja med »samostojnim« odkrivanjem teh lastnosti.

Pomembno je upoštevati naslednjo okoliščino. Obstaja razlog za domnevo, da so posebnosti razmišljanja na ravni posebnih operacij, ki jih J. Piaget datira v starost 7–11 let, neločljivo povezane z oblikami organizacije učenja, značilnimi za tradicionalno osnovno šolo. To usposabljanje (tako pri nas kot v tujini) poteka na podlagi skrajno empiričnih vsebin, ki pogosto sploh niso povezane s konceptualnim (teoretičnim) odnosom do predmeta. Takšna vadba pri otrocih podpira in krepi mišljenje, ki temelji na zunanjem, neposrednem zaznavanju, zaznavnih znakih stvari.

Tako trenutno obstajajo dejanski podatki, ki kažejo na tesno povezavo med strukturami otroškega mišljenja in splošnimi algebraičnimi strukturami, čeprav "mehanizem" te povezave še zdaleč ni jasen in skoraj neraziskan. Prisotnost te povezave odpira temeljne možnosti (za zdaj le priložnosti!) Za konstrukcijo izobraževalnega predmeta, ki se razvija po shemi "od preprostih struktur do njihovih kompleksnih kombinacij." Eden od pogojev za uresničitev teh možnosti je preučevanje prehoda na posredovano mišljenje in njegovih starostnih standardov. Ta metoda konstruiranja matematike kot učnega predmeta je lahko sama po sebi močan vzvod za razvoj takšnega mišljenja pri otrocih, ki temelji na dokaj močni konceptualni podlagi.

1.3 Problem izvora algebraičnih pojmov in njegov pomen za konstrukcijo učnega predmeta

Delitev šolskega tečaja matematike na algebro in aritmetiko je seveda pogojna. Prehod iz enega v drugega poteka postopoma. V šolski praksi je pomen tega prehoda prikrit z dejstvom, da študij ulomkov dejansko poteka brez obsežne podpore za merjenje količin – ulomki so podani kot razmerja parov števil (čeprav je formalno pomembnost merjenja količin priznana v metodoloških priročnikih). ). Obsežna uvedba ulomkov, ki temeljijo na merjenju količin, neizogibno vodi do koncepta realnega števila. A slednje se navadno ne zgodi, saj učenci dolgo časa delajo z racionalnimi števili in s tem zamujajo prehod na »algebro«.

Poleg tega je lahko začetni korak seznanjanje z merilnim postopkom, pridobitev končnega decimalke in preučevanje dejanj na njih. Če učenci to obliko zapisovanja rezultata meritve že poznajo, je to predpogoj za »opustitev« ideje, da je število mogoče izraziti tudi kot neskončni ulomek. In ta predpogoj je priporočljivo ustvariti že v osnovni šoli.

Če koncept ulomkov (racionalnega) števila odstranimo iz področja šolske aritmetike, potem bo meja med njim in "algebro" potekala vzdolž črte razlike med celimi in realnimi števili. To je tisto, kar »razreže« tečaj matematike na dva dela. To ni preprosta razlika, ampak temeljni "dualizem" virov - štetje in merjenje.

Po Lebesgueovih zamislih o »splošnem konceptu števila« je mogoče zagotoviti popolno enotnost pri poučevanju matematike, vendar šele od trenutka in po seznanitvi otrok s štetjem in celimi (naravnimi) števili. Seveda je lahko časovni okvir tega predhodnega spoznavanja drugačen (v tradicionalnih programih za osnovne šole so očitno zamaknjeni); elemente praktičnih meritev lahko vnesemo celo v tečaj začetnega računanja (ki poteka v programu) - vendar vse to ne odpravi razlik v osnovah aritmetike in "algebre" kot izobraževalnih predmetov. »Dualizem« izhodišč tudi preprečuje, da bi se razdelki, povezani z merjenjem količin in prehodom na realne ulomke, zares »ukoreninili« v tečaju aritmetike. Avtorji programov in metodiki si prizadevajo ohraniti stabilnost in »čistost« aritmetike kot šolskega predmeta. Ta razlika v virih je glavni razlog za poučevanje matematike po shemi - najprej aritmetika (celo število), nato "algebra" (realno število).

Ta shema se zdi povsem naravna in neomajna, poleg tega jo upravičuje dolgoletna praksa pri poučevanju matematike. Toda obstajajo okoliščine, ki z logičnega in psihološkega vidika zahtevajo temeljitejšo analizo zakonitosti te toge sheme poučevanja.

Dejstvo je, da se kljub vsem razlikam med temi vrstami števil nanašajo prav na števila, tj. na posebno obliko prikaza kvantitativnih razmerij. Dejstvo, da cela in realna števila pripadajo »številom«, služi kot osnova za predpostavko o genetskih izpeljankah samih razlik med štetjem in merjenjem: imajo poseben in en sam izvor, ki ustreza sami obliki števila. Poznavanje značilnosti te enotne osnove štetja in merjenja bo omogočilo jasnejšo predstavo pogojev njihovega nastanka na eni strani in razmerja na drugi strani.

Na kaj naj se obrnemo, da bi našli skupni koren razvejanega drevesa števil? Zdi se, da je najprej treba analizirati vsebino pojma količine. Res je, ta izraz je takoj povezan z drugo - dimenzijo. Vendar pa legitimnost takšne povezave ne izključuje določene neodvisnosti pomena »magnitude«. Upoštevanje tega vidika nam omogoča sklepanje, ki združuje na eni strani merjenje in štetje, na drugi strani pa delovanje števil z določenimi splošnimi matematičnimi razmerji in vzorci.

Torej, kaj je "kvantiteta" in kakšen je pomen pri konstruiranju začetnih delov šolske matematike?

V splošni rabi je izraz "magnituda" povezan s pojmi "enako", "več", "manj", ki opisujejo različne lastnosti (dolžina in gostota, temperatura in belina). V.F. Kagan postavlja vprašanje, katere skupne lastnosti imajo ti pojmi. Kaže, da se nanašajo na agregate - nize homogenih predmetov, katerih primerjava elementov nam omogoča uporabo izrazov "več", "enako", "manj" (na primer za celote vseh odsekov ravne črte, uteži , hitrosti itd.).

Ti stavki predstavljajo popolno disjunkcijo (vsaj eden velja, vendar vsak izključuje vse druge).

V.F. Kagan identificira naslednjih osem osnovnih lastnosti pojmov »enako«, »več«, »manj«: (, str. 17-31).

1) Velja vsaj eno od razmerij: A=B, A>B, A<В.

2) Če velja relacija A = B, potem relacija A ne velja<В.

3) Če velja relacija A=B, potem relacija A>B ne velja.

4) Če je A=B in B=C, potem je A=C.

5) Če A>B in B>C, potem A>C.

6) Če A<В и В<С, то А<С.

7) Enakost je reverzibilna relacija: iz relacije A=B vedno sledi relacija B=A.

8) Enakost je vzajemno razmerje: ne glede na element A obravnavane množice je A = A.

Prvi trije stavki označujejo disjunkcijo osnovnih odnosov "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых трех элементах А, В и С. Следующие предложения 7 - 8 характеризуют только равенство - его обратимость и возвратность (или рефлексивность). Эти восемь основных положений В.Ф.Каган называет поcтулатами сравнения, на базе которых можно вывести ряд других свойств величины.

Te sklepne lastnosti V.F. Kagan opisuje v obliki osmih izrekov:

I. Razmerje A>B izključuje razmerje B>A (A<В исключает В<А).

II. Če A>B, potem B<А (если А<В, то В>A).

III. Če A>B velja, potem A ne drži.

IV. Če je A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, potem je A1=An.

V. Če je A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, potem A1>An.

VI. Če A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Če je A=C in B=C, potem je A=B.

VIII. Če obstaja enakost ali neenakost A=B ali A>B ali A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа:

če je A=B in A=C, potem je C=B;

če A>B in A=C, potem C>B itd.).

Primerjalni postulati in izreki, poudarja V.F. Kagan, »so izčrpane vse tiste lastnosti konceptov »enako«, »več« in »manj«, ki so v matematiki povezane z njimi in najdejo uporabo ne glede na posamezne lastnosti množice na elemente, v katerih jih uporabljamo. različni posebni primeri« (, stran 31).

Lastnosti, navedene v postulatih in izrekih, lahko označujejo ne le tiste neposredne lastnosti predmetov, ki smo jih navajeni povezovati z "enako", "več", "manj", ampak tudi številne druge značilnosti (na primer lahko označujejo razmerje "prednik - potomec"). To nam omogoča, da pri njihovem opisovanju zavzamemo splošno stališče in na primer z vidika teh postulatov in izrekov upoštevamo katere koli tri vrste odnosov "alfa", "beta", "gama" (v tem primeru je mogoče ugotoviti, ali te relacije izpolnjujejo postulate in izreke in pod kakšnimi pogoji).

Realne objekte lahko gledamo z vidika različnih kriterijev. Tako je skupino ljudi mogoče obravnavati glede na merilo, kot je zaporedje trenutkov rojstva vsakega od njenih članov. Drugo merilo je relativni položaj, ki ga bodo zavzele glave teh ljudi, če jih postavimo eno poleg druge na isto vodoravno ravnino. V vsakem primeru se bo skupina preoblikovala v količino, ki ima ustrezno ime - starost, višina. V praksi količina običajno ne označuje same množice elementov, temveč nov koncept, uveden za razlikovanje primerjalnih meril (ime količine). Tako nastanejo pojmi "prostornina", "teža", "električna napetost" itd. "Hkrati je za matematika vrednost popolnoma definirana, ko je navedenih veliko elementov in meril za primerjavo," je opozoril V.F. Kagan (, str. 47).

Ta avtor meni, da je naravni niz števil najpomembnejši primer matematične količine. Z vidika takega primerjalnega kriterija, kot je mesto, ki ga zasedajo števila v nizu (zasedajo isto mesto, sledi ..., pred), ta niz zadošča postulatom in torej predstavlja količino. Po ustreznem primerjalnem kriteriju se množica ulomkov pretvori tudi v količino.

To je po mnenju V.F. Kagana, vsebino teorije kvantitete, ki igra ključno vlogo pri temeljih vse matematike.

Pri delu s količinami (priporočljivo je, da njihove posamezne vrednosti zapišete s črkami), lahko izvedete zapleten sistem transformacij, ugotavljate odvisnosti njihovih lastnosti, premikate se od enakosti do neenakosti, izvajate seštevanje (in odštevanje) in pri dodajanju lahko vas vodijo komutativne in asociativne lastnosti. Torej, če je podana relacija A = B, potem lahko pri "reševanju" problemov vodite relacija B = A. V drugem primeru, če obstajajo razmerja A>B, B=C, lahko sklepamo, da je A>C. Ker za a>b obstaja c tako, da je a=b+c, potem lahko najdemo razliko med a in b (a-b=c) itd. Vse te transformacije je mogoče izvesti na fizična telesa in drugih predmetov, ugotavljanje primerjalnih meril in skladnost izbranih relacij s postulati primerjave.

Zgornja gradiva nam omogočajo sklepati, da so tako naravna kot realna števila enako močno povezana s količinami in nekaterimi njihovimi bistvenimi lastnostmi. Ali je mogoče narediti te in druge lastnosti predmet posebnega preučevanja otroka, še preden se uvede numerična oblika opisa razmerja količin? Služijo lahko kot predpogoj za kasnejšo podrobno uvedbo številke in njenega različni tipi, zlasti za propedevtiko ulomkov, pojme koordinat, funkcij in druge pojme že v nižjih razredih.

Kakšna bi lahko bila vsebina tega začetnega dela? To je seznanjanje s fizičnimi objekti, merili za njihovo primerjavo, poudarjanje količine kot predmeta matematične obravnave, seznanjanje z metodami primerjave in simbolnimi sredstvi za zapisovanje njenih rezultatov, s tehnikami za analizo splošnih lastnosti količin. Te vsebine je treba razviti v razmeroma podroben učni program in, kar je najpomembneje, povezati s tistimi otrokovimi dejanji, s katerimi lahko to vsebino usvoji (seveda v ustrezni obliki). Hkrati je treba poskusno ugotoviti, ali lahko 7-letni otroci obvladajo ta program in kakšna je izvedljivost njegove uvedbe za kasnejši pouk matematike v osnovnih razredih v smeri zbliževanja aritmetike in osnovne algebre. skupaj.

Glavne lastnosti, ki označujejo količine, so bile opisane zgoraj. Seveda nima smisla, da 7-letni otroci "predavajo" o teh lastnostih. Treba je bilo najti tako obliko dela za otroke z didaktično gradivo, s pomočjo katerega bi lahko po eni strani prepoznavali te lastnosti v stvareh okoli sebe, po drugi strani pa bi se jih naučili fiksirati z določeno simboliko in izvesti elementarno matematično analizo ugotovljenih odnosov.

V zvezi s tem mora program vsebovati, prvič, navedbo tistih lastnosti predmeta, ki jih je treba obvladati, drugič, opis didaktičnega gradiva, tretjič - in to je glavna stvar s psihološkega vidika - značilnosti tistih dejanj, s katerimi otrok prepozna določene lastnosti predmeta in jih obvlada. Te »komponente« tvorijo učni program v pravem pomenu besede.

Posebnosti tega hipotetičnega programa in njegovih »sestavnih delov« je smiselno predstaviti pri opisu samega učnega procesa in njegovih rezultatov. Tukaj je oris tega programa in njegovih ključnih tem.

Tema I. Niveliranje in dopolnjevanje objektov (po dolžini, prostornini, teži, sestavi delov in drugih parametrih).

Praktične naloge pri niveliranju in pridobivanju. Identifikacija lastnosti (kriterij), po katerih je mogoče enake objekte izenačiti ali dopolniti. Besedna oznaka teh značilnosti ("po dolžini", po teži" itd.).

Te naloge rešujemo v procesu dela z didaktičnim materialom (palice, uteži itd.) tako, da:

Izbira "istega" predmeta,

Reprodukcija (konstrukcija) "istega" predmeta glede na izbran (določen) parameter.

Tema II. Primerjava objektov in popravljanje rezultatov z uporabo formule enakosti in neenakosti.

1. Naloge za primerjavo predmetov in simbolično označevanje rezultatov tega dejanja.

2. Besedni zapis rezultatov primerjave (izrazi »več«, »manj«, »enako«). Pisani znaki ">", "<", "=".

3. Prikaz rezultata primerjave z risbo (»kopiranje« in nato »povzetek« - črte).

4. Označevanje primerjanih predmetov s črkami. Zapis rezultata primerjave po formulah: A=B; A<Б, А>B.

Črka kot znak, ki določa neposredno dano, določeno vrednost predmeta glede na izbrani parameter (teža, prostornina itd.).

5. Nezmožnost fiksiranja primerjalnega rezultata z različnimi formulami. Izbira določene formule za dani rezultat (popolna disjunkcija odnosov večje – manj – enako).

Tema III. Lastnosti enakosti in neenakosti.

1. Reverzibilnost in refleksivnost enakosti (če je A=B, potem je B=A; A=A).

2. Povezava med razmerji »več« in »manj« v neenakosti med »permutacijami« primerjanih strank (če je A>B, potem B<А и т.п.).

3. Tranzitivnost kot lastnost enakosti in neenakosti:

če je A=B, če je A>B, če je A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

potem A=B; nato A>B; nato A<В.

4. Prehod od dela s predmetnim didaktičnim gradivom k ocenjevanju lastnosti enakosti in neenakosti ob prisotnosti samo dobesednih formul. Reševanje različnih problemov, ki zahtevajo poznavanje teh lastnosti (npr. reševanje problemov, povezanih s povezavo relacij tipa: glede na to, da je A>B, in B=C; ugotovi razmerje med A in C).

Tema IV. Operacija seštevanja (odštevanja).

1. Opazovanje sprememb predmetov glede na enega ali drugega parametra (po prostornini, teži, trajanju itd.). Ponazoritev naraščanja in zmanjševanja z znakoma "+" in "-" (plus in minus).

2. Kršitev predhodno vzpostavljene enakosti z ustrezno spremembo ene ali druge strani. Prehod iz enakosti v neenakost. Pisanje formul, kot so:

če je A=B, če je A=B,

nato A+K>B; nato A-K<Б.

3. Metode prehoda na novo enakost (njena »obnova« po načelu: če »enako« dodamo »enako«, dobimo »enako«).

Delo s formulami, kot so:

nato A+K>B,

ampak A+K=B+K.

4. Reševanje različnih nalog, ki zahtevajo uporabo seštevanja (odštevanja) pri prehodu od enakosti do neenakosti in nazaj.

Tema V. Prehod iz neenačbe tipa A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Naloge, ki zahtevajo takšen prehod. Potreba po določitvi vrednosti količine, po kateri se primerjani predmeti razlikujejo. Sposobnost zapisovanja enakosti, ko specifična vrednost te količine ni znana. Način uporabe x (x).

Pisanje formul, kot so:

če<Б, если А>B,

potem A+x=B; potem A-x=B.

2. Določanje vrednosti x. Zamenjava te vrednosti v formulo (uvod v oklepaje). Vnesite formule

3. Reševanje problemov (vključno z "zapletom in besedilom"), ki zahtevajo izvajanje določenih operacij.

Tema Vl. Seštevanje-odštevanje enakosti-neenakosti. Zamenjava.

1. Seštevanje-odštevanje enakosti-neenakosti:

če je A=B, če je A>B, če je A>B

in M=D in K>E in B=G,

nato A+M=B+D; nato A+K>B+E; nato A+-B>C+-G.

2. Sposobnost predstaviti vrednost količine kot vsoto več vrednosti. Vrsta zamenjave:

3. Reševanje različnih problemov, ki zahtevajo upoštevanje lastnosti odnosov, s katerimi so se otroci seznanili v procesu dela (številne naloge zahtevajo hkratno upoštevanje več lastnosti, bistroumnost pri ocenjevanju pomena formul; opisi problemov in rešitve so podani spodaj. ).

To je program, zasnovan za 3,5 - 4 mesece. prvi polovici leta. Izkušnje kažejo izkustveno učenje, s pravilnim načrtovanjem pouka, izboljšanjem učnih metod in uspešnim izborom učnih pripomočkov lahko otroci vso snov, predstavljeno v programu, v celoti usvojijo v več kot kratkoročno(za 3 mesece).

Kako napreduje naš program? Najprej se otroci seznanijo z načinom pridobivanja števila, ki izraža odnos predmeta kot celote (iste količine, ki jo predstavlja neprekinjen ali diskreten predmet) do njegovega dela. Samo to razmerje in njegov specifični pomen prikazuje formula A/K = n, kjer je n poljubno celo število, ki najpogosteje izraža razmerje na najbližjo »enoto« (samo s posebnim izborom materiala ali s štetjem samo »kvalitativno«). posamezne stvari lahko dobimo popolnoma natančno celo število). Otroci so že od vsega začetka »prisiljeni« upoštevati, da lahko pri merjenju ali štetju nastane ostanek, katerega prisotnost je treba posebej določiti. To je prvi korak za nadaljnje delo z ulomki.

S to obliko pridobivanja števila ni težko voditi otrok, da opišejo predmet s formulo, kot je A = 5k (če je razmerje enako "5"). Skupaj s prvo formulo odpira možnosti za posebno študijo odvisnosti med predmetom, osnovo (mero) in rezultatom izračuna (mero), ki služi tudi kot propedevtika za prehod v ulomkov(predvsem za razumevanje osnovnih lastnosti ulomkov).

Druga smer razvoja programa, ki se izvaja že v prvem razredu, je prenos na števila (cela števila) osnovnih lastnosti kvantitete (disjunkcija enakost-neenakost, tranzitivnost, invertibilnost) in operacije seštevanja (komutativnost, asociativnost, monotonost, možnost odštevanja). Zlasti z delom na številski premici lahko otroci hitro pretvorijo zaporedja števil v velikosti (na primer jasno ocenijo njihovo tranzitivnost z zapisi tipa 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.).

Seznanjenost z nekaterimi tako imenovanimi »strukturnimi« značilnostmi enakosti omogoča otrokom, da drugače pristopijo k povezavi med seštevanjem in odštevanjem. Tako se pri prehodu iz neenakosti v enakost izvedejo naslednje transformacije: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; poišči razmerje med levo in desno stranjo formule za 8+1-4...6+3-2; v primeru neenakosti pripeljite ta izraz do enakosti (najprej morate postaviti znak "manj kot" in nato na levo stran dodati "dva").

Obravnavanje številske serije kot količine vam torej omogoča, da na nov način razvijete spretnosti seštevanja in odštevanja (ter nato množenja in deljenja).

Poglavje II. Metodična priporočila za učenje algebraične snovi v osnovni šoli 2.1 Pouk v osnovni šoli z vidika potreb srednje šole

Kot veste, je pri pouku matematike v 5. razredu velik del časa namenjen ponavljanju tega, kar bi se otroci morali naučiti v osnovni šoli. To ponavljanje v skoraj vseh obstoječih učbenikih traja 1,5 akademske četrtine. Ta situacija ni nastala po naključju. Njen razlog je nezadovoljstvo srednješolskih učiteljev matematike s pripravo maturantov. Kaj je razlog za to stanje? V ta namen smo analizirali pet danes najbolj znanih osnovnošolskih učbenikov matematike. To so učbeniki M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson in V.V. Davidova (, , , ,).

Analiza teh učbenikov je pokazala več negativnih vidikov, ki so v večji ali manjši meri prisotni v vsakem od njih in negativno vplivajo na nadaljnje učenje. Prvič, asimilacija gradiva v njih v veliki meri temelji na pomnjenju. Jasen primer tega je pomnjenje tabele množenja. V osnovni šoli je veliko truda in časa namenjenega učenju na pamet. Toda med poletnimi počitnicami jo otroci pozabijo. Razlog za tako hitro pozabljanje je učenje na pamet. Raziskava L.S. Vygotsky je pokazal, da je smiselno pomnjenje veliko učinkovitejše od mehanskega pomnjenja, poznejši poskusi pa prepričljivo dokazujejo, da material vstopi v dolgoročni spomin le, če se ga spomni kot rezultat dela, ki ustreza temu materialu.

Metoda za učinkovito obvladovanje tabele množenja je bila najdena že v 50. letih. Sestavljen je iz organiziranja določenega sistema vaj, s katerim otroci sami sestavijo tabelo množenja. Vendar ta metoda ni implementirana v nobenem od pregledanih učbenikov.

Druga negativna točka, ki vpliva na nadaljnje izobraževanje, je, da je v mnogih primerih podajanje snovi v osnovnošolskih učbenikih matematike strukturirano tako, da bo treba otroke v prihodnosti prekvalificirati, kar pa je, kot vemo, veliko težje. kot poučevanje. V zvezi s študijem algebrske snovi bi bil primer reševanje enačb v osnovni šoli. V vseh učbenikih reševanje enačb temelji na pravilih za iskanje neznanih komponent dejanj.

To je storjeno nekoliko drugače le v učbeniku L.G. Peterson, kjer na primer reševanje enačb množenja in deljenja temelji na korelaciji komponent enačbe s stranicami in ploščino pravokotnika in se na koncu spelje tudi na pravila, vendar so to pravila za iskanje stranice ali ploščine pravokotnik. Medtem se otroci od 6. razreda učijo popolnoma drugačnega principa reševanja enačb, ki temelji na uporabi enakih transformacij. Ta potreba po ponovnem učenju vodi v dejstvo, da je reševanje enačb za večino otrok precej težka naloga.

Pri analizi učbenikov smo se srečali tudi z dejstvom, da pri podajanju snovi v njih pogosto prihaja do izkrivljanja pojmov. Na primer, formulacija številnih definicij je podana v obliki implikacij, medtem ko je iz matematične logike znano, da je vsaka definicija enakovrednost. Kot ilustracijo lahko navedemo definicijo množenja iz učbenika I.I. Arginskaya: "Če so vsi členi v vsoti enaki drug drugemu, potem lahko seštevanje nadomestimo z drugim dejanjem - množenjem." (Vsi členi v vsoti so med seboj enaki. Zato lahko seštevanje nadomestimo z množenjem.) Kot lahko vidite, je to implikacija v čisti obliki. Ta formulacija ni samo nepismena z vidika matematike, ne samo, da pri otrocih napačno oblikuje predstavo o tem, kaj je definicija, ampak je tudi zelo škodljiva, ker bodo v prihodnosti, npr. tabelo množenja, avtorji učbenikov uporabljajo zamenjavo zmnožka z vsoto enakih členov, česar predstavljena formulacija ne dopušča. Takšno nepravilno delo s trditvami, zapisanimi v obliki implikacije, pri otrocih oblikuje napačen stereotip, ki ga bodo zelo težko premagali pri pouku geometrije, ko otroci ne bodo čutili razlike med neposredno in nasprotno trditvijo, med znakom figure in svojo lastnino. Napaka uporabe inverznega izreka pri reševanju nalog, medtem ko je bil dokazan samo neposredni izrek, je zelo pogosta.

Drug primer nepravilnega oblikovanja koncepta je delo z dobesedno relacijo enakosti. Na primer, pravila za množenje števila z enico in števila z ničlo so v vseh učbenikih podana v obliki črk: a x 1 = a, a x 0 = 0. Relacija enakosti je, kot je znano, simetrična in zato takšna zapis zagotavlja ne samo, da se pri množenju z 1 dobi isto število, ampak tudi, da je katero koli število mogoče predstaviti kot produkt tega števila in ena. Vendar besedna formulacija, predlagana v učbenikih za črkovnim zapisom, govori le o prvi možnosti. Tudi vaje na to temo so namenjene samo vadbi zamenjave produkta števila in ena s tem številom. Vse to vodi ne le do dejstva, da zelo pomembna točka ne postane predmet otrokove zavesti: katero koli število je mogoče zapisati v obliki produkta, kar bo v algebri povzročilo ustrezne težave pri delu s polinomi, ampak tudi do dejstvo, da otroci načeloma ne znajo pravilno delati z odnosom enakosti. Na primer, pri delu s formulo razlike kvadratov se otroci praviloma spopadejo z nalogo faktoriziranja razlike kvadratov. Toda tiste naloge, kjer je potrebno nasprotno dejanje, v mnogih primerih povzročajo težave. Druga osupljiva ilustracija te ideje je delo z distribucijskim zakonom množenja glede na seštevanje. Tudi tukaj kljub črkovni pisavi zakona tako njegova besedna formulacija kot sistem vaj le urita zmožnost odpiranja oklepaja. Posledično bo izstavljanje skupnega faktorja iz oklepajev v prihodnosti povzročilo precejšnje težave.

Nemalokrat se v osnovni šoli, tudi če je definicija ali pravilo pravilno oblikovano, spodbuja učenje tako, da se ne zanašamo nanje, ampak na nekaj povsem drugega. Na primer, pri preučevanju tabele množenja z 2 vsi pregledani učbeniki kažejo, kako jo sestaviti. V učbeniku M.I. Moro je to naredil takole:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

S to metodo dela bodo otroci zelo hitro opazili vzorec nastalega številskega niza.

Po 3-4 izenačenosti bodo prenehali seštevati dvojke in začeli zapisovati rezultat glede na opažen vzorec. Tako metoda sestavljanja množilne tabele ne bo postala predmet njihove zavesti, kar bo povzročilo njeno krhko asimilacijo.

Pri učenju snovi v osnovni šoli se zanašamo na objektivna dejanja in ilustrativno jasnost, kar vodi v oblikovanje empiričnega mišljenja. Seveda brez takšne razgledanosti v osnovni šoli skorajda ne gre. Vendar bi moral služiti le kot ponazoritev tega ali onega dejstva in ne kot osnova za oblikovanje koncepta. Uporaba ilustrativne jasnosti in vsebinskih dejanj v učbenikih pogosto povzroči, da je sam koncept »zamegljen«. Na primer, pri matematičnih metodah za 1.–3. razrede M.I. Moreau pravi, da morajo otroci 30 lekcij deliti z razvrščanjem predmetov na kupe ali risanjem. Takšna dejanja izgubijo bistvo operacije deljenja kot inverzne akcije množenja. Posledično se deljenja naučimo z največjo težavo in je veliko slabše od drugih računskih operacij.

Pri pouku matematike v osnovni šoli ni govora o dokazovanju kakršnih koli trditev. Medtem ko se spomnite, kako težko bo poučevanje dokazov v srednji šoli, se morate na to začeti pripravljati že v osnovnih razredih. Poleg tega je to mogoče storiti na gradivu, ki je osnovnošolcem zelo dostopno. Takšno gradivo so lahko na primer pravila za deljenje števila z 1, ničle s številom in števila samo s seboj. Otroci so jih povsem sposobni dokazati z uporabo definicije deljenja in ustreznih pravil množenja.

Osnovnošolsko gradivo omogoča tudi algebrsko propedevtiko - delo s črkami in črkovnimi izrazi. Večina učbenikov se izogiba uporabi črk. Zaradi tega otroci štiri leta delajo skoraj izključno s številkami, potem pa jih je seveda zelo težko navaditi na delo s črkami. Vendar pa je mogoče zagotoviti propedevtiko za takšno delo, otroke že v osnovni šoli naučiti zamenjati številko namesto črke v črkovnem izrazu. To je bilo na primer storjeno v učbeniku L.G. Peterson.

Ko govorimo o pomanjkljivostih pouka matematike v osnovni šoli, ki ovirajo nadaljnje učenje, je treba posebej poudariti dejstvo, da je pogosto snov v učbenikih predstavljena brez pogleda na to, kako bo delovala v prihodnosti. Zelo osupljiv primer tega je organizacija učenja množenja z 10, 100, 1000 itd. V vseh pregledanih učbenikih je predstavitev tega gradiva strukturirana tako, da neizogibno vodi do oblikovanja v glavah otrok pravila: »Če želite število pomnožiti z 10, 100, 1000 itd., morate da na desno stran dodate toliko ničel, kolikor jih je v 10, 100, 1000 itd." To pravilo je eno tistih, ki se jih zelo dobro naučijo v osnovni šoli. In to vodi do velikega števila napak pri množenju decimalnih ulomkov s celomestnimi enotami. Tudi potem, ko si zapomnijo novo pravilo, otroci pri množenju z 10 pogosto samodejno dodajo ničlo na desno od decimalke. Poleg tega je treba opozoriti, da se pri množenju naravnega števila in pri množenju decimalnega ulomka s celomestnimi enotami zgodi v bistvu isto: vsaka števka števila se premakne v desno za ustrezno število števk. Zato otrok nima smisla učiti dveh ločenih in povsem formalnih pravil. Veliko bolj koristno jih je naučiti splošnega načina postopanja pri reševanju podobnih problemov.

2.1 Primerjava (kontrast) pojmov pri pouku matematike

Sedanji program predvideva študij v I. razredu samo dveh operacij prve stopnje - seštevanja in odštevanja. Omejitev prvega letnika študija na samo dve operaciji je v bistvu odmik od tega, kar je bilo doseženo že v učbenikih, ki so bili pred sedanjimi: niti en učitelj se takrat ni pritoževal, da množenje in deljenje, recimo znotraj 20, presegata zmožnosti prvošolčkov . Omeniti velja tudi, da v šolah v drugih državah, kjer se izobraževanje začne pri 6 letih, prvo šolsko leto vključuje začetno spoznavanje vseh štirih aritmetičnih operacij. Matematika temelji predvsem na štirih dejanjih in prej ko so vključena v učenčevo miselno prakso, bolj stabilen in zanesljiv bo kasnejši razvoj tečaja matematike.

Po pravici povedano je treba opozoriti, da sta bila v prvih različicah učbenikov M. I. Moro za I. razred na voljo množenje in deljenje. Vendar je zadevo preprečila nesreča: avtorji novih programov so se vztrajno oklepali ene »novosti« - pokritosti v prvem razredu vseh primerov seštevanja in odštevanja znotraj 100 (37+58 in 95-58 itd.). Ker pa ni bilo dovolj časa za študij tako razširjene količine informacij, je bilo odločeno, da se množenje in deljenje v celoti prenese v naslednje leto študija.

Tako je fascinacija nad linearnostjo programa, torej čisto kvantitativno širitvijo znanja (ista dejanja, vendar z večjim številom), vzela čas, ki je bil prej namenjen kvalitativnemu poglabljanju znanja (preučevanje vseh štirih dejanj znotraj dva ducata). Učenje množenja in deljenja že v prvem razredu pomeni kvalitativni preskok v razmišljanju, saj omogoča obvladovanje zgoščenih miselnih procesov.

Po tradiciji je bilo nekoč posebna tema preučevanje seštevanja in odštevanja znotraj 20. Potreba po tem pristopu pri sistematizaciji znanja je razvidna že iz logične analize vprašanja: dejstvo je, da popolna tabela za seštevanje enomestnih števila je razvita znotraj dveh desetic (0+1= 1, ...,9+9=18). Tako tvorijo števila znotraj 20 celoten sistem odnosov v svojih notranjih povezavah; torej je smotrnost ohranitve »dvajsetih« kot druge celostne teme jasna (prva taka tema so dejanja znotraj prve deseterice).

Obravnavani primer je natanko tisti, kjer se koncentričnost (ohranjanje druge desetice kot posebne teme) izkaže za koristnejšo od linearnosti (»raztapljanje« druge desetice v temo »Sto«).

V učbeniku M. I. Moro je preučevanje prve desetice razdeljeno na dva ločena dela: najprej se preučuje sestava števil prve desetice, v naslednji temi pa se obravnavajo dejanja znotraj 10. V eksperimentalnem učbeniku avtor P.M. Erdnieva je v nasprotju s tem izvedla skupno študijo številčenja, sestave števil in operacij (seštevanje in odštevanje) znotraj 10 naenkrat v enem oddelku. S tem pristopom se uporablja monografska študija števil, in sicer: znotraj obravnavanega števila (na primer 3) se takoj razume vsa "gotovinska matematika": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 – 1 = 2; 3 – 2 = 1.

Če je bilo po trenutnih programih za študij prvih desetih dodeljenih 70 ur, potem je bilo v primeru eksperimentalnega usposabljanja vse to gradivo preučeno v 50 urah (in poleg programa so bili upoštevani nekateri dodatni koncepti, ki niso bili v stalen učbenik, vendar so bili strukturno povezani z glavnim gradivom).

Vprašanje razvrščanja nalog in imen njihovih vrst zahteva posebno pozornost pri metodologiji začetnega usposabljanja. Generacije metodologov so delale na racionalizaciji sistema šolskih nalog, ustvarjanju njihovih učinkovitih vrst in sort, vse do izbire uspešnih izrazov za imena nalog, namenjenih študiju v šoli. Znano je, da je vsaj polovica učnega časa pri pouku matematike namenjena njihovemu reševanju. Šolske naloge vsekakor potrebujejo sistematizacijo in klasifikacijo. Kakšne (vrste) problemov študirati, kdaj študirati, kakšne vrste problemov študirati v povezavi s prehodom določenega odseka - to je legitimen predmet študija metodologije in osrednje vsebine programov. Pomen te okoliščine je jasen iz zgodovine matematične metodologije.

V avtorskih eksperimentalnih učnih pripomočkih je posebna pozornost namenjena razvrstitvi nalog in porazdelitvi njihovih potrebnih vrst in sort za poučevanje v posameznem razredu. Trenutno so klasična imena vrst nalog (najti vsoto, neznani člen ipd.) izginila celo iz kazala stabilnega učbenika za prvi razred. V poskusnem učbeniku P.M. Erdnieva, ta imena »delujejo«: uporabna so kot didaktični mejniki ne le za učenca, ampak tudi za učitelja. Naj predstavimo vsebino prve teme poskusnega učbenika matematike, za katero je značilna logična zaokroženost pojmov.

Prvih deset

Primerjava pojmov višje - nižje, levo - desno, med, krajše - daljše, širše - ožje, debelejše - tanjše, starejše - mlajše, dlje - bližje, počasnejše - hitrejše, lažje - težje, malo - veliko.

Monografsko preučevanje števil prve desetice: ime, oznaka, primerjava, številčenje na abakusu in označevanje števil na številski premici; znaki: enako (=), ni enako (¹), večje od (>), manjše od (<).

Ravne in ukrivljene črte; krog in oval.

Točka, ravna črta, segment, njihova oznaka s črkami; merjenje dolžine segmenta in polaganje segmentov dane dolžine; označevanje, poimenovanje, konstrukcija, izrezovanje enakih trikotnikov, enakih mnogokotnikov. Elementi mnogokotnika: oglišča, stranice, diagonale (označene s črkami).

Monografska študija števil znotraj obravnavane številke:

sestavljanje števil, seštevanje in odštevanje.

Imena komponent seštevanja in odštevanja.

Štirje primeri za seštevanje in odštevanje:

3 + 2 = 5, 5 - 2 = 3, 2 + 3 = 5, 5 - 3 = 2.

Deformirani primeri (z manjkajočimi številkami in znaki):

X + 5 = 7; 6 – X = 4; 6 = 3A2.

Reševanje nalog iskanja vsote in seštevka, razlike, odštevanca in odštevanca. Sestavljanje in reševanje medsebojno inverznih nalog.

Tri naloge: povečevanje in zmanjševanje števila za več enot ter diferencialna primerjava. Primerjava odsekov po dolžini.

Komutativni zakon seštevanja. Sprememba vsote glede na spremembo enega člena. Pogoj, ko se znesek ne spremeni. Najenostavnejši črkovni izrazi: a + b = b + a, a + 0 = a, a – a = 0.

Sestavljanje in reševanje izraznih nalog.

V naslednji predstavitvi bomo obravnavali glavna vprašanja metodologije za predstavitev tega začetnega dela šolske matematike, ob upoštevanju, da mora biti metodologija za predstavitev naslednjih delov v marsičem podobna procesu obvladovanja snovi prve teme .

Že v prvih učnih urah bi si moral učitelj zadati cilj, da učenca nauči uporabljati pare pojmov, katerih vsebina se razkrije v procesu sestavljanja ustreznih stavkov s temi besedami. (Najprej obvladamo primerjavo na kvalitativni ravni, brez uporabe številk.)

Tukaj so primeri najpogostejših parov konceptov, ki jih je treba uporabljati pri pouku ne le matematike, ampak tudi pri razvoju govora:

Več - manj, daljši - krajši, višji - nižji, težji - lažji, širši - ožji, debelejši - tanjši, desno - levo, dlje - bližje, starejši - mlajši, hitrejši - počasnejši itd.

Pri delu s takšnimi pojmovnimi pari je pomembno, da ne uporabljamo le ilustracij v učbeniku, temveč tudi opažanja otrok; tako na primer z okna učilnice vidijo, da je čez reko hiša, in si izmislijo besedne zveze: »Reka je bližje šoli kot hiša, hiša pa je dlje od šole kot reka. .”

Učenec naj v roki izmenično drži knjigo in zvezek. Učitelj vpraša: kaj je težje - knjiga ali zvezek? Kaj je lažje? "Knjiga je težja od zvezka in zvezek je lažji od knjige."

Ko postavimo najvišjega in najnižjega učenca v razredu enega ob drugega pred razred, takoj sestavimo dve besedni zvezi: "Miša je višji od Kolje in Kolja je nižji od Miše."

Pri teh vajah je pomembno doseči slovnično pravilno zamenjavo ene sodbe z dvojno: "Kamnita hiša je višja od lesene, kar pomeni, da je lesena hiša nižja od kamnite."

Ko se seznanite s pojmom "daljši - krajši", lahko prikažete primerjavo predmetov po dolžini tako, da jih položite enega na drugega (kaj je daljše: pero ali svinčnik?).

Pri pouku aritmetike in razvoja govora je koristno reševati logične probleme s ciljem poučevanja uporabe nasprotnih pojmov: »Kdo je starejši: oče ali sin? Kdo je mlajši: oče ali sin? Kateri se je prvi rodil? Kdo je kasneje?

»Primerjajte širino knjige in aktovke. Kaj je širše: knjiga ali aktovka? Kaj je že knjiga ali aktovka? Kaj je težje: knjiga ali aktovka?

Poučevanje primerjalnega procesa lahko popestrimo z uvedbo tako imenovanih matričnih (tabelarnih) vaj. Na tabli je zgrajena tabela s štirimi celicami in pojasnjen je pomen pojmov "stolpec" in "vrstica". Predstavimo pojme "levi stolpec" in "desni stolpec", "zgornja vrstica" in "spodnja vrstica".

Skupaj z učenci pokažemo (posnemamo) pomensko razlago teh pojmov.

Pokažite stolpec (otroci premikajo roko od zgoraj navzdol).

Pokažite levi stolpec, desni stolpec (otroci dvakrat zamahnejo z rokami od zgoraj navzdol).

Pokažite črto (zamahnite z roko od leve proti desni).

Pokaži zgornjo črto, spodnjo črto (dva maha z roko prikazujeta zgornjo in spodnjo črto).

Zagotoviti je treba, da učenci natančno označijo položaj celice: "zgornja leva celica", "spodnja desna celica" itd. Inverzni problem je takoj rešen, in sicer: učitelj pokaže na neko celico tabele (matrike) , študent poda ustrezno ime te celice. Torej, če je usmerjena na celico, ki leži na presečišču zgornje vrstice in levega stolpca, mora učenec poimenovati: "Zgornja leva celica." Takšne vaje otroke postopoma navajajo na prostorsko orientacijo in so pomembne pri kasnejšem študiju koordinatne metode matematike.

Delo na številski vrsti je zelo pomembno za prve ure osnovne matematike.

Priročno je ponazoriti rast številske serije s seštevanjem enega za drugim s premikanjem v desno vzdolž številske premice.

Če je znak (+) povezan s premikom vzdolž številske premice v desno za ena, potem je znak (-) povezan s premikom nazaj v levo za eno itd. (Zato prikazujemo oba znaka hkrati v istem lekcija.)

Pri delu s številskim nizom uvajamo naslednje pojme: začetek številskega niza (število nič) predstavlja levi konec žarka; Številka 1 ustreza segmentu enote, ki mora biti upodobljen ločeno od niza številk.

Učenci naj delajo na številski premici znotraj treh.

Izberemo poljubni dve sosednji števili, na primer 2 in 3. Pri prehodu s številke 2 na številko 3 otroci sklepajo takole: »Številu 2 sledi število 3.« Pri prehodu s številke 3 na številko 2 pravijo:

"Število 3 je pred številom 2" ali: "Število 2 je pred številom 3."

Ta metoda vam omogoča, da določite mesto dane številke glede na prejšnje in naslednje številke; Primerno je takoj opozoriti na relativnost položaja številke, na primer: številka 3 je hkrati naslednja (za številko 2) in prejšnja (pred številko 4).

Navedeni prehodi vzdolž številske serije morajo biti povezani z ustreznimi aritmetičnimi operacijami.

Na primer, fraza "Številu 2 sledi številka 3" je simbolično prikazana takole: 2 + 1 = 3; vendar pa je psihološko koristno, če takoj za njim ustvarimo nasprotno povezavo misli, in sicer: izraz »Pred številko 3 pride številka 2« je podkrepljen z zapisom: 3 – 1 = 2.

Da bi razumeli mesto števila v nizu števil, je treba zastaviti seznanjena vprašanja:

1. Kateri številki sledi številka 3? (Število 3 je za številom 2.) Pred katerim številom je število 2? (Številka 2 je pred številko 3.)

2. Katero število je za številom 2? (Številu 2 sledi število 3.) Katero število je pred številom 3? (Pred številko 3 je številka 2.)

3. Med katerimi števili se nahaja število 2? (Število 2 je med številom 1 in številom 3.) Katero število je med številoma 1 in 3? (Med številkama 1 in 3 je številka 2.)

V teh vajah so matematične informacije vsebovane v funkcijskih besedah: pred, za, med.

Primerno je kombinirati delo s številsko vrsto s primerjavo števil po velikosti in primerjavo položaja števil na številski premici. Povezave sodb geometrijske narave se postopoma razvijajo: številka 4 je na številski premici desno od številke 3; to pomeni, da je 4 večje od 3. In obratno: število 3 je na številski premici levo od števila 4; to pomeni, da je število 3 manjše od števila 4. Tako se vzpostavi povezava med pari pojmov: na desno - več, na levo - manj.

Iz zgoraj navedenega vidimo značilnost integrirane asimilacije znanja: celoten nabor pojmov, povezanih s seštevanjem in odštevanjem, je ponujen skupaj, v svojih nenehnih prehodih (prekodiranju) drug v drugega.

Glavno sredstvo za usvajanje številskih razmerij v našem učbeniku so barvni stolpci; Primerno jih je primerjati po dolžini in ugotoviti, koliko celic je večjih ali manjših od njih v zgornji ali spodnji vrstici. Z drugimi besedami, koncepta »različne primerjave segmentov« ne uvajamo kot posebno temo, ampak se učenci z njim seznanijo že na samem začetku študija števil prve desetice. V lekcijah, namenjenih preučevanju prvih desetih, je priročno uporabljati barvne palice, ki vam omogočajo izvajanje propedevtike glavnih vrst nalog za dejanja prve stopnje.

Poglejmo si primer.

Naj bosta dve barvni vrstici, razdeljeni na celice, postavljeni ena na drugo:

v spodnji - 3 celice, v zgornji - 2 celici (glej sliko).

Ob primerjavi števila celic v zgornji in spodnji vrstici učitelj sestavi dva primera medsebojno obratnih dejanj (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), rešitve teh primerov pa preberejo v parih na vse možne načine:

2 + 1 = 3 3 – 1 = 2

a) dodajte 1 k 2 - dobite 3; a) od 3 odštejemo 1 - dobimo 2;

b) povečajte 2 za 1 - dobite 3; b) zmanjšaj 3 za 1 - dobiš 2;

c) 3 je več kot 2 za 1; c) 2 je manj kot 3 krat 1;

d) 2 da 1 bo 3; d) 3 brez 1 bo 2;

e) število 2 seštej s številom 1 - e) od števila 3 odštej število 1 -

izpade 3. izpade 2.

učiteljica. Če 2 pomnožimo z 1, koliko bo?

študent. Če 2 povečate za 1, dobite 3.

učiteljica. Povejte mi, kaj je treba narediti s številko 3, da dobimo 2?

študent. Zmanjšajte 3 za 1, da dobite 2.

Naj tu opozorimo na potrebo v tem dialogu po metodično kompetentnem izvajanju delovanja opozicije. ,

Otroško samozavestno obvladovanje pomena seznanjenih konceptov (seštej - odštej, povečaj - zmanjšaj, več - manj, da - brez, seštej - odštej) se doseže z njihovo uporabo v eni učni uri na podlagi iste trojke števil (npr. 2+1= =3, 3-1=2), ki temelji na eni predstavitvi - primerjava dolžin dveh palic.

To je temeljna razlika med metodološkim sistemom utrjevanja enot asimilacije in sistemom ločenega študija teh osnovnih konceptov, v katerem se kontrastni koncepti matematike praviloma ločeno uvajajo v govorno prakso učencev.

Učne izkušnje kažejo prednosti hkratnega uvajanja parov medsebojno nasprotnih pojmov, začenši že s prvimi lekcijami aritmetike.

Tako je na primer hkratna uporaba treh glagolov: »dodaj« (dodaj 1 k 2), »dodaj« (seštej številko 2 s številko 1), »povečaj« (2 povečaj za 1), ki so upodobljeni simbolično. enako (2+1= 3), pomaga otrokom, da se naučijo podobnosti in bližine teh besed v pomenu (podobno sklepanje lahko izvedemo glede besed "odšteti", "odšteti", "zmanjšati").

Na enak način se bistvo diferencialne primerjave naučimo z večkratno uporabo primerjalnih parov števil že od samega začetka usposabljanja, pri čemer se v vsakem delu dialoga v lekciji uporabljajo vse možne verbalne oblike interpretacije rešenega primera: »Kaj je večje: 2 ali 3? Koliko je 3 več od 2? Koliko morate dodati 2, da dobite 3? itd. Spreminjanje slovničnih oblik in pogosta raba vprašalnih oblik je zelo pomembna za usvajanje pomena teh pojmov.

Dolgoletna testiranja so pokazala prednosti monografskega preučevanja prvih desetih številk. Vsaka naslednja številka je podvržena večstranski analizi, pri čemer so naštete vse možne možnosti za njeno oblikovanje; znotraj tega števila se izvajajo vsa možna dejanja, ponavlja se »vsa razpoložljiva matematika«, uporabljajo se vse sprejemljive slovnične oblike izražanja razmerja med števili. Seveda se s tem sistemom študija v povezavi s pokritjem naslednjih števil ponavljajo prej preučeni primeri, to pomeni, da se razširitev serije številk izvaja s stalnim ponavljanjem predhodno obravnavanih kombinacij števil in vrst preprostih problemov .

2.3 Skupno učenje seštevanja in odštevanja, množenja in deljenja

V metodiki osnovne matematike se vaje na teh dveh operacijah običajno obravnavajo ločeno. Medtem se zdi, da je hkratna študija dvojne operacije "seštevanje - razgradnja na izraze" bolj zaželena.

Naj učenci rešijo nalogo seštevanja: "Trijem palicam dodajte 1 palico - dobite 4 palice." Po tej nalogi je treba takoj zastaviti vprašanje: "Iz katerih števil je sestavljeno število 4?" 4 palčke so sestavljene iz 3 palčk (otrok prešteje 3 palčke) in 1 palčke (loči še 1 palčko).

Začetna vaja je lahko razgradnja števila. Učitelj vpraša: "Iz katerih števil je sestavljeno število 5?" (Število 5 je sestavljeno iz 3 in 2.) In takoj se postavi vprašanje o istih številkah: "Koliko dobite, če dodate 2 k 3?" (Dodajte 2 k 3 - dobite 5.)

Za isti namen je koristno vaditi branje primerov v dveh smereh: 5+2=7. Dodaj 2 k 5, dobiš 7 (beri od leve proti desni). 7 je sestavljen iz členov 2 in 5 (beri od desne proti levi).

Koristno je verbalno nasprotovanje spremljati s takšnimi vajami na učilnem abakusu, ki vam omogočajo, da vidite specifično vsebino ustreznih operacij. Izračuni na abakusu so nepogrešljivi kot sredstvo za vizualizacijo dejanj na številih, velikost števil znotraj 10 pa je tukaj povezana z dolžino niza kosti, ki se nahajajo na eni žici (to dolžino učenec vizualno zazna). Nemogoče se je strinjati s takšno "inovativnostjo", ko so trenutni učbeniki in programi popolnoma opustili uporabo ruskega abakusa pri pouku.

Tako je učenec pri reševanju primera seštevanja (5+2=7) na abakusu najprej preštel 5 kamenčkov, nato jim prištel 2 in nato sporočil vsoto: »5 prištej 2 - dobiš 7« ime nastalega števila 7 učenec ugotovi s preračunavanjem nove celote: »Ena - dva - tri - štiri - pet - šest - sedem«).

študent. Dodaj 2 k 5 in dobiš 7.

učiteljica. Zdaj pokaži, iz katerih členov je sestavljeno število 7.

Učenec (najprej loči dve kosti na desno, nato spregovori). Število 7 je sestavljeno iz 2 in 5.

Pri izvajanju teh vaj je priporočljivo že od samega začetka uporabljati pojme "prvi člen" (5), "drugi člen" (2) in "vsota".

Na voljo so naslednje vrste nalog: a) vsota dveh členov je 7; poiščite izraze; b) iz katerih sestavin je sestavljeno število 7?; c) vsoto 7 razgradi na 2 člena (na 3 člene). itd.

Obvladovanje tako pomembnega algebraičnega koncepta, kot je komutativni zakon seštevanja, zahteva vrsto vaj, ki sprva temeljijo na praktičnih manipulacijah s predmeti.

učiteljica. V levo roko vzemite 3 palice, v desno pa 2. Koliko palic je skupaj?

študent. Skupaj je 5 palic.

učiteljica. Kako naj povem več o tem?

študent. Dodajte 2 palčki 3 palčkam - nastalo bo 5 palčk.

učiteljica. Sestavite ta primer iz izrezanih števil. (Učenec si izmisli primer: 3+2=5.)

učiteljica. Sedaj zamenjajte palčke: prenesite palčke v levi roki v desno in prenesite palčke iz desne v levo. Koliko palic je zdaj v obeh rokah?

študent. Skupaj je bilo v dveh rokah 5 palic, zdaj pa spet 5 palic.

učiteljica. Zakaj se je to zgodilo?

študent. Ker ničesar nismo dajali na stran in nismo dodajali palic, kolikor je bilo, toliko je ostalo.

učiteljica. Iz razrezanih števil sestavi rešene primere.

Učenec (odloži: 3+2=5, 2+3=5). Tukaj je bila številka 3, zdaj pa številka 2. In tukaj je bila številka 2, zdaj pa številka 3.

učiteljica. Zamenjali smo številki 2 in 3, rezultat pa je ostal enak:

5. (Primer je narejen iz razdeljenih števil: 3+2=2+3.)

Komutativni zakon spoznamo tudi pri vajah razgradnje števila na člene.

Kdaj uvesti komutativni zakon seštevanja?

Glavni cilj poučevanja seštevanja – že znotraj prve desetke – je nenehno poudarjanje vloge komutativnega zakona pri vajah.

Otroci naj najprej preštejejo 6 palic; nato jim dodamo tri palice in s preračunavanjem (»sedem - osem - devet«) ugotovimo vsoto: 6 da 3 - bo 9. Takoj je treba ponuditi nov primer: 3 + 6; novo količino je mogoče na začetku ponovno vzpostaviti s preračunavanjem (tj. na najbolj primitiven način), postopoma in namenoma pa je treba oblikovati način reševanja v višji kodi, torej logično, brez preračunavanja.

Če bosta 6 in 3 9 (odgovor ugotovimo s preračunavanjem), bosta tudi 3 in 6 (brez preračunavanja!) 9!

Skratka, komutativno lastnost seštevanja je treba uvajati že na samem začetku vaj seštevanja različnih členov, da sestavljanje (izgovarjanje) rešitev štirih primerov preide v navado:

6 + 3 = 9, 9 - 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.

Sestavljanje štirih primerov je otrokom dostopno sredstvo za širjenje znanja.

Vidimo, da se tako pomembna značilnost operacije seštevanja, kot je njena komutabilnost, ne bi smela pojavljati občasno, ampak bi morala postati glavno logično sredstvo za utrjevanje pravilnih številskih povezav. Glavno lastnost seštevanja - zamenljivost izrazov - je treba nenehno upoštevati v povezavi s kopičenjem novih tabelarnih rezultatov v pomnilniku.

Vidimo: razmerje kompleksnejših računskih ali logičnih operacij temelji na podobnem parnem odnosu (bližini) elementarnih operacij, preko katerih se izvede par »kompleksnih« operacij. Z drugimi besedami, eksplicitna opozicija kompleksnih pojmov temelji na implicitnem (podzavestnem) nasprotju enostavnejših pojmov.

Priporočljivo je, da začetni študij množenja in deljenja izvedete v naslednjem zaporedju treh ciklov problemov (tri naloge v vsakem ciklu):

I cikel: a, b) množenje s stalnim množencem in deljenje po vsebini (skupaj); c) delitev na enake dele.

Cikel II: a, b) večkratno zmanjšanje in povečanje števila (skupaj); c) večkratna primerjava.

III cikel: a, b) iskanje enega dela števila in števila po velikosti enega od njegovih delov (skupaj); c) reševanje problema: "Kateri del je ena številka druge?"

Metodološki sistem za preučevanje teh problemov je podoben tistemu, ki je opisan zgoraj za preproste probleme prve stopnje (seštevanje in odštevanje).

Sočasno učenje množenja in deljenja po vsebini. V dveh ali treh učnih urah (ne več!), posvečenih množenju, se razjasni pomen pojma množenje kot strnjenega seštevanja enakih členov (dejanje deljenja v teh učnih urah še ni obravnavano). Ta čas je dovolj za preučevanje tabele množenja števila 2 z enomestnimi številkami.

Običajno se učencem pokaže zapis o zamenjavi seštevanja z množenjem: 2+2+2+2=8; 2*4=8. Tu gre povezava med seštevanjem in množenjem v smeri seštevanje-množenje. Učencem je primerno takoj ponuditi vajo, ki je zasnovana za ustvarjanje povratne informacije v obliki "množenje-seštevanje" (enaki izrazi): učenec ob pogledu na ta vnos mora razumeti, da mora biti številka 2 kot izraz ponovljena tolikokrat, kot je faktor v primeru kaže (2*4= 8).

Kombinacija obeh vrst vaj je eden od pomembnih pogojev, ki zagotavlja zavestno asimilacijo pojma "množenje", kar pomeni strnjeno dodajanje.

V tretji lekciji (ali četrti, odvisno od razreda) je za vsakega od znanih primerov množenja podan ustrezen primer deljenja. V prihodnje je koristno obravnavati množenje in deljenje le skupaj v istih lekcijah.

Pri uvajanju koncepta deljenja se je treba spomniti ustreznih primerov množenja, da bi na podlagi njih ustvarili koncept novega dejanja, ki je obratno množenju.

Zato pojem "množenje" pridobi bogato vsebino: ni le rezultat seštevanja enakih členov ("posploševanje seštevanja"), ampak tudi osnova, začetni trenutek delitve, ki posledično predstavlja »strnjeno odštevanje«, ki nadomešča zaporedno »odštevanje z 2«:

Pomen množenja ne razumemo toliko skozi samo množenje, temveč skozi nenehne prehode med množenjem in deljenjem, saj je deljenje zastrto, »spremenjeno« množenje. To pojasnjuje, zakaj je koristno, da se pozneje vedno učimo množenje in deljenje hkrati (tabelarno in izven tabele; tako ustno kot pisno).

Prve lekcije o hkratnem preučevanju množenja in deljenja je treba posvetiti pedantnemu obdelovanju samih logičnih operacij, ki jih na vse možne načine podpirajo obsežne praktične dejavnosti pri zbiranju in razdeljevanju različnih predmetov (kocke, gobe, palice itd.), vendar mora zaporedje podrobnih dejanj ostati enako.

Rezultat tega dela bodo tabele množenja in deljenja, napisane ena poleg druge:

2*2=4, 4:2=2,

2*3=6, 6:2=3,

2*4=8, 8: 2=4,

2*5 = 10, 10: 2 = 5 itd.

Tako je tabela množenja zgrajena s konstantnim množiteljem, tabela deljenja pa s konstantnim deliteljem.

Koristno je tudi, da študentom v paru s to nalogo ponudimo strukturno nasprotno vajo na prehodu od deljenja k odštevanju enakih odštevancev.

Pri vajah za ponavljanje je koristno ponuditi naloge tega tipa: 14:2==.

Študija delitve na enake dele. Potem ko smo skupaj preučili ali ponovili množenje števila 2 in deljenje z 2, je v eni od lekcij uveden koncept »delitve na enake dele« (tretja vrsta problema prvega cikla).

Razmislite o problemu: »Štirje učenci so prinesli 2 zvezka. Koliko zvezkov si prinesel?"

Učitelj razloži: vzemite 2 4-krat - dobite 8. (Pojavi se vnos: 2 * 4 = 8.) Kdo bo napisal inverzno nalogo?

In posplošitev izkušenj učiteljev pri izvajanju pouka matematike na to temo. Tečajno delo je sestavljeno iz uvoda, dveh poglavij, zaključka in seznama literature. Poglavje I. Metodološke značilnosti preučevanja področja geometrijskih likov in njegovih merskih enot pri pouku matematike v osnovni šoli 1.1 Starostne značilnosti razvoja mlajših šolarjev na stopnji oblikovanja geometrijskih konceptov ...

Še vedno ne osvetljuje težav. Ker je problematika učnih metod preoblikovanja nalog zajeta v najmanjši meri, jo bomo preučevali še naprej. Poglavje II. Metodika poučevanja transformacije problemov. 2.1. Transformacijski problemi pri pouku matematike v osnovni šoli. Ker je strokovne literature o preoblikovanju nalog zelo malo, smo se odločili narediti anketo med učitelji...

Pri učenju nove snovi je priporočljivo učno uro sestaviti tako, da se delo začne z različnimi demonstracijami, ki jih izvaja učitelj ali učenec. Uporaba vizualnih pripomočkov pri pouku matematike pri preučevanju geometrijskega gradiva otrokom omogoča trdno in zavestno obvladovanje vseh programskih vprašanj. Jezik matematike je jezik simbolov, konvencionalnih znakov, risb, geometrijskih ...

Učenje algebraične snovi v osnovni šoli. Uvedba elementov algebre v začetni tečaj matematike omogoča že od samega začetka usposabljanja izvajati sistematično delo, namenjeno razvoju tako pomembnih matematičnih konceptov pri otrocih, kot so izraz, enakost, neenakost in enačba. Vključitev elementov algebre je namenjena predvsem popolnejšemu in globljemu razkritju aritmetičnih pojmov, dvigu generalizacij učencev na višjo raven, pa tudi ustvarjanju predpogojev za uspešno obvladovanje tečaja algebre v prihodnosti. Seznanitev z uporabo črke kot simbola, ki označuje poljubno število s področja števil, ki ga otroci poznajo, ustvarja pogoje za posploševanje številnih vprašanj teorije aritmetike, obravnavanih v začetnem tečaju, in je dobra priprava za uvajanje otrok v prihodnje v koncepta spremenljivke in funkcije. Zgodnje seznanjanje z uporabo algebraične metode reševanja problemov omogoča resne izboljšave v celotnem sistemu poučevanja otrok za reševanje različnih besedilnih problemov. Delo na vseh naštetih vprašanjih algebrske vsebine, v skladu s tem, kako je začrtano v učbenikih, naj bi potekalo sistematično in načrtno skozi vsa leta osnovnošolskega izobraževanja. Preučevanje elementov algebre v osnovnem matematičnem izobraževanju je tesno povezano s študijem aritmetike. To se izraža zlasti v tem, da se na primer enačbe in neenačbe ne rešujejo na podlagi uporabe algebraičnega aparata, temveč na podlagi uporabe lastnosti aritmetičnih operacij, na podlagi razmerje med komponentami in rezultati teh dejanj. Oblikovanje vsakega od obravnavanih algebrskih konceptov ni privedeno do formalne logične definicije. Cilji preučevanja teme: 1. Razviti pri študentih sposobnost branja, pisanja in primerjave številskih izrazov. 2. Učence seznanite s pravili za izvajanje vrstnega reda dejanj v številskih izrazih in razvijete sposobnost izračunavanja vrednosti izrazov v skladu s temi pravili. 3. Pri učencih razvijati zmožnost branja, pisanja črkovnih izrazov in računanja njihovih pomenov glede na pomene črk. 4. Seznaniti študente z enačbami prve stopnje, ki vsebujejo dejanja prve in druge stopnje, razviti sposobnost njihovega reševanja z izbirno metodo, pa tudi na podlagi znanja o razmerju med komponentami in rezultatom aritmetičnih operacij. Matematični izrazi. Pri oblikovanju koncepta matematičnega izraza pri otrocih je treba upoštevati, da ima znak dejanja med številkami dva pomena: po eni strani označuje dejanje, ki ga je treba izvesti nad številkami (npr. 6 + 4 - dodajte štiri k šest); na drugi strani pa znak dejanja služi za označevanje izraza (6+4 je vsota števil 6 in 4). Koncept izražanja se pri mlajših šolarjih oblikuje v tesni povezavi s koncepti aritmetičnih operacij in prispeva k njihovi boljši asimilaciji. Seznanitev s številskimi izrazi: metodologija dela z izrazi vključuje dve stopnji. Pri prvem se oblikuje koncept najpreprostejših izrazov (vsota, razlika, zmnožek, količnik dveh števil), pri drugem pa o zapletenih (vsota produkta in števila, razlika dveh količnikov). itd.). Seznanitev s prvim izrazom - vsota dveh števil se pojavi v prvem razredu pri učenju seštevanja in odštevanja v okviru 10. Z izvajanjem operacij na množicah se učenci najprej naučijo posebnega pomena seštevanja in odštevanja, zato v zapisih št. oblika 5 + 1, 6-2 dejanja znakov prepoznajo kot kratko oznako besed "dodaj", "odštej". Približno na enak način poteka delo na naslednjih izrazih: razlika (1. ocena), produkt in količnik dveh števil (2. ocena). Uvedena sta pojma »matematični izraz« in »vrednost matematičnega izraza« (brez definicij). Po zapisu več primerov v eni dejavnosti učitelj sporoči, da se ti primeri drugače imenujejo matematični izrazi. Pravilo, ki se uporablja pri branju izrazov, je: 1) določite, katero dejanje je izvedeno zadnje; 2) spomnite se, kako se imenujejo številke v tem dejanju; 3) preberite, kako so te številke izražene. Vaje v branju in pisanju zapletenih izrazov, ki vsebujejo sestavine dejanj, določenih s preprostimi izrazi, otrokom pomagajo pri učenju pravil vrstnega reda dejanj in jih pripravljajo na reševanje enačb. Pri ponujanju takšnih vaj in preverjanju znanja in spretnosti učencev naj si učitelj prizadeva le za to, da so sposobni praktično izvajati takšne naloge: zapisati izraz, prebrati, sestaviti izraz po predlagani nalogi, sestaviti nalogo. na podlagi danega izraza (oz. prebranega »drugače«) danega izraza), razumeli, kaj pomeni zapisati vsoto (razliko) s pomočjo števil in akcijskih znakov in kaj pomeni izračunati vsoto (razliko) ter kasneje, po uvajanje ustreznih izrazov, kaj pomeni sestaviti izraz in kaj pomeni ugotoviti njegovo vrednost. Preučevanje poslovnika. Cilj dela na tej stopnji je na podlagi praktičnih veščin študentov opozoriti na vrstni red izvajanja dejanj v takih izrazih in oblikovati ustrezno pravilo. Učenci samostojno rešujejo primere po izboru učitelja in razložijo, v kakšnem vrstnem redu so izvajali dejanja v posameznem primeru. Nato sklep oblikujejo sami ali pa ga preberejo iz učbenika. Delo poteka v naslednjem zaporedju: 1. Upošteva se pravilo o vrstnem redu izvajanja dejanj v izrazih brez oklepajev, ko se števila izvajajo samo seštevanje in odštevanje ali samo množenje in deljenje. Sklep: če izraz brez oklepaja vsebuje samo operacije seštevanja in odštevanja (ali samo operacije množenja in deljenja), se izvajajo v vrstnem redu, v katerem so zapisane (tj. od leve proti desni). 2. Podobno se preučuje vrstni red dejanj v izrazih z oklepaji v obliki: 85-(46-14), 60: (30-20), 90: (2*5). Učenci tovrstne izraze tudi poznajo in znajo brati, pisati in računati njihov pomen. Po razlagi vrstnega reda dejanj v več takih izrazih otroci oblikujejo zaključek: v izrazih z oklepaji se prvo dejanje izvede na številkah, zapisanih v oklepajih. 3. Najtežje pravilo je vrstni red izvajanja dejanj v izrazih brez oklepajev, ko vsebujejo dejanja prve in druge stopnje. Zaključek: vrstni red dejanj je sprejet po dogovoru: najprej se izvede množenje, deljenje, nato seštevanje, odštevanje od leve proti desni. 4. Vaje za računanje pomena izrazov, ko mora učenec uporabiti vsa pravila, ki se jih je naučil. Seznanitev z enakimi transformacijami izrazov. Identična transformacija izraza je zamenjava danega izraza z drugim, katerega vrednost je enaka vrednosti danega izraza. Takšne pretvorbe izrazov izvajajo učenci, pri čemer se opirajo na lastnosti računskih operacij in posledice, ki iz njih izhajajo (kako številu prištejemo vsoto, kako od vsote odštejemo število, kako število pomnožimo s produktom itd.). ). Pri proučevanju vsake lastnosti se učenci prepričajo, da se lahko v izrazih določene vrste dejanja izvajajo na različne načine, vendar se vrednost izraza ne spremeni (vrednost izraza se ne spremeni, ko se spremeni samo vrstni red dejanj). če se uporabijo lastnosti dejanj) Seznanitev s črkovnimi izrazi. Že v prvem razredu je treba uvesti simbol, ki označuje neznano število. V učni in metodološki literaturi so bili učencem v ta namen ponujeni najrazličnejši znaki: tri pike, obkrožena prazna celica, zvezdica, vprašaj itd. Ker pa naj bi se vsi ti znaki uporabljali za drug namen, potem pisati neznana številka, morate uporabiti splošno sprejeto za te namene znak je črka. Kasneje se črka kot matematični simbol uporablja pri primarnem pouku matematike tudi za zapis posplošenih števil, torej takrat, ko ne mislimo samo na eno nenegativno celo število, temveč na poljubno število. Ta potreba se pojavi, ko je treba izraziti lastnosti aritmetičnih operacij. Črke so potrebne za označevanje količin in pisanje formul, ki odražajo razmerja med količinami, za označevanje točk, segmentov in oglišč geometrijskih likov. V 1. razredu učenci s črko označijo neznano želeno število. Učenci se seznanijo s pisanjem in branjem nekaterih črk latinice, ki jih takoj uporabijo za pisanje primerov z neznanimi števili (preproste enačbe). Učencem pokažemo, kako nalogo, izraženo ustno, prevesti v jezik matematičnih simbolov: »Neznanemu številu smo dodali 2 in dobili 6. Poišči neznano število.« Učitelj razloži, kako zapišemo to nalogo: neznano število označimo s črko x, nato pa z znakom + pokažemo, da smo neznanemu številu dodali 2 in dobili število, ki je enako 6, kar zapišemo z enačajom: x + 2 = 6. Zdaj morate izvesti dejanje odštevanja, da poiščete drugi člen z uporabo vsote dveh členov in enega izmed njih. Glavno delo z uporabo črke kot matematičnega simbola se opravi v kasnejših razredih. Pri uvajanju črkovnih izrazov ima v sistemu vaj pomembno vlogo spretna kombinacija induktivne in deduktivne metode. V skladu s tem vaje vključujejo prehode iz številskih izrazov v abecedne in obratno iz abecednih izrazov v številske. a + b (a plus b) je tudi matematični izraz, le da so v njem izrazi označeni s črkami: vsaka od črk označuje poljubne številke. Če črkam dodelite različne številske vrednosti, lahko dobite poljubno število številskih izrazov. Nadalje se v povezavi z delom na izrazih razkrije koncept konstante. V ta namen se upoštevajo izrazi, v katerih je konstantna vrednost določena s številkami, na primer: a±12, 8±s. Tu so, tako kot na prejšnji stopnji, predvidene vaje za prehod iz številskih izrazov v izraze, zapisane s črkami in številkami, in obratno. Podobno lahko dobite matematične izraze v obliki: 17±p, k±30 in kasneje - izraze v obliki: 7*b, a: 8, 48:d. Delo izračunavanja vrednosti črkovnih izrazov za različne črkovne vrednosti, opazovanje sprememb rezultatov izračunov glede na spremembe v komponentah dejanj, postavlja temelje za oblikovanje koncepta spremenljivke. Upoštevane so vaje za iskanje številskih vrednosti izrazov za dane črkovne vrednosti. Nato se s črkami v posplošeni obliki zapišejo lastnosti aritmetičnih operacij, ki so bile predhodno preučene z uporabo posebnih numeričnih primerov. Učenci z izvajanjem posebnih vaj obvladajo naslednje veščine: 1. S črkami zapišejo lastnosti računskih operacij, povezavo med sestavinami in rezultati računskih operacij. 2. Preberite lastnosti aritmetičnih operacij, odvisnosti in relacij, zapisanih s črkami. 3. Izvedite identitetno transformacijo izraza na podlagi poznavanja lastnosti aritmetičnih operacij. 4. Dokažite veljavnost danih enakosti ali neenakosti z numerično zamenjavo. Uporaba črkovnih simbolov pomaga povečati stopnjo posploševanja znanja, ki ga pridobijo osnovnošolci, in jih pripravi na učenje sistematičnega tečaja algebre v naslednjih razredih. Enakosti, neenakosti. V praksi poučevanja v osnovnih razredih se številski izrazi že od vsega začetka obravnavajo v neločljivi povezavi s številskimi enačbami in neenakostmi. Številske enakosti in neenakosti v matematiki delimo na prave in napačne. V osnovnih razredih se namesto teh izrazov uporabljata besedi "pravi" in "neveren". Cilji poučevanja enakosti in neenakosti v osnovni šoli so naučiti učence praktično operirati z enačbami in neenakostmi: primerjati števila, primerjati računske izraze, reševati najpreprostejše neenačbe z eno neznanko, prehajati od neenačbe do enačbe in od enakosti do neenačbe. Koncepti enakosti in neenakosti se razkrivajo v medsebojnem povezovanju. Pri preučevanju aritmetične snovi. Številske enačbe in neenakosti preučujemo s primerjanjem danih števil ali aritmetičnih izrazov. Zato so znaki “>”, “<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

Pošljite svoje dobro delo v bazo znanja je preprosto. Uporabite spodnji obrazec

Študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki bazo znanja uporabljajo pri študiju in delu, vam bodo zelo hvaležni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

UVOD

ZAKLJUČEK

BIBLIOGRAFIJA

Uvod

V vsakem sodobnem sistemu splošnega izobraževanja matematika zavzema eno od osrednjih mest, kar nedvomno govori o edinstvenosti tega področja znanja.

Izjemen ruski matematik A.N. Kolmogorov je zapisal: "Matematika ni le eden od jezikov. Matematika je jezik in sklepanje, je kot jezik in logika skupaj. Matematika je orodje za razmišljanje. Združuje rezultate natančnega razmišljanja mnogih ljudi. Z uporabo matematike lahko povežite eno razmišljanje z drugim. Navidezna zapletenost narave z njenimi nenavadnimi zakoni in pravili, od katerih vsako dopušča ločeno zelo podrobno razlago, je v resnici tesno povezana. Vendar, če niste pripravljeni uporabiti matematike, potem v tem ogromnem različnih dejstev, ki jih ne boste videli, da vam logika omogoča premikanje od enega do drugega."

Tako nam matematika omogoča oblikovanje določenih oblik mišljenja, potrebnih za preučevanje sveta okoli nas.

Kakšen je vpliv matematike na splošno in še posebej šolske matematike na vzgojo ustvarjalne osebnosti? Poučevanje umetnosti reševanja problemov pri pouku matematike nam daje izredno ugodno priložnost za razvijanje določene miselnosti pri učencih. Potreba po raziskovalnih dejavnostih razvija zanimanje za vzorce in nas uči videti lepoto in harmonijo človeške misli. Vse to je po našem mnenju najpomembnejši element splošne kulture. Predmet matematike pomembno vpliva na oblikovanje različnih oblik mišljenja: logičnega, prostorsko-geometrijskega, algoritemskega. Vsak ustvarjalni proces se začne z oblikovanjem hipoteze. Matematika, ob ustrezni organizaciji izobraževanja, kot dobra šola za postavljanje in preverjanje hipotez, te nauči primerjati različne hipoteze, iskati najboljšo možnost, postavljati nove probleme in iskati načine za njihovo rešitev. Med drugim razvija tudi navado metodičnega dela, brez katerega si ni mogoč noben ustvarjalni proces. Z maksimiranjem možnosti človeškega razmišljanja je matematika njegov najvišji dosežek. Človeku pomaga razumeti sebe in oblikovati svoj značaj. To je majhen seznam razlogov, zakaj bi moralo matematično znanje postati sestavni del splošne kulture in obvezen element pri vzgoji in izobraževanju otroka. Tečaj matematike (brez geometrije) v naši 10-letni šoli je dejansko razdeljen na tri glavne dele: aritmetiko (I. - V. razred), algebro (VI. - VIII. razred) in elemente analize (IX. - X. razred). Kaj je osnova za takšno delitev? Seveda ima vsak od teh delov svojo posebno »tehnologijo«.

Tako je v aritmetiki povezana na primer z izračuni, izvedenimi na večmestnih številih, v algebri - z enakimi transformacijami, logaritmizacijo, v analizi - z diferenciacijo itd. Kateri pa so globlji razlogi, povezani s konceptualno vsebino posameznega dela? Naslednje vprašanje se nanaša na osnovo za razlikovanje šolske aritmetike in algebre (tj. prvega in drugega dela predmeta). Aritmetika vključuje preučevanje naravnih števil (pozitivna cela števila) in ulomkov (pra in decimalna). Posebna analiza pa pokaže, da je kombiniranje tovrstnih števil v enem šolskem predmetu nezakonito.

Z vidika merjenja količin, kot ugotavlja A.N. Kolmogorov, "ni tako velike razlike med racionalnimi in iracionalnimi realnimi števili. Iz pedagoških razlogov se dolgo zadržujejo na racionalnih številih, saj jih je enostavno zapisati v obliki ulomkov; vendar je uporaba, ki je dana že od samega začetka bi morale takoj pripeljati do realnih številk v celoti."

1. Splošni teoretični vidiki učenja algebrske snovi v osnovni šoli

algebraična šolska primerjalna matematika

1.1 Izkušnje z uvajanjem elementov algebre v osnovno šolo

Vsebina učnega predmeta je, kot je znano, odvisna od številnih dejavnikov - od življenjskih zahtev po znanju študentov, od ravni ustreznih ved, od duševnih in telesnih starostnih zmožnosti otrok itd. Pravilno upoštevanje teh dejavnikov je bistveni pogoj za čim bolj učinkovito izobraževanje šolarjev in širitev njihovih kognitivnih zmožnosti. Toda včasih ta pogoj iz enega ali drugega razloga ni izpolnjen. V tem primeru poučevanje ne daje želenega učinka tako z vidika otrokovega pridobivanja nabora potrebnih znanj kot z vidika razvoja njihove inteligence.

Zdi se, da trenutno učni programi nekaterih akademskih predmetov, zlasti matematike, ne ustrezajo novim zahtevam življenja, stopnji razvoja sodobnih znanosti (na primer matematike) in novim podatkom razvojne psihologije in logike. Ta okoliščina narekuje potrebo po celovitem teoretičnem in eksperimentalnem preizkusu možnih projektov novih vsebin učnih predmetov.

Temelji matematičnih znanj so postavljeni že v osnovni šoli. Toda na žalost tako matematiki sami kot metodologi in psihologi posvečajo zelo malo pozornosti vsebini elementarne matematike. Dovolj je reči, da je učni načrt matematike v osnovni šoli (I. - IV. razred) v svojih glavnih značilnostih nastal pred 50-60 leti in seveda odraža sistem matematičnih, metodoloških in psiholoških idej tistega časa.

Razmislimo o značilnostih državnega standarda matematike v osnovni šoli. Njegova glavna vsebina so cela števila in operacije na njih, ki se preučujejo v določenem zaporedju. Najprej se preučujejo štiri operacije v meji 10 in 20, nato - ustni izračuni v meji 100, ustni in pisni izračuni v meji 1000 in končno v meji milijonov in milijard. V IV. razredu se preučujejo nekatera razmerja med podatki in rezultati aritmetičnih operacij ter preprosti ulomki. Ob tem program vključuje študij metričnih mer in mer za čas, obvladovanje sposobnosti njihove uporabe za merjenje, poznavanje nekaterih elementov vizualne geometrije - risanje pravokotnika in kvadrata, merjenje odsekov, ploščin pravokotnika in kvadrata, poznavanje elementov vizualne geometrije - risanje pravokotnika in kvadrata. izračun volumnov.

Od I. do IV. razreda otroci rešujejo naslednje glavne vrste nalog (preproste in sestavljene): iskanje vsote in ostanka, produkta in količnika, povečevanje in zmanjševanje danih števil, razlika in večkratna primerjava, preprosto trojno pravilo, sorazmerno deljenje, iskanje neznanka z dvema razlikama, računanje aritmetične sredine in nekatere druge vrste nalog.

Otroci se pri reševanju nalog srečujejo z različnimi vrstami količinskih odvisnosti. Zelo tipično pa je, da učenci začnejo s težavami po in med študijem števil; glavna stvar, ki se zahteva pri reševanju, je najti številski odgovor. Otroci imajo velike težave pri prepoznavanju lastnosti kvantitativnih odnosov v specifičnih, posebnih situacijah, ki jih običajno obravnavamo kot aritmetične naloge. Praksa kaže, da manipulacija s številkami pogosto nadomesti dejansko analizo pogojev problema z vidika odvisnosti realnih količin. Poleg tega problemi, predstavljeni v učbenikih, ne predstavljajo sistema, v katerem bi bolj »kompleksne« situacije povezovale z »globljimi« plastmi kvantitativnih odnosov. Naloge enake težavnosti najdemo tako na začetku kot na koncu učbenika. Razlikujejo se od oddelka do oddelka in od razreda do razreda glede na kompleksnost ploskve (narašča število dejanj), rang števil (od deset do milijarde), kompleksnost fizičnih odvisnosti (od distribucijskih težav do gibanja). težave) in druge parametre. Samo en parameter - poglabljanje v sam sistem matematičnih zakonov - se v njih kaže šibko in nejasno. Zato je zelo težko določiti merilo za matematično težavnost določenega problema. Zakaj so naloge iskanja neznanke iz dveh razlik in ugotavljanja aritmetične sredine (III. razred) težje od nalog diferencnega in večkratnega primerjanja (II. razred)? Metodologija na to vprašanje ne daje prepričljivega in logičnega odgovora.

Zdi se, da bi morala kritična analiza sprejetega aritmetičnega programa temeljiti na naslednjih določbah:

Koncept števila ni identičen konceptu kvantitativnih značilnosti predmetov;

Število ni prvotna oblika kvantitativnih odnosov.

Naj podamo utemeljitev teh določb. Znano je, da sodobna matematika (zlasti algebra) proučuje vidike kvantitativnih odnosov, ki nimajo numerične lupine. Znano je tudi, da so nekatera kvantitativna razmerja precej izrazljiva brez številk in pred številkami, na primer v segmentih, volumnih itd. (razmerje »več«, »manj«, »enako«). Predstavitev izvirnih splošnih matematičnih pojmov v sodobnih priročnikih je izvedena v takšni simboliki, ki ne pomeni nujno izražanja predmetov s številkami. Torej, v knjigi E.G. V Goninovi "Teoretični aritmetiki" so osnovni matematični predmeti že od samega začetka označeni s črkami in posebnimi znaki.

Značilno je, da so določene vrste števil in številske odvisnosti podane le kot primeri, ilustracije lastnosti množic, ne pa kot njihova edina možna in edina obstoječa oblika izražanja. Nadalje je omembe vredno, da so številne ilustracije posameznih matematičnih definicij podane v grafični obliki, skozi razmerje segmentov, območij. Vse osnovne lastnosti množic in količin je mogoče izpeljati in utemeljiti brez vključevanja numeričnih sistemov; Poleg tega slednji sami dobijo utemeljitev na podlagi splošnih matematičnih konceptov.

Po drugi strani pa številna opažanja psihologov in učiteljev kažejo, da se kvantitativne ideje pri otrocih porajajo veliko preden pridobijo znanje o številih in o tem, kako z njimi upravljati. Resda obstaja težnja, da bi te ideje uvrstili med »predmatematične tvorbe« (kar je povsem naravno za tradicionalne metode, ki kvantitativne značilnosti predmeta identificirajo s številko), vendar to ne spremeni njihove bistvene funkcije v otrokovem življenju. splošna orientacija v lastnostih stvari. In včasih se zgodi, da je globina teh domnevno "predmatematičnih formacij" pomembnejša za razvoj otrokovega lastnega matematičnega mišljenja kot poznavanje zapletenosti računalniške tehnologije in sposobnost iskanja čisto numeričnih odvisnosti. Omeniti velja, da je akademik A.N. Kolmogorov, ki označuje značilnosti matematične ustvarjalnosti, posebej opozarja na naslednjo okoliščino: "Osnova večine matematičnih odkritij je neka preprosta ideja: vizualna geometrijska konstrukcija, nova elementarna neenakost itd. To preprosto idejo je treba pravilno uporabiti za rešitev problema, ki se na prvi pogled zdi nedostopna."

Premostiti obstoječi razkorak med vsebinami matematike v osnovnih in srednjih šolah;

Odločno poenostavite vse tehnike izračunavanja in zmanjšajte delo, ki ga ni mogoče opraviti brez ustreznih tabel, referenčnih knjig in drugih pomožnih (predvsem elektronskih) sredstev.

1.2 Problem izvora algebraičnih pojmov in njegov pomen za konstrukcijo učnega predmeta

Z drugimi besedami, šolska algebra se začne ravno takrat, ko so ustvarjeni pogoji za prehod od celih k realnim številom, k izražanju rezultata meritve v obliki ulomka (enostavnega in decimalnega – končnega in nato neskončnega). Poleg tega je lahko izhodišče seznanjenost z merilno operacijo, pridobivanje končnih decimalnih ulomkov in učenje, kako z njimi delovati. Če učenci to obliko zapisovanja rezultata meritve že poznajo, je to predpogoj za »opustitev« ideje, da je število mogoče izraziti tudi kot neskončni ulomek. In ta predpogoj je priporočljivo ustvariti že v osnovni šoli.

Poznavanje značilnosti te enotne osnove štetja in merjenja bo omogočilo jasnejšo predstavo pogojev njihovega nastanka na eni strani in razmerja na drugi strani.

Torej, kaj je "kvantiteta" in kakšen je pomen pri konstruiranju začetnih delov šolske matematike? V splošni rabi je izraz "magnituda" povezan s pojmi "enako", "več", "manj", ki opisujejo različne lastnosti (dolžina in gostota, temperatura in belina). V.F. Kagan postavlja vprašanje, katere skupne lastnosti imajo ti pojmi. Kaže, da se nanašajo na agregate - nize homogenih predmetov, katerih primerjava elementov nam omogoča uporabo izrazov "več", "enako", "manj" (na primer za agregate vseh ravnih segmentov, teže, hitrosti). itd.).

Niz predmetov se spremeni v velikost šele, ko so vzpostavljeni kriteriji, ki omogočajo ugotoviti, glede na katerega koli od njegovih elementov A in B, ali bo A enak B, večji od B ali manjši od B. Poleg tega za poljubna dva elementa A in B, eno in samo eno od razmerij: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan identificira naslednjih osem osnovnih lastnosti konceptov "enako", "več", "manj": .

1) Velja vsaj eno od razmerij: A=B, A>B, A<В.

2) Če velja relacija A = B, potem relacija A ne velja<В.

3) Če velja relacija A=B, potem relacija A>B ne velja.

4) Če je A=B in B=C, potem je A=C.

5) Če A>B in B>C, potem A>C.

6) Če A<В и В<С, то А<С.

7) Enakost je reverzibilna relacija: iz relacije A=B vedno sledi relacija B=A.

8) Enakost je vzajemno razmerje: ne glede na element A obravnavane množice je A = A.

Prvi trije stavki označujejo disjunkcijo osnovnih odnosov "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

trije elementi A, B in C. Naslednji stavki 7 - 8 označujejo samo enakost - njeno reverzibilnost in ponavljanje (ali refleksivnost). V. F. Kagan teh osem osnovnih določb imenuje postulati primerjave, na podlagi katerih je mogoče izpeljati številne druge lastnosti količine.

Te sklepne lastnosti V.F. Kagan opisuje v obliki osmih izrekov:

I. Razmerje A>B izključuje razmerje B>A (A<В исключает В<А).

II. Če A>B, potem B<А (если А<В, то В>A).

III. Če A>B velja, potem A ne drži.

IV. Če je A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, potem je A1=An.

V. Če je A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, potem A1>An.

VI. Če A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Če je A=C in B=C, potem je A=B.

VIII. Če obstaja enakost ali neenakost A=B ali A>B ali A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B in A=C, nato C>B itd.).

S tega vidika lahko na primer obravnavamo takšno lastnost stvari, kot je trdota (trdo, mehkeje, enako trdota), zaporedje dogodkov v času (slednji, predhodni, sočasni) itd. V vseh teh primerih razmerja "alfa", "beta", "gama" dobijo svojo specifično razlago. Naloga, povezana z izbiro takšnega niza teles, ki bi imela ta razmerja, pa tudi identifikacijo znakov, s katerimi bi lahko označili "alfa", "beta", "gama" - to je naloga določitve primerjalnih meril. v dani množici teles (v praksi v nekaterih primerih ni lahko rešiti). "Z vzpostavitvijo primerjalnih meril pretvorimo množico v velikost," je zapisal V.F. Kagan. Realne objekte lahko gledamo z vidika različnih kriterijev. Tako je skupino ljudi mogoče obravnavati glede na merilo, kot je zaporedje trenutkov rojstva vsakega od njenih članov. Drugo merilo je relativni položaj, ki ga bodo zavzele glave teh ljudi, če jih postavimo eno poleg druge na isto vodoravno ravnino. V vsakem primeru se bo skupina preoblikovala v količino, ki ima ustrezno ime - starost, višina. V praksi količina običajno ne označuje same množice elementov, temveč nov koncept, uveden za razlikovanje primerjalnih meril (ime količine). Tako nastanejo pojmi "prostornina", "teža", "električna napetost" itd. "Hkrati je za matematika vrednost popolnoma definirana, ko je navedenih veliko elementov in meril za primerjavo," je opozoril V.F. Kagan.

Vse te transformacije je mogoče izvesti na fizičnih telesih in drugih objektih z vzpostavitvijo primerjalnih kriterijev in ujemanja izbranih odnosov s postulati primerjave.

Zgornja gradiva nam omogočajo sklepati, da so tako naravna kot realna števila enako močno povezana s količinami in nekaterimi njihovimi bistvenimi lastnostmi. Ali je mogoče narediti te in druge lastnosti predmet posebnega preučevanja otroka, še preden se uvede numerična oblika opisa razmerja količin? Služijo lahko kot predpogoj za kasnejše podrobno uvajanje števila in njegovih različnih vrst, zlasti za propedevtiko ulomkov, pojmov koordinat, funkcij in drugih pojmov že v nižjih razredih.

Do sedaj je bilo naše sklepanje teoretične narave in namenjeno razjasnitvi matematičnih predpogojev za sestavo takšnega začetnega dela tečaja, ki bi otroke seznanil z osnovnimi algebrskimi pojmi (pred posebno uvedbo števil). Glavne lastnosti, ki označujejo količine, so bile opisane zgoraj. Seveda nima smisla, da 7-letni otroci "predavajo" o teh lastnostih.

Treba je bilo poiskati obliko dela otrok z didaktičnim materialom, s pomočjo katere bi lahko te lastnosti po eni strani prepoznavali v stvareh okoli sebe, po drugi strani pa se jih naučili fiksirati z določenimi simboli in izvajati elementarno matematično. analizo ugotovljenih odnosov.

Tukaj je oris tega programa in njegovih ključnih tem.

Tema I. Niveliranje in dopolnjevanje objektov (po dolžini, prostornini, teži, sestavi delov in drugih parametrih).

Te naloge rešujemo v procesu dela z didaktičnim materialom (palice, uteži itd.) tako, da:

Izbira "istega" predmeta,

Reprodukcija (konstrukcija) "istega" predmeta glede na izbran (določen) parameter.

Tema II. Primerjava objektov in popravljanje rezultatov z uporabo formule enakosti in neenakosti.

1. Naloge za primerjavo predmetov in simbolično označevanje rezultatov tega dejanja.

2. Besedni zapis rezultatov primerjave (izrazi »več«, »manj«, »enako«). Pisani znaki ">", "<", "=".

3. Prikaz rezultata primerjave z risbo (»kopiranje« in nato »povzetek« - črte).

4. Označevanje primerjanih predmetov s črkami. Zapis rezultata primerjave po formulah: A=B; A<Б, А>B. Črka kot znak, ki določa neposredno dano, določeno vrednost predmeta glede na izbrani parameter (teža, prostornina itd.).

5. Nezmožnost fiksiranja primerjalnega rezultata z različnimi formulami. Izbira določene formule za dani rezultat (popolna disjunkcija odnosov večje – manj – enako).

Tema III. Lastnosti enakosti in neenakosti.

1. Reverzibilnost in refleksivnost enakosti (če je A=B, potem je B=A; A=A).

2. Povezava med razmerji »več« in »manj« v neenakosti med »permutacijami« primerjanih strank (če je A>B, potem B<А и т.п.).

3. Tranzitivnost kot lastnost enakosti in neenakosti:

če je A=B, če je A>B, če je A<Б,

a B=B, a B>B, a B<В,

potem A=B; nato A>B; nato A<В.

Tema IV. Operacija seštevanja (odštevanja).

1. Opazovanje sprememb predmetov glede na enega ali drugega parametra (po prostornini, teži, trajanju itd.). Ponazoritev naraščanja in zmanjševanja z znakoma "+" in "-" (plus in minus).

2. Kršitev predhodno vzpostavljene enakosti z ustrezno spremembo ene ali druge strani. Prehod iz enakosti v neenakost. Pisanje formul, kot so:

če je A=B, če je A=B,

nato A+K>B; nato A-K<Б.

3. Metode prehoda na novo enakost (njena »obnova« po načelu:

dodajanje "enako" k "enako" dobi "enako").

Delo s formulami, kot so:

potem A+K>B, vendar A+K=B+K.

4. Reševanje različnih nalog, ki zahtevajo uporabo seštevanja (odštevanja) pri prehodu od enakosti do neenakosti in nazaj.

Tema V. Prehod iz neenačbe tipa A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

Pisanje formul, kot so:

če<Б, если А>B,

potem A+x=B; potem A-x=B.

2. Določanje vrednosti x. Zamenjava te vrednosti v formulo (uvod v oklepaje). Vnesite formule

3. Reševanje problemov (vključno z "zapletom in besedilom"), ki zahtevajo izvajanje določenih operacij.

Tema Vl. Seštevanje-odštevanje enakosti-neenakosti. Zamenjava.

1. Seštevanje-odštevanje enakosti-neenakosti:

če je A=B, če je A>B, če je A>B

in M=D, in K>E, in B=G, potem A+M=B+D; nato A+K>B+E; nato A+-B>C+-G.

2. Sposobnost predstaviti vrednost količine kot vsoto več vrednosti. Vrsta zamenjave:

To je program, zasnovan za 3,5 - 4 mesece. prvi polovici leta. Kot kažejo izkušnje eksperimentalnega poučevanja, lahko s pravilnim načrtovanjem pouka, izboljšanjem učnih metod in uspešnim izborom didaktičnih pripomočkov vso snov, predstavljeno v programu, otroci v krajšem času (v 3 mesecih) v celoti usvojijo. . Kako napreduje naš program? Najprej se otroci seznanijo z načinom pridobivanja števila, ki izraža odnos predmeta kot celote (iste količine, ki jo predstavlja neprekinjen ali diskreten predmet) do njegovega dela. Samo to razmerje in njegov specifični pomen prikazuje formula A/K = n, kjer je n poljubno celo število, ki najpogosteje izraža razmerje na najbližjo »enoto« (samo s posebnim izborom materiala ali s štetjem samo »kvalitativno«). posamezne stvari lahko dobimo popolnoma natančno celo število). Otroci so že od vsega začetka »prisiljeni« upoštevati, da lahko pri merjenju ali štetju nastane ostanek, katerega prisotnost je treba posebej določiti. To je prvi korak za nadaljnje delo z ulomki. S to obliko pridobivanja števila ni težko voditi otrok, da opišejo predmet s formulo, kot je A = 5k (če je razmerje enako "5"). Skupaj s prvo formulo odpira možnosti za posebno študijo odvisnosti med predmetom, osnovo (mero) in rezultatom štetja (mero), ki služi tudi kot propedevtika za prehod na ulomka (zlasti , za razumevanje osnovne lastnosti ulomka). Druga smer razvoja programa, ki se izvaja že v prvem razredu, je prenos na števila (cela števila) osnovnih lastnosti kvantitete (disjunkcija enakost-neenakost, tranzitivnost, invertibilnost) in operacije seštevanja (komutativnost, asociativnost, monotonost, možnost odštevanja). Zlasti z delom na številski premici lahko otroci hitro pretvorijo zaporedja števil v velikosti (na primer jasno ocenijo njihovo tranzitivnost z zapisi tipa 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Obravnavanje številske serije kot količine vam torej omogoča, da na nov način razvijete spretnosti seštevanja in odštevanja (ter nato množenja in deljenja).

2.1 Pouk v osnovni šoli glede na potrebe srednje šole

Tudi vaje na to temo so namenjene samo vadbi zamenjave produkta števila in ena s tem številom. Vse to vodi ne le do dejstva, da zelo pomembna točka ne postane predmet otrokove zavesti: katero koli število je mogoče zapisati v obliki produkta, kar bo v algebri povzročilo ustrezne težave pri delu s polinomi, ampak tudi do dejstvo, da otroci načeloma ne znajo pravilno delati z odnosom enakosti. Na primer, pri delu s formulo razlike kvadratov se otroci praviloma spopadejo z nalogo faktoriziranja razlike kvadratov. Toda tiste naloge, kjer je potrebno nasprotno dejanje, v mnogih primerih povzročajo težave. Druga osupljiva ilustracija te ideje je delo z distribucijskim zakonom množenja glede na seštevanje. Tudi tukaj kljub črkovni pisavi zakona tako njegova besedna formulacija kot sistem vaj le urita zmožnost odpiranja oklepaja. Posledično bo izstavljanje skupnega faktorja iz oklepajev v prihodnosti povzročilo precejšnje težave.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

S to metodo dela bodo otroci zelo hitro opazili vzorec nastalega številskega niza.

Uporaba ilustrativne jasnosti in vsebinskih dejanj v učbenikih pogosto povzroči, da je sam koncept »zamegljen«. Na primer, pri matematičnih metodah za razrede 1-3 M.I. Moreau pravi, da morajo otroci 30 lekcij deliti z razvrščanjem predmetov na kupe ali risanjem. Takšna dejanja izgubijo bistvo operacije deljenja kot inverzne akcije množenja. Posledično se deljenja naučimo z največjo težavo in je veliko slabše od drugih računskih operacij.

Vendar pa je mogoče zagotoviti propedevtiko za takšno delo, otroke že v osnovni šoli naučiti zamenjati številko namesto črke v črkovnem izrazu. To je bilo na primer storjeno v učbeniku L.G. Peterson.

Poleg tega je treba opozoriti, da se pri množenju naravnega števila in pri množenju decimalnega ulomka s celomestnimi enotami zgodi v bistvu isto: vsaka števka števila se premakne v desno za ustrezno število števk. Zato otrok nima smisla učiti dveh ločenih in povsem formalnih pravil. Veliko bolj koristno jih je naučiti splošnega načina postopanja pri reševanju podobnih problemov.

2.2 Primerjava (kontrast) pojmov pri pouku matematike

Trenutni program predvideva študij v prvem razredu samo dveh operacij prve stopnje - seštevanja in odštevanja. Omejitev prvega letnika študija na samo dve operaciji je v bistvu odmik od tega, kar je bilo doseženo že v učbenikih, ki so bili pred sedanjimi: niti en učitelj se takrat ni pritoževal, da množenje in deljenje, recimo znotraj 20, presegata zmožnosti prvošolčkov . Omeniti velja tudi, da v šolah v drugih državah, kjer se izobraževanje začne pri 6 letih, prvo šolsko leto vključuje začetno spoznavanje vseh štirih aritmetičnih operacij.

Matematika temelji predvsem na štirih dejanjih in prej ko so vključena v učenčevo miselno prakso, bolj stabilen in zanesljiv bo kasnejši razvoj tečaja matematike.

Po pravici povedano je treba opozoriti, da sta bila v prvih različicah učbenikov M.I.Moro za I. razred predvidena množenje in deljenje. Vendar se je zgodila nesreča: avtorji novih programov so se vztrajno oklepali ene »nove stvari« - pokritosti v prvem razredu vseh primerov seštevanja in odštevanja znotraj 100 (37+58 in 95-58 itd.) . Ker pa ni bilo dovolj časa za študij tako razširjene količine informacij, je bilo odločeno, da se množenje in deljenje v celoti prenese v naslednje leto študija.

Po tradiciji je bilo nekoč posebna tema preučevanje seštevanja in odštevanja znotraj 20. Potreba po tem pristopu pri sistematizaciji znanja je razvidna že iz logične analize vprašanja: dejstvo je, da popolna tabela za seštevanje enomestnih števila je razvita znotraj dveh desetic (0+1= 1, ...,9+9=18). Tako tvorijo števila znotraj 20 celoten sistem odnosov v svojih notranjih povezavah; zato je jasna smotrnost ohranitve »dvajseterice« kot druge integralne teme (prva taka tema so dejanja znotraj prve deseterice).

Obravnavani primer je natanko tisti, kjer se koncentričnost (ohranjanje druge desetice kot posebne teme) izkaže za koristnejšo od linearnosti (»raztapljanje« druge desetice v temo »Sto«).

V učbeniku M. I. Moro je preučevanje prve desetice razdeljeno na dva ločena dela: najprej se preučuje sestava števil prve desetice, v naslednji temi pa se obravnavajo dejanja znotraj 10. V eksperimentalnem učbeniku P.M. Erdnieva je v nasprotju s tem izvedla skupno študijo številčenja, sestave števil in operacij (seštevanje in odštevanje) znotraj 10 naenkrat v enem oddelku. S tem pristopom se uporablja monografska študija števil, in sicer: znotraj obravnavanega števila (na primer 3) se takoj razume vsa "gotovinska matematika": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 - 2 = 1.

Vprašanje razvrščanja nalog in imen njihovih vrst zahteva posebno pozornost pri metodologiji začetnega usposabljanja. Generacije metodologov so delale na racionalizaciji sistema šolskih nalog, ustvarjanju njihovih učinkovitih vrst in sort, vse do izbire uspešnih izrazov za imena nalog, namenjenih študiju v šoli. Znano je, da je vsaj polovica učnega časa pri pouku matematike namenjena njihovemu reševanju. Šolske naloge vsekakor potrebujejo sistematizacijo in klasifikacijo. Kakšno vrsto (vrsto) problemov za študij, kdaj študirati, kakšne vrste problemov za študij v zvezi s prehodom tega ali onega oddelka je legitimen predmet študija metodologije in osrednje vsebine programov. Pomen te okoliščine je jasen iz zgodovine matematične metodologije.

Zaključek

Trenutno so nastali precej ugodni pogoji za korenito izboljšanje organizacije pouka matematike v osnovni šoli:

1) osnovna šola se je preoblikovala iz triletne v štiriletno;

Podobni dokumenti

Značilnosti oblikovanja začasnih predstavitev pri pouku matematike v osnovni šoli. Značilnosti količin, ki se preučujejo v osnovni šoli. Seznanitev z metodologijo za oblikovanje začasnih predstavitev v začetnem tečaju matematike izobraževalnega kompleksa "Šola Rusije".

diplomsko delo, dodano 16.12.2011

Povezovanje računalništva in matematike kot glavna usmeritev povečanja učinkovitosti učenja. Metodologija uporabe programske opreme pri interaktivnem pouku. Izbor učnega gradiva za e-učenje matematike in računalništva v srednji šoli.

diplomsko delo, dodano 04.08.2013

Zamisel o aktivnih metodah poučevanja, značilnostih njihove uporabe v osnovni šoli. Razvrstitev aktivnih metod poučevanja matematike v osnovni šoli po različnih osnovah. Interaktivne metode poučevanja matematike in njihove prednosti.

tečajna naloga, dodana 12.02.2015

Metodologija preučevanja verjetnostno-statistične (stohastične) premice pri predmetu matematike v osnovni šoli. Analiza učenčevega dojemanja gradiva: stopnja zanimanja; stopnja dostopnosti; težave pri preučevanju tega gradiva; kakovost asimilacije.

diplomsko delo, dodano 28.05.2008

Bistvo in cilji interaktivnega učenja v osnovni šoli. Implementacija nabora metod in tehnik za interaktivno poučevanje mlajših šolarjev pri pouku matematike. Identifikacija dinamike stopnje oblikovanja univerzalnih izobraževalnih dejanj šolarjev.

diplomsko delo, dodano 17.02.2015

Postopek dela na nalogi. Vrste problemov, veščine in stopnje sposobnosti za njihovo reševanje. Metodika poučevanja transformacije problemov Faze dela na nalogi. Koncept transformacije nalog. Metode poučevanja in preoblikovanja problemov pri pouku matematike v osnovni šoli.

diplomsko delo, dodano 11.6.2008

Metode uporabe raziskovalnih nalog pri pouku matematike kot sredstva za razvoj miselne dejavnosti mlajših šolarjev; sistematizacija in testiranje razvojnih vaj, priporočila za njihovo uporabo v osnovni šoli.

tečajna naloga, dodana 15.02.2013

Značilnosti študija matematike v osnovni šoli v skladu z Zveznim državnim izobraževalnim standardom za osnovno splošno izobraževanje. Vsebina tečaja. Analiza osnovnih matematičnih konceptov. Bistvo individualnega pristopa v didaktiki.

tečajna naloga, dodana 29.09.2016

Matematika je ena najbolj abstraktnih ved, ki se jih učijo v osnovni šoli. Seznanitev s posebnostmi uporabe zgodovinskega gradiva pri pouku matematike v 4. razredu. Analiza glavnih težav pri razvoju kognitivne dejavnosti šolarjev.

diplomsko delo, dodano 10.7.2015

Upoštevanje psiholoških in pedagoških osnov študija logičnih problemov v osnovni šoli. Značilnosti razvoja logičnega mišljenja pri pouku matematike v osnovni šoli z vidika zahtev zveznega državnega izobraževalnega standarda.

Uvod................................................. ......................................................... ............. 2

Poglavje I. Splošni teoretični vidiki učenja algebraične snovi v osnovni šoli...................................... ............... ................................... ................... .... 7

1.1 Izkušnje z uvajanjem elementov algebre v osnovno šolo.................................. 7

1.2 Psihološke osnove za uvajanje algebraičnih pojmov

v osnovni šoli..................................................... ................................ 12

1.3 Problem izvora algebraičnih pojmov in njegov pomen

za konstruiranje izobraževalnega predmeta............................................. ............ 20

2.1 Učenje v osnovni šoli z vidika potreb

Srednja šola................................................ ......................................... 33

2.1 Primerjava (kontrast) pojmov pri pouku matematike.... 38

2.3 Skupno učenje seštevanja in odštevanja, množenja in deljenja 48

Poglavje III. Praksa študija algebraičnega gradiva pri pouku matematike v osnovnih razredih srednje šole št. 4 v Rylsku.................................. ................... ...55

3.1 Utemeljitev uporabe inovativnih tehnologij (tehnologij

utrjevanje didaktičnih enot)................................................. ...... 55

3.2 O izkušnji spoznavanja algebrskih pojmov v I. razredu.... 61

3.3 Urjenje reševanja problemov, povezanih z gibanjem teles.................................. 72

Zaključek..................................................... ................................................. ...... 76

Bibliografija................................................. .................................................. 79

V vsakem sodobnem sistemu splošnega izobraževanja matematika zavzema eno od osrednjih mest, kar nedvomno govori o edinstvenosti tega področja znanja.

Izjemen ruski matematik A.N. Kolmogorov je zapisal: "Matematika ni le eden od jezikov. Matematika je jezik in sklepanje, je kot jezik in logika skupaj. Matematika je orodje za razmišljanje. Združuje rezultate natančnega razmišljanja mnogih ljudi. Z uporabo matematike lahko povežite eno razmišljanje z drugim ... Navidezna zapletenost narave z njenimi nenavadnimi zakoni in pravili, od katerih vsako dopušča ločeno zelo podrobno razlago, je v resnici tesno povezana. Če pa niste pripravljeni uporabiti matematike, potem v te ogromne raznolikosti dejstev ne boste videli, da vam logika omogoča, da greste onstran od enega do drugega« (str. 44).

Tako nam matematika omogoča oblikovanje določenih oblik mišljenja, potrebnih za preučevanje sveta okoli nas.

V zadnjih letih obstaja stalna težnja, da matematične metode prodrejo v vede, kot so zgodovina, filologija, da ne omenjamo jezikoslovja in psihologije. Zato se širi krog ljudi, ki bi lahko matematiko uporabljali v svojem bodočem poklicnem delovanju.

Naš izobraževalni sistem je zasnovan tako, da mnogim šola predstavlja edino priložnost v življenju, da se vključijo v matematično kulturo in osvojijo vrednote, ki jih vsebuje matematika.

Kakšen je vpliv matematike na splošno in še posebej šolske matematike na vzgojo ustvarjalne osebnosti? Poučevanje umetnosti reševanja problemov pri pouku matematike nam daje izredno ugodno priložnost za razvijanje določene miselnosti pri učencih. Potreba po raziskovalnih dejavnostih razvija zanimanje za vzorce in nas uči videti lepoto in harmonijo človeške misli. Vse to je po našem mnenju najpomembnejši element splošne kulture. Predmet matematike pomembno vpliva na oblikovanje različnih oblik mišljenja: logičnega, prostorsko-geometrijskega, algoritemskega. Vsak ustvarjalni proces se začne z oblikovanjem hipoteze. Matematika, ob ustrezni organizaciji izobraževanja, kot dobra šola za postavljanje in preverjanje hipotez, te nauči primerjati različne hipoteze, iskati najboljšo možnost, postavljati nove probleme in iskati načine za njihovo rešitev. Med drugim razvija tudi navado metodičnega dela, brez katerega si ni mogoč noben ustvarjalni proces. Z maksimiranjem možnosti človeškega razmišljanja je matematika njegov najvišji dosežek. Človeku pomaga razumeti sebe in oblikovati svoj značaj.

To je majhen seznam razlogov, zakaj bi moralo matematično znanje postati sestavni del splošne kulture in obvezen element pri vzgoji in izobraževanju otroka.

Dejstvo je, da imajo te številke različne funkcije: prve so povezane z račun predmeti, drugi - z merjenje količin. Ta okoliščina je zelo pomembna za razumevanje dejstva, da so ulomka (racionalna) števila le poseben primer realnih števil.

Te ideje, izražene pred več kot 20 leti, so še vedno aktualne. Ali je mogoče strukturo pouka matematike v osnovni šoli spremeniti v to smer? Kakšne so prednosti in slabosti "algebriziranja" primarnega pouka matematike? Namen tega dela je poskušati odgovoriti na zastavljena vprašanja.

Uresničevanje tega cilja zahteva reševanje naslednjih nalog:

Obravnava splošnih teoretičnih vidikov uvajanja algebraičnih pojmov velikosti in števila v osnovni šoli. Ta naloga je zastavljena v prvem poglavju dela;

Preučevanje posebnih metod za poučevanje teh konceptov v osnovni šoli. Predvsem je tu mišljena obravnava ti teorije širitve didaktičnih enot (UDE), o kateri bo govora v nadaljevanju;

Pokažite praktično uporabnost obravnavanih določb pri pouku šolske matematike v osnovni šoli (lekcije je poučeval avtor v srednji šoli št. 4 v Rylsku). Temu je posvečeno tretje poglavje dela.

Glede na bibliografijo, posvečeno tej problematiki, je mogoče opozoriti na naslednje. Kljub temu, da je v zadnjem času skupna količina objavljene metodološke literature s področja matematike izjemno majhna, informacij pri pisanju dela ni manjkalo. Dejansko od leta 1960 (čas, ko je bil problem postavljen) do leta 1990. V naši državi je bilo objavljeno ogromno izobraževalne, znanstvene in metodološke literature, ki se tako ali drugače dotika problematike uvajanja algebrskih konceptov v tečaje matematike za osnovne šole. Poleg tega so ta vprašanja redno obravnavana v specializiranih periodičnih publikacijah. Tako so bile pri pisanju dela v veliki meri uporabljene objave v revijah »Pedagogika«, »Poučevanje matematike v šoli« in »Osnovna šola«.