Karakterizacija osnovnih pojmov začetnega tečaja matematike. Metodologija za preučevanje elementov algebre

7. predavanje

1. Metodologija obravnavanja elementov algebre.

2. Številčne enakosti in neenakosti.

3. Priprava na seznanitev s spremenljivko. Elementi abecednih simbolov.

4. Neenakosti s spremenljivko.

5. Enačba

1. Uvedba elementov algebre v začetni tečaj matematike omogoča že od samega začetka usposabljanja za sistematično delo, namenjeno razvoju pri otrocih tako pomembnih matematičnih pojmov, kot so: izraz, enakost, neenakost, enačba. Spoznavanje uporabe črke kot simbola, ki označuje katero koli število iz področja otrokom znanih števil, ustvarja pogoje za posploševanje številnih vprašanj aritmetične teorije v začetnem tečaju, je dobra priprava za uvajanje otrok v prihodnost konceptov v spremenljivih funkcijah. Zgodnje seznanitev z uporabo algebraične metode reševanja problemov omogoča resne izboljšave v celotnem sistemu poučevanja otrok reševanja različnih besedilnih problemov.

Naloge: 1. Oblikovati sposobnost učencev za branje, pisanje in primerjavo številskih izrazov.2. Študente seznaniti s pravili za izvajanje vrstnega reda dejanj v številskih izrazih in razviti sposobnost izračunavanja vrednosti izrazov v skladu s temi pravili.3. Za oblikovanje zmožnosti učencev za branje zapišite dobesedne izraze in izračunajte njihove vrednosti za dane črkovne vrednosti.4. Študente seznaniti z enačbami 1. stopnje, ki vsebujejo dejanja prve in druge stopnje, oblikovati sposobnost reševanja le-teh z izbirno metodo, pa tudi na podlagi poznavanja razmerja med komponentami m / y in rezultat aritmetičnih operacij.

program osnovna šola učenci se seznanijo z uporabo abecednih simbolov, rešitvami elementarnih enačb prve stopnje z eno neznano in njihovo uporabo pri nalogah v enem dejanju. Ta vprašanja se preučujejo v tesni povezavi z aritmetičnim gradivom, ki prispeva k oblikovanju števil in računskih operacij.

Že od prvih dni usposabljanja se prične delo na oblikovanju konceptov enakosti med študenti. Na začetku se otroci naučijo primerjati številne predmete, izenačiti neenake skupine, preoblikovati enake skupine v neenake. Že pri preučevanju ducata številk se uvedejo primerjalne vaje. Najprej se izvajajo na podlagi predmetov.

Pojem izraza se pri mlajših učencih oblikuje v tesni povezavi s pojmi računskih operacij. V metodi dela z izrazi sta dve stopnji. Na 1 se oblikuje koncept najpreprostejših izrazov (vsota, razlika, produkt, količnik dveh števil), na 2 pa kompleksnih (vsota produkta in števila, razlika dveh količnikov itd.) . Uvedena sta izraza ʼʼmatematični izrazʼʼ in ʼʼvrednost matematičnega izrazaʼʼ (brez definicij). Po tem, ko v enem dejanju napiše več primerov, učitelj poroča, da se tem primerom sicer reče metamatematični izrazi. Pri preučevanju računskih operacij so vključene vaje za primerjavo izrazov, razdeljene so v 3 skupine. Učenje pravil postopka. Ciljajte na tej fazi- na podlagi praktičnih veščin študentov opozoriti na postopek izvajanja dejanj v takšnih izrazih in oblikovati ustrezno pravilo. Učenci samostojno rešujejo primere, ki jih je izbral učitelj, in razložijo, v kakšnem vrstnem redu so izvajali dejanja v posameznem primeru. Nato sami oblikujejo sklep ali pa preberejo sklep iz učbenika. Preoblikovanje identitete izraza je zamenjava danega izraza z drugim, katerega vrednost je enaka vrednosti danega izraza. Študentje izvajajo takšne transformacije izrazov, ki temeljijo na lastnostih računskih operacij in posledicah, ki iz njih izhajajo (kako številu dodati vsoto, kako od vsote odšteti število, kako število pomnožiti z zmnožkom itd. ). Pri preučevanju vsake lastnosti se učenci prepričajo, da se pri izrazih določene vrste dejanja lahko izvajajo na različne načine, vendar se pomen izraza ne spremeni.

2. Številski izrazi že od samega začetka veljajo za neločljivo povezane s številskimi enakimi in neenakimi. Številčne enakosti in neenakosti delimo na ʼʼresʼʼ in ʼʼfalseʼʼ. Naloge: primerjaj števila, primerjaj aritmetične izraze, rešej enostavne neenakosti z eno neznano, pojdi od neenakosti k enakosti in od enakosti k neenakosti

1. Vaja, namenjena pojasnitvi znanja učencev o računskih operacijah in njihovi uporabi. Pri uvajanju učencev v računske operacije se primerja izraz v obliki 5 + 3 in 5-3; 8*2 in 8/2. Najprej se izrazi primerjajo tako, da se poiščejo vrednosti vsakega in primerjajo nastale številke. V prihodnosti se naloga izvaja na podlagi tega, da je vsota dveh števil večja od njune razlike, produkt pa večji od njunega količnika; izračun se uporablja samo za preverjanje rezultata. Primerjava izrazov oblike 7 + 7 + 7 in 7 * 3 se izvaja za utrjevanje znanja učencev o razmerju med seštevanjem in množenjem.

V procesu primerjave se učenci seznanijo z vrstnim redom, v katerem se izvajajo računske operacije. Najprej se upoštevajo izrazi, vsebina oklepaja, v obliki 16 - (1 + 6).

2. Nato se upošteva vrstni red dejanj v izrazih brez oklepajev, ki vsebujejo dejanja ene in dveh stopenj. Te pomene učenci spoznajo v procesu izvajanja primerov. Najprej se upošteva vrstni red dejanj v izrazih, ki vsebujejo dejanja ene stopnje, na primer: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Hkrati se morajo otroci naučiti, da če obstajajo samo seštevanje in odštevanje ali samo množenje in delitev, potem se izvedejo v vrstnem redu, v katerem so napisani. Nato se uvedejo izrazi, ki vsebujejo dejanja obeh korakov. Učencem povedo, da morate pri takih izrazih najprej po vrstnem redu izvesti množenje in deljenje, nato pa seštevanje in odštevanje, na primer: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Da bi učence prepričali o pomembnosti sledenja vrstnemu redu dejanj, je koristno, da jih izvedemo v istem izrazu v drugačnem zaporedju in primerjamo rezultate.

3. Vaje, pri katerih se učenci učijo in utrjujejo znanje o razmerju med komponentami in rezultati računskih operacij. Οʜᴎ so vključeni že pri preučevanju številk deset.

V tej skupini vaj se učenci seznanijo s primeri spreminjanja rezultatov dejanj na podlagi spremembe ene od komponent. Primerjajo se izrazi, v katerih se spremeni eden od izrazov (6 + 3 in 6 + 4) ali zmanjšan 8-2 in 9-2 itd. Podobne naloge so vključene tudi v študij tabelarnega množenja in deljenja in se izvajajo z izračuni (5 * 3 in 6 * 3, 16:2 in 18:2) itd. V prihodnosti lahko te izraze primerjate, ne da bi se zanašali na izračune.

Obravnavane vaje so tesno povezane s programskim gradivom in prispevajo k njegovi asimilaciji. Ob tem učenci v procesu primerjave številk in izrazov prejmejo prve ideje o enakosti in neenakosti.

Tako lahko v 1. razredu, kjer izraza ʼʼenakostʼʼ in ʼʼenakostʼʼ še ne uporabljamo, lahko učitelj pri preverjanju pravilnosti izračunov, ki so jih opravili otroci, postavlja vprašanja v naslednji obliki: ʼʼKolya je dodal osem proti šestim in dobil 15. Ali je ta rešitev pravilno ali napačno?ʼʼ ali ponudite vaje za otroke, pri katerih morate preveriti rešitev teh primerov, poiskati pravilne vnose ipd. Podobno, če upoštevamo številčne neenakosti v obliki 5<6,8>4 ali bolj zapleteno, lahko učitelj postavi vprašanje v tej obliki: ʼʼAli so ti vpisi pravilni?ʼʼ, po uvedbi neenakosti pa - ʼʼAli so te neenakosti pravilne?ʼʼ.

Od 1. razreda se otroci seznanjajo tudi s transformacijami številskih izrazov, ki se izvajajo na podlagi uporabe preučenih elementov aritmetične teorije (številčenje, pomen dejanj itd.). Na primer, na podlagi znanja o številčenju, bitni sestavi števil lahko učenci predstavijo poljubno število kot vsoto njegovih bitnih členov. Ta spretnost se uporablja, ko razmišljamo o transformaciji izrazov v povezavi z izražanjem številnih računskih trikov.

V zvezi s tovrstnimi preobrazbami se otroci že v 1. razredu srečujejo z ʼʼverigoʼʼ enakosti.

Predavanje 8. Metode študija algebraičnega gradiva. - koncept in vrste. Razvrstitev in značilnosti kategorije "Predavanje 8. Metode študija algebraičnega gradiva." 2017, 2018.

Vprašanja in naloge za samostojno delo

1. Poimenuj geometrijske pojme, ki se jih učijo v osnovni šoli. Zakaj so predmet študija?

2. Ali geometrijsko gradivo pri osnovnem tečaju matematike tvori samostojen odsek? zakaj?

3. Opišite način oblikovanja geometrijskih pojmov med učenci: segment, trikotnik, kot, pravokotnik.

4. Kakšne možnosti za razvoj logičnega mišljenja študentov ponuja študij geometrijskega gradiva? Navedite primere.

5. Kakšne odnose spoznavajo učenci pri preučevanju geometrijskega gradiva?

6. Kakšna je funkcija konstrukcijskih nalog v osnovni šoli?

7. Navedite primere konstrukcijskih nalog, značilnih za osnovno šolo.

8. Katere so faze reševanja gradbenih problemov? Pokažite, v kolikšni meri se lahko splošna shema za reševanje gradbenih problemov uporablja v osnovnih razredih.

Predavanje 14

1. Osnovni pojmi matematike.

2. Splošna vprašanja metode študija algebraične snovi pri predmetu matematike osnovnih razredov.

3. Številski izrazi. Spoznavanje pravil za vrstni red, v katerem se izvajajo aritmetične operacije.

4. Izrazi s spremenljivko.

5. Tehnika preučevanja enačb.

6. Metode preučevanja številčnih enakosti in številskih neenakosti.

7. Spoznavanje učencev s funkcionalno odvisnostjo.

Literatura: (1) 4. poglavje; (2) §27, 37, 52; (5) - (12).

Osnovni pojmi matematike

Številčni izraz na splošno lahko definiramo na naslednji način:

1) Vsako število je številski izraz.

2) Če sta A in B številčna izraza, potem (A) + (B), (A) - (B), (A) (B), (A): (B); (A)⁽ⁿ⁾ in f(A), kjer je f(x) neka številčna funkcija, sta tudi številčna izraza.

Če je v številčnem izrazu mogoče izvesti vsa dejanja, navedena v njem, se dobljeno realno število imenuje številčna vrednost danega številskega izraza, številčni izraz pa je smiseln. Včasih številski izraz nima številske vrednosti, ker vsa dejanja, navedena v njem, niso izvedljiva; pravijo, da tak številski izraz nima pomena. Torej, naslednji številčni izrazi (5 - 3) : (2 - 8:4); √7 - 2 6 in (7 - 7)° nista smiselna.

Tako ima vsak številski izraz eno samo številsko vrednost ali pa je nesmiseln. -

Pri izračunu vrednosti številskega izraza se uporabi naslednji postopek:

1. Najprej se izvedejo vse operacije znotraj oklepajev. Če obstaja več parov oklepajev, se izračuni začnejo od znotraj.

2. Znotraj oklepajev je vrstni red izračunov določen s prednostjo operacij: najprej se izračunajo vrednosti funkcij, nato se izvede eksponentacija, nato množenje ali deljenje, nazadnje - seštevanje in odštevanje .

3. Če obstaja več operacij enake prioritete, se izračuni izvajajo zaporedno od leve proti desni.

Številčna enakost- dva številska izraza A in B, povezana z znakom enakosti ("=").

Številčna neenakost- dva številska izraza A in B, povezana z znakom neenakosti ("<", ">", "≤" ali "≥").

Pokliče se izraz, ki vsebuje spremenljivko in se spremeni v število, ko spremenljivko nadomesti njena vrednost spremenljiv izraz ali številčni obliki.

Enačba z eno spremenljivko(z eno neznano) je predikat v obliki f₁(x) = f₂(x), kjer je x ∊X, kjer sta f₁(x) in f₂(x) izraza s spremenljivko x, definirano na množici X.

Vsaka vrednost spremenljivke x iz množice X, pri kateri enačba postane resnična številčna enakost, se imenuje koren(rešitev enačbe). reši enačbo- to pomeni najti vse njegove korenine ali dokazati, da ne obstajajo. Množica vseh korenin enačbe (ali množica resnice T predikata f₁(x) = f₂(x)) se imenuje množica rešitev enačbe

Nabor vrednosti, za katerega sta definirani obe strani enačbe, se imenuje domena sprejemljivih vrednosti (ODV) spremenljivke x in domena enačbe.

2. Splošna vprašanja metode študija algebraičnega gradiva

Osnovni tečaj matematike poleg osnovnega aritmetičnega gradiva vključuje tudi elemente algebre, ki jih predstavljajo naslednji pojmi:

Številčni izrazi;

Spremenljivi izrazi;

Številčne enakosti in neenakosti;

Enačbe.

Namen vključevanja elementov algebre v osnovnošolski predmet matematike je:

Bolj popolno in globlje razmislite o aritmetičnem gradivu;

Posplošitve učencev dvignejo na višjo raven;

Ustvariti predpogoje za uspešnejši študij algebre na srednji in višji stopnji šole.

Algebraično gradivo v programu ni izpostavljeno kot ločena tema. Razdeljen je skozi celoten tečaj osnovnošolske matematike v ločenih vprašanjih. Ta vprašanja se preučujejo od 1. razreda vzporedno s preučevanjem osnovnega aritmetičnega gradiva. Zaporedje obravnave vprašanj, ki jih predlaga program, določa učbenik.

Asimilacija proučenih algebričnih pojmov v osnovnih razredih vključuje uvajanje ustrezne terminologije in izvajanje preprostih operacij brez oblikovanja formalno logičnih definicij.

"Študij algebraičnega gradiva v osnovni šoli"

Izpolni učitelj najvišja kategorija Averyakova N.N.

Uvod.

Poglavje 1. Splošni teoretični vidiki študija algebraičnega gradiva v osnovni šoli.

1.1.Izkušnje uvajanja elementov algebre v osnovni šoli.

1.2. Psihološke osnove za uvajanje algebraičnih pojmov v osnovni šoli.

1.3. Problem nastanka algebraičnih pojmov in njegov pomen za konstrukcijo predmet.

2.1. Izobraževanje v osnovni šoli glede na potrebe srednje šole.

2.2. Primerjava (opozicija) pojmov pri pouku matematike.

2.3. Skupni študij seštevanja in odštevanja, množenja in deljenja.

3. poglavje Raziskave o študiju algebraične snovi pri pouku matematike v osnovnih razredih šole št. 72.

3.1. Utemeljitev uporabe inovativne tehnologije(tehnologija UDE).

3.2. O izkušnjah seznanjanja z algebrskimi pojmi.

3.3 Diagnoza učnih rezultatov pri matematiki.

Zaključek.

Bibliografski seznam.

Uvod

Pri katerem koli sodoben sistem Splošna izobrazba Matematika zavzema eno osrednjih mest, kar nedvomno govori o edinstvenosti tega področja znanja.

Kaj je sodobna matematika? Zakaj je potrebna? Ta in podobna vprašanja učiteljem pogosto postavljajo otroci. In vsakič bo odgovor drugačen, odvisno od stopnje razvoja otroka in njegovih izobraževalnih potreb.

Pogosto se reče, da je matematika jezik sodobne znanosti. Vendar se zdi, da ima ta izjava pomembno pomanjkljivost. Jezik matematike je tako razširjen in tako pogosto učinkovit prav zato, ker se matematika nanj ne skrči.

Izjemni ruski matematik A. N. Kolmogorov je zapisal: »Matematika ni le eden od jezikov. Matematika je jezik in sklepanje, je kot jezik in logika skupaj. Matematika je orodje za razmišljanje. Koncentrira rezultate natančnega razmišljanja mnogih ljudi. S pomočjo matematike lahko eno sklepanje povežemo z drugim ... Očitne zapletenosti narave s svojimi čudnimi zakoni in pravili, od katerih vsak omogoča zelo podrobno ločeno razlago, so pravzaprav tesno povezane. Če pa ne želite uporabljati matematike, potem v tej ogromni raznolikosti dejstev ne boste videli, da logika omogoča premikanje od enega do drugega. «(str. 44 - (12))

Tako nam matematika omogoča oblikovanje določenih oblik mišljenja, ki so potrebne za preučevanje sveta okoli nas.

Naš izobraževalni sistem je zasnovan tako, da je za mnoge šola edina priložnost, da se pridružijo matematični kulturi, da osvojijo vrednote, ki jih vsebuje matematika.

Tečaj matematike (brez geometrije) je pravzaprav razdeljen na 3 glavne dele: aritmetika (1-5 razredi), algebra (6 razredi), elementi analize (9-11 razredi). Vsak od teh delov ima svojo posebno "tehnologijo". Tako je v aritmetiki na primer povezan z izračuni, opravljenimi na večvrednostnih številih, v algebri, z enakimi transformacijami, logaritmom, v analizi, z diferenciacijo. Kateri pa so globlji temelji, povezani s konceptualno vsebino posameznega dela? Naslednje vprašanje se nanaša na razloge za razlikovanje med šolsko aritmetiko in algebro. Aritmetika vključuje preučevanje naravnih števil (pozitivna cela števila) in ulomkov (prah in decimalnih). Posebna analiza pa kaže, da je kombinacija teh vrst številk pri enem šolskem predmetu nezakonita. Dejstvo je, da imajo te številke različne funkcije: prve so povezane s štetjem predmetov, druge z merjenjem količin. Z vidika merjenja veličin, kot je opozoril A.N. Kolmogorov, "ni tako globoke razlike med racionalnimi in iracionalnimi realnimi števili. Iz pedagoških razlogov se je treba zadržati pri racionalnih številkah, saj jih je enostavno napisati v obliki ulomkov, vendar bi morala uporaba, ki jim je dana od samega začetka, takoj privesti do realnih števil v vsej njihovi splošnosti "( 12-str. 9). Tako obstaja realna možnost, da se na podlagi naravnih (celih) števil takoj oblikuje »najsplošnejši pojem števila« (po terminologiji A. Lebesguea), pojem realnega števila. Toda z vidika konstruiranja programa to pomeni nič več, nič manj kot odpravo ulomne aritmetike v njeni šolski interpretaciji. Prehod iz celih števil v realna števila je prehod iz aritmetike v algebro, k ustvarjanju temeljev za analizo. Te ideje, izražene pred več kot 30 leti, so aktualne še danes. Ali je mogoče v tej smeri spremeniti strukturo pouka matematike v osnovni šoli? Kakšne so prednosti in slabosti algebraizacije osnovnega matematičnega izobraževanja? Namen tega dela je poskusiti odgovoriti na zastavljena vprašanja.

Za dosego tega cilja je potrebno rešiti naslednje naloge:

Razmislek o splošnih teoretičnih vidikih uvajanja algebraičnih pojmov velikosti in števila v osnovni šoli;

Študij posebne metodologije za poučevanje teh pojmov v osnovni šoli;

Pokažite praktično uporabnost obravnavanih določb v osnovni šoli pri pouku matematike v srednji šoli št. 72 učiteljice Averyakove N.N.

1. POGLAVJE. SPLOŠNI TEORETIČNI VIDIKI ŠTUDIJA ALGEBRIČNEGA GRADIVA V OSNOVNI ŠOLI.

IZKUŠNJE UVELJAVANJA ELEMENTOV ALGEBRE V OSNOVNI ŠOLI.

Vsebina predmeta je odvisna od številnih dejavnikov – od zahtev življenja do znanja učencev, od ravni ustreznih znanosti, od duševnih in telesnih starostnih zmožnosti otrok. Pravilno upoštevanje teh dejavnikov je bistven pogoj za najučinkovitejše poučevanje šolarjev, ki širijo njihove kognitivne sposobnosti. Toda včasih ta pogoj ni izpolnjen iz več razlogov. Zdi se, da so trenutno programi poučevanja nekaterih akademskih predmetov, vklj. matematike, ne ustrezajo novim zahtevam življenja, ravni sodobne znanosti in novi podatki razvojne psihologije in logike. Ta okoliščina narekuje potrebo po teoretičnem in eksperimentalnem preverjanju možnih projektov za nove vsebine izobraževalnih predmetov. Temelji matematičnih spretnosti so postavljeni v osnovni šoli. Toda na žalost tako matematiki sami kot metodologi in psihologi zelo malo pozornosti posvečajo vsebini osnovna matematika. Dovolj je reči, da je učni načrt matematike v osnovni šoli (1-4) v svojih glavnih značilnostih nastal pred 50-60 leti in seveda odraža sistem matematičnih, metodoloških in psiholoških idej tistega časa.

Upoštevajte značilne lastnosti državni standard matematika. Njegova glavna vsebina so cela števila in operacije z njimi, ki se preučujejo v določenem zaporedju. Poleg tega program vključuje študij metrične mere in meritve časa, obvladovanje sposobnosti njihove uporabe za merjenje, poznavanje nekaterih elementov vizualne geometrije – risanje pravokotnika, kvadrata, merjenje segmentov, površin, izračunavanje prostornine. Pridobljeno znanje in veščine je treba uporabiti pri reševanju problemov in izvajanju enostavnih izračunov. Skozi celoten tečaj se reševanje problemov izvaja vzporedno s preučevanjem številk in dejanj - za to je namenjena polovica ustreznega časa. Reševanje problemov pomaga učencem razumeti poseben pomen dejanja, razumeti različne primere njihove uporabe, vzpostaviti razmerje med količinami in pridobiti osnovne veščine analize in sinteze. Od 1. do 4. razreda otroci rešujejo naslednje glavne vrste nalog (enostavne in sestavljene): iskanje vsote in preostanka, produkta in količnika, povečevanje in zmanjševanje teh števil, razlika in večkratna primerjava, preprosto trojno pravilo, sorazmerno deljenje, iskanje neznano z dvema razlikama in drugimi vrstami težav. IZ različni tipi odvisnosti količin, s katerimi se otroci soočajo pri reševanju problemov. Zelo značilno pa je, da učenci pričnejo reševati probleme po in med študijem številk; glavna stvar, ki je potrebna pri reševanju, je najti številčni odgovor. Otroci z velikimi težavami razkrivajo lastnosti kvantitativnih odnosov v specifičnih, zasebnih situacijah, ki se običajno štejejo za aritmetične težave. Praksa kaže, da manipulacija s številkami pogosto nadomešča dejansko analizo pogojev problema z vidika odvisnosti realnih količin. Naloge, uvedene v učbenike, poleg tega ne predstavljajo sistemov, v katerih bi bile bolj "kompleksne" situacije povezane z "globljimi" plastmi kvantitativnih razmerij. Težave enake težavnosti najdemo tako na začetku kot na koncu učbenika. Spreminjajo se iz oddelka v odsek in iz razreda v razred glede na kompleksnost zapleta (število dejanj se poveča), glede na rang številk (od deset do milijarde), glede na kompleksnost fizičnih odvisnosti (od porazdelitve naloge na naloge o gibanju) in druge parametre. Samo en parameter - poglabljanje v sistem ustreznih matematičnih zakonov - se v njih kaže šibko, nerazločno. Zato je zelo težko določiti merilo za matematično težavnost določenega problema. Zakaj sta nalogi iskanja neznanega po dveh razlikah in iskanja aritmetične sredine težji od nalogi razlike in večkratnih primerjav? Metodologija ne daje odgovora na to vprašanje.

Tako osnovnošolci niti pri preučevanju elementov teorije števil ne dobijo ustreznega, polnega znanja o odvisnostih veličin in splošnih lastnostih kvantitete, ker so povezani predvsem s tehniko računanja v šolskem tečaju, ali pri reševanju problemov, ker slednji nimajo ustrezne oblike in nimajo zahtevanega sistema. Poskusi metodikov za izboljšanje učnih metod, čeprav vodijo do delnega uspeha, pa ne spreminjajo splošnega stanja, saj so vnaprej omejeni z okvirom sprejetih vsebin.

Zdi se, da bi morala kritična analiza sprejetega programa iz aritmetike temeljiti na naslednjih določilih:

Koncept števila ni identičen konceptu kvantitativnih značilnosti predmetov;

Število ni izvirna oblika izražanja kvantitativnih razmerij.

Predstavljamo utemeljitev teh določb. Znano je, da sodobna matematika (zlasti algebra) preučuje takšne trenutke kvantitativnih razmerij, ki nimajo številčne lupine. Znano je tudi, da so nekatera količinska razmerja precej izrazita brez števil in pred številkami, na primer v segmentih, prostorninah itd. (razmerje "večje od", "manj kot", "enako"). Predstavitev začetnih matematičnih konceptov v sodobnih priročnikih je izvedena v takšni simboliki, ki ne pomeni obveznega izražanja predmetov s številkami. Torej, v knjigi E.G. Gonina "Teoretična aritmetika" so glavni matematični predmeti od samega začetka označeni s črkami in posebnimi znaki. Značilno je, da so določene vrste števil in številske odvisnosti podane le kot primeri, ilustracije lastnosti množic, ne pa kot njihova edina možna in edina obstoječa izrazna oblika. Omeniti velja, da številne ilustracije posameznih matematične definicije so podane v grafični obliki, preko razmerja segmentov, površin. Vse osnovne lastnosti množic in veličin je mogoče izpeljati in utemeljiti brez vključevanja numeričnih sistemov; poleg tega slednji sami dobijo utemeljitev na podlagi splošnih matematičnih konceptov.

Po drugi strani pa številna opažanja psihologov in pedagogov kažejo, da se kvantitativne predstave pri otrocih pojavijo že veliko preden pridobijo znanje o številkah in metodah delovanja z njimi. Res je, obstaja težnja, da se te predstavitve pripišejo kategoriji "predmatematičnih formacij" (kar je povsem naravno za tradicionalne metode, ki identificirajo kvantitativno značilnost predmeta s številko), vendar to ne spremeni bistvene funkcije v otrokova splošna orientacija v lastnostih stvari. In včasih se zgodi, da je globina teh domnevno "predmatematičnih formacij" pomembnejša za razvoj otrokovega lastnega matematičnega razmišljanja kot zapletenost računalniške tehnologije in sposobnost iskanja zgolj številčnih odvisnosti. Omeniti velja, da akademik A.N. Kolmogorov, ki označuje značilnosti matematične ustvarjalnosti, posebej ugotavlja naslednjo okoliščino: "Večina matematičnih odkritij temelji na neki preprosti ideji: vizualna geometrijska konstrukcija, nova elementarna neenakost itd. To preprosto idejo je treba le pravilno uporabiti za rešitev problema, ki se na prvi pogled zdi nedostopen (12-str.17).

Trenutno so uporabne različne ideje o strukturi in načinih gradnje. nov program. V delo na njegovi konstrukciji je treba vključiti matematike, psihologe, logike in metodologinje. Toda v vseh posebnih primerih se zdi, da mora izpolnjevati naslednje zahteve:

Premostiti obstoječo vrzel med vsebinami matematike v osnovnih in srednjih šolah;

Podati sistem znanja o osnovnih zakonitostih kvantitativnih razmerij objektivnega sveta; hkrati bi morale lastnosti števil kot posebne oblike izražanja količine postati poseben, vendar ne glavni del programa;

Otrokom privzgojiti metode matematičnega razmišljanja in ne le računskih veščin: to vključuje konstrukcijo takšnega sistema nalog, ki temelji na poglabljanju v sfero odvisnosti realnih količin (povezava matematike s fiziko, kemijo, biologija in druge vede, ki preučujejo določene količine);

Odločno poenostavite celotno tehniko izračunavanja in zmanjšajte na minimum delo, ki ga ni mogoče opraviti brez ustreznih tabel, referenčnih knjig in drugih pomožnih sredstev.

Pomen teh zahtev je jasen: v osnovni šoli je mogoče poučevati matematiko kot znanost o zakonitostih kvantitativnih razmerij, o odvisnostih količin; Računske tehnike in elementi teorije števil naj postanejo poseben in zaseben del programa. Izkušnje oblikovanja novega programa matematike in njegovega eksperimentalnega preverjanja, ki se izvajajo od konca leta 1960, nam že omogočajo, da govorimo o možnostih uvedbe sistematičnega predmeta matematike v šolo od 1. razreda dalje, ki daje znanje o kvantitativnih razmerjih. in odvisnosti količin v algebraični obliki.

1.2 PSIHOLOŠKE OSNOVE ZA UVOD ALGEBRIČNIH POJMOV V OSNOVNI ŠOLI.

IN Zadnje čase pri posodabljanju učnih načrtov je poseben pomen vnos teoretičnih temeljev v šolski kurikulum (ta trend se kaže tako pri nas kot v tujini). Izvajanje tega trenda v poučevanju (zlasti v osnovnih razredih, kot je na primer v ameriški šoli) bo neizogibno postavilo številna težka vprašanja za otroško in pedagoško psihologijo ter za didaktiko, saj zdaj študij skorajda ni. ki razkrivajo značilnosti otrokove asimilacije pomena množice (za razliko od asimilacije štetja in števila, ki je bila raziskana na več načinov).

Logične in psihološke študije zadnjih let (predvsem delo J. Piageta) so razkrile povezavo med nekaterimi mehanizmi otroškega mišljenja in splošnimi matematičnimi pojmi. V nadaljevanju so posebej obravnavane značilnosti te povezave in njihov pomen za izgradnjo matematike kot akademskega predmeta (v tem primeru govorimo o teoretični plati zadeve in ne o kakšni posebni različici programa).

Naravno število je bilo temeljni pojem v matematiki skozi njeno zgodovino; igra zelo pomembno vlogo na vseh področjih proizvodnje, tehnologije in vsakdanjega življenja. To omogoča teoretičnim matematikom, da ji dajo posebno mesto med drugimi koncepti matematike. V različnih oblikah se pojavljajo trditve, da je pojem naravnega števila začetna stopnja matematične abstrakcije, da je osnova za gradnjo večine matematičnih disciplin.

Izbira začetnih elementov matematike kot študijskega predmeta v bistvu izvaja te splošne določbe. Hkrati se domneva, da otrok ob seznanjanju s številom hkrati razkrije začetne značilnosti kvantitativnih razmerij. Štetje in število sta osnova vsega nadaljnjega učenja matematike v šoli.

Vendar obstaja razlog za domnevo, da te določbe, čeprav pravilno poudarjajo poseben in temeljni pomen števila, hkrati neustrezno izražajo njegovo povezanost z drugimi matematičnimi pojmi, nenatančno ocenjujejo mesto in vlogo števila v procesu obvladovanja. matematika. Zlasti zaradi te okoliščine izhajajo nekatere bistvene pomanjkljivosti sprejetih programov, metod in učbenikov matematike. Posebej je treba upoštevati dejansko povezavo pojma števila z drugimi pojmi.

Številni splošni matematični koncepti, predvsem pa koncepti ekvivalenčnih razmerij in reda, se v matematiki sistematično obravnavajo, ne glede na številčno obliko. Ti pojmi ne izgubijo samostojnega značaja, na njihovi podlagi je mogoče opisati in preučevati določen predmet - z drugimi besedami, numerične sisteme, pojme, ki sami po sebi ne pokrivajo pomena in pomena izvirnih definicij. Poleg tega so se v zgodovini matematične znanosti splošni koncepti razvili ravno do te mere, da so se "algebraične operacije", katerih dobro znan primer so štiri aritmetične operacije, začele uporabljati za elemente popolnoma neštevilčne narave.

V zadnjem času so se poskušali razviti pri poučevanju faze uvajanja otroka v matematiko. Ta trend se izraža v metodoloških priročnikih, pa tudi v nekaterih eksperimentalnih učbenikih. Tako so v enem ameriškem učbeniku, ki je namenjen poučevanju otrok, starih 6-7 let, na prvih straneh predstavljene naloge in vaje, predvsem usposabljanje otrok za ugotavljanje identitete predmetnih skupin. Otrokom se pokaže način povezovanja množic, hkrati pa se predstavijo ustrezni matematični simboli. Delo s številkami temelji na osnovnih informacijah o množicah. Vsebino konkretnih poskusov izvajanja tega trenda je mogoče ocenjevati na različne načine, vendar je sam po sebi precej legitimen in obetaven.

Na prvi pogled konceptov "razmerja", "strukture", "zakonov sestave" in drugih obstoječih kompleksnih matematičnih definicij ni mogoče povezati z oblikovanjem matematičnih predstav pri majhnih otrocih. Seveda je celoten resnični in abstraktni pomen teh pojmov in njihovo mesto v aksiomatski konstrukciji matematike kot znanosti predmet asimilacije za že dobro razvitega in »izurjenega« v matematiki glave. Vendar se določene lastnosti stvari, ki jih ti koncepti določajo, se tako ali drugače pri otroku pokažejo že razmeroma zgodaj: za to obstajajo konkretni psihološki podatki.

Najprej je treba upoštevati, da od trenutka rojstva do 7-10 let pri otroku nastanejo in se oblikujejo najkompleksnejši sistemi. splošne ideje o svetu okolice in postavlja temelje za vsebinsko-predmetno razmišljanje. Poleg tega otroci na podlagi razmeroma ozkega empiričnega gradiva prepoznajo splošne sheme orientacije v prostorsko-časovnem in vzročni odvisnosti stvari. Te sheme služijo kot nekakšen okvir tistega "koordinatnega sistema", znotraj katerega začne otrok vse globlje obvladovati različne lastnosti raznolikega sveta. Seveda so te splošne sheme malo uresničene in jih lahko v majhni meri otrok sam izrazi v obliki abstraktne sodbe. Slikovito rečeno so intuitivna oblika organizacije otrokovega vedenja (čeprav se seveda vse bolj odražajo tudi v sodbah).

V zadnjih desetletjih vprašanja oblikovanja intelekta otrok in nastanka njihovih splošnih predstav o realnosti, času in prostoru še posebej intenzivno proučuje slavni švicarski psiholog J. Piaget s sodelavci. Nekatera njegova dela so neposredno povezana s problemi razvoja otrokovega matematičnega mišljenja, zato je za nas pomembno, da jih obravnavamo v povezavi z zasnovo učnega načrta.

J. Piaget v eni svojih zadnjih knjig (17) poda eksperimentalne podatke o nastanku in oblikovanju pri otrocih (do 12-14 let) elementarnih logičnih struktur, kot sta klasifikacija in seracija. Klasifikacija vključuje izvedbo operacije vključevanja (na primer A + A1 = B) in operacijo, ki je obratna njej (B - A1 = A). seracija je razvrščanje predmetov v sistematične vrste (na primer v vrsto lahko razvrstimo palice različnih dolžin, katerih vsak člen je večji od vseh prejšnjih in manjši od vseh naslednjih).

Z analizo oblikovanja klasifikacije J. Piaget pokaže, kako otroci od začetne oblike, od nastanka »kodrastega agregata«, ki temelji le na prostorski bližini predmetov, preidejo na klasifikacijo, ki temelji na razmerju podobnosti (»ne- oblikovani agregati"), nato pa v najbolj zapleteno obliko - do vključitve razredov zaradi razmerja med obsegom in vsebino koncepta. Avtor posebej obravnava vprašanje oblikovanja klasifikacije ne le po enem, temveč tudi po dveh ali treh znakih, o oblikovanju pri otrocih sposobnosti spreminjanja osnove klasifikacije ob dodajanju novih elementov.

Te študije so zasledovale zelo določen cilj - razkriti vzorce oblikovanja operaterskih struktur uma in predvsem takšno njihovo konstitutivno lastnost, kot je reverzibilnost, t.j. sposobnost uma, da se premika naprej in nazaj. Reverzibilnost se pojavi, ko se »operacije in dejanja lahko odvijajo v dveh smereh in razumevanje ene od teh smeri povzroči ipso facto (na podlagi samega dejstva) razumevanje druge (17-str. 15).

Reverzibilnost po J. Piagetu predstavlja temeljni zakon kompozicije, ki je neločljiv v umu. Ima dve komplementarni in nereducljivi obliki:obrat (inverzija ali negacija) in vzajemnost. Preobrat se na primer zgodi v primeru, ko je mogoče prostorski premik predmeta iz A v B preklicati s prenosom predmeta nazaj iz B v A, kar je na koncu enakovredno ničelni transformaciji (produkt operacije nazaj). je identična operacija ali transformacija nič).

Vzajemnost (ali kompenzacija) pomeni primer, ko na primer, ko se predmet premakne iz A v B, predmet ostane v B, vendar se otrok sam premakne od A do B in reproducira začetni položaj, ko je bil predmet ob njegovem telesu. . Gibanje predmeta se tu ne izniči, ampak je bilo kompenzirano z ustreznim gibanjem lastnega telesa – in to je že drugačna oblika transformacije kot inverzija (17-str.16). J. Piaget verjame, da vam psihološka študija razvoja aritmetičnih in geometrijskih operacij v otrokovem umu (zlasti tistih logičnih operacij, ki v njih izvajajo predpogoje) omogoča natančno povezovanje operaterskih struktur mišljenja z algebraičnimi strukturami, strukturami vrstnega reda. in topološke strukture (17-str. 17) . tako algebraična struktura (»skupina«) ustreza upravljavskim mehanizmom uma, ki je predmet ene od oblik reverzibilnosti-inverzije (negacije). Skupina ima štiri osnovne lastnosti: produkt dveh elementov skupine daje tudi element skupine; neposredno delovanje ustreza enemu in samo enemu obratu; obstaja operacija identitete; zaporedne kompozicije so asociativne. V jeziku intelektualnega delovanja to pomeni:

Usklajevanje obeh sistemov delovanja predstavlja novo shemo, ki je priložena prejšnjim;

Operacija se lahko razvija v dveh smereh;

Ko se vrnemo na izhodišče, ga najdemo nespremenjeno;

Do ene in iste točke je mogoče priti na različne načine, sama točka pa velja za nespremenjeno.

Poglejmo si glavne določbe, ki jih je oblikoval J. Piaget v zvezi z vprašanji oblikovanja kurikuluma. Najprej študije J. Piageta kažejo, da je v obdobju predšolskega in šolsko otroštvo otrok razvije takšne operaterske strukture mišljenja, ki mu omogočajo, da oceni temeljne značilnosti razredov predmetov in njihovih položajev. Poleg tega že v fazi specifičnih operacij (od 7. leta starosti) otrokov intelekt pridobi lastnost reverzibilnosti, kar je izjemno pomembno za razumevanje teoretičnih vsebin izobraževalnih predmetov, zlasti matematike. Ti podatki kažejo, da tradicionalna psihologija in pedagogika nista dovolj upoštevali kompleksnosti in obsežnosti teh stopenj. duševni razvoj otroka, ki so povezani z obdobjem od 2 do 7 in od 7 do 11 let. Upoštevanje rezultatov, ki jih je pridobil Piaget, nam omogoča, da naredimo številne pomembne zaključke v zvezi z oblikovanjem učnega načrta pri matematiki. Prvič, dejanski podatki o oblikovanju otrokovega intelekta od 2 do 11 let kažejo, da v tem času niso samo lastnosti predmetov, opisane z matematičnimi koncepti "struktura-odnos", ne "tuje" , sami pa so organsko vključeni v otrokovo razmišljanje.

Tradicionalni programi te okoliščine ne upoštevajo. Zato se ne zavedajo številnih možnosti, ki se skrivajo v procesu intelektualni razvoj otrok. Otroci so do 7. leta že v zadostni meri razvili načrt miselnih akcij in z poučevanjem po ustreznem programu, v katerem so lastnosti matematičnih struktur podane »izrecno« in otrokom na voljo sredstva za njihovo analizo. , je mogoče otroke pripeljati na raven »formalnih« operacij hitreje kot v terminih, v katerih se to izvaja z »neodvisnim« odkrivanjem teh lastnosti. V tem primeru je pomembno upoštevati naslednjo okoliščino. Obstaja razlog za domnevo, da so posebnosti mišljenja na ravni specifičnih operacij, ki jih J. Piaget datira v starost od 7 do 11 let, same po sebi neločljivo povezane z oblikami organiziranja izobraževanja, značilnimi za tradicionalno osnovno šolo.

Tako trenutno obstajajo dejanski podatki, ki kažejo na tesno povezavo med strukturami otroškega mišljenja in splošnimi algebraičnimi strukturami. Prisotnost te povezave odpira temeljne možnosti za konstruiranje izobraževalnega predmeta, ki se odvija po shemi »od preprostih struktur do kompleksnih kombinacij«. Ta metoda je lahko močan vzvod za oblikovanje takšnega mišljenja pri otrocih, ki temelji na dokaj trdnih konceptualnih temeljih.

1.3 PROBLEM NASTANKA ALGEBRASKIH POJMOV IN NJEGOVEGA POMENA ZA KONSTRUKCIJO PREDMETA.

Delitev šolskega predmeta matematike na algebro in aritmetiko je pogojna. Prehod je postopen. Eden od osrednjih konceptov začetnega tečaja je pojem naravnega števila. Obravnava se kot kvantitativna značilnost razreda enakovrednih množic. Koncept se razkrije na specifični podlagi kot rezultat delovanja nabora in merjenja veličin. Treba je analizirati vsebino koncepta "vrednosti". Res je, s tem izrazom je povezan še en izraz - "merjenje". V splošni rabi je izraz magnituda povezan s pojmi "enako", "večje", "manj", ki opisujejo različne lastnosti. Nabor predmetov se pretvori v količino šele, ko so vzpostavljeni kriteriji, ki omogočajo, da glede na katerega koli od njegovih elementov A in B ugotovimo, ali bo A enako B, večje od B ali manjše od B. časa, za katera koli dva elementa A in B nastopi ena in samo ena od relacija: A=B, A B, A B.

VF Kogan identificira naslednjih osem osnovnih lastnosti pojmov "enako", "večje", "manj".

1) poteka v skladu z vsaj eno od razmerij: A=B, A B, A B;

2) če relacija A=B drži, potem relacija A B ne drži;

3) če velja A = B, potem relacija A B ne drži;

4) če A=B in B=C, potem A=C;

5) če A B in B C, potem A C;

6) če A C in B C, potem A C;

7) enakost je reverzibilno razmerje: A=B B=A;

8) Enakost je vzajemna relacija: ne glede na element A obravnavane množice je A=A.

"Z določitvijo meril za primerjavo nabor spremenimo v vrednost," je zapisal V. F. Kogan. V praksi se vrednost običajno tako rekoč ne označuje s samim naborom elementov, temveč z novim konceptom, ki je uveden za razlikovanje med primerjalnimi merili (ime količine. Tako se uporabljajo pojmi »prostornina«, »teža«). ", "dolžina" itd. "Hkrati je za matematika vrednost precej določena, ko je naveden niz elementov in meril za primerjavo," je opozoril V. F. Kogan.

Kot najpomembnejši primer matematične količine ta avtor obravnava naravne vrste števil. Z vidika takega primerjalnega kriterija, kot je položaj, ki ga zasedajo številke v nizu (zavzema eno mesto, sledi ..., pred ...), ta serija izpolnjuje postulate in zato predstavlja vrednost. Če delate s količinami (priporočljivo je, da nekatere vrednosti popravite s črkami), lahko izdelate zapleten sistem transformacij, vzpostavite odvisnost njihovih lastnosti, preidete iz enakosti v neenakost, izvedete seštevanje in odštevanje. Naravna in realna števila so enako močno povezana s količinami in nekaterimi njihovimi bistvenimi značilnostmi. Ali je mogoče te in druge lastnosti narediti predmet posebnega preučevanja otroka, še preden se uvede številčna oblika za opis razmerja velikosti? Služijo lahko kot predpogoj za kasnejšo podrobno uvajanje števila in njegovih različnih vrst, predvsem za propedevtiko ulomkov, pojmov koordinat, funkcij in drugih pojmov že v nižjih razredih. Kakšna bi lahko bila vsebina tega začetnega razdelka? To je seznanitev s fizičnimi predmeti, merili za njihovo primerjavo, poudarjanje vrednosti kot predmet matematičnega premisleka, poznavanje metod primerjave in znakovnih sredstev za fiksiranje njenih rezultatov, z metodami za analizo splošnih lastnosti veličin. Potrebujemo takšen začetni del predmeta, ki bi otroke seznanil z osnovnimi algebraičnimi pojmi (pred uvedbo števila). Katere so glavne ključne teme takšnega programa?

Tema 1. Izenačenje in pridobivanje predmetov (po dolžini, prostornini, teži, sestavi delov in drugih parametrih).

Tema 2. Primerjava objektov in fiksiranje njenih rezultatov s formulo enakost-neenakost.

Naloge za primerjavo predmetov in simbolno označevanje rezultatov tega dejanja;

Verbalna fiksacija rezultatov primerjave (izrazi "večji od", "manj kot", "enako").

Črkovni znaki

Označevanje rezultatov primerjave z risbo;

Označevanje primerjanih predmetov s črkami.

Tema 3. Lastnosti enakosti in neenakosti.

Tema 4. Operacija seštevanja (odštevanja).

Tema 5. Prehod iz neenakosti tipa A B v enakost z operacijo seštevanja (odštevanja).

Tema 6. Seštevanje-odštevanje enakosti - neenakosti.

S pravilnim načrtovanjem pouka, z izpopolnjevanjem učnih metod in uspešnim izborom didaktičnih pripomočkov je to snov v treh mesecih mogoče v celoti usvojiti.

Nato se otroci seznanijo z načini pridobivanja števila, ki izraža odnos predmeta kot celote in njegovega dela. Že v 1. razredu je implementirana vrstica - prenos na številke (cela števila) glavnih lastnosti vrednosti in operacija seštevanja. Zlasti lahko otroci z delom na številčnem žarku hitro spremenijo zaporedje števil v velikost. Tako vam ravnanje s številčno vrsto kot količino omogoča, da na nov način ponovno oblikujete veščine seštevanja in odštevanja ter nato množenja - deljenja.

2.1. IZOBRAŽEVANJE V OSNOVNI ŠOLI Z GLEDIŠČA POTREBE SREDNJE ŠOLE.

Kot veste, je pri študiju matematike v 5. razredu velik del časa namenjen ponavljanju tistega, kar bi se otroci morali naučiti v osnovni šoli. To ponavljanje v skoraj vseh učbenikih traja eno in pol študijsko četrtletje. Srednjošolski učitelji matematike so nezadovoljni s pripravo maturantov. Kaj je razlog za to stanje? Za to so bili analizirani danes najbolj znani osnovnošolski učbeniki matematike: to so učbeniki avtorjev M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N. B. Istomina, L. G. Peterson, V. V. Davydov, B. P. Geydman.

Analiza teh učbenikov je razkrila več negativnih vidikov, ki so v večji ali manjši meri prisotni v vsakem od njih in negativno vplivajo na nadaljnje izobraževanje. Najprej je to, da asimilacija snovi v njih v veliki meri temelji na pomnjenju. Osupljiv primer tega je pomnjenje tabele množenja. V osnovni šoli je veliko časa in truda namenjenega pomnjenju. A med poletnimi počitnicami otroci na to pozabijo. Razlog za tako hitro pozabljanje je učenje na pamet. Raziskava L.S. Vygotsky je pokazal, da je smiselno pomnjenje veliko učinkovitejše od mehanskega pomnjenja, izvedeni poskusi pa prepričljivo dokazujejo, da material pride v dolgoročni spomin le, če si ga zapomnimo kot rezultat dela, ki ustreza temu materialu. Pri študiju snovi v osnovni šoli se zanašamo na objektivna dejanja in ilustrativno vizualizacijo, kar vodi v oblikovanje empiričnega mišljenja. Seveda brez takšne vizualizacije v osnovni šoli skoraj ne gre, vendar naj služi le kot ilustracija tega ali onega dejstva, ne pa kot osnova za oblikovanje koncepta. Uporaba ilustrativne vizualizacije in objektivnih dejanj v učbenikih pogosto vodi v dejstvo, da je sam koncept »zamegljen«. Na primer, v metodologiji matematike M. I. Moreauja piše, da morajo otroci za 30 lekcij opraviti delitev, razložiti predmete na kupčke ali narediti risbo. Za takšnimi dejanji se izgubi bistvo operacije delitve, saj se dejanje, inverzno množenju, kot posledica deljenja asimilira z največjo težavo in veliko slabše od drugih računskih operacij.

Pri poučevanju matematike v osnovni šoli nikjer ni govora o dokazovanju kakršnih koli trditev. Glede na težavnost poučevanja dokazovanja v srednji šoli pa se je treba na to začeti pripravljati že v osnovnih razredih. Poleg tega je to mogoče storiti na gradivu, ki je precej dostopno mlajšim študentom. Tak material je na primer lahko pravilo deljenja števila z 1, ničle s številom in števila samo s seboj. Otroci so jih precej sposobni dokazati z uporabo definicije deljenja in ustreznih pravil množenja.

Osnovnošolska snov omogoča tudi propedevtiko algebre – delo s črkami in dobesednimi izrazi. Večina učbenikov se izogiba uporabi črk. Posledično štiri leta otroci delajo skoraj izključno s številkami, potem pa se je seveda zelo težko navaditi na delo s črkami. je pa možno zagotoviti propedevtiko takega dela, otroke že v osnovni šoli naučiti nadomestiti številko namesto črke v dobesednem izrazu. To je na primer izjemno storjeno v učbeniku L. G. Petersona. Od 1. razreda se abecedni simboli uvajajo skupaj s številkami, v nekaterih primerih pa tudi pred njimi. Vsa pravila in sklepe spremlja dobesedni izraz. Na primer, lekcija 16 (1. razred, 2. del) na temo "Nič" uvaja otroke v odštevanje nič od števila in števila od sebe ter se zaključi z naslednjim vnosom: a -0 = a a-a = 0

Lekcija 30 na temo "Primerjalne naloge" 1. razred vključuje delo s primerjalnimi vajami v obliki: a * a-3 in + 4 * in + 5 c + 0 * c-0 d-1 * d-2

Te vaje otroka prisilijo v razmišljanje in iskanje dokazov za izbrano rešitev.

2.2. PRIMERJAVA (OPOZICIJA) POJMOV PRI POUKU MATEMATIKE.

Sedanji program predvideva študij v 1. razredu le dveh dejanj prve stopnje - seštevanja in odštevanja. Omejitev prvega letnika študija na samo dve dejanji je v bistvu odmik od tega, kar je bilo doseženo v učbenikih, ki so bili pred sedanjimi: takrat se niti en učitelj ni pritoževal nad tem, da množenje in deljenje, recimo znotraj 20, prvošolcem ni bilo v moči. Omeniti velja tudi, da v šolah v drugih državah, kjer se izobraževanje začne pri 6. letu starosti, prvo študijsko leto vključuje začetno seznanitev z vsemi štirimi dejanji matematike. Matematika temelji predvsem na štirih dejanjih in prej ko bodo vključena v miselno prakso šolarja, bolj stabilen in zanesljiv bo nadaljnji razvoj predmeta matematike.

V prvih različicah učbenika M.I Moro za 1. razred sta bila zagotovljena množenje in deljenje. Vendar so se avtorji vztrajno držali ene "novosti" - pokritosti v 1. razredu vseh primerov seštevanja in odštevanja znotraj 100. Ker pa ni bilo dovolj časa za preučevanje tako razširjene količine informacij, je bilo odločeno, da se premakne. množenje in deljenje popolnoma do naslednje leto učenje. Torej, strast do linearnosti programa, tj. zgolj kvantitativno širjenje znanja (enaka dejanja, vendar z velikim številom) je vzela čas, ki je bil prej namenjen za kvalitativno poglabljanje znanja (preučevanje vseh štirih dejanj v dveh ducatih). Učenje množenja in deljenja že v 1. razredu pomeni kvalitativni preskok v razmišljanju, saj omogoča obvladovanje zloženih miselnih procesov.

Po tradiciji je bila posebna tema preučevanje seštevanja in odštevanja znotraj 20. Potreba po tem pristopu pri sistematizaciji znanja je razvidna že iz logične analize problematike: dejstvo je, da je popolna tabela seštevanja enojnih številk se razteza znotraj dveh desetic (0 + 1 = 1… 9+9=18). Tako števila znotraj 20 v svojih notranjih povezavah tvorijo popoln sistem odnosov; zato je razumljiva smotrnost ohranjanja »20« v obliki druge integralne teme (prva taka tema je dejanje znotraj prvih desetih). Obravnavani primer je ravno tisti, kjer se koncentričnost (ohranjanje druge desetke kot posebne teme) izkaže za bolj koristno kot linearnost (raztapljanje druge desetice v temo 100).

V učbeniku M.I. Moro je študij prve desetice razdeljen na dva ločena dela: najprej se preučuje sestava številk prve desetice, naslednja tema pa obravnava dejanja znotraj desetice. Obstajajo eksperimentalni učbeniki, kjer se skupno preučevanje oštevilčenja sestave številk in dejanj izvaja znotraj 10 naenkrat v enem razdelku (Erdniev P.M.).

V prvih urah naj si učitelj zada cilj, da učenca nauči uporabljati pare pojmov, katerih vsebina se razkrije v procesu sestavljanja ustreznih stavkov s temi besedami: več-manjše, daljše-krajše, višje-nižje , težji-lažji, debelejši-tanjši, na desno - na levo, dalje - bližje itd. Pri delu na parih pojmov je pomembno uporabiti opažanja otrok. Učenje primerjalnega postopka lahko popestrimo z uvedbo tako imenovanih tabelarnih vaj. Tukaj je razložen pomen pojmov "stolpec", "vrstica". Uveden je koncept levega in desnega stolpca, zgornje in spodnje vrstice. Skupaj z otroki prikažemo pomensko interpretacijo teh pojmov. Takšne vaje postopoma navajajo otroke na prostorsko orientacijo in so pomembne pri naknadnem študiju koordinatne metode matematike. Za prve lekcije je zelo pomembno delo na številskih vrstah. Rast številskega niza z seštevanjem enega za drugim je priročno prikazana s premikanjem v desno vzdolž številske premice. Če je znak (+) povezan s premikanjem vzdolž številskega žarka v desno za eno, potem je znak (-) povezan z obratnim gibanjem v levo za eno. (Zato v eni lekciji pokažemo oba znaka hkrati). Pri delu na številskem nizu uvajamo pojme: začetek številskega niza (število nič) predstavlja levi konec žarka; številka 1 ustreza posameznemu segmentu, ki mora biti prikazan ločeno od številske serije. Otroci delajo znotraj treh s številčnim žarkom. Izberemo dve sosednji številki 2 in 3. Ko se premaknemo od števila 2 do števila 3, otroci razmišljajo takole: "Števici 2 sledi številka 3." Prehod s številke 3 na številko 2 pravijo: "Število 3 je pred številko 2" ali "Število 2 je pred številko 3." Ta metoda vam omogoča, da določite mesto dane številke glede na prejšnjo in naslednjo številko; primerno je takoj paziti na relativnost položaja števila, na primer številka 3 je hkrati tako naslednja (za številko 2) kot prejšnja (pred številko 4). Ti prehodi vzdolž številčnega niza morajo biti povezani z ustreznimi aritmetičnimi operacijami. Na primer, fraza »Številki 2 sledi številka 3« je simbolično prikazana na naslednji način: 2+1=3; vendar je psihološko koristno ustvariti nasprotno razmerje: »Pred številko 3 pride številka 2« in vpis: 3-1=2. Da bi razumeli mesto katerega koli števila v nizu številk, je treba zastaviti par vprašanj:

1) Kateri številki sledi številka 3? Katera številka je pred številko 2?

2) katero število sledi številki 2? Katero število je pred številko 3? itd.

Priročno je kombinirati delo s številsko serijo s primerjavo številk po velikosti, pa tudi s primerjavo položaja števil na številski premici. Postopoma se razvijajo povezave sodb geometrijske narave: številka 4 je na številski premici desno od številke 3; pomeni, da je 4 večje od 3. In obratno: število 3 je levo od števila 4, kar pomeni, da je število 3 manjše od števila 4. S tem se vzpostavi povezava med pari pojmov: bolj desno, več na levo, manj na levo.

Iz navedenega vidimo značilnost razširjene asimilacije znanja: celoten sklop pojmov, povezanih z seštevanjem in odštevanjem, se ponuja skupaj, v neprekinjenih prehodih drug v drugega. Učne izkušnje kažejo prednosti hkratnega uvajanja parov medsebojno nasprotnih pojmov, že od prvih lekcij. Tako je na primer sočasna uporaba treh glagolov: "dodaj (dodaj 1 k 2), "dodaj" (številki 1 dodaj številko 2), ki so simbolično prikazani na enak način (2 + 1 = 3) , pomaga otrokom, da se naučijo podobnosti, pomenske bližine teh besed (podobno je mogoče sklepati glede besed »odštej«, »odštej«, »zmanjšaj«.

Leta testiranja so pokazala prednosti monografske študije številk prvih deset. Hkrati je vsako zaporedno število podvrženo večstranski analizi z naštevanjem vseh možnih možnosti za njeno oblikovanje; znotraj tega števila vse možna dejanja, "vsa matematika" se ponovi, vse velja slovnične oblike relacijski izrazi med številkami. Seveda se pri tem sistemu študija v povezavi s pokrivanjem naslednjih številk ponavljajo predhodno preučeni primeri, t.j. razširitev številčne serije se izvaja s stalnim ponavljanjem prej obravnavanih kombinacij številk in sort preproste naloge.

2.3. SKUPNI ŠTUDIJ SEŠTANJA IN ODŠTEVANJA, MNOŽENJA IN DELJENJA.

V metodologiji osnovne matematike vaje za ti dve operaciji običajno obravnavamo ločeno. Toda sočasna študija dvojne operacije "seštevanje - razširitev v izraze" je bolj zaželena. Takšno delo je mogoče zgraditi na naslednji način. Otroci naj rešijo nalogo s seštevanjem: »3 palčkam dodaj 1 palico, dobiš 4 palčke.« Po njem takoj postavimo vprašanje: "Iz katerih številk je sestavljeno število 4?" 4 palice so sestavljene iz 3 palic (otrok prešteje 3 palčke) in 1 palice (loči še 1 palčko). Začetna vaja je lahko tudi razgradnja števila. Učitelj postavi vprašanje: »Iz katerih številk je sestavljeno število 5?« (Število 5 je sestavljeno iz 3 in 2). In takoj se postavi vprašanje o istih številkah: "Koliko bo, če dodate 2 k 3?" (Dodaj 2 k 3 in dobiš 5). Za isti namen je koristno vaditi branje primerov v dveh smereh: 5+2=7. Če dodamo dva proti pet, dobimo sedem. (beri od leve proti desni) 7 je sestavljen iz izrazov 2 in 5. (beri od desne proti levi). Koristno je, da besedno nasprotovanje spremljate s takšnimi vajami na računih razreda, ki vam omogočajo, da vidite specifično vsebino ustreznih operacij. Računanje na računih je nepogrešljivo kot sredstvo za vizualizacijo operacij s številkami, vrednost števila znotraj 10 pa je tukaj povezana z dolžino nabora kosti na eni žici (to dolžino študent zazna vizualno. Torej, ko pri reševanju primera seštevanja (5 + 2 = 7) je učenec najprej preštel 5 kosti, nato jim preštel 2 in nato objavil vsoto: »Dodaj 2 k 5, dobiš 7« (ime nastalega števila 7, v tem primeru dijak nastavi s preračunavanjem novega niza: 1-2-3-4-5-6- 7).

Študent: Dodajte 2 k 5 - dobite 7.

Učitelj: Pokaži, iz katerih izrazov je sestavljeno število 7?

Učenec loči 2 kosti na desno. Število 7 je 2 in 5. Pri izvajanju teh vaj je priporočljivo od vsega začetka uporabljati koncept »prvi izraz« (5), »drugi izraz« (2), »vsota« (7). Na voljo so naslednje vrste nalog:

a) vsota dveh členov je 7, poišči ju;

c) iz katerih izrazov je sestavljeno število 7;

c) razstaviti vsoto 7 na 2 člana, 3 itd.

Asimilacija tako pomembnega algebraičnega koncepta, kot je komutativni zakon seštevanja, zahteva vrsto vaj, ki so sprva temeljile na praktičnih manipulacijah s predmeti.

Učitelj: Vzemite ga leva roka 3 palice, v desni pa - 2. Koliko palic je?

Študent: Skupaj je 5 palic.

Učitelj: Kako naj povem več o tem?

Študent: Dodajte 2 do 2 palčki - 5 palic bo.

Učitelj: Ta primer naredite iz deljenih številk. (učenec naredi primer iz številk).

Učitelj: Zdaj zamenjajte palice: od leve proti desni in od desne proti levi. Koliko palic je zdaj v dveh rokah skupaj?

Študent: V dveh rokah je bilo 5, zdaj pa je spet 5.

Učitelj: Zakaj se je to zgodilo?

Študent: Ker tega nismo nikamor odložili ali dodali palčk. Koliko je bilo, toliko je ostalo.

Komutativni zakon se asimilira tudi pri vajah razgradnje števila na izraze. Kdaj uvesti zakon o razseljenosti? Glavni cilj poučevanja seštevanja, že znotraj prve deseterke, je nenehno poudarjanje vloge zakona o premikih pri vajah. Otroci naj preštejejo 6 palic, nato jim dodamo 3 palčke in s štetjem (sedem-osem-devet) določimo vsoto: 6 da 3 bo 9. Takoj ponudimo nov primer: 3 + 6: lahko se nov znesek nastavljeno s štetjem, vendar je treba postopoma in namensko oblikovati metodo rešitve na višji kodi, t.j. logično, brez preračunavanja. Če bo 6 da, bo 3 9 (odgovor je preračunan), bo 3 da 6 (brez preračunavanja) 9.

L.G. Peterson to metodo uvaja že pri 13. lekciji, kjer otroci rešujejo štiri izraze v abecedni simboliki (T+K=F K+T=F F-T=K F-K=T), nato pa v številčni obliki: 2+1=3 1 +2=3 3-2=1 3-1+2.

Sestavljanje štirih primerov je sredstvo za razširitev znanja, dostopnega otrokom. Vidimo, da karakterizacija operacije seštevanja ne bi smela potekati epizodno, ampak bi morala postati glavno logično sredstvo za krepitev pravilnih številskih asociacij. Glavno lastnost seštevanja - prenosljivost izrazov - je treba nenehno upoštevati v povezavi s kopičenjem v spominu vedno več novih rezultatov v tabeli. Vidimo: medsebojno povezovanje kompleksnejših računskih ali logičnih operacij, preko katerih se izvede par "kompleksnih operacij". Eksplicitna opozicija kompleksnih pojmov temelji na implicitnem nasprotovanju enostavnejših pojmov.

Začetno študijo množenja in deljenja je priporočljivo izvesti v naslednjem zaporedju treh ciklov nalog (3 naloge v vsakem ciklu):

1 a), b) množenje s stalnim množiteljem in deljenje po vsebini (skupaj); c) delitev na enake dele.

2 a), b) večkratno zmanjšanje in povečanje števila (skupaj), c) večkratna primerjava;

3 a), b) iskanje enega dela števila in števila po vrednosti enega njegovih delov (skupaj) c) reševanje problema »Kateri del je eno število od drugega?«. Hkratni študij množenja in deljenja po vsebini. Pri 2-3 lekcijah, namenjenih množenju, je pojasnjen pomen koncepta množenja kot zloženega seštevanja enakih členov. Običajno se učencem prikaže zapis za zamenjavo seštevanja z množenjem: 2+2+2+2=8 2*4=8 Tukaj je razmerje med seštevanjem in množenjem. Primerno je, da takoj ponudite vajo, zasnovano za videz povratne informacije « množenje - seštevanje". Ob upoštevanju tega vnosa mora učenec razumeti, da je potrebno število 2 ponoviti tolikokrat, kot je vsota, kot kaže množitelj v primeru 2 * 4 = 8. Kombinacija obeh vrst vadbe je ena izmed pomembni pogoji, ki zagotavlja zavestno asimilacijo koncepta "množenja". Zelo pomembno je, da za vsak od ustreznih primerov množenja pokažemo ustrezen primer deljenja. V prihodnosti je množenje in deljenje po vsebini koristno obravnavati skupaj.

Pri uvajanju koncepta deljenja se je treba spomniti ustreznih primerov množenja, tako da iz njih ustvarimo koncept novega dejanja, inverznega množenja. Zato koncept "množenja" pridobi bogato vsebino, ni le rezultat seštevanja enakih izrazov ("posplošitev seštevanja"), ampak tudi osnova, začetni moment delitve, ki pa predstavlja "zloženo odštevanje", ki nadomesti zaporedni "odštevanje z 2". Pomen množenja ne razumemo toliko med samim množenjem, temveč med nenehnimi prehodi med množenjem in deljenjem, saj je deljenje prikrito, »spremenjeno« množenje. Vse logične operacije, podprte s praktičnimi dejavnostmi, morajo biti dobro premišljene. Rezultat dela bodo tabele za množenje in deljenje:

Z 2*2=4 4: z 2 =2

2*3=6 6:2=3

2*4=8 8:2=4 vsak itd.

Tabela množenja temelji na konstantnem množitelju 1, tabela deljenja pa na konstantnem delilniku. Študij deljenja na enake dele se uvede po študiju množenja in deljenja z 2. Podana je naloga: »Štirje učenci so prinesli po 2 zvezka. Koliko zvezkov so skupaj prinesli? pri izvajanju praktične akcije zbiramo zvezke (vzemite 2 zvezka 4-krat). Naredimo inverzno nalogo: "8 zvezkov je bilo razdeljenih po 2 zvezka vsakemu učencu." Izkazalo se bo 4. Zapis se pojavi v 2t. * 4 \u003d 8t., 8t.: 2t. \u003d 4ch. Sprva je koristno podrobno zapisati imena. Zdaj sestavimo 3 nalogo: »8 zvezkov je treba enakomerno razdeliti na 4 učence. Koliko zvezkov bo dobil vsak? najprej je treba na predmetih prikazati tudi delitev na enake dele. Zato koncept "množenja" pridobi bogato vsebino: ni le rezultat seštevanja enakih izrazov ("posplošitev seštevanja"), ampak tudi osnova, začetni moment delitve, ki pa predstavlja zloženo odštevanje, ki nadomesti zaporedni "odštevanje z 2". V tem primeru je razlaga v učbenikih matematike L. G. Peterson in N. B. Istomina zelo uspešno sestavljena. v učenje se uvaja nov koncept z dejavnostno metodo, t.j. otroci sami »odkrivajo« njeno vsebino, učitelj pa usmerja njihovo raziskovalno dejavnost in jih seznanja s splošno sprejeto terminologijo in simboli. Otroci najprej ponovijo pomen množenja, sestavijo produkt 2 * 4 \u003d 8 glede na risbo. Proučevanje dejanj delitve je motivirano z vsakodnevnimi praktičnimi dejavnostmi otrok. Učitelj vpraša, ali si v življenju moral nekaj enakomerno deliti, in ponudi nalogo: »36 bonbonov moramo enakomerno razdeliti na štiri. Koliko dati vsakemu? težava, ki se pojavi v zvezi z odgovorom na vprašanje problema, motivira študij s pomočjo predmetnih modelov. Vsak ima na mizi pripravljenih 36 predmetov (gumbi, figure, žetoni itd.). Položeni so v 4 kupe enakega števila itd. Učitelj pokaže zapis _- razdeli na enake dele - to pomeni najti število predmetov v vsakem delu. Otroci pri izvajanju serije vaj pridejo do zaključka, da je operacija deljenja nasprotna operaciji množenja. Ko oreščke delimo s 4, dobimo število 2, ki nam, če pomnožimo s 4, da 8. 8:4=2 2*4=8. Otrokom lahko povemo o znaku, ki se v matematiki uporablja za označevanje stavkov, ki izražajo isto stvar (ekvivalenten stavek). Pri izvajanju utrjevalnih vaj otroci izvajajo risbe in rišejo referenčne diagrame.

Na koncu lekcije se naredi sklep in ga naglas izgovori in razširi na splošni primer deljenja - če želite število a deliti s številom b, morate izbrati število c, ki, ko se pomnoži z b, daje a:

A: B \u003d C C * B \u003d A in sestavi se referenčni povzetek. Otrokom je pomembno povedati, da matematični izrazi in formule omogočajo prepoznavanje splošnih vzorcev in vzpostavitev analogije za pojave, ki so na prvi pogled povsem drugačni. Zavedanje tega dejstva bo študentom v prihodnosti pomagalo razumeti ustreznost matematičnih posploševanj, vlogo in mesto matematike v sistemu znanosti.

3. POGLAVJE. RAZISKOVALNO DELO PRI PROUČEVANJU ALGEBRIČNEGA GRADIVA PRI POUKU MATEMATIKE V OSNOVNI ŠOLI MOU SOSH №72 S POGLOBLJENIM PREUČAVANJEM POSAMEZNIH PREDMETOV.

3.1. UTEMELJITEV ZA UPORABO INOVATIVNIH TEHNOLOGIJ (UDE TECHNOLOGY).

Pri svojem delu uspešno uporabljam tehnologijo povečevanja didaktičnih enot (UDE), ki jo je razvil P.T.Erdniev. Pred več kot 30 leti je avtor predstavil znanstveni koncept "didaktične enote". Njegov sistem širitve didaktičnih enot v osnovni šoli opremlja šolarje z algoritmom za ustvarjalno asimilacijo izobraževalnih informacij. Ta tehnologija je pomembna in obetavna, saj ima moč dolgotrajnega delovanja, vlaga v otroka lastnosti inteligence in prispeva k oblikovanju aktivne osebnosti.

P.M. Erdniev opredeljuje štiri glavne načine povečevanja didaktičnih enot:

1) skupno in sočasno preučevanje medsebojno povezanih dejanj, operacij;

2) uporaba deformiranih vaj;

3) široka uporaba metode inverznega problema;

4) krepitev deleža ustvarjalnih nalog.

Vsak od načinov prispeva k aktualizaciji rezerv mišljenja. Prvi način je skupno preučevanje medsebojno povezanih dejanj, operacij - seštevanje - odštevanje, množenje - deljenje. V prvem razredu pri preučevanju prve desetice se otroci seznanijo s primeri oblike: 3+4=7 s tehnologijo povečevanja didaktičnih enot, uvedem komutativno lastnost seštevanja: 4+3=7 odgovor je enako, zapis ima obliko: 3+4= 7

Otrokom ponujam primere odštevanja, vnos pa izgleda tako: 7 -3=4

4=3. Znanje se povzema in združuje ter združujejo zapise. Podobno lahko sestavite delo o množenju in deljenju. Na primer: 8+8+8+8+8=40 8*5=40 5*8=40 40:5=8 40:8=5

Otroci se naučijo razlikovati nasprotnih konceptov in operacije med preučevanjem konjugiranih dejanj. "Živčne navade", kot pravi K.D. Ushinsky, niso določene v človeku ločeno, ampak v parih, vrstah, strunah, skupinah. Ta predstavitev gradiva ustvarja pogoje za razvoj samostojnosti in iniciativnosti otrok.

Drugi način povečevanja didaktičnih enot je metoda deformiranih vaj, pri kateri želeni element ni en, temveč več elementov. Na primer, v prvem razredu lahko ponudite nalogo, pri kateri morate določiti predznak dejanja in neznano komponento: 8 = 2. V takih primerih učenec na podlagi primerjave najprej izbere akcijski znak, nato pa poišče manjkajočo komponento. Otrok pri reševanju takega primera argumentira takole: 8 2, kar pomeni znak minus. 8 je sestavljeno iz 2 in 6, kar pomeni primer 8-6 = 2. Tako se aktivira pozornost, razvija se mišljenje učencev na podlagi reševanja logičnih verig.

Tretji način povečanja didaktičnih enot je, da rešimo neposreden problem in ga preoblikujemo v inverzne in podobne. Reševanje problemov v osnovni šoli je osrednjega pomena za razvoj mišljenja učencev: pri reševanju otrok se seznanijo z odvisnostjo količin, z različne strankeživljenje, naučite se razmišljati, sklepati, primerjati. Pri poučevanju reševanja problemov je treba otroke naučiti sestavljati inverzne naloge. Vsaka metoda temelji na velikem informacijskem zakonu divjih živali – zakonu povratne informacije. Pri delu na nalogah ga je koristno uporabiti, ko se v nizu nalog naslednja od prejšnjega razlikuje le po enem elementu. V tem primeru je prehod iz enega problema v drugega olajšan, informacije, pridobljene pri reševanju prejšnjega problema, pa pomagajo pri iskanju rešitve za naslednje težave. Ta tehnika je še posebej uporabna za šibke in počasne otroke. Na primer, problem iskanja vsote, bomo sestavili njegove inverzne probleme. "Oče je Maši dal 11 jabolk, mama pa je dodala še 5 jabolk. Koliko jabolk so dali Mašini starši?

Izvajamo analizo na vprašanja: »Kaj je znano v problemu? Kaj morate vedeti? Na kratko napišite nalogo. Kako ugotoviti, koliko jabolk so dali Mašini starši? (12+5=17)
Sestavljanje inverznega problema, kjer je neznanka število jabolk, ki jih je dal oče. »Oče je dal nekaj jabolk, mama pa je dodala še 5 jabolk. Maša ima skupaj 17 jabolk. Koliko jabolk je dal Mašin oče?
Lahko naredimo še en inverzni problem, kjer je neznano število jabolk, ki jih je Maši dala njena mama. »Oče je Maši dal 12 jabolk, mama pa je dodala še nekaj jabolk. Maša ima skupaj 17 jabolk. Koliko jabolk je mama dala Maši? (17-12=5). V zvezkih vodimo kratke zapiske pri vseh 3 nalogah. Medsebojno povezane naloge se združijo v skupino sorodnih nalog kot velika enota asimilacije in tvorijo tri naloge. Glavna tehnološka novost sistema širitve didaktičnih enot je torej v prisotnosti nalog, po katerih študent vaje v samostojnem sestavljanju inverznih problemov na podlagi analize pogoja neposrednega problema, identifikacije logične verige. .

Četrti način širitve je povečanje deleža ustvarjalnih nalog. Na primer, podana naloga z "oknom": +7-50=20. Otroci iščejo odgovor z izbirno metodo, vendar lahko to nalogo rešite tako, da razmišljate vzdolž puščice z inverzno operacijo: 20 + 59-7 = 63. Želeno število je 63. Na vsaki lekciji naj bodo prisotne ustvarjalne naloge. S pomočjo takšnih vaj se otrok nauči samostojno nadaljevati svojo misel, prestrukturirati svojo presojo, ki je v prihodnosti odločilnega pomena za oblikovanje aktivnega, ustvarjalnega uma osebe, ki je tako dragocena v svoji manifestaciji v katero koli področje delovne dejavnosti.

3.2.O IZKUŠNJI SZNAVANJSTVA Z ALGEBRIČNIMI POJMI.

Že v 1. razredu otroke učim, da samostojno ugotavljajo znake, po katerih je mogoče primerjati enega ali drugega predmeta. Učitelj otrokom pokaže 2 uteži različnih barv. Na podlagi česa jih je mogoče primerjati? Otroci dajo odgovor: "Mogoče jih primerjati po teži, višini, po dnu." Kaj lahko rečemo? - niso enaki (po teži, višini). Kako natančneje izraziti? - Črni kettlebell je težji, večji, debelejši. Kaj pomeni težje? - Težje, večjo težo. Podobno delo z vodilnimi vprašanji se izvaja v zvezi z drugimi značilnostmi. Skupaj z učiteljem ugotavljamo, da je težji več po teži, »daljši« je več po dolžini (višina, višina) itd. Zaključek tega dela je bil ugotoviti, da če lahko najdete znak, po katerem se predmeti primerjajo, bodo ti enaki ali neenaki. To lahko zapišemo s posebnimi znaki "=" in "=". L.G. Peterson zelo uspešno primerja te koncepte in šele nato se določijo znaki - manj ali več. Otroci so zelo pripravljeni rešiti te neenakosti. Izvajamo tudi obratne naloge - z znaki so izbrani "manj" ali "več". razni predmeti. Hkrati se takoj pojavi posebna naloga - opredelitev pojmov "od leve proti desni" - 5 je manj kot 10. Poleg tega je mogoče uspešno zapisati ne le številke, ampak tudi različne figure, črte. V tem obdobju se na tej podlagi uvaja abecedna oblika zapisa. Pri delu z različnimi nalogami je treba otrokom dati predstavo, da črke same ne zapišejo rezultata primerjave - potreben je znak, ki jih povezuje. In samo celotna formula govori o tem rezultatu - primerjava teže, dolžine 2 predmetov ali več.

Delo na to temo je izjemnega pomena za razvoj celotnega začetnega odseka matematike, saj je bistveno povezano z izgradnjo v otrokovi dejavnosti sistema odnosov, ki izpostavljajo količine kot osnovo za nadaljnje transformacije. Dobesedne formule, ki nadomeščajo številne predhodne načine zapisovanja, prvič spremenijo te odnose v abstrakcijo, ker same črke označujejo kakršne koli specifične vrednosti kakršnih koli specifičnih količin, celotna formula pa - kakršna koli možna razmerja enakosti. ali neenakosti teh vrednosti. Zdaj lahko s pomočjo formul preučimo ustrezne lastnosti izbranih odnosov in jih spremenimo v poseben predmet analize.

DIAGNOSTIKA REZULTATOV POUKA MATEMATIKE.

Pomen diagnostike je velik, saj ugotavlja skladnost otrokovih dosežkov z obveznimi zahtevami za učne rezultate. Z analizo rezultatov lahko sklepamo, kakšne spremembe se dogajajo pri otroku v učnem procesu, zakaj ni bilo mogoče poučevati, kaj ni bilo upoštevano, kako popraviti učni proces, kakšno pomoč učenec potrebuje. Testi lahko služijo kot diagnostično orodje. Za vsako vsebinsko vrstico so v skladu z obvezno minimalno vsebino osnovnošolskega izobraževanja sestavljene testne naloge, ki so zelo zastopane tudi v že pripravljenih tiskanih publikacijah. Pomagajo prepoznati učne vrzeli. V mojem razredu so bili pri študiju elementov algebre ugotovljeni naslednji problemi:

Nekateri učenci imajo nekaj težav pri reševanju dobesednih izrazov (iskanje številčne vrednosti dobesednega izraza za dane vrednosti črk, ki so v njem vključene);

Pri reševanju enačb se delajo napake pri uporabi pravil za iskanje neznanih komponent (odvisnost med komponentami seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja);

Pri preverjanju korenin enačbe nekateri otroci ne izračunajo leve strani enačbe, ampak samodejno postavijo znak enakosti;

Z bolj zapleteno strukturo enačb v obliki X + 10 \u003d 30-7 ali X + (45-17) \u003d 40 nekateri otroci pri preoblikovanju in poenostavitvi enačbe izgubijo spremenljivko in se zanesejo v aritmetične izračune.

Po prejemu testnih podatkov in analizi rezultatov si naredim načrt dela za odpravo vrzeli in pomanjkljivosti.

Vzorčni test za preverjanje znanja učencev.

Dopolnilo 10 9, 5, 8, 4, 7, 0.
Zapišite številko na kartico: 8+5 17-9

8+2+ 17-7-

Uganite, katero številko morate napisati na kartico:

3, 6, 9, 12, * A(13), B(15), C(18), G (druga številka)

Na kartico napišite takšno številko, da je enakost resnična:

9=17-* A(6), B(15), C(4), G (druga številka)

. 8+7=19-* A(3), B(15), C(4), G(drugo število).

6 Navedite pravilne enakosti:

A) 12+1=11 C)14-5=9 C)17+3=20 E)20-1=9 E)18+2=20 F)8-5=13 H)6+9=15

7. Razporedi izraze v padajočem vrstnem redu njihovih vrednosti: A) 7-5 B) 7 + 6 C) 3 + 7

8. Katere številke lahko nadomestijo *?

1)12 1* A(0, 1, 2) B(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) C(0, 1)

9. Kje je pravilen vrstni red dejanj? A) 12-3+7 B) 19-9-5+3

10. Zapišite številske izraze in poiščite vrednosti: od števila 12 odštejte vsoto številk 3 in 5

A) (3+5)-12 C) 12-3+5 C) 12-(3+5) D) drugi odgovor:

Ta test pokaže, kateri od otrok ni jasno razumel oštevilčenja številk druge desetice. To so otroci, ki so prejeli manj kot 18 točk. Z njimi je treba izvajati korektivno delo, ki vključuje vse možne primere uporabe pridobljenega znanja, kjer so otroci dobro seznanjeni s podobnimi vajami. Načrtovan je načrt dela s starši teh otrok in posvetovanje tistim staršem, ki ga potrebujejo. Pri zaključni diagnostiki se preverja poznavanje celotnega študija za 1. razred. Z njimi opravljam še eno delo, da preizkusim asimilacijo seštevanja in odštevanja števil znotraj 20, nato pa 100. Otroci bi morali biti sposobni izvajati dejanja s pomočjo naučenih tehnik: najti neznano komponento seštevanja in odštevanja, primerjati števila in številska izrazov, zna najti obratno dejanje . Kar zadeva programe drugih avtorjev, lahko opazimo, da je zgodnje uvajanje algebraičnega gradiva za vse otroke povsem sprejemljivo. Po različnih programih, preučevanju metod poučevanja različnih avtorjev matematike, uporabljam vse elemente, ki jih potrebujem iz katerega koli učbenika, da bi bil pouk učinkovitejši in produktivnejši. Zanimive vaje, ki razvijajo razmišljanje, logiko, vas učijo razmišljati, izumljati, kombinirati, so vključene v vsako lekcijo matematike. Moji otroci si za najljubši predmet izberejo matematiko. Uporaba zvezkov na tiskani osnovi, preverjanje testov pomaga prepoznati vrzeli v znanju.

Pri preučevanju vseh vsebinskih smeri matematike se nenehno spremljajo rezultati učenja in diagnosticira poučevanje. Otroci nenehno opravljajo vmesne teste in preverjanje, zato je enostavno spremljati napredek učencev.

V osnovni šoli pri neocenjenem učenju (1-2 razred) uporabljam naslednje stopnje in kriterije oblikovanja znanja iz algebraične snovi: visoka stopnja (20-25 točk) - na tej stopnji otrok zavestno lasti preučeno snov , pojmi na temo se naučijo, sposoben je samostojno delati na temo , opravlja naloge brez napak;

povprečna raven(14-9 točk) - tema je obvladana, zna odgovoriti posredna vprašanja, s pomočjo vodilnih vprašanj pravilno odgovori na temo, naredi 1-2 napaki, jih poišče in samostojno popravi;

nizka stopnja(manj kot 14 točk) - dela napake pri večini nalog, ne odgovori vedno pravilno na učiteljevo neposredno vprašanje, potrebne so korektivne vaje in dodatno individualno delo.

Tudi pri obdelavi diagnostičnega dela izvajam analizo rezultatov testov po elementih: napake in njihove vzroke. Pri reševanju enačb (v procesu iskanja števila, s katerim se enačba spremeni v pravo numerično enakost) so možne in se pojavijo naslednje napake:

Pri izbiri aritmetične operacije pri iskanju neznane komponente (razlog za takšno napako je nezmožnost določitve razmerja med komponentami ali nepoznavanje tega gradiva);

Računske napake (razlogi pri uporabi algoritmov seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, podrobna analiza v določeni fazi algoritma ni bila opravljena).

Pri reševanju dobesednih izrazov za dane vrednosti črk, ki so vanj vključene, so dovoljene naslednje napake:

Pri uporabi algoritmov (specifične računske tehnike);

Pri določeni izbiri določene vrednosti črke (nepazljivost, analiza korespondence z dano črko določene številke ni bila izvedena).

Pri primerjavi številk in številskih izrazov delajo napake:

Pri postavljanju znakov več in manj (razlog je nepoznavanje specifičnih pojmov, ni analizirana bitna in razredna sestava števil, nepoznavanje številčenja naravnih števil, lokalnega pomena števil);

pri aritmetičnih izračunih.

Pri iskanju vrednosti sestavljenega številskega izraza so dovoljene napake:

Po vrstnem redu delovanja

Pri napačnem zapisovanju komponent dejanja (vzrok za napake je bila nezmožnost določitve strukture prvotnega izraza in s tem uporabe potrebnega pravila, ni poznal algoritma za izvajanje dejanj). Učitelj s temeljito analizo rezultatov kontrole znanja, spretnosti in sposobnosti ugotavlja vrzeli, napake v uspešnosti in je mogoče pravilno načrtovati nadaljnje delo za odpravo pomanjkljivosti pri usposabljanju.

Spodaj podajam primere testov in diagnostike opravljenih rezov in pregledov.

Preskusna številka

Oblikovane spretnosti in sposobnosti

10-11

Rezultat znotraj 20, 100.

Tabela seštevanja in odštevanja.

Iskanje vrednosti številskega izraza v 2-4 korakih.

Berite, pišite, primerjajte znotraj 100.

Ime in poimenovanje operacij seštevanja in odštevanja.

Reševanje težav v 1-2 korakih.

Sposobnost primerjave, razvrščanja.

Prostorske reprezentacije.

Poznavanje količin.

Stopnja oblikovanja osnovnih spretnosti in matematičnega razvoja.

Rezultati končne diagnoze za 1

10-11

ravni

Antonov A.

Batraeva D.

Bašlovkin D.

Belova V.

Bobileva E.

Gabrielian G.

Gasnikova M.

Goroško A.

Guzaeva E.

Dvugroševa M.

Kondratiev D.

Konstantinov I.

Kopylov V.

Mihailov V.

Mihailova I.

Morozova A.

Podgorni I.

Razin N.

Romanov D.

Sinitsina K.

Sulejmanov R.

Sulyoznov A.

Teplyakova Yu.

Frolov D.

Širšaeva K.

Kratek

Srednji

Visok

Srednji

Visok

Kratek

Visok

Srednji

Visok

Kratek

Srednji

Visok

Srednji

sredina

Preverjanje stopnje razvoja spomina

slušni

vizualno

motor

vidno-slušno

Antonov A.

Batraeva D.

Bašlovkin D.

Belova V.

Bobileva E.

Gabrielian G.

Gasnikova M.

Goroško A.

Guzaeva E.

Dvugroševa M.

Kondratiev D.

Konstantinov I.

Kopylov V.

Mihailov V.

Mihailova I.

Morozova A.

Podgorni I.

Razin N.

Romanov D.

Sinitsina K.

Sulejmanov R.

Sulyoznov A.

Teplyakova Yu.

Frolov D.

Širšaeva K.

0,4 srednje

0,2 nizka

0,6 povprečje

0,8 srednje

1 visoko

0,7 povprečja

1 visoko

0,5 nizka

1 visoko

0,9 povprečje

1 visoko

0,4 nizka

0,7 povprečja

1 visoko

0,7 povprečja

1 visoko

0,7 povprečja

0,6 povprečje

0,4 nizka

0,3 nizka

0,8 povprečje

0,9 povprečje

1 visoko

0,6 povprečje

1 visoko

0,4 nizka

1 visoko

0,4 nizka

0,9 povprečje

1 visoko

0,8 srednje

0,9 povprečje

0,8 srednje

0,8 povprečje

0,4 nizka

1 visoko

0,9 povprečje

1 visoko

0,8 srednje

1 visoko

0,5 nizka

0,8 srednje

0,7 povprečja

1 visoko

0,9 povprečje

0,8 srednje

1 visoko

0,8 srednje

0,5 nizka

0,7 povprečja

0,4 nizka

0,9 povprečje

visok

0,8 povprečje

0,9 povprečje

visok

visok

0,5 nizka

visok

visok

visok

visok

visok

visok

0,4 nizka

0,9 povprečje

visok

visok

0,8 povprečje

0,9 povprečje

0,8 povprečje

0,5 srednje

C=a:N Koeficient C-pomnilnika, pri C=1 - najboljša možnost je visoka raven

C=0,7 +/-0,2 - povprečna raven, C - manj kot 0,5 - nizka stopnja razvoja

ZAKLJUČEK

Trenutno so se pojavili precej ugodni pogoji za korenito izboljšanje oblikovanja matematičnega izobraževanja v osnovni šoli:

osnovna šola se je iz triletne preoblikovala v štiriletno;
ure so namenjene študiju matematike v prvih štirih letnikih, t.j. 40 % celotnega časa, namenjenega temu predmetu v celotni srednji šoli?
Vsako leto je vedno več visokošolskih učiteljev;
Povečale so se možnosti za boljše zagotavljanje učnih in vizualnih pripomočkov učiteljem in šolarjem, večina jih je izdelana v barvah.

Ni treba dokazovati odločilne vloge začetnega pouka matematike za razvoj učenčevega intelekta nasploh. Bogastvo različnih asociacij, ki jih je študent pridobil v prvih štirih letih študija, s pravilna uprizoritev poslovanje postane glavni pogoj za samopoviševanje znanja v naslednjih letih. Če je ta zaloga začetnih idej in konceptov, miselnih tokov, osnovnih logičnih tehnik nepopolna, neprilagodljiva, izčrpana, potem bodo šolarji ob prehodu v višje razrede nenehno imeli težave, ne glede na to, kdo jih bo naslednji poučeval ali katere učbenike bodo preučevali. od

Kot veste, osnovna šola pri nas in v drugih državah deluje že vrsto stoletij, zato je teorija in praksa osnovnega šolstva veliko bogatejša po svojih tradicijah kot poučevanje v srednji šoli.

Dragocena metodološka odkritja in posplošitve o začetnem poučevanju matematike so naredili L. N. Tolstoj, K. D. Ushinsky, V. A. Latyshev in drugi metodologi že v prejšnjem stoletju. Pomembni rezultati so bili v zadnjih desetletjih doseženi pri metodologiji osnovne matematike v laboratorijih L.V. Zankova, A.S. Pchelko, pa tudi v študijah o širitvi didaktičnih enot.

Z razumnim gotovinskim računovodstvom znanstveni rezultati pridobljenih v zadnjih 20 letih po metodologiji osnovnošolskega izobraževanja s strani različnih ustvarjalnih timov, je zdaj polna priložnost za doseganje »učenja s strastjo« v osnovni šoli. Zlasti seznanjanje učencev z osnovnimi algebraičnimi pojmi bo nedvomno pozitivno vplivalo na razvoj ustreznega znanja učencev v višjih razredih.

REFERENCE

Aktualni problemi metodike pouka matematike v osnovnih razredih / ur. M.I.Moro, A.M.Pyshkalo. -M.: Pedagogija, 1977.
I. I. Arginskaya, E. A. Ivanovskaya. Matematika: Učbenik za 1., 2., 3., 4. razred štiriletne osnovne šole - Samara: Ed. hiša "Fedorov", 2000.
M. A. Bantova, G. V. Beltyukova. Metode poučevanja matematike v osnovnih razredih - M .: Pedagogija, 1984.
P. M. Erdniev. Razširjeno znanje kot pogoj veselega učenja / Osnovna šola - 1999 št. 11, str. 4-11.
V.V.Davydov. Duševni razvoj v osnovnošolski dobi. / Ed. A.V. Petrovsky.- M.: Pedagogija, 1973.
A.Z.Zak razvoj duševne sposobnosti mlajši učenci.
I.M.Doronina. Uporaba tehnike UDE pri pouku matematike. //OŠ.-2000, št.11, str.29-30.
N. B. Istomina. Metode poučevanja matematike v osnovnih razredih - M .: Založniško središče "Akademija", 1998.
M. I. Vološkina. Aktivacija kognitivne dejavnosti mlajših učencev pri pouku matematike.//OŠ-1992 št. 10.
V.F.Kogan O lastnostih matematičnih pojmov. -M. : Nauka, 1984.
G.A.Pentegova. Razvoj logičnega mišljenja pri pouku matematike. //Osnovna šola.-2000.-№11.
A.N. Kolmogorov. O poklicu matematike. M.-Pedagogija. 1962.
M.I.Moro, A.M.Pyshkalo. Metode pouka matematike v osnovni šoli - M. Pedagogija, 1980.
L.G. Peterson. Razred matematike 1-4. - Metodološka priporočila za učitelje - M .: "Ballas", 2005.
Diagnoza rezultatov vzgojno-izobraževalnega procesa v 4-letni osnovni šoli: Učno-metodični priročnik / Ed. Kalinina N.V. / Uljanovsk: UIPCPRO, 2002.
Samostojno in kontrolno delo za osnovno šolo (-4). M. - "Ballas", 2005.
J. Piaget. Izbrana psihološka dela. Sankt Peterburg: Založba "Peter", 1999.
A.V. Sergejenko. Poučevanje matematike v tujini - M.: Akademija, 1998.
Stoilova L.P. matematika. M. - Akademija, 2000.
W. W. Sawyer Preludij k matematiki, M.-Prosveshchenie.1982.
Preizkusi: Osnovna šola. 1,2,3,4 razredi: Učni pripomoček / L.M. Zelenina, T.E. Khokhlova, M.N. Bystrova in drugi - 2. izd., stereotip. - M .: Bustard, 2004.

(08:00)

Načrt:

1. Cilji študija algebraične snovi v osnovnih razredih.

2. Lastnosti računskih operacij, ki se preučujejo v osnovnih razredih.

3. Učenje številskih izrazov in pravil za vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo:

Eno naročilo brez oklepajev;

Eno naročilo z oklepaji;

Izrazi brez oklepajev, vključno s 4 aritmetičnimi operacijami, z oklepaji.

4. Analiza preučenih številskih enakosti in neenakosti v osnovnih razredih (primerjava dveh številk, števila in številskega izraza, dveh številskih izrazov).

5. Uvedba abecednih simbolov s spremenljivko.

6. Metodologija za preučevanje enačb:

a) podajte definicijo enačbe (iz predavanj matematike in iz učbenika matematike za osnovno šolo),

b) poudari obseg in vsebino koncepta,

c) katero metodo (abstraktno-deduktivno ali konkretno-induktivno) boste uvedli ta koncept? Opišite glavne korake pri delu na enačbi.

Izpolnite naloge:

1. Pojasni smotrnost uporabe neenakosti s spremenljivko v začetnih razredih.

2. Pripravite sporočilo za uro o možnosti razvoja funkcionalne propedevtike pri učencih (skozi igro, skozi preučevanje neenakosti).

3. Izberite naloge za učence, da izpolnijo bistvene in nebistvene lastnosti pojma »enačba«.

1. Abramova O.A., Moro M.I. Reševanje enačb // Osnovna šola. - 1983. - Št. 3. - S. 78-79.

2. Ymanbekova P. Sredstva prepoznavnosti pri oblikovanju koncepta »enakosti« in »neenakosti« // Osnovna šola. - 1978. - Št. 11. - S. 38-40.

3. Shchadrova I.V. O vrstnem redu dejanj v aritmetičnem izrazu // Osnovna šola. - 2000. - Št. 2. - S. 105-107.

4. Shikhaliev Kh.Sh. Enoten pristop k reševanju enačb in neenakosti // Osnovna šola. - 1989. - Št. 8. - S. 83-86.

5. Nazarova I.N. Spoznavanje funkcionalne odvisnosti pri poučevanju reševanja problemov // Osnovna šola. - 1989. - Št. - S. 42-46.

6. Kuznetsova V.I. O nekaterih tipičnih napakah učencev v zvezi z vprašanji algebraične propedevtike // Osnovna šola. - 1974. - Št. 2. – S. 31.

splošne značilnosti metode študija

algebraično gradivo

Uvedba algebraične snovi v osnovni tečaj matematike omogoča pripravo študentov na študij osnovnih pojmov sodobne matematike, kot so »spremenljivka«, »enačba«, »neenakost« itd., in prispeva k razvoju funkcionalnega mišljenja pri otrocih.

Glavni koncepti teme so »izraz«, »enakost«, »neenakost«, »enačba«.

Izraz "enačba" se uvede pri preučevanju teme "Tisoč", vendar se pripravljalno delo za seznanjanje učencev z enačbami začne od 1. razreda. Izrazi "izraz", "izrazna vrednost", "enakost", "neenakost" so vključeni v besednjak učencev od 2. razreda. Koncept "reši neenakost" ni uveden v osnovnih razredih.

Številčni izrazi

V matematiki izraz razumemo kot konstanto v določena pravila zaporedje matematičnih simbolov, ki predstavljajo števila in operacije z njimi. Primeri izrazov: 7; 5+4; 5 (3+ v); 40: 5 + 6 itd.

Izrazi v obliki 7; 5+4; 10:5+6; (5 + 3) 10 se imenujejo številčni izrazi, v nasprotju z izrazi v obliki 8 - ampak; (3 + v); 50: do, imenovani dobesedni ali spremenljivi izrazi.

Naloge študija teme

2. Učence seznaniti s pravili za vrstni red izvajanja dejanj na številkah in v skladu z njimi razviti sposobnost iskanja številskih vrednosti izrazov.

3. Učence seznaniti z enakimi transformacijami izrazov na podlagi računskih operacij.

V metodologiji za seznanjanje mlajših učencev s pojmom številskega izraza lahko ločimo tri stopnje, ki predvidevajo seznanitev z izrazi, ki vsebujejo:

Ena aritmetična operacija (I. stopnja);

Dve ali več aritmetičnih operacij ene stopnje (stopnja II);

Dve ali več računskih operacij različnih stopenj (III. stopnja).

Z najpreprostejšimi izrazi - seštevek in razlika - se učenci uvajajo v I. razred (pri študiju seštevanja in odštevanja znotraj 10); z zmnožkom in količnikom dveh števil - v II razredu.

Že pri preučevanju teme "Deset" se v besednjak učencev uvajajo imena računskih operacij, izrazi "izraz", "vsota", "zmanjšano", "odšteto", "razlika". Poleg terminologije se morajo naučiti tudi nekaterih elementov matematične simbolike, zlasti akcijskih znakov (plus, minus); naučiti se morajo brati in pisati preproste matematične izraze, kot je 5 + 4 (vsota številk "pet" in "štiri"); 7 - 2 (razlika med številkama "sedem" in "dve").

Najprej se učenci seznanijo s pojmom "vsota" v pomenu števila, ki je rezultat dejanja seštevanja, nato pa v pomenu izraza. Sprejem odštevanja obrazca 10 - 7, 9 - 6 itd. temelji na poznavanju razmerja med seštevanjem in odštevanjem. Zato je treba otroke naučiti predstaviti število (pomanjšano) kot vsoto dveh členov (10 je vsota številk 7 in 3; 9 je vsota številk 6 in 3).

Otroci se v prvem letniku seznanijo z izrazi, ki vsebujejo dve ali več računskih operacij, ko osvojijo računske tehnike ± 2, ± 3, ± 1. Rešujejo primere oblike 3 + 1 + 1, 6 - 1 - 1, 2 + 2 + 2 itd. Pri izračunu na primer vrednosti prvega izraza učenec razloži: »Prištej ena k trem, dobiš štiri, prištej ena k štirim, dobiš pet.« Podobno je razložena rešitev primerov obrazca 6 - 1 - 1 itd. Tako se prvošolci postopoma pripravljajo na sklenitev pravila o vrstnem redu izvajanja dejanj v izrazih, ki vsebujejo dejanja ene stopnje, ki je posplošen v razredu II.

V prvem razredu bodo otroci praktično osvojili še eno pravilo za vrstni red, v katerem se dejanja izvajajo, in sicer izvajanje dejanj v izrazih oblike 8 - (4 + 2); (6 - 2) + 3 itd.

Povzeto je znanje učencev o pravilih zaporedja izvajanja dejanj in uvedeno še eno pravilo o vrstnem redu, v katerem se dejanja izvajajo v izrazih, ki nimajo oklepajev in vsebujejo računske operacije različnih ravni: seštevanje, odštevanje, množenje in divizije.

Ko se seznanite z novim pravilom o vrstnem redu dejanj, je delo mogoče organizirati na različne načine. Otroke lahko povabite, da preberejo pravilo iz učbenika in ga uporabijo pri izračunu vrednosti ustreznih izrazov. Učence lahko tudi povabite, da izračunajo na primer vrednost izraza 40 - 10: 2. Odgovori se lahko izkažejo za drugačne: za nekatere bo vrednost izraza enaka 15, za druge 35.

Nato učitelj razloži: »Če želite poiskati vrednost izraza, ki nima oklepajev in vsebuje operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, je treba izvesti po vrstnem redu (od leve proti desni) najprej operacije množenja in deljenje, nato pa (tudi od leve proti desni) seštevanje in odštevanje. V tem izrazu morate najprej deliti 10 z 2, nato pa rezultat 5 odšteti od 40. Vrednost izraza je 35.

Osnovnošolci se pravzaprav seznanijo z identičnimi transformacijami izrazov.

Identično preoblikovanje izrazov je zamenjava danega izraza z drugim, katerega vrednost je enaka vrednosti danega (izraz in definicija nista podana osnovnošolcem).

S preoblikovanjem izrazov se učenci srečajo od 1. razreda v povezavi s preučevanjem lastnosti računskih operacij. Otroci na primer pri reševanju primerov obrazca 10 + (50 + 3) na priročen način razmišljajo takole: »Primerneje je dodati desetice z deseticami in rezultatu 60 dodati 3 enote. Zapisal bom: 10 (50 + 3) \u003d (10 + 50) + 3 \u003d 63.

Ko opravijo nalogo, pri kateri je treba izpolniti vpis: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3 ..., otroci razložijo: »Na levi strani se vsota števil 10 in 7 pomnoži z številka 3, na desni se prvi člen 10 te vsote pomnoži s številom 3; da se ohrani predznak »enako« je treba tudi drugi člen 7 pomnožiti s številom 3 in dodati nastale produkte. Zapisal bom takole: (10 + 7) 3 = 10 3 + 7 3.

Pri preoblikovanju izrazov učenci včasih naredijo napake v obliki (10 + 4) 3 = - 10 3 + 4. Razlog za tovrstne napake je povezan z napačno uporabo predhodno pridobljenega znanja (v tem primeru z uporabo pravila dodajanje števila k vsoti pri reševanju primera, v katerem je treba vsoto pomnožiti s številom). Da preprečite takšne napake, lahko študentom ponudite naslednje naloge:

a) Primerjaj izraze, zapisane na levi strani enakosti. V čem so si podobni, v čem se razlikujejo? Pojasnite, kako ste izračunali njihove vrednosti:

(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17

(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42

b) Izpolnite vrzeli in poiščite rezultat:

(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + ð); (20 + 3) 5 = 20 ð + 3 ð.

c) Primerjaj izraze in mednje postavi znak >,< или =:

(30 + 4) + 2 ... 30 + (4 + 2); (30 + 4) + 2 ... 30 2 + 4 2.

d) Z izračunom preveri, ali držijo naslednje enakosti:

8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3; 30 + (5 + 7) = 30 + 7.

Dobesedni izrazi

V osnovnih razredih je predvidena - v tesni povezavi s študijem številčenja in računskih operacij - pripravljalna dela za odkrivanje pomena spremenljivke. V ta namen učbeniki matematike vključujejo vaje, pri katerih je spremenljivka označena z »oknom«. Na primer, ð< 3, 6 < ð, ð + 2 = 5 и др.

Tukaj je pomembno spodbuditi študente, da poskušajo v "oknu" zamenjati ne eno, ampak več številk zaporedoma, pri čemer vsakič preverijo, ali je vnos pravilen.

Tako je v primeru ð< 3 в «окошко» можно подставить числа 0, 1, 2,; в случае 6 < ð - числа 7, 8, 9, 10, 20 и др.; в случае ð + 2 = 5 можно подставить только число 3.

Da bi poenostavili učni načrt matematike za osnovne razrede in zagotovili njegovo dostopnost, se črkovni simboli kot sredstvo za posploševanje aritmetičnega znanja ne uporabljajo. Vse črkovne oznake se nadomestijo z besednimi formulacijami.

Na primer, namesto nastavitve

Naloga je predlagana v naslednji obliki: »Povečaj število 3 za 4-krat; 5-krat; 6-krat; ...".

Enakosti in neenakosti

Seznanjanje osnovnošolcev z enakostmi in neenakostmi je povezano z reševanjem naslednjih nalog:

Naučiti se vzpostaviti razmerje »večje od«, »manj kot« ali »enako« med izrazi in zapisati rezultate primerjave z znakom;

Metodologija oblikovanja predstav o številčnih enakostih in neenakostih pri mlajših šolarjih predvideva naslednje stopnje dela.

Na prvi stopnji, najprej v šolskem tednu, prvošolci izvajajo vaje za primerjavo sklopov predmetov. Tukaj je najbolj smotrno uporabiti metodo vzpostavitve medsebojne korespondence. Na tej stopnji rezultati primerjave še niso zapisani z ustreznimi predznaki razmerja.

Na II. stopnji učenci primerjajo števila, pri čemer se najprej zanašajo na vidnost predmeta, nato pa na tisto lastnost števil v naravnem nizu, po kateri je od dveh različnih števil večje število, ki se pri štetju pokliče pozneje, in število je manjši, kar se imenuje prej. Tako vzpostavljene odnose otroci beležijo s pomočjo ustreznih znakov. Na primer, 3 > 2, 2< 3. В дальнейшем при изучении нумерации (в концентрах «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа») для сравнения чисел полезно применять два способа, а именно устанавливать отношения между числами: 1) по месту их расположения в натуральном ряду; 2) на основе сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высших разрядов. Например, 826 < 829, так как сотен и десятков в этих числах поровну, а единиц в первом числе меньше, чем во втором.

Primerjate lahko tudi vrednosti: 4 dm 5 cm > 4 dm 3 cm, saj je decimetrov več kot v drugi. Poleg tega je mogoče vrednosti najprej izraziti v enotah ene mere in šele nato primerjati: 45 cm > 43 cm.

Podobne vaje uvajamo že pri preučevanju seštevanja in odštevanja znotraj 10. Koristno jih je izvajati na podlagi jasnosti, na primer: učenci na mizi na levi razporedijo štiri kroge, na desni pa štiri trikotnike. Izkazalo se je, da so številke enako razdeljene - po štiri. Zapišejo enakost: 4 = 4. Nato otroci številkam na levi dodajo en krog in zapišejo vsoto 4 + 1. Na levi je več številk kot na desni, kar pomeni 4 + 1\ u003e 4.

S tehniko enačbe se učenci premikajo od neenakosti k enakosti. Na primer, 3 gobe in 4 veverice so postavljene na zbirno platno. Če želite gobe in veverice narediti enako, lahko: 1) dodate eno gobo (takrat bodo 3 gobe in 3 veverice).

Na sestavnem platnu je 5 avtomobilov in 5 tovornjakov. Če želite imeti več avtomobilov kot drugih, lahko: 1) odstranite en (dva, tri) avtomobile (avtomobili ali tovornjaki) ali 2) dodate en (dva, tri) avtomobile.

Postopoma pri primerjavi izrazov otroci preidejo od zanašanja na vizualizacijo k primerjavi njihovih pomenov. Ta metoda je glavna v osnovnih razredih. Pri primerjavi izrazov se učenci lahko zanesejo tudi na znanje: a) razmerje med sestavinami in rezultatom računske operacije: 20 + 5 * 20 + 6 (na levi je zapisana vsota števil 20 in 5, vsota od števil 20 in 6 na desni. Prvi člen teh vsot je enak , drugi seštevek na levi je manjši od drugega seštevka na desni, zato je vsota na levi manjša od vsote na desni : 20 + 5< 20 + 6); б) отношение между результатами и компонентами арифметических действий: 15 + 2 * 15 (слева и справа сначала было поровну – по 15. Затем к 15 прибавили 2, стало больше, чем 15); в) смысла действия умножения: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 * 5 · 3 (слева число 5 взяли слагаемым 5 раз, справа число 5 взяли слагаемым 3 раза, значит, сумма слева будет больше, чем справа: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 >5 + 5 + 5); d) lastnosti aritmetičnih operacij: (5 + 2) 3 * 5 3 + 2 3 (na levi se vsota števil 5 in 2 pomnoži s številom 3, na desni pa zmnožek vsakega člena s najdemo in dodamo število 3. Torej lahko namesto zvezdice postavite znak enakosti: (5 + 2) 3 = 5 3 + 2 3).

V teh primerih se vrednotenje vrednosti izrazov uporablja za preverjanje pravilnosti znaka. Za zapis neenakosti s spremenljivko v osnovnih razredih se uporablja »okno«: 2 > ð, ð = 5, ð > 3.

Koristno je izvajati prve tovrstne vaje na podlagi številčne serije, pri čemer učenci opazijo, da je število 2 večje od ena in nič, zato lahko številki 0 in 1 nadomestimo v »okno« (2> ð) (2> 0, 2> 1).

Podobno se izvajajo tudi druge vaje z oknom.

Glavni način pri obravnavanju neenakosti s spremenljivko je izbirna metoda.

Za olajšanje vrednosti spremenljivke v neenakostih je predlagano, da jih izberete iz določene serije številk. Predlagate lahko na primer, da zapišete tiste številke iz serije 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, za katere je zapis ð - 7 pravilen< 5.

Ko opravi to nalogo, lahko učenec razmišlja takole: »Nadomestimo številko 7 v »okno«: 7 minus 7 bo 0, 0 je manjše od 5, zato je številka 7 primerna. Če v "okno" nadomestite številko 8:8 minus 7, bo 1, 1 je manjša od 5, kar pomeni, da je primerna tudi številka 8 ... V "okno" zamenjajte številko 12: 12 minus 7 bo 5, 5 manj kot 5 je napačno, potem številka 12 ni primerna. Za pisanje ð - 7< 5 была верной, в «окошко» можно подставить любое из чисел 7, 8, 9, 10, 11».

Enačbe

Na koncu 3. razreda se otroci seznanijo z najpreprostejšimi enačbami v obliki: X+8 =15; 5+X=12; X–9 =4; 13–X=6; X 7 \u003d 42; 4· X=12; X:8 =7; 72:X=12.

Otrok mora biti sposoben reševati enačbe na dva načina:

1) izbirna metoda (v najpreprostejših primerih); 2) na način, ki temelji na uporabi pravil za iskanje neznanih komponent računskih operacij. Tukaj je primer pisanja rešitve enačbe skupaj s preverjanjem in otrokovim sklepanjem pri reševanju:

X – 9 = 4 X = 4 + 9 X = 13

13 – 9 = 4 4 = 4

"V enačbi X– 9 = 4 x stoji na mestu zmanjšanega. Če želite najti neznani minuend, morate razliki dodati odštevek ( X\u003d 4 + 9.) Preverimo: od 13 odštejemo 9, dobimo 4. Dobili smo pravilno enakost 4 \u003d 4, kar pomeni, da je bila enačba pravilno rešena.

V 4. razredu lahko otroka s pisanjem enačbe seznanimo z reševanjem preprostih nalog.

Pošljite svoje dobro delo v bazo znanja je preprosto. Uporabite spodnji obrazec

Študentje, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki uporabljajo bazo znanja pri študiju in delu, vam bodo zelo hvaležni.

Gostuje na http://www.allbest.ru/

UVOD

ZAKLJUČEK

BIBLIOGRAFIJA

Uvod

V vsakem sodobnem sistemu splošnega izobraževanja matematika zavzema eno od osrednjih mest, kar nedvomno kaže na edinstvenost tega področja znanja.

Izjemni ruski matematik A.N. Kolmogorov je zapisal: "Matematika ni samo eden od jezikov. Matematika je jezik in sklepanje, je kot jezik in logika skupaj. Matematika je orodje za razmišljanje. Koncentrira rezultate natančnega mišljenja mnogih ljudi. S pomočjo matematike je mogoče eno sklepanje povezati z drugim Očitna zapletenost narave z njenimi čudnimi zakoni in pravili, od katerih vsaka priznava ločeno zelo podrobno razlago so v resnici tesno povezani. Če pa ne želite uporabljati matematike, potem v tej ogromni raznolikosti dejstev ne boste videli, da logika omogoča premikanje od enega do drugega.

Tako nam matematika omogoča oblikovanje določenih oblik mišljenja, ki so potrebne za preučevanje sveta okoli nas.

Kakšen je vpliv matematike nasploh in še posebej šolske matematike na vzgojo ustvarjalnega človeka? Poučevanje umetnosti reševanja problemov pri pouku matematike nam daje izjemno ugodno priložnost za oblikovanje določene miselnosti pri učencih. Potreba po raziskovanju razvija zanimanje za vzorce, uči videti lepoto in harmonijo človeške misli. Vse to je po našem mnenju najpomembnejši element skupne kulture. Pomemben vpliv ima predmet matematike na oblikovanje različnih oblik mišljenja: logičnega, prostorsko-geometrijskega, algoritemskega. Vsak ustvarjalni proces se začne z oblikovanjem hipoteze. Matematika nas ob primerni organizaciji izobraževanja kot dobra šola za konstruiranje in preverjanje hipotez uči primerjati različne hipoteze, iskati najboljšo možnost, postavljati nove naloge in iskati načine za njihovo reševanje. Med drugim razvija tudi navado metodičnega dela, brez katerega si ni mogoče zamisliti nobenega ustvarjalnega procesa. Z maksimiranjem možnosti človeškega mišljenja je matematika njen najvišji dosežek. Človeku pomaga pri samozavedanju in oblikovanju njegovega značaja. To je le majhen del velikega seznama razlogov, zakaj naj bi matematično znanje postalo sestavni del splošne kulture in nepogrešljiv element pri vzgoji in izobraževanju otroka. Predmet matematike (brez geometrije) v naši 10-letni šoli je pravzaprav razdeljen na tri glavne dele: aritmetiko (I-V razredi), algebro (VI-VIII razred) in elemente analize (IX-X razred). Kaj je podlaga za takšno razdelitev? Seveda ima vsak od teh delov svojo posebno "tehnologijo".

Tako je v aritmetiki na primer povezan z izračuni, opravljenimi na večvrednostnih številih, v algebri - z enakimi transformacijami, logaritmom, v analizi - z diferenciacijo itd. Kateri pa so globlji temelji, povezani s konceptualno vsebino posameznega dela? Naslednje vprašanje se nanaša na razloge za razlikovanje med šolsko aritmetiko in algebro (t.j. prvi in drugi del predmeta). Aritmetika vključuje preučevanje naravnih števil (pozitivna cela števila) in ulomkov (prah in decimalnih). Posebna analiza pa kaže, da je kombinacija teh vrst številk pri enem šolskem predmetu nezakonita.

Dejstvo je, da imajo te številke različne funkcije: prve so povezane s štetjem predmetov, druge z merjenjem količin. Ta okoliščina je zelo pomembna za razumevanje dejstva, da so ulomna (racionalna) števila le poseben primer realnih števil.

Z vidika merjenja veličin, kot ugotavlja A.N. Kolmogorov, "med racionalnimi in iracionalnimi realnimi števili ni tako globoke razlike. Iz pedagoških razlogov se dolgo časa zadržujejo pri racionalnih številkah, saj jih je enostavno zapisati v obliki ulomkov; vendar je uporaba, ki se uporablja za že od vsega začetka bi morale takoj pripeljati do resničnih številk v vsej svoji splošnosti.

A.N. Kolmogorov je menil, da je upravičen tako z vidika zgodovine razvoja matematike kot v bistvu predlog A. Lebesguea, da se v poučevanju po naravnih številih takoj premakne na izvor in logično naravo realnih števil. Hkrati, kot ugotavlja A.N. Kolmogorov, "pristop k konstrukciji racionalnih in realnih števil z vidika merjenja veličin ni nič manj znanstven kot na primer uvedba racionalnih števil v obliki "parov". Za šolo ima nesporna prednost" (.

Tako na podlagi naravnih (celih) števil obstaja realna možnost, da se takoj oblikuje »najsplošnejši pojem števila« (po terminologiji A. Lebesguea), pojem realnega števila. Toda z vidika konstrukcije programa to pomeni nič več, nič manj kot odpravo aritmetike ulomkov v njeni šolski interpretaciji. Prehod iz celih števil v realna števila je prehod iz aritmetike v »algebro«, k ustvarjanju temeljev za analizo. Te ideje, izražene pred več kot 20 leti, so še danes aktualne.

1. Splošni teoretični vidiki študija algebraične snovi v osnovni šoli

algebraična šolska primerjalna matematika

1.1 Izkušnje pri uvajanju elementov algebre v osnovni šoli

Vsebina predmeta je, kot veste, odvisna od številnih dejavnikov - od življenjskih zahtev po znanju študentov, od ravni ustreznih znanosti, od duševnih in telesnih starostnih zmožnosti otrok itd. Pravilno upoštevanje teh dejavnikov je bistven pogoj za najučinkovitejše poučevanje šolarjev, ki širijo njihove kognitivne sposobnosti. Toda včasih ta pogoj iz enega ali drugega razloga ni izpolnjen. V tem primeru poučevanje ne daje želenega učinka tako v zvezi z asimilacijo obsega potrebnega znanja s strani otrok kot v zvezi z razvojem njihovega intelekta.

Zdi se, da trenutno programi poučevanja nekaterih predmetov, zlasti matematike, ne ustrezajo novim zahtevam življenja, stopnji razvoja sodobnih znanosti (na primer matematike) in novim podatkom razvojne psihologije in logike. Ta okoliščina narekuje potrebo po celoviti teoretični in eksperimentalni preveritvi možnih projektov za nove vsebine izobraževalnih predmetov.

Temelji matematičnega znanja so postavljeni v osnovni šoli. Toda na žalost sami matematiki, pa tudi metodologi in psihologi, posvečajo zelo malo pozornosti vsebini osnovne matematike. Dovolj je reči, da je učni načrt matematike v osnovni šoli (I-IV razred) v svojih glavnih značilnostih nastal pred 50-60 leti in seveda odraža sistem matematičnih, metodoloških in psiholoških idej tistega časa.

Razmislite o značilnostih državnega standarda za matematiko v osnovni šoli. Njegova glavna vsebina so cela števila in operacije z njimi, ki se preučujejo v določenem zaporedju. Najprej se preučujejo štiri dejanja v meji 10 in 20, nato - ustni izračuni v meji 100, ustni in pisni izračuni v meji 1000 in končno v meji milijonov in milijard. V IV razredu se preučujejo nekatera razmerja med podatki in rezultati računskih operacij ter enostavni ulomki. Poleg tega program vključuje študij metričnih mer in časovnih mer, osvajanje sposobnosti njihove uporabe za merjenje, poznavanje nekaterih elementov vizualne geometrije - risanje pravokotnika in kvadrata, merjenje segmentov, površin pravokotnika in kvadrat, izračun prostornine.

Študentje naj pridobljeno znanje in veščine uporabijo pri reševanju problemov in izvajanju enostavnih izračunov. Skozi celoten tečaj se reševanje problemov izvaja vzporedno s preučevanjem številk in dejanj - za to je namenjena polovica ustreznega časa. Reševanje problemov pomaga učencem razumeti poseben pomen dejanj, razumeti različne primere njihove uporabe, vzpostaviti razmerje med količinami in pridobiti osnovne veščine analize in sinteze.

Od I do IV razreda otroci rešujejo naslednje glavne vrste nalog (enostavne in sestavljene): iskanje vsote in preostanka, produkta in količnika, povečevanje in zmanjševanje teh števil, razlika in večkratna primerjava, preprosto trojno pravilo, sorazmerno deljenje, iskanje neznano z dvema razlikama, izračun aritmetične sredine in nekatere druge vrste nalog.

Otroci se pri reševanju problemov srečujejo z različnimi vrstami odvisnosti količin. Je pa zelo značilno – učenci pričnejo z nalogami po in med preučevanjem številk; glavna stvar, ki je potrebna pri reševanju, je najti številčni odgovor. Otroci z velikimi težavami razkrivajo lastnosti kvantitativnih odnosov v specifičnih, zasebnih situacijah, ki se običajno štejejo za aritmetične težave. Praksa kaže, da manipulacija s številkami pogosto nadomešča dejansko analizo pogojev problema z vidika odvisnosti realnih količin. Naloge, ki jih uvajamo v učbenike, poleg tega ne predstavljajo sistema, v katerem bi bile bolj "kompleksne" situacije povezane z "globljimi" plastmi kvantitativnih razmerij. Težave enake težavnosti najdemo tako na začetku kot na koncu učbenika. Spreminjajo se iz oddelka v odsek in iz razreda v razred glede na kompleksnost zapleta (število dejanj se poveča), glede na rang številk (od deset do milijarde), glede na kompleksnost fizičnih odvisnosti (od porazdelitve naloge na naloge o gibanju) in druge parametre. Samo en parameter - poglabljanje v sistem ustreznih matematičnih zakonov - se v njih kaže šibko, nerazločno. Zato je zelo težko določiti merilo za matematično težavnost določenega problema. Zakaj sta nalogi iskanja neznanega po dveh razlikah in iskanja aritmetične sredine (III. ocena) težji od nalogi razlike in večkratnih primerjav (II. ocena)? Metodologija ne daje prepričljivega in logičnega odgovora na to vprašanje.

Zdi se, da bi morala kritična analiza sprejetega programa iz aritmetike temeljiti na naslednjih določilih:

Koncept števila ni identičen konceptu kvantitativnih značilnosti predmetov;

Število ni izvirna oblika kvantitativnih razmerij.

Značilno je, da so določene vrste števil in številske odvisnosti podane le kot primeri, ilustracije lastnosti množic, ne pa kot njihova edina možna in edina obstoječa izrazna oblika. Nadalje je treba omeniti, da je veliko ilustracij posameznih matematičnih definicij podanih v grafični obliki, preko razmerja segmentov, območij. Vse osnovne lastnosti množic in veličin je mogoče izpeljati in utemeljiti brez vključevanja numeričnih sistemov; poleg tega slednji sami dobijo utemeljitev na podlagi splošnih matematičnih konceptov.

Po drugi strani pa številna opažanja psihologov in pedagogov kažejo, da se kvantitativne predstave pri otrocih pojavijo že veliko preden pridobijo znanje o številkah in metodah delovanja z njimi. Res je, obstaja težnja, da se te predstavitve pripišejo kategoriji "predmatematičnih formacij" (kar je povsem naravno za tradicionalne metode, ki identificirajo kvantitativno značilnost predmeta s številko), vendar to ne spremeni njihove bistvene funkcije. v otrokovi splošni orientaciji v lastnostih stvari. In včasih se zgodi, da je globina teh domnevno »predmatematičnih formacij« bolj bistvena za razvoj otrokovega lastnega matematičnega mišljenja kot poznavanje zapletenosti računalniške tehnologije in sposobnost iskanja zgolj številčnih odvisnosti. Omeniti velja, da je akad. A.N. Kolmogorov, ki označuje značilnosti matematične ustvarjalnosti, posebej opozarja na naslednjo okoliščino: »Večina matematičnih odkritij temelji na neki preprosti ideji: vizualna geometrijska konstrukcija, nova elementarna neenakost itd. To preprosto idejo je treba le pravilno uporabiti. rešiti problem, ki se na prvi pogled zdi nedostopen.

Trenutno so uporabne najrazličnejše zamisli o strukturi in metodah izdelave novega programa. V delo na njegovi konstrukciji je treba vključiti matematike, psihologe, logike in metodologinje. Toda v vseh svojih posebnih različicah se zdi, da mora izpolnjevati naslednje osnovne zahteve:

Premostiti obstoječo vrzel med vsebinami matematike v osnovnih in srednjih šolah;

Podati sistem znanja o osnovnih zakonitostih kvantitativnih razmerij objektivnega sveta; hkrati bi morale lastnosti števil kot posebna oblika izražanja količine postati poseben, vendar ne glavni del programa;

Otrokom privzgojiti tehnike matematičnega razmišljanja in ne le računskih veščin: to vključuje konstrukcijo takšnega sistema nalog, ki temelji na poglabljanju v sfero odvisnosti realnih količin (povezava matematike s fiziko, kemijo, biologija in druge vede, ki preučujejo določene količine);

Odločno poenostavite celotno tehniko izračunavanja in zmanjšajte na minimum delo, ki ga ni mogoče opraviti brez ustreznih tabel, referenčnih knjig in drugih pomožnih (zlasti elektronskih) sredstev.

Pomen teh zahtev je jasen: v osnovni šoli je povsem mogoče poučevati matematiko kot znanost o pravilnosti kvantitativnih razmerij, o odvisnostih količin; Računske tehnike in elementi teorije števil naj postanejo poseben in zaseben del programa.

Izkušnje oblikovanja novega programa matematike in njegovega eksperimentalnega preverjanja, ki se izvajajo od poznih šestdesetih let prejšnjega stoletja, nam že omogočajo, da govorimo o možnostih uvedbe sistematičnega tečaja matematike v šolo od 1. razreda, ki daje znanje o kvantitativnih razmerjih in odvisnosti veličin v algebraični obliki .

1.2 Problem izvora algebraičnih pojmov in njegov pomen za konstrukcijo predmeta

Delitev šolskega tečaja matematike na algebro in aritmetiko je seveda pogojna. Prehod iz enega v drugega je postopen. V šolski praksi je pomen tega prehoda prikrit z dejstvom, da preučevanje ulomkov dejansko poteka brez podrobnega zanašanja na merjenje količin – ulomki so podani kot razmerja parov števil (čeprav je formalno pomembnost merjenja količin priznana v metodoloških priročnikih). Razširjena uvedba ulomnih števil, ki temelji na merjenju količin, neizogibno vodi do koncepta realnega števila. A slednje se navadno ne zgodi, saj študente dolgo časa zadržujejo pri delu z racionalnimi števili in s tem odložijo prehod na "algebro".

Z drugimi besedami, šolska algebra se začne ravno takrat, ko so ustvarjeni pogoji za prehod iz celih številk v realna števila, do izražanja merilnega rezultata kot ulomka (enostavna in decimalna - končna in nato neskončna). Poleg tega je začetno lahko seznanitev z delovanjem merjenja, pridobivanje končnih decimalnih ulomkov in preučevanje dejanj na njih. Če učenci to obliko zapisovanja meritvenega rezultata že poznajo, potem je to predpogoj za "metenje" ideje, da je število mogoče izraziti tudi kot neskončni ulomek. In ta predpogoj je priporočljivo ustvariti že v osnovni šoli.

Če se pojem ulomnega (racionalnega) števila odstrani iz pristojnosti šolske aritmetike, bo meja med njim in "algebro" potekala vzdolž črte razlike med celimi in realnimi števili. Prav to "razreže" tečaj matematike na dva dela. To ni preprosta razlika, ampak temeljni "dualizem" virov – računov in meritev.

Po Lebesgueovih zamislih glede »splošnega pojma števila« je mogoče zagotoviti popolno enotnost pri pouku matematike, vendar šele od trenutka in po tem, ko se otroci seznanijo s štetjem in celimi (naravnimi) števili. Seveda so pogoji tega predhodnega seznanitve lahko različni (v tradicionalnih programih za osnovno šolo so očitno zakasnjeni), elementi praktičnih meritev se lahko vnesejo celo v tečaj osnovne aritmetike (ki poteka v programu), - vendar , vse to ne odpravlja razlike med osnovami aritmetike in "Algebro" kot akademskimi predmeti. "Dualizem" izhodišč preprečuje tudi odseke, ki se nanašajo na merjenje količin in prehod na realne ulomke, da bi se pri aritmetiki zares "ukoreninili". Avtorji programov in metodologinja si prizadevajo za ohranjanje stabilnosti in »čistosti« aritmetike kot šolskega predmeta. Ta razlika v virih je glavni razlog za poučevanje matematike po shemi – najprej aritmetika (celo število), nato »algebra« (realno število).

Ta shema se zdi povsem naravna in neomajna, poleg tega je upravičena z dolgoletno prakso pri poučevanju matematike. Toda obstajajo okoliščine, ki z logično-psihološkega vidika zahtevajo temeljitejšo analizo legitimnosti te toge učne sheme.

Dejstvo je, da se kljub vsem razlikam med temi vrstami številk nanašajo prav na številke, t.j. na posebno obliko prikaza kvantitativnih razmerij. Pripadnost celega in realnega števila »številom« služi kot osnova za domnevo o genetski izpeljanosti in samih razlikah v štetju in merjenju: imajo poseben in en sam vir, ki ustreza sami obliki števila.

Poznavanje značilnosti te enotne osnove za štetje in merjenje bo omogočilo jasnejšo predstavitev pogojev njihovega nastanka na eni strani in razmerja na drugi strani.

Na kaj se obrniti, da bi našli skupni koren razvejanega drevesa števil? Zdi se, da je najprej treba analizirati vsebino koncepta velikosti. Res je, s tem izrazom je takoj povezan še en izraz - merjenje. Vendar legitimnost takšne povezave ne izključuje določene neodvisnosti pomena "vrednosti". Upoštevanje tega vidika nam omogoča sklepe, ki na eni strani združujejo merjenje z računom, na drugi strani pa operiranje s številkami z nekaterimi splošnimi matematičnimi razmerji in vzorci.

Torej, kaj je "vrednost" in kakšen je njen interes pri gradnji začetnih oddelkov šolske matematike? V običajni rabi je izraz "vrednost" povezan s pojmi "enako", "več", "manj", ki opisujejo različne lastnosti (dolžina in gostota, temperatura in belina). V.F. Kagan postavlja vprašanje, katere skupne lastnosti imajo ti koncepti. Pokaže, da se nanašajo na agregate - množice homogenih predmetov, katerih primerjava elementov nam omogoča uporabo izrazov "večji", "enako", "manj" (na primer za agregate vseh ravnih odsekov, uteži, hitrosti itd.).

Nabor predmetov se pretvori v količino šele, ko so vzpostavljeni kriteriji, ki omogočajo, da glede na katerega koli od njegovih elementov A in B ugotovimo, ali bo A enako B, večje od B ali manjše od B. čas, za katera koli dva elementa A in B, eno in samo eno od razmerij: A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan razlikuje naslednjih osem osnovnih lastnosti pojmov "enako", "večje", "manj": .

1) Velja vsaj eno od naslednjih razmerij: A=B, A>B, A<В.

2) Če relacija A = B drži, potem relacija A ne drži<В.

3) Če relacija A=B drži, potem relacija A>B ne drži.

4) Če A=B in B=C, potem A=C.

5) Če A>B in B>C, potem A>C.

6) Če A<В и В<С, то А<С.

7) Enakost je reverzibilna relacija: relacija A=B vedno implicira relacijo B=A.

8) Enakost je vzajemna relacija: ne glede na element A obravnavane množice je A=A.

Prvi trije stavki označujejo disjunkcijo osnovnih odnosov "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

trije elementi A, B in C. Naslednji stavki 7 - 8 označujejo samo enakost – njeno inverzibilnost in ponavljanje (ali refleksivnost). V. F. Kagan teh osem osnovnih določil imenuje postulati primerjave, na podlagi katerih je mogoče izpeljati številne druge lastnosti količine.

Te izhodne lastnosti V.F. Kagan opisuje v obliki osmih izrekov:

I. Relacija A>B izključuje relacijo B>A (A<В исключает В<А).

II. Če A>B, potem B<А (если А<В, то В>AMPAK).

III. Če A>B drži, potem A ne drži.

IV. Če je A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, potem je A1=An.

V. Če A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, potem A1>An.

VI. Če A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Če A=C in B=C, potem A=B.

VIII. Če obstaja enakost ali neenakost A \u003d B, ali A\u003e B, ali A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B in A=C, nato C>B itd.).

Primerjalni postulati in izreki, poudarja V.F. Kagan, "izčrpane so vse tiste lastnosti pojmov "enako", "več" in "manj", ki so v matematiki povezani z njimi in najdejo uporabo zase ne glede na posamezne lastnosti množice, na katere elemente jih apliciramo. v različnih posebnih primerih.

Lastnosti, navedene v postulatih in izrekih, lahko označujejo ne le tiste neposredne lastnosti predmetov, ki smo jih navajeni povezovati z "enako", "večje", "manj", ampak tudi s številnimi drugimi lastnostmi (na primer, lahko označujejo razmerje "prednik - potomec"). To nam omogoča, da pri njihovem opisovanju zavzamemo splošno stališče in na primer z vidika teh postulatov in izrekov razmislimo o vseh treh vrstah razmerij "alfa", "beta", "gama" (v tem primeru , je mogoče ugotoviti, ali te relacije izpolnjujejo postulate in izreke in pod kakšnimi pogoji).

S tega vidika lahko na primer obravnavamo takšno lastnost stvari, kot so trdota (trša, mehkejša, enaka trdota), zaporedje dogodkov v času (sledenje, prednost, simultanost) itd. V vseh teh primerih dobijo razmerja "alfa", "beta", "gama" svojo specifično razlago. Naloga, povezana z izbiro takšnega nabora teles, ki bi imela te odnose, pa tudi z identifikacijo znakov, s katerimi bi lahko označili "alfa", "beta", "gama" - to je naloga določanja primerjave. meril v tem nizu teles (praktično, v nekaterih primerih ga ni enostavno rešiti). »Z vzpostavitvijo meril za primerjavo množico spremenimo v vrednost,« je zapisal V.F. Kagan. Realne predmete je mogoče obravnavati z vidika različnih kriterijev. Tako lahko skupino ljudi obravnavamo po takem merilu, kot je zaporedje trenutkov rojstva vsakega od njenih članov. Drugo merilo je relativni položaj, ki ga bodo zavzele glave teh ljudi, če bodo postavljene drug ob drugem na isto vodoravno ravnino. V vsakem primeru bo skupina prevedena v vrednost, ki ima ustrezno ime - starost, višina. V praksi se vrednost običajno tako rekoč ne označuje s samim naborom elementov, temveč z novim konceptom, uvedenim za razlikovanje med primerjalnimi merili (ime vrednosti). Tako nastanejo pojmi "prostornina", "teža", "električna napetost" itd. "Hkrati je za matematika vrednost povsem določena, ko je naveden nabor elementov in primerjalnih meril," je dejal V.F. Kagan.

Pri delu s količinami (priporočljivo je, da njihove posamezne vrednosti določite s črkami), je mogoče izdelati zapleten sistem transformacij, vzpostaviti odvisnosti njihovih lastnosti, preiti od enakosti k neenakosti, izvajati seštevanje (in odštevanje) in pri seštevanju se lahko vodimo po komutativnih in asociativnih lastnostih. Torej, če je dano razmerje A=B, se lahko pri "reševanju" problemov vodi razmerje B=A. V drugem primeru lahko ob prisotnosti razmerij A>B, B=C sklepamo, da je A>C. Ker za a>b obstaja c, tako da je a=b+c, lahko najdemo razliko med a in b (a-b=c) itd.

Vse te transformacije je mogoče izvesti na fizična telesa in druge objekte z določitvijo meril za primerjavo in skladnost izbranih razmerij s postulati primerjave.

Zgornji materiali nam omogočajo sklepanje, da sta tako naravna kot realna števila enako močno povezana s količinami in nekaterimi njihovimi bistvenimi lastnostmi. Ali je mogoče te in druge lastnosti narediti predmet posebnega preučevanja otroka, še preden se uvede številčna oblika za opis razmerja velikosti? Služijo lahko kot predpogoj za kasnejšo podrobno uvajanje števila in njegovih različnih vrst, predvsem za propedevtiko ulomkov, pojmov koordinat, funkcij in drugih pojmov že v nižjih razredih.

Kakšna bi lahko bila vsebina tega začetnega razdelka? To je seznanitev s fizičnimi predmeti, merili za njihovo primerjavo, poudarjanje vrednosti kot predmet matematičnega premisleka, poznavanje metod primerjave in znakovnih sredstev za fiksiranje njenih rezultatov, z metodami za analizo splošnih lastnosti veličin. Te vsebine je treba razširiti v razmeroma podroben program poučevanja in, kar je najpomembnejše, povezati s tistimi otrokovimi dejanji, s katerimi lahko obvlada te vsebine (seveda v ustrezni obliki). Hkrati je treba eksperimentalno, eksperimentalno ugotoviti, ali lahko otroci, stari 7 let, obvladajo ta program in kakšna je smotrnost njegove uvedbe za nadaljnje poučevanje matematike v osnovnih razredih v smeri konvergence aritmetike in elementarna algebra.

Doslej so bile naše razprave teoretične narave in so bile usmerjene v razjasnitev matematičnih predpogojev za izgradnjo takšnega začetnega dela predmeta, ki bi otroke seznanil z osnovnimi algebrskimi pojmi (pred posebnim uvedbo števila). Glavne lastnosti, ki označujejo količine, so bile opisane zgoraj. Seveda je za otroke, stare 7 let, nesmiselno brati "predavanja" o teh lastnostih.

Treba je bilo najti takšno obliko otroškega dela z didaktičnim materialom, s pomočjo katerega bi lahko po eni strani prepoznali te lastnosti v stvareh okoli sebe, po drugi strani pa bi se jih naučili fiksirati z določeno simboliko in ravnanjem. osnovna matematična analiza poudarjenih razmerij.

V zvezi s tem bi moral program vsebovati, prvič, navedbo tistih lastnosti predmeta, ki jih je treba obvladati, drugič, opis didaktičnega gradiva, tretjič, in to je glavna stvar s psihološkega vidika, značilnosti tistih dejanj, s katerimi otrok prepozna določene lastnosti predmeta in jih obvlada. Te "komponente" tvorijo učni program v pravem pomenu besede. Posebnosti tega hipotetičnega programa in njegovih »komponent« je smiselno opisati pri opisu samega učnega procesa in njegovih rezultatov.

Tukaj je diagram tega programa in njegovih glavnih tem.

Tema I. Izenačenje in pridobivanje predmetov (po dolžini, prostornini, masi, sestavi delov in drugih parametrih).

Praktične naloge za izravnavo in pobiranje. Izolacija znakov (kriterij), po katerih je mogoče enake objekte izenačiti ali dopolniti. Verbalna oznaka teh znakov ("po dolžini", po teži" itd.).

Te naloge v procesu dela z didaktičnim materialom (letve, uteži ipd.) rešujejo:

Izbira "istega" predmeta,

Reprodukcija (konstrukcija) "istega" objekta po izbranem (določenem) parametru.

Tema II. Primerjava objektov in fiksiranje njenih rezultatov s formulo enakost-neenakost.

1. Naloge za primerjavo predmetov in simbolno označevanje rezultatov tega dejanja.

2. Verbalna fiksacija rezultatov primerjave (izrazi "večji od", "manj kot", "enako"). Črke ">", "<", "=".

3. Označevanje primerjalnega rezultata z risbo ("kopiranje", nato pa "povzetek" - črte).

4. Označevanje primerjanih predmetov s črkami. Zapis primerjalnega rezultata s formulami: A=B; AMPAK<Б, А>B. Črka kot znak, ki fiksira neposredno dano, določeno vrednost predmeta glede na izbrani parameter (po teži, prostornini itd.).

5. Nemožnost fiksiranja primerjalnega rezultata z različnimi formulami. Izbira posebne formule za dani rezultat (polna disjunkcija relacije večje od - manj kot - enako).

Tema III. Lastnosti enakosti in neenakosti.

1. Reverzibilnost in refleksivnost enakosti (če je A=B, potem B=A; A=A).

2. Povezava razmerij "večje kot" in "manj kot" v neenakostih s "permutacijami" primerjanih stranic (če A>B, potem B<А и т.п.).

3. Tranzitivnost kot lastnost enakosti in neenakosti:

če A=B, če A>B, če A<Б,

a B=C, a B>C, a B<В,

potem A=B; potem A>B; potem A<В.

4. Prehod z dela s predmetnim didaktičnim gradivom na ocenjevanje lastnosti enakosti-neenakosti ob prisotnosti le dobesednih formul. Reševanje različnih problemov, ki zahtevajo poznavanje teh lastnosti (na primer reševanje problemov v zvezi s povezovanjem relacij tipa: podano je, da je A>B in B=C; ugotovimo razmerje med A in C).

Tema IV. Operacija seštevanja (odštevanja).

1. Opazovanja sprememb predmetov po enem ali drugem parametru (po prostornini, po teži, po trajanju itd.). Slika povečanja in zmanjšanja z znaki "+" in "-" (plus in minus).

2. Kršitev predhodno uveljavljene enakosti z ustrezno spremembo ene ali druge njene strani. Prehod iz enakosti v neenakost. Pisanje formul, kot so:

če A=B, če A=B,

potem A+K>B; potem A-K<Б.

3. Načini prehoda v novo enakost (njena "obnova" po načelu:

dodajanje "enako" k "enako" daje "enako").

Delo s formulami, kot so:

potem A+K>B, toda A+K=B+K.

4. Reševanje različnih problemov, ki zahtevajo uporabo operacije seštevanja (odštevanja) pri prehodu iz enakosti v neenakost in obratno.

Tema V. Prehod iz neenakosti tipa A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Naloge, ki zahtevajo tak prehod. Potreba po določitvi vrednosti vrednosti, po kateri se primerjani objekti razlikujejo. Možnost zapisa enakosti z neznano specifično vrednostjo te količine. Kako uporabljati x (x).

Pisanje formul, kot so:

če<Б, если А>B,

potem A+x=B; potem A-x=B.

2. Določanje vrednosti x. Zamenjava te vrednosti v formuli (seznanjenost z oklepaji). Vnesite formule

3. Reševanje problemov (vključno z "plot-text"), ki zahtevajo izvedbo teh operacij.

Predmet Vl. Seštevanje-odštevanje enakosti-neenakosti. Zamenjava.

1. Seštevanje-odštevanje enakosti-neenakosti:

če je A=B, če je A>C, če je A>C

in M=D, in K>E, in B=D, potem A+M=B+D; potem A+K>B+E; potem A+-B>C+-D.

2. Možnost predstavitve vrednosti količine kot vsote več vrednosti. Zamenjava vrste:

3. Reševanje najrazličnejših nalog, ki zahtevajo upoštevanje lastnosti odnosov, ki so jih otroci srečali v procesu dela (številne naloge zahtevajo sočasno upoštevanje več lastnosti, hitro pamet pri ocenjevanju pomena formul; opis nalog in rešitve so navedene spodaj).

To je program, zasnovan za 3,5 - 4 mesece. prva polovica leta. Kot kažejo izkušnje eksperimentalnega poučevanja, lahko ob pravilnem načrtovanju pouka, izboljšanju učnih metod in uspešni izbiri didaktičnih pripomočkov vso snov, predstavljeno v programu, otroci v krajšem času (v 3 mesecih) v celoti usvojijo. Kako gre naš program naprej? Najprej se otroci seznanijo z načinom pridobivanja števila, ki izraža razmerje predmeta kot celote (enake vrednosti, predstavljene z neprekinjenim ali diskretnim predmetom) in njegovim delom. To razmerje samo in njegov poseben pomen predstavlja formula A / K \u003d n, kjer je n katero koli celo število, ki najpogosteje izraža razmerje z natančnostjo "ena" (samo s posebnim izborom materiala ali pri štetju samo " kvalitativno" posamezne stvari, lahko dobite popolnoma natančno celo število). Otroci so že od samega začetka »prisiljeni« imeti v mislih, da lahko pri merjenju ali štetju dobimo ostanek, katerega prisotnost je treba posebej določiti. To je prvi korak k nadaljnjemu delu z ulomnim številom. S to obliko pridobivanja števila otrok ni težko napeljati, da opišejo predmet s formulo, kot je A = 5k (če je bilo razmerje enako "5"). Skupaj s prvo formulo odpira možnosti za posebno preučevanje odnosov med predmetom, osnovo (mero) in rezultatom štetja (merjenje), ki služi tudi kot propedevtika za prehod na ulomna števila (zlasti, za razumevanje osnovne lastnosti ulomka). Druga vrstica uvajanja programa, ki je že implementirana v razredu I, je prenos na števila (cela števila) osnovnih lastnosti količine (disjunkcije enakosti-neenakosti, tranzitivnosti, reverzibilnosti) in operacije seštevanja (komutativnost, asociativnost, monotonost, možnost odštevanja). Zlasti pri delu na številski premici lahko otroci hitro spremenijo zaporedje števil v vrednost (na primer, jasno ocenijo njihovo prehodnost z vnosi, kot je 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Spoznavanje nekaterih tako imenovanih »strukturnih« značilnosti enakosti otrokom omogoča, da se razmerja seštevanja in odštevanja lotijo na drugačen način. Tako se pri prehodu iz neenakosti v enakost izvedejo naslednje transformacije: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; poišči razmerje med levim in desnim delom formule pri 8+1-4...6+3-2; v primeru neenakosti ta izraz približajte enakosti (najprej morate postaviti znak "manj" in nato na levo stran dodati "dva").

Tako vam ravnanje s številčno vrsto kot količino omogoča, da na nov način ponovno oblikujete veščine seštevanja-odštevanja (in nato množenja-deljenja).

2.1 Izobraževanje v osnovni šoli glede na srednješolske potrebe

Kot veste, je pri študiju matematike v 5. razredu velik del časa namenjen ponavljanju tistega, kar bi se otroci morali naučiti v osnovni šoli. To ponavljanje v skoraj vseh obstoječih učbenikih traja 1,5 študijskega četrtletja. Ta situacija se ni zgodila po naključju. Njen razlog je nezadovoljstvo srednješolskih učiteljev matematike s pripravo maturantov. Kaj je razlog za to stanje? Za to je bilo analiziranih pet danes najbolj znanih osnovnošolskih učbenikov matematike. To so učbeniki M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.B. Istomina, L.G. Peterson, , , .

Analiza teh učbenikov je razkrila več negativnih vidikov, ki so v večji ali manjši meri prisotni v vsakem od njih in negativno vplivajo na nadaljnje učenje. Najprej je to, da asimilacija snovi v njih v veliki meri temelji na pomnjenju. Osupljiv primer tega je pomnjenje tabele množenja. V osnovni šoli je veliko časa in truda namenjenega pomnjenju. A med poletnimi počitnicami otroci na to pozabijo. Razlog za tako hitro pozabljanje je učenje na pamet. Raziskava L.S. Vygotsky je pokazal, da je smiselno pomnjenje veliko učinkovitejše od mehanskega, kasnejši poskusi pa prepričljivo dokazujejo, da material vstopi v dolgoročni spomin le, če si ga zapomnimo kot rezultat dela, ki ustreza temu materialu.

Način za učinkovito asimilacijo tabele množenja so našli že v 50. letih. Sestoji iz organizacije določenega sistema vaj, pri izvajanju katerih otroci sami sestavijo tabelo za množenje. Vendar ta metoda ni implementirana v nobenem od pregledanih učbenikov.

Druga negativna točka, ki vpliva na nadaljnje izobraževanje, je, da je v veliko primerih predstavitev snovi v osnovnošolskih učbenikih matematike strukturirana tako, da bo treba otroke v prihodnosti ponovno poučevati, to pa je, kot veste, veliko več. težje kot poučevanje. V zvezi s študijem algebraične snovi je primer reševanje enačb v osnovni šoli. V vseh učbenikih reševanje enačb temelji na pravilih za iskanje neznanih sestavin dejanj.

Nekoliko drugače je to storjeno le v učbeniku L.G. Peterson, kjer na primer rešitev enačb za množenje in deljenje temelji na korelaciji komponent enačbe s stranicami in površino pravokotnika in se posledično spušča tudi na pravila, vendar ta so pravila za iskanje stranice ali površine pravokotnika. Medtem se otroci od 6. razreda učijo povsem drugačnega principa reševanja enačb, ki temelji na uporabi enakih transformacij. Ta potreba po ponovnem učenju vodi v dejstvo, da je reševanje enačb za večino otrok precej težaven trenutek.

Pri analizi učbenikov smo naleteli tudi na dejstvo, da pri podajanju snovi v njih pogosto pride do izkrivljanja pojmov. Na primer, formulacija številnih definicij je podana kot implikacije, medtem ko je iz matematične logike znano, da je vsaka definicija enakovredna. Kot ilustracijo lahko navedemo definicijo množenja iz učbenika I.I. Arginskaya: "Če so vsi členi v vsoti enaki drug drugemu, se seštevanje lahko nadomesti z drugim dejanjem - množenjem" . (Vsi členi v vsoti so med seboj enaki. Zato je mogoče seštevanje nadomestiti z množenjem.) Kot lahko vidite, je to implikacija v svoji najčistejši obliki. Takšna formulacija ni le nepismena z vidika matematike, ne le da pri otrocih napačno oblikuje predstavo o tem, kaj je definicija, ampak je tudi zelo škodljiva v prihodnosti, na primer pri konstruiranju množenja. tabelo, avtorji učbenikov uporabljajo zamenjavo produkta z vsoto enakih izrazov, česar pričujoča formulacija ne dopušča. Tako napačno delo s trditvami, zapisanimi v obliki implikacije, pri otrocih tvori napačen stereotip, ki ga bo težko premagati pri pouku geometrije, ko otroci ne bodo čutili razlike med direktno in inverzno trditvijo, med znakom figure. in njeno lastnino. Napaka, ko se pri reševanju problemov uporablja inverzni izrek, medtem ko se dokazuje le neposredni, je zelo pogosta.

Drug primer napačnega oblikovanja pojmov je delo z razmerjem dobesedne enakosti. Na primer, pravila za množenje števila z eno in števila z nič v vseh učbenikih so podana v dobesedni obliki: ax 1 = a in x 0 = 0. Razmerje enakosti, kot veste, je simetrično in zato takšen zapis ne zagotavlja le, da se pri množenju z 1 dobi enako število, ampak tudi, da je vsako število mogoče predstaviti kot zmnožek tega števila in ena. Vendar besedna formulacija, predlagana v učbenikih po črkovnem zapisu, govori le o prvi možnosti.

Tudi vaje na to temo so namenjene samo izdelavi zamenjave produkta števila in ena s tem številom. Vse to ne vodi le do dejstva, da zelo pomembna točka ne postane predmet otrokove zavesti: katero koli število je mogoče zapisati kot izdelek, ki bo v algebri pri delu s polinomi povzročil ustrezne težave, ampak tudi do dejstva da otroci načeloma ne znajo pravilno delati z enakostjo. Na primer, pri delu s formulo razlike kvadratov se otroci praviloma spopadajo z nalogo razgradnje razlike kvadratov na faktorje. Vendar pa tiste naloge, pri katerih je potrebno obratno dejanje, v mnogih primerih povzročajo težave. Druga nazorna ilustracija te ideje je delo z distribucijskim zakonom množenja glede na seštevanje. Tudi tukaj, kljub dobesednemu zapisu zakona, tako njegova besedna formulacija kot sistem vaj razvijata le sposobnost odpiranja oklepajev. Posledično bo izključitev skupnega faktorja iz oklepajev v prihodnosti povzročila velike težave.

Velikokrat v osnovni šoli, tudi če je definicija ali pravilo pravilno oblikovano, poučevanje spodbuja zanašanje ne nanje, ampak na nekaj povsem drugega. Na primer, ko preučujete tabelo za množenje z 2, vsi pregledani učbeniki kažejo, kako jo sestaviti. V učbeniku M.I. Moro je naredil takole:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

S tem načinom dela bodo otroci zelo hitro opazili vzorec nastale številske vrste.

Že po 3-4 enakostih bodo prenehali seštevati dvojke in začeli zapisovati rezultat na podlagi opazovanega vzorca. Tako metoda sestavljanja tabele množenja ne bo postala predmet njihove zavesti, kar bo povzročilo njeno krhko asimilacijo.

Pri preučevanju snovi v osnovni šoli se zanašamo na objektivna dejanja in ilustrativno jasnost, kar vodi k oblikovanju empiričnega mišljenja. Seveda brez takšne prepoznavnosti v osnovni šoli skoraj ne gre. Vendar naj služi le kot ilustracija tega ali onega dejstva in ne kot osnova za oblikovanje koncepta.

Uporaba ilustrativne vizualizacije in objektivnih dejanj v učbenikih pogosto vodi v dejstvo, da je sam koncept »zamegljen«. Na primer, v metodologiji matematike za 1-3 razrede M.I. Moreau pravi, da morajo otroci za 30 ur izvajati delitev, zlaganje predmetov na kupe ali risanje. Za takšnimi dejanji se izgubi bistvo operacije delitve kot dejanja, obratnega množenja. Posledično se deljenje nauči z največjimi težavami in veliko slabše od drugih računskih operacij.

Pri poučevanju matematike v osnovni šoli nikjer ne gre za dokazovanje kakršnih koli trditev. Glede na težavnost poučevanja dokazovanja v srednji šoli pa se je treba na to začeti pripravljati že v osnovnih razredih. Poleg tega je to mogoče storiti na gradivu, ki je precej dostopno mlajšim študentom. Tak material so na primer lahko pravila za deljenje števila z 1, ničle s številom in števila samo po sebi. Otroci so jih precej sposobni dokazati z uporabo definicije deljenja in ustreznih pravil množenja.

Je pa možno zagotoviti propedevtiko takšnega dela, otroke naučiti, kako v črkovni izraz nadomestiti številko namesto črke, že v osnovni šoli. To je na primer storjeno v učbeniku L.G. Peterson.

Ko govorimo o pomanjkljivostih poučevanja matematike v osnovni šoli, ki ovirajo nadaljnje učenje, je treba poudariti dejstvo, da se snov v učbenikih pogosto poda brez pogleda, kako bo delovala v prihodnosti. Zelo presenetljiv primer tega je organizacija asimilacije množenja z 10, 100, 1000 itd. V vseh pregledanih učbenikih je predstavitev tega gradiva strukturirana tako, da neizogibno vodi k oblikovanju pravila v glavah otrok: "Če želite število pomnožiti z 10, 100, 1000 itd., potrebujete da mu na desni dodaš toliko ničel, kolikor jih je v 10, 100, 1000 itd." To pravilo je eno tistih, ki se jih zelo dobro naučimo v osnovni šoli. In to vodi do velikega števila napak pri množenju decimalnih ulomkov s celimi bitnimi enotami. Tudi ko so si zapomnili novo pravilo, otroci pogosto samodejno dodajo nič decimalnemu ulomku na desni pri množenju z 10.

Poleg tega je treba opozoriti, da se pri množenju naravnega števila in pri množenju decimskega ulomka s celimi bitnimi enotami dejansko zgodi ista stvar: vsaka številka števila se premakne v desno za ustrezno število števk. Zato nima smisla učiti otrok dveh ločenih in povsem formalnih pravil. Veliko bolj koristno jih je naučiti splošnega načina delovanja pri reševanju tovrstnih nalog.

2.2 Primerjava (opozicija) pojmov pri pouku matematike

Sedanji program predvideva študij v prvem razredu le dveh dejanj prve stopnje - seštevanja in odštevanja. Omejitev prvega letnika študija na samo dve dejanji je v bistvu odstopanje od tega, kar je bilo doseženo že v učbenikih, ki so bili pred sedanjimi: takrat se še noben učitelj ni pritoževal, da množenje in deljenje, recimo, znotraj 20 , učencem prvega razreda ni bilo v moči. Omeniti velja tudi, da v šolah v drugih državah, kjer se izobraževanje začne pri 6. letu starosti, prvo študijsko leto vključuje začetno spoznavanje vseh štirih računskih operacij.

Matematika se naslanja predvsem na štiri dejanja in prej ko bodo vključena v študentovo miselno prakso, bolj stabilen in zanesljiv bo nadaljnji razvoj predmeta matematike.

Pošteno povedano, je treba opozoriti, da so bile v prvih različicah učbenikov M.I.Moro za I. razred zagotovljene množenje in deljenje. Vendar je naključje preprečilo zadevo: avtorji novih programov so se vztrajno držali ene "novosti" - zajemanja v prvem razredu vseh primerov seštevanja in odštevanja znotraj 100 (37 + 58 in 95 - 58 itd.). Ker pa ni bilo dovolj časa za preučevanje tako obsežne količine informacij, je bilo odločeno, da se množenje in deljenje popolnoma prestavi na naslednji letnik študija.

Tako je strast do linearnosti programa, torej zgolj kvantitativnega širjenja znanja (enaka dejanja, vendar z velikim številom), vzela čas, ki je bil prej namenjen za kvalitativno poglabljanje znanja (preučevanje vseh štirih dejanj). v dveh ducatih). Študij množenja in deljenja že v prvem razredu pomeni kvalitativni preskok v razmišljanju, saj omogoča obvladovanje zloženih miselnih procesov.

Po tradiciji je bila posebna tema preučevanje seštevanja in odštevanja znotraj 20. Potreba po tem pristopu pri sistematizaciji znanja je razvidna že iz logične analize problematike: dejstvo je, da je popolna tabela seštevanja enojnih številčna števila se razširijo znotraj dveh desetic (0 + 1 = 1, ..., 9+9=18). Tako števila znotraj 20 v svojih notranjih povezavah tvorijo popoln sistem odnosov; zato je razumljiva smotrnost ohranjanja "dvajsetih" v obliki druge integralne teme (prva taka tema so dejanja v prvi deseterici).

Obravnavani primer je ravno tisti, kjer je koncentričnost (ohranjanje druge desetke kot posebne teme) bolj koristna kot linearnost ("raztapljanje" druge desetice v temo "100").

V učbeniku M. I. Moro je študij prve desetice razdeljen na dva ločena dela: najprej se preučuje sestava številk prve desetice, naslednja tema pa obravnava dejanja znotraj 10. V eksperimentalnem učbeniku P.M. Erdniev, v nasprotju s tem, je bila izvedena skupna študija oštevilčenja, sestave števil in operacij (seštevanje in odštevanje) znotraj 10 naenkrat v enem razdelku. Pri tem pristopu se uporablja monografska študija številk, in sicer: znotraj obravnavanega števila (na primer 3) se takoj razume vsa »razpoložljiva matematika«: 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3-2 = 1.

Če je bilo po sedanjih programih za preučevanje najboljših desetih namenjenih 70 ur, potem je bilo v primeru eksperimentalnega usposabljanja vse to gradivo preučeno v 50 urah (poleg tega so poleg programa upoštevali še nekaj dodatnih konceptov, ki niso bili v stabilnem učbeniku, vendar so bili strukturno povezani z glavnim gradivom).

Posebno pozornost v metodologiji osnovnega izobraževanja zahteva vprašanje razvrstitve nalog, imen njihovih vrst. Generacije metodikov so si prizadevale racionalizirati sistem šolskih problemov, oblikovati njihove učinkovite vrste in sorte, vse do izbire uspešnih izrazov za imena problemov, namenjenih študiju v šoli. Znano je, da je vsaj polovica učnega časa pri pouku matematike namenjena njihovi rešitvi. Šolske naloge je seveda treba sistematizirati in razvrstiti. Kakšne (vrste) nalog študirati, kdaj študirati, kakšno vrsto študirati v zvezi s prehodom določenega odseka - to je legitimen predmet preučevanja metodologije in osrednje vsebine programov. Pomen te okoliščine je razviden iz zgodovine metodologije matematike.

Zaključek

Trenutno so se pojavili precej ugodni pogoji za korenito izboljšanje oblikovanja matematičnega izobraževanja v osnovni šoli:

1) osnovna šola se je iz triletne preoblikovala v štiriletno;

Podobni dokumenti

Značilnosti oblikovanja začasnih predstav pri pouku matematike v osnovni šoli. Značilnosti preučenih količin v osnovni šoli. Seznanitev z načinom oblikovanja časovnih predstav v začetnem tečaju matematike na UMK "Šola Rusije".

diplomsko delo, dodano 16.12.2011

Integracija računalništva in matematike kot glavna smer izboljšanja učinkovitosti izobraževanja. Metodologija uporabe programske opreme za interaktivne lekcije. Izbor učnega gradiva za e-učenje matematike in informatike v srednji šoli.

diplomsko delo, dodano 08.04.2013

Ideja aktivnih metod poučevanja, značilnosti njihove uporabe v osnovni šoli. Razvrstitev aktivnih metod pouka matematike v osnovni šoli iz različnih razlogov. Interaktivne metode poučevanja matematike in njihove prednosti.

seminarska naloga, dodana 12.02.2015

Metode preučevanja verjetnostno-statistične (stohastične) črte v predmetu matematike osnovne šole. Analiza dojemanja snovi s strani študentov: stopnja zanimanja; raven razpoložljivosti; težave pri preučevanju tega gradiva; kakovost absorpcije.

diplomsko delo, dodano 28.05.2008

Bistvo in cilji interaktivnega učenja v osnovni šoli. Izvajanje sklopa metod in tehnik za interaktivno poučevanje mlajših učencev pri pouku matematike. Prepoznavanje dinamike stopnje oblikovanja univerzalnih izobraževalnih akcij šolarjev.

diplomsko delo, dodano 17.02.2015

Proces dela na nalogi. Vrste nalog, sposobnosti in stopnje sposobnosti za njihovo reševanje. Tehnika poučevanja preoblikovanja nalog Faze dela na nalogi. Koncept transformacije nalog. Metode poučevanja in preoblikovanja problematike pri pouku matematike v osnovni šoli.

diplomsko delo, dodano 11.06.2008

Metode uporabe nalog raziskovalne narave pri pouku matematike kot sredstva za razvoj miselne dejavnosti mlajših učencev; sistematizacija in apromacija razvojnih vaj, priporočila za njihovo uporabo v osnovni šoli.

seminarska naloga, dodana 15.02.2013

Značilnosti študija matematike v osnovni šoli po Zveznem državnem izobraževalnem standardu osnovnega splošnega izobraževanja. Vsebina tečaja. Analiza osnovnih matematičnih pojmov. Bistvo individualnega pristopa v didaktiki.

seminarska naloga, dodana 29.09.2016

Matematika kot ena najbolj abstraktnih ved, ki se preučujejo v osnovni šoli. Seznanitev s posebnostmi uporabe zgodovinskega gradiva pri pouku matematike v 4. Analiza glavnih problemov razvoja kognitivne dejavnosti šolarjev.

diplomsko delo, dodano 10.07.2015

Upoštevanje psiholoških in pedagoških osnov za proučevanje logičnih problemov v osnovni šoli. Značilnosti razvoja logičnega mišljenja pri pouku matematike v osnovni šoli z vidika zahtev Zveznega državnega izobraževalnega standarda.